福师《实变函数》在线作业二答卷

福师《实变函数》在线作业二-0003试卷总分:100得分:100一、判断题(共37道试题,共74分)1.f∈BV，则f有“标准分解式”:f(x)=f(a)+p(x)-n(x),其中p(x),n(x)分别为f的正变差和负变差.正确的答案选项为:正确2.增函数f在[a,b]上几乎处处可微。正确的答案选项为:正确3.设f是区间[a,b]上的有界实函数，则f在[a,b]上R可积，当且仅当f在[a,b]上几乎处处连续.正确的答案选项为:正确4.f为[a,b]上减函数，则f'(x)在[a,b]可积且其积分值∫fdx≤f(b)-f(a).正确的答案选项为:错误5.存在某区间[a,b]上增函数f，使得f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx<f(b)-f(a).正确的答案选项为:正确6.当f在[a,b]上R可积时也必L可积，而且两种积分值相等.正确的答案选项为:正确7.若f广义R可积且f不变号，则fL可积.正确的答案选项为:正确8.若对任意有理数r,X(f=r)都可测，则f为可测函数.正确的答案选项为:错误9.可数集的测度必为零，反之也成立.正确的答案选项为:错误10.若f有界且m(X)<∞,则f可测。正确的答案选项为:正确11.三大积分收敛定理包括Levi定理，Fatou定理和Lebesgue控制收敛定理。正确的答案选项为:正确12.对任意可测集E，若f在E上可积，则f的积分具有绝对连续性.正确的答案选项为:正确13.若F是R中一紧集(即有界闭集)且F不等于R，则F是从一闭区间中挖去可数个互不相交的开区间后所得之集.正确的答案选项为:正确14.三大积分收敛定理是积分论的中心结果。正确的答案选项为:正确15.若f_n测度收敛于f，g连续，则g(f_n)也测度收敛于g(f).正确的答案选项为:错误16.若f∈BV当且仅当f是两个增函数之差。正确的答案选项为:正确17.R中任一非空开集是可数个互不相交的开区间之并.正确的答案选项为:正确18.f可积的必要条件:f几乎处处有限，且集X(f≠0)有sigma-有限测度。正确的答案选项为:正确19.一致收敛的绝对连续函数序列的极限函数也是绝对连续函数.正确的答案选项为:错误20.L积分下Newton-leibniz公式成立的充要条件是被积函数为绝对连续函数。正确的答案选项为:正确21.函数f在区间[a,b]上Ｒ可积的充要条件是f在区间[a,b]上的不连续点集为零测度集.正确的答案选项为:错误22.对R^n中任意点集E，E\E'必为可测集.正确的答案选项为:正确23.若f∈C1[a,b]（连续可微）,则f∈Lip[a,b]，f∈AC[a,b].正确的答案选项为:正确24.存在[0,1]上的有界可测函数，使它不与任何连续函数几乎处处相等．正确的答案选项为:正确25.f可积的充要条件:|f|可积。正确的答案选项为:正确26.不存在这样的函数f：在区间[a,b]上增且使得f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx<f(b)-f(a).正确的答案选项为:错误27.f∈BV，则f至多有可数个间断点，而且只能有第一类间断点.正确的答案选项为:正确28.若f可测，则|f|可测，反之也成立.正确的答案选项为:错误29.若f有界变差且g满足Lip条件，则复合函数g(f(x))也是有界变差.正确的答案选项为:正确30.设f为[a,b]上增函数，则存在分解f=g+h，其中g是上一个连续增函数，h是f的跳跃函数.正确的答案选项为:正确31.有限覆盖定理的内容是：若U是R^n中紧集F的开覆盖，则可以从U中取出有限子覆盖.正确的答案选项为:正确32.f∈BV，则f几乎处处可微，且f'∈L1[a,b].正确的答案选项为:正确33.若f,g∈AC，则|f|,f+,f-,f+g,f-g,f/g(g不为0),f∧g,f∨g均属于AC。正确的答案选项为:正确34.函数f≡C∈[-∞,∞],则f可测。正确的答案选项为:正确35.L积分比R积分更广泛，且具有优越性。正确的答案选项为:正确36.若f∈BV,则f有界。正确的答案选项为:正确37.有界可测函数f在区间[a,b]上L可积的充要条件是f在[a,b]上几乎处处连续.正确的答案选项为:错误二、单选题(共5道试题,共10分)38.若f∈L(X),则A.f在X上几乎处处连续B.存在g∈L(X)使得|f|<=gC.若∫Xfdu=0,则f=0,a.e.正确的答案选项为:B39.开集减去闭集其差集是（）A.闭集B.开集C.非开非闭集D.既开既闭集正确的答案选项为:B40.若|A|=|B|,|C|=|D|,则A.|A∪C|=|B∪D|B.|A∩C|=|B∩D|C.|A\C|=|B\D|D.当A或C为无限集时，|A∪C|=|B∪D|正确的答案选项为:D41.fn->f,a.e.,则A.fn依测度收敛于fB.fn几乎一致收敛于fC.fn一致收敛于fD.|fn|->|f|,a.e.正确的答案选项为:D42.下列关系式中不成立的是（）A.f(∪Ai)=∪f(Ai)B.f∩(Ai)=f(∩Ai)C.(A∩B)0=A0∩B0D.(∪Ai)c=∩(Aic)正确的答案选项为:B三、多选题(共8道试题,共16分)43.设E为R^n中的一个不可测集，则其特征函数是A.是L可测函数B.不是L可测函数C.有界函数D.连续函数正确的答案选项为:BC44.若f(x)为Lebesgue可积函数，则（）A.f可测B.|f|可积C.f^2可积D.|f|<∞.a.e.正确的答案选项为:ABC45.在R上定义f，当x为有理数时f(x)=1，当x为无理数时f(x)=0，则（）A.f在R上处处不连续B.f在R上为可测函数C.f几乎处处连续D.f不是可测函数正确的答案选项为:AB46.若0<=g<=f且f可积，则（）A.g可积B.g可测C.g<∞，a.e.D.当g可测时g必可积正确的答案选项为:CD47.设fn与gn在X上分别测度收敛于f与g，则（）A.fn测度收敛于|f|B.afn+bgn测度收敛于af+bgC.(fn)^2测度收敛于f^2D.fngn测度收敛于fg正确的答案选项为:AB48.A，B是两个集合，则下列正确的是（）A.f^-1(f（A）)=AB.f^-1(f（A）)包含AC.f(f^-1（A）)=AD.f(A\B)包含f(A)\f(B)正确的答案选项为:BCD4