材料力学内部习题集与问题详细讲解

..轴向拉伸和压缩2-1一圆截面直杆,其直径d＝20mm,长L=40m,材料的弹性模量E=200GPa,容重γ＝80kN/m3,杆的上端固定,下端作用有拉力F=4KN,试求此杆的：⑴最大正应力；⑵最大线应变；⑶最大切应力；⑷下端处横截面的位移。解：首先作直杆的轴力图⑴最大的轴向拉力为故最大正应力为：⑵最大线应变为:⑶当〔为杆内斜截面与横截面的夹角为时,⑷取A点为轴起点,故下端处横截面的位移为：2-2试求垂直悬挂且仅受自重作用的等截面直杆的总伸长△L。已知杆横截面面积为A,长度为L,材料的容重为。解：距离为x处的轴力为所以总伸长2-3图示结构,已知两杆的横截面面积均为A=200mm2,材料的弹性模量E=200GPa。在结点A处受荷载F作用,今通过试验测得两杆的纵向线应变分别为ε1＝4×10－4,ε2＝2×10－4,试确定荷载P及其方位角θ的大小。解:由胡克定律得相应杆上的轴力为取A节点为研究对象,由力的平衡方程得解上述方程组得2-4图示杆受轴向荷载F1、F2作用,且F1＝F2＝F,已知杆的横截面面积为A,材料的应力－应变关系为ε＝cσn,其中c、n为由试验测定的常数。试计算杆的总伸长；如果用叠加法计算上述伸长,则所得的结果如何？当n＝1时,上述两解答是否相同？由此可得什么结论？解：〔１轴力图如图〔a所示。根据：则〔２采用叠加法。单独作用F1时,轴力图如图〔b所示。单独作用F2时,轴力图如图〔c所示。则〔３当n=1时,上述两解答相同。结论：只有当与成线性关系时,叠加法才适用于求伸长。2-5试求图示构架点C的铅垂位移和水平位移,已知两根杆的抗拉刚度均为EA。解：取C点分析受力情况,如图〔b所示,得因此只有CD杆有伸长变形几何图如图〔c所示,得。2-6刚性梁ABCD在B、D两点用钢丝绳悬挂,钢丝绳绕过定滑轮G、H。已知钢丝的E＝210GPa,绳横截面面积A＝100mm2,荷载F＝20KN,试求C点的铅垂位移〔不计绳与滑轮间的摩擦。解：首先要求绳的内力。刚性梁的受力分析如图,由平衡方程：解得：绳的原长绳的伸长量为在作用下结构变形如图,可得：再由三角几何关系得：由、式联立可得：又因为：所以,2-7图示结构中AB杆为刚性杆,杆AC为钢质圆截面杆,直径d1=20mm,E1=200GPa；杆BD为铜质圆截面杆,直径d2＝25mm,E2=100GPa,试求：外力F作用在何处<x＝？>时AB梁保持水平？如此时F＝30kN,则两拉杆横截面上的正应力各为多少？解：<1>.容易求得AC杆、BD杆的轴力分别为 从而AC杆、BD杆的伸长量若要AB梁保持水平,则两杆伸长量应相等,即.于是,<2>.当时,两拉杆横截面上的正应力分别为2-8图示五根杆的铰接结构,沿其对角线AC方向作用两力F＝20kN,各杆弹性模量E=200GPa,横截面面积A＝500mm2,L＝1m,试求：AC之间的相对位移△AC,若将两力F改至BD点,则BD点之间的相对位移△BD又如何？解：<1>取节点为研究对象,受力分析如图<b>由平衡方程：,得同理,可得：节点受力分析如图<c>,,,,四杆材料相同,受力大小相同,所以四个杆的应变能相同,可求得整个杆件应变能为：力作的功为：由弹性体的功能原理得：当两力移至两点时,可知,只有杆受力,轴力为所以从而2-9图示结构,已知三根杆AF、CD、CE的横截面面积均为A=200mm2,E=200GPa,试求每根杆横截面上的应力及荷载作用点B的竖向位移。解：取AB为研究对象,选取如图所示坐标轴,故,即,,即,于是得,,即,于是,解得：,所有构件的应变能为由功能原理得,作的功在数值上等于该结构的应变能即：所以.2-10图示结构,已知四根杆AC、CB、AD、BD的长度均为a,抗拉刚度均为EA,试求各杆轴力,并求下端B点的位移。解：<1>以B结点为研究对象,受力图如图〔a所示由得得以刚性杆为研究对象,受力图如图〔b所示由得由得<2>由于1,2杆的伸长变形,引起CD刚性杆以及B结点的下降〔如图〔c由于3,4杆的伸长引起B点的继续下降〔如图〔d则2-11重G=500N,边长为a=400mm的箱子,用麻绳套在箱子外面起吊如图所示。已知此麻绳在290N的拉力作用下将被拉断。如麻绳长为1.7m时,试问此时绳是否会拉断？如改变ɑ角使麻绳不断,则麻绳的长度至少应为多少？解：<1>取整体作为研究对象,经分析得本受力体系为对称体系.由于箱子重G=500N,由竖直方向的受力平衡可知,每根绳子竖直方向受力为F=250N.即而则于是,此时绳子不会被拉断.<2>绳子被拉断时其中则解得:答：<1>N=417N<2>L=1.988m2-12图示结构,BC为刚性杆,长度为L,杆1、2的横截面面积均为A,其容许应力分别为[σ1]和[σ2],且[σ1]=2[σ2],荷载可沿梁BC移动,其移动范围0＜x＜L,试从强度方面考虑,当x取何值时,F的容许值最大,Fmax等于多少？解：分析题意可知,由于1、2两杆横截面积均为A,而1杆的容许应力为2杆的二倍,则由公式可知,破坏时2杆的轴力也为1杆的二倍。本题要求F的容许值最大,即当力F作用在距离B点的位置上时,1、2两杆均达到破坏所需的轴力,即此时,对力的作用点求矩得：解得：此时,由竖直方向的受力平衡得：2-13图示结构,AC为刚性杆,BD为斜撑杆,荷载F可沿杆AC移动,试问：为使BD杆的重量最轻,BD杆与AC杆之间的夹角θ应取何值？解：如图所示,取整体为研究对象,对A点取钜,由得：而则要想使重量最轻,应该使sin2θ最大,即2θ=90º解得：θ=45º2-14铰接桁架承受水平力F=150kN,桁架所有杆件的许用应力[σ]=125Mpa,试求AB杆和CD杆所需的横截面面积。解：由零杆的判别条件知,图中BC杆为零杆。取整体为研究对象,对A点取钜,由得：解得：取D节点为研究对象,由平衡方程得：则可以解得：同理,对于B节点,也有平衡方程：则可以解得：于是,由许用应力定义得：2-15圆截面钢杆如图所示,已知材料的E=200GPa,若杆内应变能U=4N·m,试求此杆横截面上的最大正应力。解：各截面压力相同为应变能代入数据可得kNMPa2-16图示杆件的抗拉〔压刚度为EA,试求此杆的应变能。解：如图所示,为杆件的轴力图,则杆件的应变能计算应该分为两部分。其中：则：第三章扭转3-1直径d=400mm的实心圆截面杆扭转时,其横截面上最大切应力τmax=100Mpa,试求图示阴影区域内所承担的部分扭矩。解：法1距圆心处切应力为阴影部分扭矩k法2:距离圆心处切应力为kN3-2将空心管B和实心杆A牢固地粘结在一起而组成一实心圆杆,如图所示。管B和杆A材料的剪切弹性模量分别为GB和GA。试分别求出该组合杆承受扭矩MT时,实心杆与空心管中的最大切应力表达式。答：实心杆：,空心管：解：设实心杆受扭矩,空心管受扭矩,且两杆的最大切应力出现在外边缘处,由已知得+=；对两杆接触截面的相对转角相同,即=；且=,=；所以=,=；则实心杆：=,空心管：=3-3图示受扭轴,AB段因安装手轮,截面为正方形,试从强度方面考虑,轴的容许扭矩因此降低了多少〔用百分比表示？解：由题意可知,从强度方面考虑,即：截面为圆时,当截面为正方形时,如图,边长查表可得,当时,所以所以降低为：3-4受扭转力偶作用的圆截面杆,长L=1m,直径d＝20mm,材料的剪切弹性模量G＝80GPa,两端截面的相对扭转角φ＝0.1rad,试求此杆外表面处沿图示方向的切应变γ、横截面上的最大切应力τmax和扭转力偶矩Me。答：γ=1×10－3,τmax＝80MPa,Me＝125.6N•m解：由公式,=得出Me＝125.6N•m且==80MPa,由,得==.3-5圆截面橡胶棒的直径d＝40mm,受扭后,原来表面上互相垂直的圆周线和纵向线间夹角变为86º,如杆长L＝300mm,试求端截面的扭转角；如果材料的G＝2.7MPa,试求杆横截面上的最大切应力和杆上的外力偶矩Me。解：rad所以radMPa另外因为所以3-6一根在A端固定的圆截面杆AB如图所示,图中的a、b及此杆的抗扭刚度GI均为已知。杆在B端焊有一根不计自重的刚性臂,在截面C处有一固定指针,当杆未受荷载时,刚性臂及指针均处于水平位置。如现在刚性臂的端部悬挂一重量为F的重物,同时在杆上D和E处作用有扭转力偶MD和ME。当刚性臂及指针仍保持水平时,试求MD和ME。解：扭矩图如图〔a所示要保证指针及刚性臂保持水平则得〔1得〔2〔1、〔2两式联立得3-7图示圆截面杆,其全长受集度为m=的均布扭转力偶作用,并在中点受其矩为T的扭转力偶作用,试作此杆的扭矩图,并求杆的应变能。解：对1-1截面,有,..对2-2截面,有,..作出扭矩图.<2>杆的应变能.弯曲应力4-1试作下列梁的剪力图和弯矩图。解：〔a1、计算支反力由平衡方程：即得即得2、列剪力、弯矩方程AC段：CB段：3、作剪力、弯矩图〔b1、计算支反力由平衡方程：即得即得2、列剪力、弯矩方程AB段：3、作剪力、弯矩图〔c1、计算支反力由平衡方程：即得即得2、列剪力、弯矩方程AC段：CB段：3、作剪力、弯矩图〔d1、计算支反力由平衡方程：即得即得2、列剪力、弯矩方程AC段：CB段：3、作剪力、弯矩图4-2作图示梁的剪力图和弯矩图。解：〔a1、计算支反力由平衡方程：即得即得2、列剪力、弯矩方程CA段：AB段：3、作剪力、弯矩图〔b1、计算支反力由平衡方程：即得即得2、列剪力、弯矩方程CA段：AD段：DB段：3、作剪力、弯矩图〔c1、计算支反力由平衡方程：即得即得2、列剪力、弯矩方程AB段：BC段：3、作剪力、弯矩图〔d1、计算支反力由平衡方程：即得即得2、列剪力、弯矩方程AC段：CD段：DB段：3、作剪力、弯矩图〔e1、计算支反力由平衡方程：即得即得2、列剪力、弯矩方程AB段：BC段：3、作剪力、弯矩图〔f1、计算支反力由平衡方程：即得即得2、列剪力、弯矩方程CA段：AD段：DB段：3、作剪力、弯矩图4-3已知简支梁的剪力图如图所示,试作此梁的弯矩图和荷载图。梁内若有集中力偶,则作用在右端。解：依据剪力与弯矩的微分关系作图4-4已知简支梁的弯矩图如图所示,试作此梁的剪力图和荷载图。解：依据剪力与弯矩的微分关系作图4-5试作图示简单刚架的内力图。解：〔a1、计算支反力由平衡方程：即得即得即得2、列内力方程AB段：BC段：3、作内力图〔b1、计算支反力由平衡方程得2、列内力方程AB段：BC段：3、作内力图〔c1、计算支反力由平衡方程得2、列内力方程AB段：BC段：CD段：3、作内力图〔d1、计算支反力由平衡方程得2、列内力方程AB段：BC段：CD段：3、作内力图4-6试作图示梁的内力图。解：对系统进行受力分析〔如图b1由得由得,由得因此图示梁的内力图如图b2所示。〔M图有问题4-7试从弯矩来考虑,说明为什么双杠的尺寸常设计成？解：由题意只需要考虑两种临界情况即可。1、当力F在中间位置时,由对称可知最大弯矩发生在正中,即2、当力F在最边缘位置时,由平衡条件：即得即得最大弯矩发生在B处,即所以,根据材料的许用强度可知,当两者相等时最佳,即即4-8试推导梁受均布弯曲力偶m时的荷载与剪力、弯矩之间的微分关系。解：由题意如图所示,由平衡条件：即得即得所以AB段：4-9已知悬臂梁及其剪力图如图a、b所示,若在梁的自由端无弯曲力偶作用,试作此梁的弯矩图及荷载图。从剪力图和弯矩图直接求出支反力和支反力偶,并在荷载图上画出其方向和转向。解：由剪力图知AC段受均布力作用,大小为；C点受集中力；BC段受均布力,大小为则可作出荷载图与弯矩图如下：4-10一悬臂梁承受沿梁全长作用的分布荷载,梁的弯矩方程为M〔x=ax3+bx2+c,其中a、b和c为有量纲的常数。x的坐标原点取在梁的自由端,试求分布荷载的集度,并说明常数c的力学含义。解：当x=0时,因此c表示自由端作用的弯矩为c。由为三元一次函数得知,集中荷载为一元一次函数,令并且以自由端为原点建立坐标系〔如图所示得即所以。4-11一端外伸的梁在其全长L上有集度为q的均布荷载作用,如欲使梁在此荷载作用下的最大弯矩值为最小,试求外伸端的长度a与梁长L之比。解：1、计算支反力由平衡方程：即得即得2、列剪力、弯矩方程AB段：BC段：3、作弯矩图4、由弯矩图可知,当时,最大弯矩值最小,解得或〔舍去4-12独轮车过跳板,如跳板的支座A是固定铰支座,试从最大弯矩考虑,支座B放在什么位置时,跳板的受力最合理？解：如图〔ａ所示,当Ｆ位于AB中点Ｃ或者位于跳板的右端点D时,会在跳板上产生最大的弯矩。当F位于C处时：所以又所以所以此时弯矩图如图〔b所示。当Ｆ位于Ｄ处时：所以所以得因此此时弯矩图如图〔c所示。最合理时,即,得,因此当时最合理。4-13开口圆环,其受力如图所示,已知环厚为h〔垂直于纸面,p为均匀压强,试求此环在任意截面1-1上的弯矩。解：如图,在任意截面1-1处,在1-1截面与开口之间取一小段长为,宽为,则所受合力对截面1-1处的弯矩为所以对整段环的合弯矩为4-14如图所示,已知b×h的矩形截面杆,其弹性模量为E,承受三角形分布载荷P〔x,其方向与x轴夹角为,试导出杆的内力与载荷的微分关系。解：取坐标为和处的两横截面,设坐标为处的横截面上的轴力、剪力和弯矩分别为、和。该处的荷载集度为,则在坐标为处横截面上的轴力、剪力和弯矩分别为、和。梁段在以上所有外力作用下平衡。故,即,解得：；又,即,解得：；再由,即,二阶无穷小项得：.4-15宽为b=30mm,厚为t=4mm的钢带,绕装在一个半径为R的圆筒上。已知钢带的弹性模量E=200GPa,比例极限σp=400MPa,若要求钢带在绕装过程中应力不超过σp,试问圆筒的最小半径R应为多少？解：由题意钢带的曲率为即可知越大,R越大；所以4-16空心圆截面梁如图所示。试求横截面1-1上K点处的正应力,并问哪个截面上相应于此K点位置的正应力最大,其值等于多少？解：1、求支反力由平衡方程即得即得2、求1-1截面处的弯矩3、求该截面上K点处的正应力4、求由于无均布荷载,根据微分关系可知最大弯矩在拐点处,其中,,,所以,则4-17用相同材料制成的两根梁,一根截面为圆形,另一根截面为正方形,它们的长度、横截面面积、荷载及约束均相同。试求两梁横截面上最大正应力的比值。解：设截面面积为A,圆形截面直径为d,正方形截面边长为a,则有即由公式得最大正应力分别为所以4-18T形梁截面如图所示。已知截面上M=3.1kN·m,Iz=53.1×10－6m4,试求截面上、下边缘处的正应力及中性轴以上部分截面的正应力构成的总压力及压力作用点的位置。解：根据得〔"-"号表示压应力解得4-19梁的横截面如图所示。如果已由实验测得上端纵向纤维的压缩应变ε=－0.0003,下端纵向纤维拉伸应变ε=0.0006。试求截面上阴影部分总的法向内力。已知材料的E=200GPa。解：由及得：,由于同一截面上、及相同,故与成正比。由上端,下端得：,,故,阴影部分总的法向内力为：4-20矩形截面梁的截面尺寸如图所示。已知梁横截面上作用有正弯矩M=16kN·m及剪力Fs=6kN,求图中阴影面积Ⅰ及Ⅱ上的法向内力及切向内力。解：分析截面：由对称知中性轴既是形心主轴由积分得〔压力〔拉力4-21为了提高梁的弯曲强度,如图所示在矩形截面上增加肋板,如肋板的高度较小时,反而会使弯曲强度降低,已知尺寸b、b1、h,试求抗弯强度为最低时的肋板高度h1。解：梁的正应力强度条件为由题意可知而,所以只需求解,将梁截面分为三部分令得：所以4-22图示圆形截面悬臂梁,受均布荷载q作用,试计算梁横截面上最大切应力、最大正应力及它们两者的比值。解：剪力图,弯矩图如图所示。由圆形截面知所以,。4-23矩形截面梁高为h,试问在距中性轴多远处,横截面上的切应力等于平均切应力？解：距截面中性轴为y处的切应力题4—23图其中为截面上距中性轴为y的横线以外部分的面积对中性轴的静矩。则题4—23图平均切应力为,式中,要使截面上切应力等于平均切应力,即使,解得4-24木制悬臂梁受载如图所示。试求中性层上的最大切应力及此层水平方向的总剪力。答：τmax=0.3MPaFs*=30kN解：分析截面梁所受剪力为则中性层上的最大切应力为此层水平方向的总剪力为4-25T形截面梁如图所示。已知Fs=100kN,Iz=11340×10－8m4,试求中性轴及翼缘与腹板交界点处的切应力。解：分析截面由得中性轴上交界点处4-26已知梁横截面上的弯矩M=60kN·m,横截面尺寸如图所示。试求此截面上的最大正应力。解：分析截面所以4-27由50ａ号工字钢制成的简支梁如图所示。试求横截面上的最大正应力和最大切应力。解：1、计算支反力由平衡方程：即得即得2、作剪力图与弯矩图由图可知3、求最大正应力和最大切应力4-28试求图示梁横截面上的最大正应力和最大切应力,并绘出危险截面上正应力和切应力的分布图。解：1、计算支反力由平衡方程：即得即得2、作剪力图与弯矩图由图可知3、求最大正应力和最大切应力分析截面则4、绘出危险截面上正应力和切应力的分布图4-29在图中如以虚线所示的纵向面和横向面从梁中截取一部分,试求在纵向面ｍｎｎ′m′上由微内力τdA所组成的合力,并说明它与什么力平衡,用图表示。解：求支反力：由平衡方程即得即得求合力T：分析小块,在处所受切应力为由受力平衡则所受合力为它与所在横向面所受拉应力平衡。4-30从图示梁中取出一脱离体,试求其横截面ＡＡ′Ｂ′Ｂ上：〔１最大、最小正应力；〔２最大、最小切应力；〔３正应力组成的法向内力ＦN*；〔４切应力组成的切向内力ＦS*。〔５纵向面上切向应力。解：〔1对于横截面来说,段上的正应力最大,其值为：,段上的正应力最小,其值为：,〔2段上的切应力最大,其值为：,段上的切应力最小,其值为：,〔3正应力组成的法向内力为：〔4切应力组成的切向内力为：〔5纵向面AA′c′c上切应力组成的切向应力4-31一根木梁的两部分用单行螺钉连接而成,其横截面尺寸如图所示。已知剪力FS=3kN,IZ=113.5×10—6m4,螺钉的容许剪力为700N,试求螺钉沿梁纵向的间距a。解：截面上处由剪力引起的切应力为,由切应力互等定律木梁两部分连接面上有切应力,所以一个螺钉所承受剪力为：容许剪力为所以所以间距为4-32用螺钉将四块木板连接而成的箱形梁如图a所示,每块木板的截面均为150mm×25mm,如每一螺钉的容许剪力为1.1kN,试确定螺钉的间距a。又如改用图b所示的截面形状,其他条件不变,则螺钉的间距a应为多少？答：〔aa=0.117m；〔ba=0.176m解：〔a由平衡条件得则则分析截面〔a：由对称知形心主轴即是对称轴则两极连接处所以在两极连接处所受的切应力为由题意即解得〔b同理对截面有由得所以解得4-33用20ａ号工字钢制成的简支梁如图所示。由于正应力强度不足,在梁中间一段的上下翼缘上各焊一块截面为120mm×10mm的钢板来加强,如材料的[σ]=160MPa,试求所加钢板的最小长度L1。解：经查表得20号工字钢的参数,h=200mm,b=100mm。受力分析知简支梁的受力图,剪力图,弯矩图〔如图1由弯矩图知,距中心处的弯矩为由带入数据得最小长度.4-34图示铸铁T形截面梁,已知IZ=7.65×10－6m4,材料的[σ]t=40MPa,[σ]Ｃ=60MPa,试校核此梁的正应力强度。解：1、求支反力由平衡方程：即得即得2、作剪力、弯矩图3、校核正应力强度由题意则此梁不安全。4-35有一桥式起重机,跨度l=10.5m,用36ａ的工字钢作梁,工字钢的IZ=15760cm4,WZ=875cm3。梁的许用应力[σ]=140MPa,电葫芦自重12kN,若起重量为50kN时,梁的强度不够,为此在工字钢梁中段的上、下缘各焊一块钢板如图,试校核加固后梁的强度,并求加固钢板的最小长度L。解：由题意当电葫芦在梁中间时,所受最大弯矩最大为此时加固后则由题意临界情况时,电葫芦刚好在加固板一端,此时由平衡条件即得则此时解得则4-36在图示工字钢梁截面Ⅰ—Ⅰ的底层,装置一变形仪,其放大倍数K=1000,标距S=20mm。梁受力后,由变形仪读得△S=8mm。若L=1.5m,a=1m,E=210GPa,试求载荷F值。解：由题意1-1底层处发生的形变为则此处所受拉应力为由对称可知则1-1处所受弯矩为在1-1底层所受压应力为即即解得4-37已知直梁的横截面如图所示,横向载荷作用在对称平面xcz〔即截面对称轴z与轴线x组成的平面内,该截面上的弯矩M=12kN·m,剪力FS=12kN,试计算该截面上：〔1A、B两点处的正应力；〔2│σ│max和│τ│max；〔3沿a—a的正应力和切应力分布图。解：〔1分析截面：由公式得〔2在中性轴处在B处所以4-38图示简支梁受荷载F1,F2,q1,q2和m的共同作用。〔1试作梁的剪力、弯矩图。〔2若梁为矩形截面,材料的容许拉压应力[σ]=6MPa,容许切应力[τ]=1MPa,试校核此梁的强度。解：⑴由得：,,由得：,,⑵由弯矩图得,最大拉应力在端,最大拉应力为：,最大剪力为,最大切应力为：<1MPa,所以此梁满足强度要求,是安全的。 4-39一悬臂梁长度L=2m,自由端承受垂直于杆轴的集中力F=10kN,横截面如图b所示,其中a=100mm,δ=10mm。〔1若要求梁发生平面弯曲,且固端截面上A点处的拉应力为最小,载荷F应沿什么方向？〔2在上述情况下,求固端截面A点处的正应力和B点处的切应力。解：〔1由题意要使只发生平面弯曲,即不发生扭转等弯曲,根据切应力分布可知荷载F作用线必过O点。如图,设F沿方向,建立坐标系。其中原坐标系为由公式所以可知由数学分析,当时,取最小。〔2当时,第五章梁弯曲时的位移5-1试画出图示梁挠曲线的大致形状。根据梁的弯矩图确定梁挠曲线的大致形状,M>0,挠曲线向下凸；M<0,挠曲线向上凸。5-2图示各梁EI=常数。试写出各梁的位移边界条件,并画出梁挠曲线的大致形状。设梁的最左端断点为坐标原点,x轴正方向向右。则各梁边界条件、弯矩图及梁的挠曲线大致形状如下：<a><b><c><d><e><f>5-3试画出图示梁挠曲线的大致形状。5-4如要使图示结构B端的挠度为零,则长度x应为多少？试画出此时AB梁的挠曲线大致形状。答：解:固定端约束反力如图所示。则AB梁上距离A端l处的横截面上的弯矩为M〔l=Fl-F〔L-x由挠曲线微分方程得：EI"=-M〔l=F〔L-x-Fl积分得：EI’=F〔L-xl-l+C;再积分得：EI=〔L-xl-l+Cl+C；由边界条件l=0,’=0得C=0；由=0得C=0EI=〔L-xl-l；由题意知l=L时,=0得x=LAB梁挠曲线大致形状：M〔l=Fl-L；0<l<时,M〔l<0;<l<L时,M〔l>05-5图示刚架在端点C处受集中力F作用,试求当B点的铅垂位移为零时的比值。答：解：固定端约束反力如图所示。则AB梁上距离A端l处的横截面上的弯矩为M〔l=Fl-F〔L-a由挠曲线微分方程得：EI"=-M〔l=F〔L-a-Fl积分得：EI’=F〔L-al-l+C;再积分得：EI=〔L-al-l+Cl+C；由边界条件l=0,’=0得C=0；由=0得C=0EI=〔L-al-l；由题意知l=L时,=0得a=L=5-6试用叠加法求图示梁自由端挠度fB和转角θB,并画出挠曲线的大致形状。答：解：〔1在均布荷载单独作用下：查表得=l=〔4a=a；=l=〔4a=a〔2集中荷载单独作用下：==〔3a=a；=+a=〔3a+aa=a 由叠加原理得：f=+=a+a=a=+=a+a=a5-7已知长度为4a的静定梁的挠曲线方程为,试用图表示此梁所受荷载及梁的支座,并求梁内最大弯矩。答：解：设F〔x=; 已知EIv"=M〔x;因此对F〔x求二阶导数得：M〔x=F’’〔x=；由弯矩与剪力的微分关系得：当时,=0,弯矩绝对值最大,；；；；可推断知此梁所受荷载及梁的支座情况如图：5-8已知直梁的挠曲线方程为。试求：1截面处的弯矩；2最大弯矩；3分布荷载q〔x；4梁的支承情况。答：,,q〔x=,梁为两端铰支的简支梁。解：设已知；对F〔x求二阶导数得：；；〔1；〔2；令得；〔3；〔4；梁为两端铰支的简支梁。5-9一等截面悬臂梁抗弯刚度为EI,梁下有一曲面,其方程为y=Ax3,欲使梁变形后与该曲面正好贴和〔曲面不受力,试问梁上需加什么样的荷载？答：在B端加F=6AEI的向上集中力和Me=6AEIL的顺时针集中力偶。解：欲使梁变形后与曲面正好贴合,则梁挠曲线方程与曲面方程相同。；则；；；；由剪力,弯矩方程及边界条件可知：需在梁B端加载的向上的集中力和的顺时针的集中力偶。5-10梁ABCD原来是水平的,然后如图所示那样在C点施加向下集中力F,则梁向下挠曲,如希望在B处加一向上集中力以使B点的位置回到原来的水平线ABCD上。试问在B点需加多大的力？答：解：集中力不在梁中点,可采取叠加原理求解。查表得集中力不在梁中点时梁挠曲线方程为；〔1单独在C点施加集中力F时,满足条件：。代入方程得：；〔2单独在B点施加集中力时,满足条件：。代入方程得：；使B点位置回到原水平线ABCD上,则5-11重量为Q的直杆放在水平的刚性平面上,在它的一端作用一大小为F=的力,试问由于此力的作用,杆从平面上被拉起的长度a等于多少？并求出其端部提起的高度。答：,解：由题意设段被拉起仍为平放段,整个杆上受力情况如图〔b由于处即则由于杆段B处可以简化为固定端,从而杆段简化模型为图〔c提升高度5-12变截面悬臂梁如图所示,全梁承受均布载荷q的作用,试用叠加法求A截面的挠度。E,I为已知。答：解：利用叠加原理,原图等效为以下四图的叠加。如同所示：查表得悬臂梁自由端的挠度和转角公式：〔1〔2〔3〔4叠加得：5-13试用等截面梁的挠度、转角表计算图示简支梁跨度中点的挠度fC。答：解：利用应变能求解,由于梁及荷载轴对称,可以只取左半段研究。由静力学平衡易求得支座反力为,则得5-14试求图示梁荷载作用点C的挠度。答：解：利用应变能求解,由静力学平衡方程易求得,向上。以B端为坐标原点,坐标轴正方向向左。则左半段；所以对整个梁求应变能：,从而得5-15试求图示梁跨度中点C的挠度。答：解：利用应变能求解,由静力学平衡方程易求得,,由对称关系知梁的应变能为：,得5-16图中所示的梁具有中间铰B和C,EI为已知。试画出挠曲线的大致形状,并用叠加法求F力作用处的挠度。解：,为铰接,受力如图〔a力矩平衡可得且各点挠度5-17图示梁在B截面处支承一弹簧,弹簧刚度〔即引起单位长度变形之力为k,试求A截面的挠度。EI为已知。答：解：〔1弹簧受力,对梁：得〔2将梁AC等效为AB,BC两部分,如图：5-18设梁上受有均匀分布的切向载荷,其集度为t,若E为已知,试求A点的铅垂位移〔挠度及轴向位移。答：,解：〔1由于荷载偏离梁的轴心,根据力的平移定理原荷载等效为集度为t的切向荷载均匀分布于梁的中性轴,同时附加一个力偶。〔x为梁上任一截面到A点的距离由得〔负号表示位移向下〔2因为转角表示梁中性轴一点相对原来轴线的转角,由此引起A点的轴向位移水平向右；轴力引起的A点的轴向位移水平向左；A点总的轴向位移水平向右5-19简支梁的荷载情况及尺寸如图所示,已知该梁材料的弹性模量为E,求梁下边缘的总伸长量。解：弯矩图如图所示。则下边缘上各点正应力取一微元为研究对象,其伸长量,则5-20等截面刚架如图所示,E、A及I均为已知。试大致描出其变形曲线,并在下列两种情况下求D截面的垂直位移及水平位移：〔1不考虑BC杆的轴向伸长；〔2考虑BC杆的轴向伸长。解：首先对,杆进行受力分析,分析如图<b>,<c>其中,,,所以,可得杆变形大致曲线如图<d><1><2>考虑杆轴向伸长时,如图<e>5-21试求图示各梁的应变能。答：〔a〔b〔c解：〔a〔b易求得支座反力为,任一截面弯矩为由对称关系得梁的应变能为：〔c显然梁的应变能为：简单的超静定问题6-1图示由三根杆组成的结构,已知各杆的弹性模量E、横截面积A及杆长L均相同,试求各杆轴力,画出变形图和受力图。解：如图所示,取中间节点作为研究对象,由受力平衡得：对于1、2、3杆,根据胡克定律,可知其变形量分别为：再由几何连续条件得：于是,由上述方程联立解得：6-2如图所示,三根同材料等长度和等截面的柔索,互成,在O点相连接,各索预受张力10kN,索3在垂直方向。之后,在O点施加荷载F,试计算在三种不同情况下,各索所承受之力：〔aF=9kN<b>F=15kN<c>F=21kN。答：〔aF=9kN时, 〔bF=15kN时,〔cF=21kN时,解：首先计算当绳索3刚好无拉力时荷载F的值。如图所示,取节点O作为研究对象。由于绳索上实现施加了10KN的拉力,因此由节点的竖向平衡可知：则F=10KN<1>由于F=9KN<10KN<不太明白怎么做>于是绳索3中仍然有拉力。……<2>由于F=15KN>10KN于是绳索3中没有拉力。因此由节点的竖向平衡可知：则<3>由于F=21KN>10KN于是绳索3中没有拉力。因此由节点的竖向平衡可知：则6-3图示对称结构中,杆BC为刚性杆,其余四根杆的EA均相同,试求荷载F作用下四根杆的轴力。解：此题为对称结构上作用对称荷载,因此结构的受力和变形均对称。于是可得取刚性杆BC作为研究对象,由竖直方向的受力平衡得：再由胡克定律得：且由于对称荷载作用,加载时刚性杆BC的运动为竖直方向的平动。有由以上方程可以解得：6-4图示结构,各杆抗拉刚度均为EA,试求各杆的轴力。解：此题为对称结构受对称荷载作用,因此AB、BC杆的轴力相等,设为则对于DB杆,由于杆件在E点受集中力作用,则轴力应该分为两部分考虑。设DE段轴力为,EB段轴力为。于是,其中再由受力平衡条件得：由变形协调条件得：于是,由上式解得：6-5刚性杆ABC由材料相同、横截面积相等的三根杆悬挂,其结构及受力如图,试分析三根杆的受力分配比。解：本题为一次超静定问题,由受力图〔b,得则〔1ABC杆为刚性杆,由变形几何图〔c可得变形协调条件〔2物理关系为：〔3由方程〔1〔3得上式代入〔2得〔4〔3再代入〔4得再结合〔1得结论：三杆受力相同6-6一杆系如图所示,1、2、3杆铰接在滑块E上,滑块E能沿竖向移动,杆2在竖直位置。图中F、EA均为已知。各杆的EA相同,长度均为L,试求E点处的支反力。解：由节点处的变形协调条件及几何条件得：由胡克定律得：即取滑块E作为研究对象,由水平和竖直方向上的受力平衡得：于是解得：方向水平向右6-7图示结构中,BC为刚性杆,1、2两杆的抗拉〔压刚度均为EA,试求两杆的轴力。解：如图所示,取整体为研究对象,对B点取矩得：由变形协调条件得：其中：于是,可以解得：6-8刚性梁由材料相同、截面积相等的三根立柱支撑,其结构和受力如图所示,如使刚性梁保持水平,试求：〔1荷载F作用点的位置x；<2>此时各立柱中的轴力。解：由于梁要保持水平,所以即又由于则又①对1柱低端取矩,②由竖直方向的受力平衡得：③由以上三式得：6-9刚性梁悬挂在三根杆上,已知A钢=2A铜,钢=,E钢=210GPa,铜=,E铜=100GPa,试求当温度升高C时各杆横截面上的应力。解：如图所示,为对称结构受对称荷载作用,因此刚性梁一定是平行移动。即由题中条件,可得以下四式:由第一式和第四式分别得:由以上四式联立可以解得:,6-10如图所示,斜杆DC的长度比要求短,已知DB和DC杆的面积A=200mm2,材料的E=200GPa。试求：装配后DB杆和DC杆的轴力。解：为刚性杆,假设其移动到如图〔b所示由几何关系知：〔1由物理关系知：〔2〔3由受力图〔c知：〔4〔1〔2〔3〔4联立,解得6-11图示结构的刚性杆吊在两根钢杆上,已知=0.1mm,E=200GPa,,。试求装配后并在荷载F作用下两杆横截面上的应力。解：由变形几何图〔b得〔1由物理关系知〔2〔3由受力图〔c得〔4〔1〔2〔3〔4联立,解得6-12图示结构,已知BC杆的横截面积为BD杆的四倍,两杆材料的,E=200GPa,当温度升高时,试求BC杆和BD杆横截面上的应力。解：如图所示,BC、BD杆在受温度作用后都会伸长。其中按如图所示的变形图可得,杆BC和BD的压缩量分别为：而再有由以上方程联立可以解得：6-13ABC为刚性等边三角形板,1、2、3、4杆均为钢制,各杆的长度均为l,截面积均为A,杆件的尺寸及布置如图所示,已知A、D之间的距离为,当把A、D装配在一起时,假定各杆的应力仍在弹性极限之内,试求各杆中的内力。答：解：取刚性三角板作为研究对象,由竖向位移条件得：根据胡克定律得：根据受力平衡条件得：带入后解得;6-14结构由相同材料的杆件组成,横梁可视作刚体。若1、2杆的横截面积为A,线膨胀系数为,AB杆横截面积为2A,在F作用的同时,1、2杆温度升高T,AB杆温度不变,此时横梁已与AB杆接触,试求1、2杆之内力。解：取横梁作为研究对象,由竖向受力平衡得：分别对于每个杆件,他们的变形量再根据变形协调条件：联立以上方程,可解得：6-15一阶梯形钢杆,两段的横截面面积在时,将两杆固定,试求当温度升高至时,各段杆内的温度应力及C截面的位移。已知线膨胀系数。解：当温度升高至时,1、2两杆的伸长量设两杆中产生的轴力为F,则由轴力产生的压缩量由变形协调条件知,于是,得有轴力可以计算出轴向应力为针对AC杆,其由温度影响产生的伸长量为,有荷载作用产生的缩短量为于是,C截面的位移为6-16三根对称排列的竖杆,下端系一刚性横梁,两侧杆的横截面积,长L1=4m,中间杆的,三根杆的材料相同,且具有图示的弹性应力应变关系。试求在荷载F=50kN作用下的横梁的位移。答：=12mm解：此题为对称结构受对称荷载作用,因此受力和变形均对称,刚性横梁竖直向下平动.因此有:由题中条件可得以下三式:材料的应力应变关系如图所示,为折线,因此可以采用试算法.若三根竖杆的弹性模量均为100GPa,则长杆和短杆上作用的力最大为20KN和10KN,由竖向的受力平衡可知,不和题意。若三根竖杆的弹性模量均为20GPa,则长杆和短杆上作用的力最小为20KN和10KN。应变最小为由以上三式解得：,不合题意由于中间的杆件较长,当有同样变形量的时候应变较小,因此假设中间杆件的弹性模量为100GPa,而两侧杆件的弹性模量为20GPa。则由以上三式解得：则变形量6-17图示两端固定的受扭阶梯形圆截面杆,其中间段的直径为两边段的二倍,试求支反力偶矩。解：去掉B端约束,代之以反力偶,如图<b>所示。由受力平衡方程：则作扭矩图,如图〔c所示由物理关系知〔1〔2由几何关系知,〔3〔1〔2〔3〔4联立,解得：6-18试求图示结构中BD杆的轴力,已知梁AB与CD的抗弯刚度为EI,杆BD的抗拉刚度为EA。解：如图〔a所示,由几何关系知〔1如图〔b所示,CD杆上作用均布力及轴力,方向向上。单独作用均布力时,如图〔c所示〔2单独作用轴力时,如图〔d所示〔3则〔4如图〔e,AB上作用轴力,方向向下〔5〔4〔5代入〔1得〔6由物理关系知〔7〔6〔7联立,得6-19右端固结于能竖向方向移动的刚性滑块,滑块上有荷载P作用,试作此梁的弯矩图并求梁在其与滑块交接处的挠度。解：滑块B受到竖直向下的荷载P的作用,同时,由于右端为刚性墙壁,所产生的边界条件是杆件在B端的转角为零。当滑块只受竖向荷载作用时,所产生的挠度为而在B端产生的转角为由于右侧刚性墙的存在,相当于将滑块向相反方向转动了一个的角度。实际上是右侧的刚性墙对滑块施加了一个集中力偶的作用。当作用集中力偶时,自由端的转角为所以相当于右侧墙对杆施加了一个逆时针方向的力偶,大小为则产生的向上的挠度为于是,总的挠度6-20图示结构中,AB梁的抗弯刚度为EI,BC杆和BD杆的抗拉〔压刚度为EA,试求BC杆和BD杆的轴力。解：设BC、BD两杆的轴力分别为、取B节点为研究对象,由竖直方向的受力平衡得,B节点在荷载作用下产生的挠度为：而杆BD在荷载作用下的缩短量为：由变形协调条件有：于是,有6-21木梁ACB两端铰支,中点C处为弹簧支撑。若弹簧刚度k=500kN/m,且知L=4m,b=60mm,h=80mm,E=1.0MPa,均布荷载q=10kN/m,试求弹簧的支撑反力。解：设弹簧的支撑反力为F,则由叠加原理可得,梁跨中的挠度为而梁跨中的挠度刚好为弹簧的变形量,则其中:则将数据代入,可解得:6-22一悬臂梁在室温下,正好靠在光滑斜面上,梁的横截面面积为A,惯性矩为I,材料的弹性模量为E,线膨胀系数为,试求当温度升高度时,梁内的最大弯矩。解：由弯矩图可知：斜面光滑,且与水平面成荷载情况如图且有解得：6-23如图所示两梁相互垂直并在中点相互接触,设两梁材料及长度均相同,而截面的主惯性矩分别为,试求两梁所受荷载之比及梁内最大弯矩之比。解：设两梁接触处相互作用力为,则两梁情况分别如图<b>和图<c>因为两个梁中点相互接触,两个梁中点挠度应该是相等的即：而6-24图示结构,由于制造上的原因,DE杆的D点与B点之间有了一个误差,现将他们装配在一起〔即D点与B点重合,已知各杆的材料相同,长度均为L,横截面面积均为A,又已知EF杆的惯性矩I.试求：〔1DE杆的轴力〔2绘出EF杆的剪力图及弯矩图。解：设DE杆中的轴力为F.取B节点进行受理分析,根据节点的受力平衡可知:于是可以解得:则杆AB和BC的伸长量分别为和B点在竖直方向上的位移为对于杆DE和EF组成的结构,由于DE杆受拉,则D点在竖直方向的位移为则可以解得:第七章应力状态和强度理论7-1围绕受力构件内某点处取出的微棱柱体的平面图如图所示,已知该点处于平面应力状态,AC面上的正应力σ＝－14MPa,切应力为零,试从平衡方程确定σx和τx值。答：σx＝37.9MPa,τx＝74.2MPa解：利用公式求解代入数据得σx＝37.9MPa,τx＝74.2MPa7-2试绘出图示水坝内A、B、C三小块各截面上的应力〔只考虑平面内受力情况。A:B:C:7-3已知平面应力状态如图所示,已知σx＝100MPa,σy=40MPa,以及该点处的最大主应力σ1＝120MPa,试用应力圆求该点处的τx及另外两个主应力σ2,σ3和最大剪应力τmax。答：＝40MPa解：由应力圆分析可得是平面应力状态7-4已知平面应力状态一点处互相垂直平面上作用有拉应力90MPa和压应力50MPa,这些面上还有剪应力,如果最大主应力为拉应力100MPa,试求：上述面上的切应力；此平面上另一主应力；最大切应力平面上的正应力；最大切应力。答：<1>38.8MPa,<2>-60MPa,<3>20MPa,<4>80MPa解：利用应力圆求解7-5在受力构件的某点处的应力状态为如图a、b所示的两应力状态之和,图中的τ0为具有应力单位的已知量,试求该点处的主应力及主平面位置。答：σ1＝τ0解:由应力圆可得应力状态=====7-6在受力构件的某点处的应力状态为如图a、b所示的两应力状态之和,试求该点处的主应力大小及主平面位置。解：如<c>图,取,平面,其中,可画出相应的应力圆,如图<d>所示。由应力圆可得：,<c>中应力单元体表示的应力状态同<d>再与<a>应力状态叠加后的应力状态为图<f><f>图中,可以画出<f>状态下的应力圆为图<g>求得圆心坐标为MPaMPa7-7图示菱形单元体的各面上的切应力均为τ,σ＝0试用应力圆确定该点处主应力的大小、主平面位置,并求AB面上的应力。答：σ1＝3.73τ,σ2＝0,σ3＝－0.27τ,ɑ0＝－5ºσAB＝-0.238τ,τAB＝－0.347τ解：由应力圆知x方向对应的平面是A点AB平面为应力平面顺时针旋转10º所得应力圆上对应点为顺时针旋转20º7-8一平面应力状态如图示,试求主应力、最大切应力和主平面位置。解：,圆心正好在坐标轴圆点处,MPa,,MPaMPaMPa面为主平面之一7-9已知平面应力状态下一点处互成45º的面上作用着图示的应力,试求BC面上的正应力σ,并求该点处的主应力。答：σ＝40MPa,σ1＝130MPa,σ2＝30MPa解：利用公式求解代入数据得：解得：7-10围绕受力构件内某点处取出的微棱柱体的平面图如图所示,σy和ɑ角均为未知,试求该点处主应力和主平面位置。解：由<a>图,,面上应力由应力圆上两点,表示,如图<b>设应力圆圆心坐标为即圆心坐标为MPaMPaMPa7-11已知某点处截面AB和AC的应力如图所示。试求该点处的主应力及主平面位置。答：σ1＝70MPa,σ2＝10MPa解：利用应力圆求解7-12在处于平面应力状态的物体〔平行纸面的平面上无应力边界bc上,如果A点处的最大切应力为35MPa,试求A点处的主应力,画出主应力单元体。若在A点周围以垂直于x轴和y轴的平面截出单元体,试求单元体各面上的应力分量。答：σ1＝70MPa,σx＝44.8MPa,σy＝25.2MPa,τx＝33.6MPa解：由静力学平衡方程得;7-13一点处的应力状态如图所示。试求该点处的主应力及最大剪应力。答：<a>σ1＝σ2＝50MPa,σ3＝－50MPa,τmax＝50MPa；<b>σ1＝52MPa,σ2＝50MPa,σ3＝－42MPa,τmax＝47MPa；<c>σ1＝130MPa,σ2＝30MPa,σ3＝－30MPa,τmax＝80MPa解：〔a由于y平面上无切应力,因此此应力单元体的一个主应力取x、z平面分析应力状态〔如图I,根据图2所示应力状态做应力圆〔如图II由应力圆知,该单元体的另外两个主应力分别为,因此,且。同理：〔b图〔c图7-14已知单元体的应力圆如图所示,试绘出主应力单元体的受力图,并指出应力圆上A点所在平面的位置。7-15一钢质圆截面杆,直径d＝20mm,承受轴向拉力F＝40KN。试求A点处与轴线成30º方向的线应变,已知E＝210GPa,υ=0.28。答：ε＝4.127×10－4解：截面面积轴向正应力由应力圆知：7-16矩形截面粱的中点作用有集中力F,已知材料的剪切弹性模量G,试求粱中性层上一点K处沿图示45º方向的线应变。答：ε＝解：K点所受剪力为纯剪切状态中性层上的K点切应力应力圆如右图所示：由中性轴方向逆时针旋转45º对应的应力：7-17在图示粱的中性层A点处,从互成45º的两个应变片测得的线应变ε′和ε″,已知材料的弹性模量E和泊松比υ及粱的尺寸b 、h、L,试求荷载F。答：F＝解：A点为纯剪切状态A点切应力由应力圆知：7-18直径d＝30mm的圆轴承受水平面内的力偶M1及扭转力偶M2的联合作用。为了测定M1与M2,今在图示轴线方向和与轴线成45º方向贴上电阻片。若测得应变平均值分别是ε0º=5.00×10－4、ε45º＝4.26×10－4,并已知材料的E＝210GPa,υ=0.28,试求M1与M2。解：贴应变处应力单元体如图〔b所示其中由于由广义胡克定律得：kNm=kNm7-19某合金杆的截面直径为32mm,标距长度为100mm,当杆受到25kN的轴向拉伸荷载作用时,在标距长度内伸长量为0.014mm,而当杆受到T＝2.5kN•m的扭转力偶作用时,扭转角为1.63º,试求解材料的弹性常数E、G和υ。答：E＝222GPa,G＝85.4GPa,υ=0.3解：轴向拉伸扭转角:7-20橡胶正方立体D放置在刚槽中,在橡胶上放一块面积为A的刚性板S,其上施加力F以压缩橡胶,该橡胶在X方向不允许产生变形,沿Z方向可以自由变形,已知橡胶的弹性模量为E,泊松为υ,试求橡胶体D的应力和应变。解：取出单元体如图〔b由题意利用广义胡克定律则由于则广义胡克定律得7-21当边长为150mm的钢质立方体浸入300m深的海水中,试求其体积的减小值。已知材料的弹性模量为210GPa,泊松比为0.3。答：9.64mm3解：体应变：其体积的减小值为7-22今用电阻应变仪测得图示受扭圆轴表面上一点的任意两个互成45º角方向的应变值为：ε′＝3.25×10－4,ε″＝－5.63×10－4。已知：E=200GPa,μ=0.3,d＝10cm,试求作用在圆轴两端的扭转力偶矩m值。答：m=19.6kN•m解：因为只受扭矩作用,所以该轴处于纯剪切状态应力圆如图所示：代入数据得：7-23图示A点为二向应力状态,试用应力圆求三个主应力和最大切应力〔单位：MPa。答：σ1＝80MPa,σ2＝40MPa,σ3＝0,τmax＝40MPa解：画应力圆如图所示:7-24已知图示平面应力状态,σx＝28MPa,σy＝48MPa,材料的屈服极限σs＝200MPa,若采用第三强度理论,试问τ等于多少时,材料屈服？答：τ＝92.5MPa解：利用公式求解∴当等于92.5MPa时,材料屈服7-25试对铸铁零件进行强度校核,已知许用拉应力[σ1]=30MPa,μ=0.3,。危险点的主应力为〔单位：MPaσ1＝30,σ2＝20,σ3＝15；σ1＝29,σ2＝20,σ3＝-20；σ1＝29,σ2＝0,σ3＝-20答：<1>安全,〔2安全,〔3σr1安全,σr2不安全。解：∵铸铁是脆性∴采用第一、第二强度理论校核∴安全∴安全∴安全∴不安全7-26试对铝合金〔塑性材料零件进行强度校核,已知[σ]=30MPa,危险点的主应力为〔单位：MPaσ1＝80,σ2＝700,σ3＝-40；σ1＝70,σ2＝30,σ3＝-20；σ1＝60,σ2＝0,σ3＝-50；σ1＝0,σ2＝-30,σ3＝-100；σ1＝-50,σ2＝-70,σ3＝-160；σ1＝140,σ2＝140,σ3＝110；答：<1>安全,<2>安全,<3>安全,<4>安全,<5>安全,<6>不安全解：〔1∴不安全∴不安全〔2∴不安全∴不安全〔3∴不安全∴不安全〔4∴不安全∴不安全〔5∴不安全∴不安全〔6∴安全∴安全7-27用直径d=20mm的铸铁试件做扭转试验,已知当拉应力到达250MPa时材料发生断裂,试求试件断裂时所受的的扭矩M。答：0.393kN•m解：扭转时最外边所受切应力：由应力圆知最大正应力7-28图示油管,已知d=11mm,t=0.5mm,p=7.5MPa,材料的容许应力[σ]=100MPa,试用第三强度理论校核该油管的强度。答：σr3＝82.5MPa解：由公式知环向正应力轴向正应力径向正应力∴7-29一橡胶块,放置在10mm×10mm的刚性槽中。在橡胶上放一平板,在板上施加压力F。橡胶在x和y方向的变形受到限制。不计橡胶与槽壁之间的摩擦。如已知压力F作用下橡胶的变形为0.4mm,试求橡胶的主应力及相应的压力F。橡胶的弹性模量E＝8MPa,泊松比υ=0.47。答：σ1＝σ2＝－0.68MPa,σ3＝－0.77MPa,F=77N解：7-30圆杆如图所示,已知d=10mm,。〔1试求许用荷载[F]若材料为〔a钢材,[σ]=160MPa；〔b铸铁,[]=30MPa。〔2若对于铸铁圆轴,已知荷载F=2kN,E=100GPa,μ=0.25,试求圆轴表面上AB线段的线应变,并根据第二强度理论进行强度校核。答：〔1<a>9.82kN,<b>2.07kN；〔228.6MPa,安全解：〔1a：b：〔2∴安全7-31圆柱形铸铁容器的外径D=200mm,壁厚t＝20mm,已知材料的μ=0.25,[σt]=20MPa；[σc]=60MPa。在下列几种情况下,试校核其强度：只受内压p=4MPa；除p外,容器两端还有轴向压力F= 100kN；除p、F外,两端还有扭转力偶M＝4kN•m。解：⑴取表面上点作为研究对象,由圆筒及其受力的对称性可知,圆筒部分的横截面上各点处的正应力可认为相等,即可按轴向拉压计算其正应力,横截面的面积记为,于是,由图b即得为计算圆筒纵截面上的正应力,假想地截取一段单位长的圆筒,沿纵截面将其截开,并研究其上半部分〔图c,由于圆筒上、下部分的对称性,所以纵截面上没有切应力。可认为纵截面上各点处的正应力相等。而该段圆筒表面上的压力的合力,于是,由上半部分圆筒的平衡方程,即,解得,故,,,安全。⑵加上轴向压力后,变化,不变,下面计算,即,故,,安全。⑶加上力偶后,多了切应力,点处切应力,由应力圆得,,,安全。第八章组合变形及连接部分的计算8-1矩形截面简支梁其受力如图所示,试求梁截面上的最大正应力,并指出中性轴的位置。〔截面尺寸单位：mm答：σmax=12MPa解：将F分解成两个力对杆作用效果之和,,,,;则；由,.：8-2图示圆截面简支梁,直径d=200mm,F1=F2=5kN,试求梁横截面上的最大正应力。答：σmax=4.74MPa解：由于截面为圆形在可以用和弯矩求解,即求,且最大在截面2-2处,由图可知,则8-3图示悬臂梁,由试验测得εA=2.1×10-4,εB＝3.2×10-4,已知材料的E＝200GPa,试求P和β值。答：F=1.03kN,β=解：由已知,,又有得=875N,同理=535N则F=1.03kN,8-4图示圆截面轴在弯矩M和扭矩T联合作用下,由试验测得A点沿轴向的线应变为＝5×10－4,B点与轴线成45°方向的线应变为ε45°＝4.3×10－4。已知材料的E＝210GPa,υ＝0.25,[σ]=160MPa。试指出危险点位置,求出该点处的主应力值。按第三强度理论校核轴的强度。答：σ1＝141.8MPa,σ3=-36.8MPa,σr3=178.6MPa解：<1>A点危险,由图知对A点,；对B点,；由公式代入数据得再由得：〔28-5一水轮机大轴承受轴向拉力及扭转力偶的联合作用,为了用试验方法测定拉力F及力偶矩Me,在轴上沿轴向及与轴向成45°的方向贴电阻应变片,测得轴向线应变值＝25×10－6,45°方向线应变ε45°=140×10－6已知轴的直径D＝300mm,材料的E＝2.1×105MPa,υ＝0.28,试求F及Me。答：F=371kN,Me=113.9kNm解：圆轴外表面上任意一点处的应力状态如图〔b所示其中：〔1〔2由广义胡克定律<3><4>将〔1代入〔3得kN将〔2〔3代入〔4得kN8-6若正方形截面短柱的中间处开一切槽,其面积为原面积的一半,问最大压应力增大几倍？解：依题意可知1-1截面上内力如图〔b所示轴力弯矩此时不切时则即最大正应力增大7倍。8-7矩形截面的铝合金杆件受偏心压力如图所示。如杆侧面上A点处的纵向线应变为ε,材料的弹性模量为E,试求偏心压力F。答：解：由图知,,再由与上式联立得8-8图示矩形截面钢杆,由试验测得上、下边缘处的纵向线应变为εa=1×10-3,εb=0.4×10-3,已知E=210GPa,试求拉力F和偏心距e。答：F=18.38kN,e=1.785mm解：将F移至中心处并附加一个M使之作用效果不变M=Fe则,,,得,,得出F=18.38kN,e=1.785mm8-9矩形截面杆如图所示,其横截面宽度沿杆长不变,而杆的中段和左右段的高度分别为2a和3a,杆的两端受按三角形分布规律的拉力作用。试指出1－1和2－2截面应力分布有何不同？这两截面上的最大拉应力发生在何处,列出此应力的表达式。答：σ1max=p,σ2max=0.75p将三角形分布化简至距离底边处的一个集中力,则对截面1—1此集中力在截面的下处,而对截面2—2此集中力在截面中心处最大拉应力在下边缘处截面受力相同8-10框架结构中的AB杆由两根90×90×10的等边角钢组成如图所示。杆材料的容许应力[σ]=120MPa,若AB杆上除作用有横向力F外,杆内还有拉力FN=100kN,试校核此杆的强度。答：σLmax=112.1MPa,8-11厂房立柱受到吊车竖直轮压P=220kN,屋架传给柱顶的水平力Q=8kN,以及风荷载q=1kN/m的作用,柱子底部的截面尺寸为1m×0.3m,试计算柱底部危险点处的应力,并画出该点处的应力单元体。答：σt=0.41MPa,σc=1.87MPa解：有题可知在底面边缘处为危险点,则有8-12图示杆件的横截面为80×200mm的矩形截面,并在对称平面内承受荷载,试求横截面m—m上A点的正应力和切应力。答：σ＝240MPa,τ=22.5MPa解：由已知8-13图示均质圆截面杆AB承受自重,B端为铰支承,A端靠于光滑的铅垂墙上,已知、L、d。试确定杆内最大压应力的截面到A端的距离S。答：解：由受力分析,截面在x处受正压力由靠墙端产生的弯曲应力则令得8-14矩形截面杆受力如图所示,已知F1=60kN,F2=4kN,试求固定端截面处A、B、C、D四点的正应力。答：σA=―8.5MPa,σB=1.5MPa,σC=13.5MPa,σD=3.5MPa解：A点：由产生的正应力〔压由产生的正应力〔压则σA=―8.5MPa〔压,B点：由产生的正应力〔拉由产生的正应力〔压则σB=1.5MPa〔拉,C点：由产生的正应力〔拉由产生的正应力〔拉则σC=13.5MPa,D点：由产生的正应力〔压由产生的正应力〔拉则σD=3.5MPa〔拉8-15图示矩形截面杆,受偏心压力F1＝40kN,偏心拉力F2＝20kN,试求底部截面上A点和B点的正应力。〔截面尺寸单位：mm答：σA=19MPa,σB=1MPa解：A点：由产生的正应力由产生的正应力则〔压B点：由产生的正应力由产生的正应力则〔压8-16试画出图示截面的截面核心的大致形状。解：8-17图示为杆件的槽形截面,abcd为其截面核心,若有一与截面垂直的集中力F作用于A点,试指出此时中性轴〔零应力线的位置。8-18图示混凝土重力坝,其剖面为三角形,坝高h＝30m,混凝土的容重＝23.5kN/m3。若只考虑上游水压力和坝体自重的作用,要求在坝底截面上不出现拉应力,试求所需要的坝底宽度B和在坝底截面上产生的最大压应力。答：B＝19.36m,σymax=0.71MPa解：有水产生在A点的应力,有重力坝自身产生应力,令,得出B=19.36m,在B处最大正压力8-19图示正方形截面折杆,外力通过截面A和B的形心,若已知F＝10kN,截面边长60mm,试求杆内最大的正应力。答：σmax=135MPa解：由分析知道最大正应力在1—1和2—2相交处1—1和2—2上的轴向拉应力1—1和2—2上由弯矩产生的最大拉应力8-20正方形截面拉杆受拉力F＝90kN作用,a＝5cm,如在杆的根部挖去四分之一如图所示,试求杆内最大拉应力之值。答：σmax=300MPa解：最大应力在尖点处,由于受轴力截面上的应力为截面中性轴距边缘为,惯性距为则有偏心弯矩在尖点处产生的应力为则8-21受拉钢板原宽度b＝80mm,厚度t＝10mm,上边缘有一切槽,深a＝10mm,F＝80kN,钢板的许用应力[σ]=140MPa,试校核其强度。答：σmax＝163.3MPa解：对A—A截面8-22试求图示各杆指定截面A及B上的内力分量。解：〔aA截面上,;〔bB截面上,;〔cA截面上,;B截面上,;8-23有一曲拐如图所示,AB段为圆截面,直径为d,在AB杆端部及C点均受力F,材料的许用应力为[σ],试用第三强度理论求作用在AB杆上的F力许可值,并指出其危险点的位置。答：[F]＝解：由受力分析A处为危险点,,,则由第三强度理论[]=-=得出8-24图示构件AC段和BD段互相垂直,位于同一水平面内,两段材料相同,许用应力为[σ],横截面为相同圆形,直径为d,D端作用竖向荷载F,C端作用垂直于AC的水平荷载2F/3,指出危险截面位置,写出按第三强度理论建立的强度条件表达式。答：σr3＝解：由已知得危险截面在A截面的K点,且截面为圆形,可用合成弯矩求解,,,,由,所以.8-25两块钢板利用相同材料的两块盖板和十个铆钉连接,如图所示。已知钢材的[τ]＝120MPa,[σc]=300MPa,[σ]=160MPa,试校核此接头的强度。答：τ＝99.5MPa,σc=178.5MPa,σmax=162.3MPa解：由已知铆钉的横截面受力,则,对铆钉中间部分的受压面,对钢板在与两个铆钉在一条直线上的截面.8-26已知图示铆接钢板的厚度t＝10mm,铆钉的直径d＝17mm,铆钉的[τ]＝140MPa,[σc]=320MPa,试校核此接头的强度。答：τ＝105.8MPa,σc=141.2MPa解：对于铆钉的抗剪强度,对于铆钉的抗压强度.8-27图示铆接件中,已知铆钉直径d＝19mm,铆钉的[τ]＝140MPa,[σc]=320MPa,钢板的[σ]=100MPa,[σc]=200MPa,试求此连接件容许承受的最大荷载。解：题中铆钉只有一个剪切面,由截面法可得每个剪切面上的剪力为故,解得：,铆钉与结点板间相互的挤压力为,故,解得：,校核钢板的拉伸强度,取两根钢板一起作为分离体。其受力图和轴力图如图所示,需要验证m-m,n-n截面的强度。m-m截面：,解得：,n-n截面：,解得：,所以此连接件容许承受的最大荷载为。8-28两块塑料板条用胶粘结如图所示,已知粘结面材料的许用切应力[τ]＝0.4MPa,F=30kN,试按粘接面的剪切强度求拼接板必需的长度L。答：L＝250mm解：由于用两块拼接板粘贴,所以每个站贴面受力为,当达到许用应力时有,得出L＝250mm.8-29图中所示为一个通过销钉来传递拉力的接头,被连接杆的直径为D。如果销钉的容许切应力为杆的最大拉应力的一半,试问销钉的直径d应为多大？答：d＝D解：由已知可得式,得出d＝D8-30图示尺寸相同的两根矩形截面梁叠置在一起,其一端固定,另一端用螺栓将梁连成一个整体,此梁受集中荷载F作用。如螺栓的容许切应力为[τ],试求螺栓在剪力作用下不致剪断时所需的直径d。解：由题意得,作用力左端的梁上各处剪力大小均为,故由切应力互等定律得中性层上的切应力为：,题中铆钉只有一个剪切面,由截面法可得剪切面上的剪力为：,由于螺栓的容许切应力为,故,解得：。8-31图示钢板受到由销钉传递的拉力。试写出钢板的〔长度单位：mm：受剪面面积As,剪力Fs；挤压面计算面积Abs,挤压力Fbs；危险受拉截面面积A,轴力FN。答：<a>75mm2,2F；<b>50mm2,2F；<c>80mm2,2F解：〔a受剪面面积,剪力,〔b挤压面计算面积,挤压力,〔c危险受拉截面面积,轴力。第九章压杆稳定9-1由五根圆截面钢杆组成的正方形平面桁架,杆的直径均为d＝40mm,材料的弹性模量E=200GPa,a=1m,试求使结构到达临界状态时的最小荷载。如F力向里作用,则最小荷载又是多少？答：Ft=124kN,Fc=350.2kN解：当F为拉力时,长杆为的杆受压由静力学平衡方程可知该杆所受压力为F当F为压力时,长为a的杆受压由静力学平衡方程可知该杆所受压力为9-2如图所示细长杆,试判断哪段杆首先失稳。答：〔d解：最小∴d杆最容易失稳9-3试求图示压杆的临界力,材料是HPB235。答：Fcr=19.7kN解：一端为自由端,一端为固定端,则CC因为最容易失稳的方向是惯性矩最小的方向所以9-4两端为球铰的压杆的横截面为图示各种不同形状时,压杆会在哪个平面内失稳〔即失稳时,横截面绕哪根轴转动？答：最易失稳方向即惯性矩最小方向,也即形心主惯性轴方向对于圆来说,各个方向的的惯性矩都相同,所以各个方向失稳容易程度相同对于正方形来说：对于长方形：对于等边三角形：对于等腰三角形：对于工字钢：不等边角钢：