2022-2023学年苏教版选择性必修第一册 5.3.2　极大值与极小值 课件（40张）

5.3.2极大值与极小值第五章内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标课标要求1.了解函数极值的概念,结合图象直观理解函数的极值与导数的关系;2.掌握函数极值的判定及求法;3.掌握函数在某一点取得极值的条件.基础落实•必备知识全过关知识点1

函数极大(小)值的概念一般地,若存在δ>0,当x∈(x1-δ,x1+δ)时,都有

,则称f(x1)为函数f(x)的一个极大值,x1称为函数y=f(x)的极大值点;类似地,若存在δ>0,当x∈(x2-δ,x2+δ)时,都有

,则称f(x2)为函数f(x)的一个极小值,x2称为函数y=f(x)的极小值点.函数的极大值、极小值统称为函数的极值,极大值点、极小值点统称为极值点.

函数的极值是函数的局部性质f(x)≤f(x1)

f(x)≥f(x2)名师点睛1.极值是一个局部概念.由定义知,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小.2.函数的极值不是唯一的,即一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个.3.极大值与极小值之间无确定的大小关系.在某一点的极小值也可能大于另一点的极大值,即极大值不一定比极小值大,极小值也不一定比极大值小.4.函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点.5.若函数在极值点处存在导数,则这点的导数为0,但导数为0的点可能不是函数的极值点.也就是说,若f'(c)存在,则“f'(c)=0”是“f(x)在x=c处取到极值”的必要不充分条件.6.若f(x)在区间(a,b)内有极值,则f(x)在(a,b)内一定不是单调函数,即在某区间上单调的函数没有极值.7.如果函数f(x)在[a,b]上连续且有极值,那么它的极值点的分布是有规律的.相邻两个极大值点之间必有一个极小值点,同样,相邻两个极小值点之间必有一个极大值点.一般地,当函数f(x)在[a,b]上连续且有有限个极值点时,函数f(x)在[a,b]上的极大值点、极小值点是交替出现的.过关自诊1.如图是某处群山的截面图,你能指出山峰、山谷吗?提示

在x1,x3,x5处是山峰,在x2,x4处是山谷.2.函数的极大值一定大于极小值吗?提示

不一定.举反例:如图所示,极大值f(x1)小于极小值f(x2).知识点2

函数的极值与导数的关系

可导函数f(x)在点x=x0处取得极值的充要条件是f'(x0)=0且在x=x0两侧f

'(x)符号相反(1)极大值与导数之间的关系xx1左侧x1x1右侧f'(x)f'(x)

0

f'(x)

0

f'(x)

0

f(x)↗极大值f(x1)↘(2)极小值与导数之间的关系

xx2左侧x2x2右侧f'(x)f'(x)

0

f'(x)

0

f'(x)

0

f(x)↘极小值f(x)↗>=<<=>过关自诊判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)导数为0的点一定是极值点.(

)(2)函数y=f(x)一定有极大值和极小值.(

)(3)函数f(x)=有极值.(

)(4)在可导函数的极值点处,切线与x轴平行或重合.(

)×××√重难探究•能力素养全提升探究点一求函数的极值角度1不含参数的函数求极值【例1】

求下列函数的极值:(1)f(x)=(x3-1)2+1;(2)f(x)=+3lnx.解

(1)∵f(x)=(x3-1)2+1=x6-2x3+2,∴f(x)的定义域为R,f'(x)=6x5-6x2=6x2(x3-1).令f'(x)=0,得x=0或x=1.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:∴当x=1时,f(x)有极小值,为f(1)=1,f(x)无极大值.x(-∞,0)0(0,1)1(1,+∞)f'(x)-0-0+f(x)↘2↘1↗x(0,1)1(1,+∞)f'(x)-0+f(x)↘3↗从表中可以看出,当x=1时,函数f(x)有极小值,为f(1)=3,f(x)无极大值.规律方法

求可导函数f(x)的极值的步骤

变式训练1求函数f(x)=x2e-x的极值.

解

函数f(x)的定义域为R,f'(x)=2xe-x+x2·e-x·(-x)'=2xe-x-x2·e-x=x(2-x)e-x.令f'(x)=0,即x(2-x)·e-x=0,解得x=0或x=2.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x(-∞,0)0(0,2)2(2,+∞)f'(x)-0+0-f(x)↘0↗4e-2↘因此当x=0时,f(x)取得极小值,且极小值为f(0)=0;当x=2时,f(x)取得极大值,且极大值为f(2)=4e-2=角度2含参数的函数求极值【例2】

已知函数f(x)=x-alnx(a∈R).(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程;(2)求函数f(x)的极值.①当a≤0时,f'(x)>0,函数f(x)在(0,+∞)上是单调递增的,函数f(x)无极值;②当a>0时,由f'(x)=0,解得x=a,∵x∈(0,a)时,f'(x)<0,x∈(a,+∞)时,f'(x)>0,∴f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a-aln

a,无极大值.综上,当a≤0时,函数f(x)无极值;当a>0时,函数f(x)在x=a处取得极小值a-aln

a,无极大值.规律方法

讨论参数应从f'(x)=0的根的个数与大小入手进行.变式训练2已知函数f(x)=(x2+ax-2a2+3a)ex(x∈R),当实数a≠时,求函数f(x)的单调区间与极值.解

f'(x)=[x2+(a+2)x-2a2+4a]ex.令f'(x)=0,解得x=-2a或x=a-2,由a≠知-2a≠a-2.分以下两种情况讨论:①若a>,则-2a<a-2.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x(-∞,-2a)-2a(-2a,a-2)a-2(a-2,+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗极大值f(-2a)↘极小值f(a-2)↗所以f(x)在(-∞,-2a),(a-2,+∞)上是单调递增的,在(-2a,a-2)上是单调递减的,函数f(x)在x=-2a处取得极大值f(-2a),且f(-2a)=3ae-2a,函数f(x)在x=a-2处取得极小值f(a-2),且f(a-2)=(4-3a)ea-2.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x(-∞,a-2)a-2(a-2,-2a)-2a(-2a,+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗极大值f(a-2)↘极小值f(-2a)↗所以f(x)在(-∞,a-2),(-2a,+∞)上是单调递增的,在(a-2,-2a)上是单调递减的,函数f(x)在x=a-2处取得极大值f(a-2),且f(a-2)=(4-3a)ea-2,函数f(x)在x=-2a处取得极小值f(-2a),且f(-2a)=3ae-2a.综上,当a>时,f(x)的增区间为(-∞,-2a),(a-2,+∞),减区间为(-2a,a-2),f(x)的极大值为f(-2a)=3ae-2a,f(x)的极小值为f(a-2)=(4-3a)ea-2;当a<时,f(x)的增区间为(-∞,a-2),(-2a,+∞),减区间为(a-2,-2a),f(x)的极大值为f(a-2)=(4-3a)ea-2,f(x)的极小值为f(-2a)=3ae-2a.探究点二利用函数极值确定参数的值【例3】

(2021山西运城期中)已知函数f(x)=x3+2ax+b在x=-2处取得极值.(1)求实数a的值;(2)若函数y=f(x)在[0,4]上存在零点,求实数b的取值范围.解

(1)f'(x)=3x2+2a,f(x)在x=-2处取得极值,∴f'(-2)=12+2a=0,∴a=-6.经验证a=-6时,f(x)在x=-2处取得极值.故a=-6.(2)由(1)知f(x)=x3-12x+b,f'(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2),将x,f(x),f'(x)在[0,4]内的取值列表如下:x0(0,2)2(2,4)4f'(x)--0++f(x)b↘极小值b-16↗b+16∴-16≤b≤16.即实数b的取值范围是[-16,16].规律方法

已知函数极值,确定函数解析式中的参数时,注意两点:(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解;(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证充分性.变式训练3已知函数f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在x=±1处取得极值,且f(1)=-1.(1)求常数a,b,c的值;(2)判断当x=±1时函数f(x)取极大值还是极小值,试说明理由,并求出极值.解

(1)f'(x)=3ax2+2bx+c.∵函数f(x)在x=±1处取得极值,∴x=±1是方程f'(x)=3ax2+2bx+c=0的两根,当x<-1或x>1时,f'(x)>0,当-1<x<1时,f'(x)<0,∴函数f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递增,在(-1,1)上单调递减,∴当x=-1时,函数取得极大值f(-1)=1,当x=1时,函数取得极小值f(1)=-1.探究点三极值的综合应用【例4】

已知函数f(x)=x3-3x+a(a为实数),若方程f(x)=0有三个不同实根,求实数a的取值范围.解

令f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)=0,解得x1=-1,x2=1.当x<-1时,f'(x)>0;当-1<x<1时,f'(x)<0;当x>1时,f'(x)>0.所以当x=-1时,f(x)有极大值f(-1)=2+a;当x=1时,f(x)有极小值f(1)=-2+a.因为方程f(x)=0有三个不同实根,所以y=f(x)的图象与x轴有三个交点,故实数a的取值范围是(-2,2).规律方法

利用导数可以判断函数的单调性,研究函数的极值情况,并能在此基础上画出函数的大致图象,从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点个数,从而为研究方程根的个数问题提供了方便.变式探究1本例中,若方程f(x)=0恰有两个根,则实数a的值如何求解?解

由例题,知函数的极大值f(-1)=2+a,极小值f(1)=-2+a,若f(x)=0恰有两个根,则有2+a=0或-2+a=0,所以a=-2或a=2.变式探究2本例中,若方程f(x)=0有且只有一个实根,求实数a的取值范围.解

由例题可知,要使方程f(x)=0有且只有一个实根,只需2+a<0或-2+a>0,即a<-2或a>2.故a的取值范围为(-∞,-2)∪(2,+∞).

本节要点归纳1.知识清单:(1)函数极值的定义;(2)函数极值的判定及求法;(3)函数极值的应用.2.方法归纳:方程思想、分类讨论.3.常见误区:容易混淆为导数值等于零时函数取极值.学以致用•随堂检测全达标1.已知函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,则函数f(x)有(

)A.两个极大值,一个极小值B.两个极大值,无极小值C.一个极大值,一个极小值D.一个极大值,两个极小值答案

C解析

由图可知导函数f'(x)有三个零点,依次设为x1<0,x2=0,x3>0,当x<x1时,f'(x)<0,当x1<x<0时,f'(x)>0,所以函数f(x)在x=x1处取得极小值;当x1<x<x2时,f'(x)>0,当x2<x<x3时,f'(x)>0,所以函数f(x)在x=x2处无极值;当x>x3时,f'(x)<0,所以函数f(x)在x=x3处取得极大值,故选C.2.(多选题)已知函数f(x)=2x3+ax2+36x-24在x=2处有极值,则该函数的一个增区间是(

)A.(-∞,2) B.(3,+∞)C.(2,+∞) D.(-∞,3)答案

AB解析

∵f'(x)=6x2+2ax+36,f(x)在x=2处有极值,∴f'(2)=0,即24+4a+36=0,解得a=-15,∴f'(x)=6x2-30x+36=6(x-2)(x-3),由f'(x)>0得x<2或x>3.3.函数f(x)的定义域为R,它的导函数y=f'(x)的部分图象如图所示,则下面结论错误的是(

)A.在(1,2)上函数f(x)是单调递增的B.在(3,4)上函数f(x)是单调递减的C.在(1,3)上函数f(x)有极大值D.当x=3时,函数f(x)取得极小值答案

D解析

根据导函数图象知,x∈(1,2)