数学专题三 以数列与不等式相结合的综合问题为解答题

11专题三压轴解答题数列与不等式交汇主要以压轴题形式出现试题还可能涉及到与导数函数等知识综合一起考查主要考查知识重点热点是数列的通项公式前n项和公式以及二者之间的关系、等差数列和等比数列、归纳猜想、数学归纳法、比较大小、不等式证明、参数取值范围的探求在不等式的证明中要意放缩法的应用此类题型主要考查学生对知识的灵活变通、融合与迁移，考查学生数学野的广度和进一步学习数学的潜能近年来加强了对递推数列考查的力度，这点应当引起们高度的重视预计在高考中，比较新颖的数列与不等式选择题或填空题一定会出现数解答题的命题热点是与不等式交汇呈现递推关系的综合性试题．其中以函数与数列、等式为命题载体，有着高等数学背景的数列与不等式的交汇试题是未来高考命题的一个新亮点命题的冷门则是数列与不等式综合的应用性解答题．类型一求数列中的最值问题典例1已知数列

是递增的等差数列，n

a2

，

a，a，a13

成等比数列.（1求数列n

的通项公式；（2若

n

，数列

n

的前

项和

，求满足S

的最小的

的值【解析（1）设

的公差为

（

，由条件得

a{ad，{1d

∴an

.（2）bn

nn

1nn

nn∴

n

11111n332n2n

.由

3nn

得

n

.∴满足

S

的最小值的3【名师指点】求解数列中的某些值问题，有时须结合不等式来解决，其具体解法有：建立目标函数，通过不等式确定量范围，进而求得最值首先利用不等式判断数的单调性，然后确定最值；(3)利用等差数列或等差列的特征来求．【举一反三】已数列a中n

1

nn（Ⅰ）求n

的通项公式

；（Ⅱ）数列n

满足b

n

，数列

n

的前项为，若不等式

对一切N

*

恒成立，求的取范围．【解析（Ⅰ）证明：

N*

，得

anaannn11a2a2n

，所以数列

11以3为比，以为首项的等比数列，a22从而

132a223nn

；（Ⅱ）

n111Tn1222nT112n

，两式相减得T1102122n2T

若为偶，,n若为奇，

类型二求有数列参与的不等式恒成立条件下参数问题典例2已知n

为等差数列，且

a42

，其前8项和为52，

项均为正数的等n比数列，且满ba1

4

，

.（1求数列n

和

n

的通项公式；b（2）令2nb

，数列

项和为，对任意正整数n，都有nTnn【解析】

成立，求实数的值范围.（1设等差数列

的公差为n

，由题意{

a28d

，{

d4ad

，解{

，所以n

．设各项均为正数的等比数列bn

的公比，则{

2

，解{2

，23,23,所以

b

2

．（2由（1）可n所n

n2nnn2n

12

111114nn

2

．所nn

1n

，因为对任意正整数，都有nn

成立，即

1

对任意正整数n恒立，

1

，所以

.故实数的取值范为．【名师指点】求解数列与不等式结合恒成立条件下的参数问题主要两种策略：(1)函数f

在定义域为D，当x，有fM成立x

min

；f立f式，再通过解不等式解得．

M

；(2)用等差数列与等比数列等数列知识化简不等【举一反三】

已知数列a}满足a=3且a﹣3a=3n∈N数列b}满足b=3n1nnn

a

n

．（1求证：数{b是等差数列；na（2设1234

，求满足不等式

S1S2

的所有正整数n的n12nn2n12nn2值．【解析（1）证明：由b=3﹣nn

a得=3b，则a=3b．nnnn+1n+1代入a

n+1

﹣3a=3nn

中，得3n+1

b

n+1

﹣3n+1

b=3n即

。所以数列b}是等差数列．n（2解：因为数{b}首项为b=3﹣1n1

a=1，公差为等数列，则

n

则

a

n=3nn=（n+2）×3n﹣1．从而有nn。故sn

aaan134则

Sn

31，得3S12

.即＜3＜127，得1＜n≤4．故满足不等式的所有正整数n的值为，3，4类型三数列参与的不等式的证明问题典例3已知an

是等比数列，满足

，且,aa

成等差数列.（1求

的通项公式；n（2设nan

n

数列

项和为S，g

2S

*

，求正整k的值，使得对任n均有

.【解析（1）设数列n

的公比

，则由条件得：

34

，又则2

，因

2

0

，解得：q，

.（2由（Ⅰ）得：nan

，nnn则

①2

②①-②得：

2

21

n

n

，所以nn

n

则

2S

，则

n

n

N

*

由n

22

29n2n2得：当

9n2

；当

9nn

；所以对任意，

n

*

均有

【名师指点】此类不等式的证明用的方法(1)较法；分析法与综合法，一是利用分析法分析，再利用综合法分(3)缩法，主要是通过分母分子的扩大或缩小、项数的增加与减少等手段达到证明的的．【举一反三】已数列

n

满足：

a1

.（1证明数列

b比列，并求数列n

n

的通项；（2设

cnnnn

，数列

项和证：nn

.【解析（1）解：由aannn

，代入得：bn

n

，化简得：bn

，比数列，n，b1n

，进而有

a

．1（2证明：由于naaann

，111111111111所以

1111aaa3

111aaaa．在项等差数列n

中，其前

项和为

,12,an3

5

.（1求

；（2证明：

113S1

.【解析（1）{

333

{

a2nn（2）

n

11Sn2

SS2nn412n当时

，

取最大值SS21

综上：

113SSS12．已单调递增的等比数列n（1求数列的通项公式；n

满足

a28，且是与a的等差中项.2424（2若balog，n1n

i

.S

及使

成立的最小正整数的2

i值.【解析（1）设此等比列首项为a1

，公比，中a，q，由题意知：aqq2q2811

，q，11nn5nn5得

6

aq

aq

，即2qq∵等比数列a单调递增，

，q

，∴

，2n

.（2①

b

2

，∴

n13设

T

，则

，得

3n

n

，∴n2n

n

，②要使

成立，即50，即

，∵2426

，23226

，且

y

是单调递增函数，∴满足条件的的最小值为5.．设差数列

的前n

项和

，且

56

.（1求a的通项公式；n（2若不等式2n27

4

对所有的正整都立，求实k的取值范围.【解析Ⅰ）公差为

d

，则

add25

，

a1

．∴an

的通项公式为

an

．（Ⅱ

S

3n2

，

2Snn

，an

；则原不等式等价于

k

对所有的正整数

都成立．∴当n为数时，

k

；当n偶数时，

恒成立又

，当且仅n时等号，所以当n为数时，

的最小值为7，当

为偶数时，

n

时，

的最小值为

，∴不等式对所有的正整数都成立时，实数k的值范是

．已单调递增的等比数列n

满足

a2824

，且

是

与

的等差中项.（1求数列n

的通项公式；（2若balogn1

n

，

Lbn23n

，2①求S

；②求使

成立的最小正整数

的值.【解析（1）设此等比列首项为a1

，公比

，其中

，q0

，由题意知：aqq11

2

q1

3

28，q1

得

6

aq

aq

，即2qq∵等比数列a单调递增，n

，q

，∴

，2n

.（2①

2

，∴

n13

，则2T

，1得

，∴n2n

，②要使50

成立，即

n

n

50，即

，∵

4

，2

5

32，且y是单调递增函数，∴满足条件的的最小值为5.．等数列an

和等比数列

n

的各项均为正整数，且

ab的前n项和为，1数列bn

是公比为的等比数列，

b2

.（1求a,bn

；3（2求证S41

.【解析设

的公差为n

，

比n

则

都是正整数，

n

，

b3依题意{S2

①注意

为正整数，可{

，所以nnn

n（2n∴

1111SS12312

11111112n

.6.已知数列a

是公比为

的等比数列，是和的等差中项．3(I)an

的通项公式；1c1c(Ⅱ)设数an

的前

项之积为

T

，求

T

的最大值．【解析（Ⅰ）因为

是

a1

和

的等差中项，所以2a213

．因为数{}n

是公比为

的等比数列，所以

1a

，解得a1

．所以an1

n

n．（Ⅱ）令n

1

，即

，得n，故正项数{}的前项大于1，项等于1，以后各项均小于1．n所以当，时

取得最大值，T

的最大值为

T33

．．已数列n

的前项和为s，点,nn

在曲线y

x2x

，上数列

nbn

n

，

，

项和为．n（1求an

，

项公式；n（2设

n

nn

，数列

的前n

项和为

T

，求使不等式T

恒成立的最大正整的值．【解析（1）由已知得

S

5，当时，22

，当

n

1时，nn2

，当时，符合式，所以an

2

.因为数列n

满足

bn

n

，所以

n

为等差数列

设其公差为

d

.2121是单调递增的，故{

d1115bb1

，解{2

，所以

b

.（

2）

由

（1）

得，C

n

2n242n

，T

11115nn42n

，因T

122nn

，所以是增数列所1所以，最大正整数的值为.

kk，恒成立要6

恒成立．已知数列

的前n项和为S,且

,又数n(Ⅰ)求数

的通项公式；(Ⅱ)当何值时数列

b是等比数列？并求此时数列b的n的取值范围．【解析（Ⅰ）由

，当时，

a；当n时，

故数列

的通项公式为a

(Ⅱ)由

n有n

则数列

为等比数列，则首项为

满n的情况，

，则

而

1

1,2

3331aa23nn6113331aa23nn6111112．在等比数n

a3

．（1求数列n

项公式；（2设blogn

2

2n

，且

n

为递增数列，若

n

n

，求证：c1

．9【解析（1）∵a,S，∴

31213a2

q1，∴

a或ag2

n

．（2由题意知log

n

n

log2

，∴

cn

11n4nn

，∴c134223nn4n4．．已数列a}是等数列，首项a=1，比q＞0，其前n项为，且S+a，n1n11S+a，S+a成差数列．3322（Ⅰ）求数列a}的通项公式；n（Ⅱ）若数列{b满足n

a

，T为数列b}的前n和若恒成立，mnn2212212212212的最大值．【答案（Ⅰ）

a

（Ⅱ）．【解析】试题分析（Ⅰ）因为1

，

，S

2

成等差数列，所以3312

所以

4aa3

因为数列

n

等比数，所1341

2

，又q0

，所以q

，所以数列

的通项公n

n

；（Ⅱ因m

恒成立所以只需

Tmin

即可（Ⅰ知

又

a

，所bn

，利用错位相减法即可求得数列

n

的前

项和

T

，通过

Tn

n

的正负确

的单调性，进而求得

T

的最小值，即可求得的大值．试题解析（Ⅰ）因为S，，S12

2

成等差数列，所以

S3312

，所以S31

2

a32

，所以43

，因为数列n

是等比数列，1所以q41

2

，又q所以

，所以数列n

的通项公式

；（Ⅱ）因

恒成立，所以只需

n

即可，由（Ⅰ）知

a

，又

a

，所b

，12n

n

，2n

n所以

2

3

n

0

1

2

n

n

n

Tn

所以

T

n所以

T

所n

n所以T是递增数列n所以n

1所以

所以的最大值为

【四省绵阳市南山中学届高三二诊热身】已知等差数列an

中，公差d，且,,a11

成等比数列.（1求数列n

的通项公式；（2若

为数列

1aa

的前项和，且存

n

*

，使得

T0nn

成立，求的取值范围【解析】（1由题意可得{

1

77d35,2d11

{

a2da又因为，所以{

所以n

1

.aanaan（2因为

n

1，所以nnT

11n.34n22因为存N*使n

a

n

成立所以存N

*

使得

成立，即存nN*，得

成立又

n2

114162nnn

（当且仅当

n

时取等号）所

，即实数的取值围是

.【四省广安、眉山届业班第一次诊断性考试】已知数列an

的前项和为1

，且

（1求数列n

的通项公式；1（2设数列前项和为

，求满足不等的最小正整数.【解析（1）由

S

a

n

n

，又

a1

，所以时nn

n

n

a21

2

.当时，也满足an

2

，所以数列a的通项公式为

an

2

n

.（2由（1）知

21n

，23n23nnn13nnn＋11b2nnn2nnnnnn所T1