考研数学押题讲义线性代数

【1】A,B为3阶相似非空矩阵，A(aij),满足aijAij(i,j1,2,3),Aij是aij的代 |E2B||E3B|0，则|A*E ,|BE aA知ATA*AATAA*|A| 又因为,A0,不妨假设a11|A||A|a a a 11 12 13

0|A|A~B|B|1,|E2B||E3B|0得B的特征值111,所以AB的特征值为11

12 A*E的特征值为11121

|A*E|7,|BE|3(4)5

【2

|AEAA33AA(,A,A2)(A,A2,A3)(A,A2,3A2A2)(,A,A2) 00 003记PA),则P可逆，APP21 3, 0P1AP 3B,A~|EB|(1)(所以A的特征值为|AE|212【3

(2)2A (3)A (4)A( (AE)23(A

A24AE0，故令f(xx24xAdE是否可逆判别方法是：如果d不是f(x)的零点,则AdE因f(010，f(1)30，f(23，f(11416则(1)(2)(3)(4) 【4

设A为n阶矩阵，且A22A,下列结论中不正确B.AEC.AED.A3E【5

AB33将A的第1行的2倍加列第3行上得到矩阵A1, 0,则AB 1 1 PP10100,P1201000，则APAB1 2P1101002000, 12100，则AB A,B111 174307【6

| 0，则C* B BCC*|B| 0|A|B* B*0【7已知向量(2,12)T,(1,3,1)TE是3阶单位矩阵，如果ABT，B2BT，B23B,(AE)23(AE)A11(5EA)144166【8】A是3阶，满足A2E但AEA.R(AE)B.R(AE)C.[R(AE)2][R(AE)]D.[R(AE)1][R(AE)1]【9

,

0,

若RARBRCRDm，则m的取值范围是①因A0，D0，故RA1RD1因此mRARBRCRD

0,

0,RBRC因此RABRCDRARDm44【10】已知是AX0的基础解系，则基础解系还可以 A．12，23，3B．12，23，34，4C．12，23，34，4D．12，23，34，4 【12

设mn阵A经过有限次初等行变换后得到矩阵B则以下4个命A与B的行向量组等AB的列向量组等(3ATAxBTBx0同解 a【13】A 1，只有一个线性无关的特征向量，则A的特征值 1 1【】f(x,x,x)(xx)(xx)2(xx3)2的正惯性指数为 fx22xxx2x2x22xxx2x 1 2x22x22x22xx2xx2x 1 1

2x1 A 1，特征值为0 2 2 (A).A

CA3 【16】已知a 0是正定矩阵， c a1,b2,ca1,b1,ca3,b1,cD)a1,b3,c b【17】A

d只有一个线性无关的特征向量，则|A2E| 3 【19

x)2(xax 1 2 n1 n 1 2 n1 n.ai0.a1a21 1 1 1 RA3E)证A 0 1 0 【2】证明A 1和B0 0

0

2 求判断A是否可以相似对角若A不能相似对角化，求A的特征值和特征向 1 【4

f(x,x,x)xTAx的矩阵满足 6,ABC,其中B -1,C 12

1 【5

9 1 ,b18,Axb有通解=2+k1k0,求A，并证明A100999

1 2

0

1】 【7已知f(x1x2x3)2x2ax2bx24x1x24x1x38x2x xpy变为f(xxx)y2y210y2求ab和正交矩阵 【9

0

1A |A

2 2 0 00【10

A 1 2 )【11】A[aij]n*n是对称矩阵，R(A)n,Aij是|A|的元素aij的代 式 f(x1,x2,...,xn)

Aijxji1jj

|A|记x(xxx)T把f写成矩阵形式并证明：二次型f的矩阵为A- g(xxx)xTAx与f(xxx)规范形是否相同，说明理由 【12】A为3阶对称矩阵A|12且A的三个特征值的和为1又1,02)T(3A1EX 的一个解求(2)(2A1EX0的通【13】𝑨𝒎×𝒏𝑿𝒏×𝒔=𝑿𝒎×𝒔有解的充要条件是𝒓𝑨, =现有𝑨

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