2021年北京市朝阳区高考数学二模试卷(解析版)

A．2A．2B．C．D．3一、选择题（共10小题）.在复平面内，复数z＝（1﹣i）2+1对应的点位于（ ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象2．下列函数是奇函数的是（ ）3＝1的一个焦点为（﹣2，0），则双曲线C的一条渐近线方程为A．＝cox B．＝2 C．＝l3＝1的一个焦点为（﹣2，0），则双曲线C的一条渐近线方程为A．A．x+y＝0B．x+y＝0C．x+y﹣1＝0D．x+y﹣1＝04．已知函数f4．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（x）的表A．B．C．D．A．B．C．D．的面积中，最大的是（ ）6．设x＞6．设x＞0，y＞0，则“x+y＝1”是“xy≤”的（）

必要而不充分条件DA．B．C．D．某地对生活垃圾使用填埋和环保两种方式处理该地2020年产生的生活垃圾为20万吨其中15万吨以填埋方式处理万吨以环保方式处理．预计每年生活垃圾的总量比前一年增加1万吨，同时，因垃圾处理技术越来越进步，要求2021年起每年通过环保方式处理的生活垃圾量是前一年的q倍若要使得2024年通过填埋方式处理的生活垃圾量不高于当年生活垃圾总量的A．B．C．D．8．若圆O：8．若圆O：x2+y2＝1上存在点P，直线上存在点Q，使得 ＝，则实数A．[，]B．[﹣，]C．{﹣，}D．{﹣，}1 n A＝{1，2，3，4，5}B，B，…，B（n∈N*1 n i 1 3为集合B（i＝1，2，3，…，n）中的最大元素，则b+b+bi 1 3A．10 B．40 C．45 D．50已知抛物线CFl2，点Pl上的动点．若点A在抛物线A．2B．6C．D．2C上，|AF|＝5，过点A作直线PF的垂线，垂足为A．2B．6C．D．211．已知向量＝（2，m），11．已知向量＝（2，m），＝（﹣1，2），且+2 ＝，则m＝．13．已知sinα＝，则sin（2α+）＝．n 2 5 3 5 7 12．在等差数}中，已知a＝5，a＝2，则13．已知sinα＝，则sin（2α+）＝．n 2 5 3 5 7 是偶函数，则a＝；若函数y＝g（f（x））存在两个零点，则a的一个取值是．“S”型函数是统计分析、生态学、人工智能等领域常见的函数模型，其图象形似英文0.5毫升培养液中放入5y（单位：个）与时间t（单位：小时）的关系近似为一个“Sy＝f（t）＝f（t）＝（t≥0）的部分图象如图所示，f′（t）①对任意①对任意1（2439142（249'＞；②对任意1（23（914存在2（296使得' 2＝；③对任意③对任意2（2910243（914（2＞；④对任意2（29存在123914使得' 2＝．16．在△ABC中，b2+16．在△ABC中，b2+c2﹣a2＝bc．（Ⅱ）3csinA（Ⅱ）3csinA＝asinB，且△ABC的面积S＝2c的值．2022年冬奥会，某地区高一、高二年级学生参加了冬奥知识竞赛．为了解知识竞赛成绩优秀（不低于85分）1520（100得分均为整数），[85，90），[90，95），[95，100]分组．（Ⅰ）从抽取的高二年级学生样本中随机抽取一人，求其得分不低于90分的概率；（Ⅱ）从该地区高二年级参加知识竞赛成绩优秀的学生中随机抽取3390X的分布列及数学期望；（Ⅲ）由于高二年级学生样本原始数据丢失，请根据统计图信息，判断高二年级学生样本得分的最高分至少为多少分时，高二年级学生样本得分的平均分一定超过高一年级学生样本得分的平均分，并说明理由．111 1如图，在三棱柱ABC﹣ABCAACC4条件111 11；1（Ⅰ）求证：AB⊥平面AACC1；1（Ⅱ）BCA1BC1条件①：BC＝5；条件②：AB⊥AA1；条件③：平面ABC⊥平面AA1C1C．19f（x）＝（x﹣1）ex﹣ax2+1（19f（x）＝（x﹣1）ex﹣ax2+1（a∈R）．（Ⅱ）判断函数f（x）的极值点的个数，并说明理由；20FC：＝120FC：＝1与椭圆C交于不同的两（Ⅰ）当k＝﹣时，求△FMN的面积；点（Ⅰ）当k＝﹣时，求△FMN的面积；HA（，0）．kA，G，H三点共线．（Ⅱ）设直线FM，FNHA（，0）．kA，G，H三点共线．．已知各项均为整数的数列满足＝，3Na﹣11．记（A）a1+a++a．（Ⅰ）a1＝3A6；（Ⅱ）ANakak＝0；（Ⅲ）若S（AN）是N的整数倍，证明：数列AN中存在ar，使得S（AN）＝N•ar．参考答案10440目要求的一项.在复平面内，复数z＝（1﹣i）2+1对应的点位于（ ）第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限解：在复平面内，复数z＝（1﹣i）2+1＝﹣2i+1对应的点下列函数是奇函数的是（ ）y＝cosx B．y＝x2 C．y＝ln|x| D．y＝ex﹣e﹣x解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝cosx，是余弦函数，是偶函数，不符合题意，对于B，y＝x2，是二次函数，是偶函数，不符合题意，对于C，y＝ln|x|，其定义域为{x|x≠0}，有ln|﹣x|＝lnx，是偶函数，不符合题意，对于D，y＝ex﹣e﹣x，其定义域为R，ex﹣e﹣x＝﹣（y＝ex﹣e﹣x），则函数为奇函数，符合题意，33＝1的一个焦点为（﹣2，0），则双曲线C的一条渐近线方程为A．xA．x+y＝0B．x+y＝0C．x+y﹣1＝0D．x+y﹣1＝0＝1b＝，所以双曲线的渐近线方程为：．4．已知函数f所以双曲线的渐近线方程为：．4．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（x）的表达式为（ ）解得φ解得φ＝ +2kπ，k∈Z；2×+φ＝+2kπ，k∈Z；A．B．C．D．T＝﹣＝π，解得A．B．C．D．T＝﹣＝π，解得T＝π，所以ω＝＝2；由|φ|＜由|φ|＜k＝0满足题意，f（x）＝sin（2x+）．某四棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的5个的面积中，最大的是（ ）A．A．2B．C．D．3如图所示：求出：BC＝1，CD＝2，AD＝2，AB＝在△ABP中，利用余弦定理：，，PD＝2，AP＝2 ，PB＝3，故 ，，，，故最大面积为3．故选：D．6x＞0，y＞0，则“x+y＝1”的（）解：①x+y解：①x+y＝1时，∵x＞0，y＞0，∴x+y≥2，∴xy≤，当且仅当x＝y时取等号，∴xy≤，∴充分性成立，

必要而不充分条件D②当xy②当xy≤时，比如x＝1，y＝时，xy≤成立，但x+y＝1不成立，∴x+y＝1是xy≤的充分不必要条件．故选：A．7．某地对生活垃圾使用填埋和环保两种方式处理．该地2020年产生的生活垃圾为20万吨，A．B．C．D．其中15年增加12021年起每年通过环保方式q2024年通过填埋方式处理的生活垃圾量不A．B．C．D．解：由题意可知2024年的生活垃圾为24万吨，∴，有题意可知2024年通过环保方式处理的生活垃圾量为5×q4∴，8．若圆O：8．若圆O：x2+y2＝1上存在点P，直线上存在点Q，使得 ＝，则实数解得：，A．[，]A．[，]B．[﹣，]C．{﹣，}D．{﹣，}解：圆O：x2+y2＝1上存在点P，直线l：y＝k（x+2）上存在点Q，使得 ＝ ，可得：≤1，可得：≤1，k∈[﹣，]．1 n A＝{1，2，3，4，5}B，B，…，B（n∈N1 n i 1 3为集合B（i＝1，2，3，…，n）中的最大元素，则b+b+i 1 3解：由题意知：集合A中含三个元素的子集共个，∴n＝10，A．解：由题意知：集合A中含三个元素的子集共个，∴n＝10，Bi4的共有＝Bi4的共有＝3个，Bi5的共有＝6个，Bi5的共有＝6个，故选：C．已知抛物线CFl2，点Pl上的动点．若点A在抛物线A．2B．6C．D．2C上，|AF|＝5，过点A作直线PF的垂线，垂足为A．2B．6C．D．2解：∵抛物线C的焦点F到准线l的距离为2，∴p＝2，∴抛物线方程为y2＝4x，∴F1（1，0），A（x1，y1），∴x1+＝5，∵点A在抛物线C上，且∴x1+＝5，∴x1＝4，∴A（4，4），设直线PF：x＝my+1，①，①②yH＝，∴|PH|＝﹣①②yH＝，∴|PH|＝﹣|，|PF|＝﹣2|，∴|PH|•|PF|＝（1+m2）•||•||＝2|5++|，设＝t，∴|PH|•|PF|＝（1+m2）•||•||＝2|5++|，设＝t，11．已知向量＝（2，m），＝（﹣11．已知向量＝（2，m），＝（﹣1，2），且+2 ＝，则m＝﹣4 ．解：∵＝（2，m），＝（﹣1，2），且+2 ＝，∴+2 ＝（2，m）+2（﹣1，2∴+2 ＝（2，m）+2（﹣1，2）＝（0，m+4）＝，2 5 3 5 7 12．在等差数{an}中，已知a＝5，a＝2，则a+a+a+a＝4 解：（1）设等差数{an}公差为d，2 5 3 5 7 ∴，2 ∵a＝5，a＝∴，2 1解得a＝6，d＝﹣1，1n∴a＝7﹣n，n13．已知sinα＝，则sin（2α+）＝．解：因为sinα＝，9∴a3+a13．已知sinα＝，则sin（2α+）＝．解：因为sinα＝，9所以sin（2α+ ＝．故答案为：．所以sin（2α+ ＝．故答案为：．a＝0 ；若函数y＝g（f（x））存在两个零点，则a的一个取值是﹣3 ．解：f（g（x））＝3|x+a|﹣2为偶函数，则f（g（﹣x））＝3|﹣x+a|﹣2＝f（g（x）），∴|x+a|＝|﹣x+a|，则a＝0；g（f（x））＝|3x+a|﹣2，②a＜0，则min＝g（log（﹣3①②a＜0，则min＝g（log（﹣3a））＝﹣2＜0，3又x＜log（﹣a）时，﹣3x﹣a＜﹣a，3∴﹣a﹣2＞0，解得a＜﹣2，∴a的一个取值可以是﹣3（答案不唯一）．故答案为：0；﹣3．f（t）＝（t≥0）的部分图象如图所示，f′（t）“S”型函数是统计分析、生态学、人工智能等领域常见的函数模型，其图象形似英文0.5毫升培养液中放入5f（t）＝（t≥0）的部分图象如图所示，f′（t）为（t）的导函数．给出下列四个结论：①对任意①对任意1（2439142（249'＞；②对任意1（23（914存在2（296使得' 2＝；③对任意2③对任意2（2910243（914（2＞；④对任意2（29存在123914使得' 2＝．解：根据函数的图象知导数的图象如下图所示：设导数f′（t）在t＝t0取最大值，结合f（t）的图象可知24＜t0＜96，对于1（023（914对于1（023（9142＝0，故①成立；对于②，设A（t1，f（t1）），B（t2，f（t2）），f（t）BC处，∴，故②正确；C 2 f（t）x∈（24，96），∴，故②正确；C 2 对于③Q（t3，f（t3）），S（t3，），T2 T 2 3 1 3Sf（t）Txt＝对于③Q（t3，f（t3）），S（t3，），T2 T 2 3 1 3对于④，取N（t0，f（t0）），（t0为①中f′（t）最大值点），则过N的切线“穿过”曲线y＝f（x），曲线上不存在与该切线平行的割线，否则与导数存在唯一的最大值点矛盾，故④错误．故答案为：①②．16．在△ABC中，b216．在△ABC中，b2+c2﹣a2＝bc．（Ⅱ）3csinA＝（Ⅱ）3csinA＝asinB，且△ABCS＝2c的值．解：（Ⅰ）因为b2+c2﹣a2＝bc，所以cosA＝＝，因为A∈（0，π），所以sinA＝＝＝，可得tanA＝ ＝ ．（Ⅱ）因为3csinA＝asinB，由正弦定理可得3ac＝abb＝c由正弦定理可得3ac＝abb＝c，因为△ABCS＝2＝bcsinA，可得×＝2，c＝2．为迎接2022年冬奥会，某地区高一、高二年级学生参加了冬奥知识竞赛．为了解知识竞赛成绩优秀（不低于85分）1520（满分100得分均为整数），[85，90），[90，95），[95，100]分组．（Ⅰ）从抽取的高二年级学生样本中随机抽取一人，求其得分不低于90分的概率；（Ⅱ）从该地区高二年级参加知识竞赛成绩优秀的学生中随机抽取3390X的分布列及数学期望；（Ⅲ）由于高二年级学生样本原始数据丢失，请根据统计图信息，判断高二年级学生样本得分的最高分至少为多少分时，高二年级学生样本得分的平均分一定超过高一年级学生样本得分的平均分，并说明理由．P（A）＝＝．（Ⅰ设事件P（A）＝＝．∴从抽取的高二年级学生样本中随机抽取一人，其得分不低于90分的概率为．（II）由可知：从该地区高二年级参加知识竞赛成绩优秀的学生中随机抽取190∴从抽取的高二年级学生样本中随机抽取一人，其得分不低于90分的概率为．∴P（X＝0）＝×0.40×0.63＝0.216；P（X＝1∴P（X＝0）＝×0.40×0.63＝0.216；P（X＝1）＝×0.41×0.62＝0.432；P（X＝2）＝ ×0.42×0.6＝0.288；P（X＝3）＝可得X分布列：×0.43＝0.064．X 0 123P 0.216 0.4320.2880.064E（X）＝3×0.4＝1.2．（II（II＝＝＝87.5．只需＞只需＞87.4m＞98．∴高二年级学生样本得分的最高分至少为99分时，高二年级学生样本得分的平均分一定超过高一年级学生样本得分的平均分．11 1 1 如图，在三棱柱ABC﹣ABCAACC4条件11 1 1 1；1（Ⅰ）求证：AB⊥平面AACC1；11 （Ⅱ）BCABC条件①：BC＝51 1条件②：AB⊥AA；11 条件③：平面ABC⊥平面AACC．1 解：若选择①②，（Ⅰ）证明：∵AC＝4，AB＝3，BC＝5，∴AB⊥AC，又∵AB⊥AA1，AC∩AA1＝A，∴AB⊥平面AA1C1C；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，AB⊥AC，AB⊥AA1，，，BCA1，，BCA1BC所成角为θ，则1，1∴AC⊥AA1，如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（3，0，0），C（0，∴，设平面ABC1 1的一个法向量为，则可取0，4），A1（0，4，0），C1（∴，设平面ABC1 1的一个法向量为，则可取BCA1BCA1BC所成角为θ，则1，BCA1BC所成角的正弦值为1．（Ⅰ）证明：∵AC＝4，AB＝3，BC＝5，∴AB⊥AC，又∵平面ABC⊥平面AA1C1C，平面ABC∩平面AA1C1C＝AC，∴AB⊥平面AA1C1C；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，AB⊥AC，AB⊥AA1，∵四边形AA1C1C是正方形，∴AC⊥AA1，如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（3，0，0），C（0，∴，设平面ABC1 1的一个法向量为，则可取0，4），A1（0，4，0），C1（∴，设平面ABC1 1的一个法向量为，则可取19f（x）＝（x﹣1）ex﹣ax2+1（a19f（x）＝（x﹣1）ex﹣ax2+1（a∈R）．（Ⅱ）判断函数f（x）的极值点的个数，并说明理由；（Ⅲ）x∈R，f（x）≥0a解：（Ⅰ）a＝0时，f（x）＝（x﹣1）ex+1，f（1）＝1，f′（x）＝ex+（x﹣1）ex＝xexf′（1）＝e，（Ⅱ）∵f（x）＝（x﹣1）ex﹣ax2+1，故曲线y＝f（x（Ⅱ）∵f（x）＝（x﹣1）ex﹣ax2+1，∴f′（x）＝xex﹣ax＝x（ex﹣a），（i）当a≤0时，有ex﹣a＞0，令f′（x）＝0，解得：x＝0，x，f′（x），f（x）的变化如下：xf′（x）f（x）

（﹣∞，0）﹣递减

00极小值

（0，+∞）+递增BCA1BC1所成角的正弦值为．∴当a≤BCA1BC1所成角的正弦值为．（ii）当a＞0时，令f′（x）＝0，解得：x＝0或x＝lna，①当0＜a＜1时，lna＜0，x，f′（x），f（x）的变化如下：x （﹣∞， lna （lna，0） 0 （0，+∞）lna）f′（x） +f（x）

0 ﹣极大值 递

0 +极小值 递增故当0＜a＜1时，函数f（x）有2个极值点，②a＝1时，f′（x）＝x（ex﹣1）≥0恒成立，f（x）在R上单调递增，故当a＝1时，函数f（x）无极值点，③当a＞1时，lna＞0，x，f′（x），f（x）的变化如下：xf′（x）f（x）

（﹣∞，0）+递增

00极大值

（0，lna）﹣

lna0极小值

（ln∞）+递增故当a＞1时，函数f（x）有2个极值点，综上：当a≤0时，函数f（x）有1个极值点，0＜a＜1a＞1f（x）2a＝1f（x）无极值点；min若（Ⅱ）在（﹣∞，0）递减，在故f（x）≥f（x）＝f（0）＝0，min故a≤0符合题意，∴f（x）＝（x﹣1）ex﹣ax2+1＜﹣ax2+1，∴f（x）＝（x﹣1）ex﹣ax2+1＜﹣ax2+1，f（﹣）＜﹣a+1＝0，20FC：＝f（﹣）＜﹣a+1＝0，20FC：＝1的左焦点，直线l：y＝k（x﹣2）与椭圆C交于不同的两（Ⅰ）当k＝﹣时，求△FMN的面积；点（Ⅰ）当k＝﹣时，求△FMN的面积；HA（，0）．kA，G，H三点共线．解：（Ⅰ）当k＝时，由解得M（0，1），N（，），HA（，0）．kA，G，H三点共线．解：（Ⅰ）当k＝时，由解得M（0，1），N（，），x1+x＝2，xx＝12，y1y2＝k（x1+x﹣4）＝﹣2，G（，），k2≠AGkAG＝＝，FMy＝（x+1），P的坐标为），Q（1，），因为+＝|MN|＝＝，F（﹣1，0）y＝（x﹣|MN|＝＝，F（﹣1，0）y＝（x﹣2）d＝，所以△FMN的距离为|MN|d＝××＝1；由，可得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2＝0，由△＝（﹣8k2）2﹣4（1+2k2）（8k2﹣2）＞0，解得k2＜，＝＝＝，＝，H（1，），所以直线AH的斜率k ＝AH＝，因为 ＝ AG AH所以A，G，H三点共线．1 2 i﹣1 N 1 2 21．已知各项均为整数的数列AN：a，a，…，aN（N≥3，N∈N*）满足aa＜0，且对任意i＝2，3，…，N，都|ai﹣a |≤1．记1 2 i﹣1 N 1 2 3（Ⅰ）若a＝，写出一个符合要求的A；31 6k （Ⅱ）