电动力学问题

电动力学问题说说为什么在非稳情况下要引入位移电流？答：在非稳情况下，一般有矿J壬0，那么根据电荷守恒定律，VxB=^J则不0成立。由于电荷守恒定律是精确的普通规律，而VxB=%J仅是根据稳恒情况下的实验定律导出的特殊规律，所以为了将VxB=%J奖改为服从普遍电荷守恒定律的要求，从而引入位移电流。试叙述麦克斯韦方程组的重要作用。--答：麦克斯韦方程组是对电磁场基本规律作出的总结性，统一性的简明而完美的描述。它揭示了电磁场内部作用和运动，预告了电磁波的存在。指出光波是一种电磁波，同时揭示了电磁场可以独立于电荷之外而存在。为什么在两介质分界面上，我们要用边值关系来描述界面两侧的场强与界面上电荷电流的关系？答：在介质的分界面上，由于一般出现血电荷电流的分布，使得界面两侧的场量发生跃变，微分式的麦克斯韦方程组不在适用，因此在介质分界面上，我们要用边值关系来描述界面两侧场强与界面上电荷电流的关系。试推导电荷守恒定律的积分形式并叙述其物理意义。答：令w为场的能量密度，S为能流密度，f表示场对电荷作用力密度，则场对电荷系统所做的功率为：ff-vdvvd——d——fwdvdtv通过界面S流入V内的能量为:则能量守恒定律的积分形式为：-fs•d◎=ff.vdv+-fs•d◎=ff.vdv+d工」fwdvdtv静电场的基本规律是什么？答：包括以下几方面：泊松方程：V叩=壬边值关系：％/s二也/s8中8中%£f18；=-C或D—D=-a2n1n

边界条件：电势中/S或电势的法线方向偏导数生/Sdn写出磁失势的定义式，并由此推导出磁失势所满足的泊松方程。TOC\o"1-5"\h\z答：定义式：B=VxA①在线性均匀介质内部有：—►B=rH②又VxH=J③将①②带入③得：—►—►Vx(VxA)=rJ:.V(V・A)-V2A=rJ_取A满足规范性条件_丫・A=0,则有：V2A=-rJ,此即为所^满足的泊松方程。写出磁标势所满足的定义式，由此推导出磁标势所满足的泊松方程并说明静电势与磁标势的区别。答：定义式：H=-Vp答：定义式：H=-Vpm对①式两边取散度：—►V・H=-V・Vp=-V2p又V・H=-PmP0静电势在电场中，磁标势在磁场中。电场强度E等于电势的负梯即E=街而磁场强度等于磁标势的负梯度，，即H=-V中则V中=-£m*0此为磁标势所满足的泊松方程。m则V中=-£m*0此为磁标势所满足的泊松方程。静电势是矢量，磁标势是标量。试从麦克斯韦方程组出发，导出亥姆霍兹方程，并写出时谐电磁波的一般表达式。答：麦克斯韦方程组为：(没有电荷电流分布的自由空间或均匀的绝缘介质情况)VxE=SVxE=SB~dtVxH=SDStVxBVxD=VxB又：对于一定频率的电磁波有：E(x,t)=E(x)e-i皿②TOC\o"1-5"\h\z―►―►又：对于线性均匀介质有：—>■—►D=sE-B=.H③将①代入②并结合③景：VxE=zco|liHVxH=—祐日E④Vx£=0_VxB=0-取④中德一式的旋度并利用第二式得；Vx(VxE)=C02|lx£E推出：/E+aKR昭=0(其中Vx(VxE)=V(V*E)-ViE=-V2E)令K=(£>J杪E_一一一一即亥姆霍兹方程：V2E+K2E=0时谐电磁波的一般去达式即：—►—►E(x,t)=E(x)e-血B(x［手B«e*写出平面电磁波的特性。蓉「(1)吊彳兹波是横波，E勒3都弓佳播方向垂直。E和8互相垂直，一Ex/沿波矢K方向。丘和g同向，振幅比为LV。一证明：在介质分界面上，入射波，反射波满足下列关系：一一COf=CDf=COkr=k"=kXXXkf=kff=k=0yyy并由此写出反射，折射定律。答：由于是同一列波进行的传播，则其反射波，折射波的频率都相同，即①』"*令入射波，反射波，折射波的电场强度分别为E,E，,E”,波失分别为k,k\k〃，则其平面波表示分别为:E'=E0ei（k”•x一色）由边界条件得：ex(EE'=E0ei（k”•x一色）由边界条件得：ex(E+E)=exE”将①式带入得：；x(E0eik*+E'eik•x)=exE：e"②式对整个界面都成立，选界面为平面Z=0，则上式应对Z=0和任意x,y成立，因此，三个指数因子必须在^此平面上完全相等。故：由于x和y是任意的，它们的系数也应各自相等，有:k=kf=k”如右图所示，取波失在xz平面，则k=0，二k'=k''=0即反射波失，入射波失，折射波失都在同一平面上。如右图，以0，0'，0"分别表示入射角，反射角和折射角，则有:k=ksin0xk'=k'sin0'k"=k"sin0''v2为电磁波在两种介质中的相速度，则有:k=kr=-vi把④⑤代入③得:①k=——v20=0'sin0v十:日E——=f=22.=nsin0'v：ii.E21这就是反射定律与折射定律。11.由菲涅尔公式出发，写出布鲁斯特定律。答：由菲涅尔公式：EE_tan(O_")

~E-tan(O+O")E'当O+O"EE_tan(O_")

~E-tan(O+O")E'当O+O"=900时，e=0电磁场标势和失势的定曳是什么？它们作怎样变化时，磁场具有规范不变性？答：失势：B=VxA西标势：E=^Vw—^―St当它们作以下规范变化时，电磁场具有规范不变性：,，SwA=A+Vw中=中一—St什么叫做推迟势，其物理意义是什么？—►—►/r、p(x,t——)TOC\o"1-5"\h\z答：推迟势：中(x,t)=』cdVfr4双r—►°-一r、uJ(x,t—)A(x,t)=0JV'4兀r其物理意义在于，它反映了电磁场作用具有一定的传播速度，空间某点x在其时刻的场值不——►一r依赖于同一时刻的电荷电流分布，而是决定于较早时刻t--的电荷电流分布。即电荷产生cr的物理作用不能够立即传到场点，而是较晚时刻才传到场点，所推迟的时间一正是电磁作用c从源点x'传到终点x所需的时间，c为电磁作用的传播速度。为什么电磁辐射能把电磁能量传到任意处？答：在辐射区内，E汶1，B汶1，S汶!，对球面积分和总功率与球半径无关，即RRR2J"dbx』-L・R2db=c。能量在没有导体和电荷的情况下全部传出去了，没有转化为其R2他形式的能量。因此电磁能可以传到任意处。15：洛伦兹变化的依据是什么？答：间隔不变性和变换必须是线性的。在四维空间推导出四维速度的表达式。答：设四维空间位移dxux=axx=ict

dx.・・四维速度：U广^2=(U「U2，Udx.・・四维速度：U广^2=(U「U2，U3,ic)=r(u,ic)：1-三从四维速度公式，写出相对论的质能关系。答项四维速度公式匕=牛=\今定义四维动量P=mu^其四维矢量的空间分量和时间分量分别为rmvP中泰勒展开:当VuC时将pP1,…1c、p=—(mc2+2mv2)由此式可知七与物体的能量有关，设相对论中物体的能量为mc2H—■1-V2c2p=lwPcW中包含物体的动能，当v=0时动能为0,因此相对论中物体动能总能量为：W=T+m0c2令相对论动量，相对论能量分别有:联立①②③得w0=m0c2此即为相对论质量关系。从四维动量出发，写出相对论力学的两个方程。答：定义P为四维动量，则四维力矢量k为k=气uuud又k的第四个分量k4与空间分量k有一定关系如下:TOC\o"1-5"\h\zdwd:--ick=——=——L：p2T2+mc49dTdx0=V.业dT因此，作用于速度为v的物体上的四维动量为i一Ik=(k,_k.v)uc其中k=dp其中k=dpdT—>-V2dt1-a-k.口=^_虹dt名词解释:1.梯度答：设体系中某处的物理参数为u，在与其垂直距离的d处该参数为u+du，则称为该物理参数的梯度。梯度的大小为函数的最大变化率，方向是具有函数最大变化率的方向。算符表示：v表示：v=Ei+EJ—kdxdydz极化强度--答：在外场作用下，电解质分子出现宏观电偶极矩分布。宏观电偶极矩分布用电极化强度矢Zpi量描述，它等于物理小体积AV内的总电偶极矩与AV之比：p=七厂AV能流密度答：场的能流密度$，它描述能量在场内传播。S在数值上等于单位时间垂直流过横截面的能量，其方向代表能量传输方向。趋肤效应：对于高频电磁波，电磁场以及和它相互作用的高频电流反集中于表面很薄一层内，这种现象称为趋肤效应。推迟势答：空间某点x在其时刻的场值不依赖于同一时刻的电荷电流分布，而是决定于较早时刻r，-的电荷电流分布。即电荷产生的物理作用不能够立即传到场点，而是较晚时刻才传到c场点，所推迟的时间r正是电磁作用从源点*传到终点x所需的时间，c为电磁作用的传播c,rr、P(x,t_—)uJ(x,t—)速度。中(x,t)=j耳兀.cdV'A(x,t)=—0JV'一0-—A6.散度答：在矢量场中一点M处，作一包含M在内的任一闭合曲面S，称以下极限为矢量场在MJM-dS处的散度。divM=lim门Av^oAV磁极化强度Zm答：单位体积内总磁偶极距：M=械能量密度：-答：电磁场内单位体积的能量平面电磁波：答：设电磁波沿x轴方向传播，其场强在与x轴正交的平面上各点具有相同的值，即E和B仅与x,t有关，而与y,z无关，这种电磁波称为平面电磁波。复电容率答：实部为位移电流的贡献，虚部为传导电流的贡献，引起能耗。间隔答：两个事件(x,y,z,t)和(x,y,z,t)，它们的间隔为：11112222s—c2(t—t)2一「(x—x)2+(y—y)2+(z—z)2211-212121」=C2At2—(Ax)2填空题：1.建立麦克斯韦方程组所依赖的主要实验定律有：库伦定律毕一萨定律电磁感应定律和电荷守恒定律。

2.电磁场能量守恒定律的积分形式为:—js-db=2.电磁场能量守恒定律的积分形式为:—js-db=jf-vdv+—dt\(^dv电荷Q均匀分布在半径为a的介质球内，介质电容率为£，求r<a处的电场强度E=-^—V-E=-^-4兀£a34兀£a34：在迅变电磁场作用下，只要电磁波的周期远大于10-17秒，就可以认为导体内部的自由电荷体密度P=0洛伦兹变换的依据是变换的线性和间隔不变性当电磁场的失势和标势作规范变换A—A=A'+Vw，中-V=©-举时，电磁场具dt有规范不变性。--一半径为R的介质球内均匀分布有电荷Q，介质的电容率为£，则r<R处的电场强度E=-QrV-E=3QVxE=04k£R34k£R38在两介质分界面上，一般要出现面电荷电流分布，使物理量发生氐变，微分形式的麦克斯韦方程组不再适用，所以要用积分形式来描述分界面两侧的场。电磁场能量守恒积分形式：-js-db=jf-vdv+dj^dvo其物理意义是：单位时间流dt入V内的电磁能量等于电磁场单位时间对带电粒子做的功与V内电磁场能量的减少率之和。—►TOC\o"1-5"\h\z—►—►—►在导体中传播的平面时谐波的表达式为E3,t）=Ee-a・xei（^-㈤），它表示的是衰减波。o式中a称为衰减常数，p称为相位常数。—►—►―►电磁场失势的定义式为B=VxA，标势的定义式为E=-V^-dAodt大题：---12.证明题tan6.（2）当两种导电介质内流有恒定电流时*分界面上电场线曲折满足tan$i一&解：险）根据：了=洒可得.鼠场方向与电流密度同方向，由于电流I是恒定的，故有：=V二里kTOS仇cos坎即：=6电而：戒x（q—电）=0即&sing=cos^cos6^故商箜=旦

7,设有一个球对禅的电荷分布以频率陌治径问做简谐振动,求辑射场•并对1吉果给以物理解梅解：At：设球面上甥匀分布了忌电量为Q的电荷，此假设满足题目中的球对林分布-于是’球面电何密度与球面半径的关系是*取如图相对的两块小面元gqs*,由于两块小面元对应相同的立体侑「故有相同的面积d$i=dS2,于是^Qi=E耳=』七"i=.弓/禹=〃端=AQ2考虑到两电荷元乙QpAa，由于是球对桃At：二P=△◎]•犬,§+△□]•&,（-%）=（]ffi=I■△&=0故,此两电荷元的撅劫不能产生辐射新.根据场的眷加原理，整个球对称分布的电荷体系沿径间的简谐振荡是不育砰生辐射场的振励.辐射场为0..3.静止长度为％的车职曜度y相对于地面s运行，车瓶的后壁以速度岭问前推出一个小球.求地面观浏棒看到小球火后壁到前壁的时间.解,根据题意，取地面为参考系E车厢为参考系曹于是相对于地面参考余S.车长；车速；17球速：皿=典十:1£1„uov故在地面参考系S中观察，小球在此后.由车后壁到年前壁7.有一内外半径分别为电和队的空心讣原球，肖质的电容率为"使弁顶内痢习带静止目虫电荷pf,求〔1）罕IH各点的电场（2）槌化体电荷和馥化面电荷分布解:1）扩，』$=]＞了沙，务冲4）即；=4^（r3-^）P/aJ"=＜；%"E丁•『生辛巧如■＞々）由§£仍=女=客&;—心舟*Fryrj时，『02）尸=珈在归=宣—有）E■■■pP=-V-「=_（£_£°）研♦=_（£_却）7•［（］］?）Q尸］=_£；?pf，（广—g广）=_二:。必_。）=_（了。）％bp=%_%考虑外球壳时,「=如白队介质1指间弁原，介质捐间真至"=＜；%"E丁•『生辛巧如■＞々）由§£仍=女=客&;—心舟*F"脆（，2）苔明竺）与端考虑到内球壳时，r-ribp=—（E—£口）3二?PF「=马=。内外半径分别为勺和马的无方长中■空导体圆柱，治轴间流有恒定购习自由电流上导体的礴导率为■「求磁感应强度和醯化电流■:,『•威=与当y/|时,。=。,故鼻=日=（］用千：■■■"'■■当r斗时.2矛夕=切（冶-尸）丹=.籍广注）九=Vx^=死I=Vx（专料H=（^--l）vx@X广与工）=（2L_gH=（』l）"<r<r2）空M=海火（最2-网）&从介质1指向介质2）在内表面上.M］=0,M?=（若_1）忘匚）|『7=0故或航=尊工跖=Ojr=升）I在上表卸r-心时%=”（-财1）=-"期1|7=-：区「2尸决方对5=-「2；''』为玲—1）

试卷外日试用边值关系征明：在绝绿介质与导体的分界面上，在静电情况下.导体外的电场线总是垂直于导体表面；在恒定电流的情况下，导体内电场域总是平行于导体表面.征明*⑴导体在静电条件下达到静电郴...导体内电=0而："（是_E]）=0VX矶=。，故&）垂直于导体表面7导体中通过恒定电流时.导体我面0>=0二导体外荔=0,即：久=。而："（Q-R）=b占二。5■即："“以=小琦E]=0:.心玖=0导体内电场方向和法线垂直.即平行于导体表面.因为球外3,故感应电荷集中在内表面*并且为Q.土接地的空，g因为球外3,故感应电荷集中在内表面*并且为Q.土接地的空，g体球的内外半险为％和％.在球内高球心为皿眼印处置一点电荷Q,用镜伸法求电规导体球上的感应电荷有多少？分布在内表面还是夕卜表面？解：球外的电势及导体内电势恒为0.而球止电若只妾满足％因此做V去及笞案与上题同，解略.■在援地的导体平面上有一半径为立的半球凸部《如图L半球的球<、在导体平面上，点电荷Q位于系蜿的对粹?由上「并与平面相距羯试用电象法养空间电势.解：如图，利用镜慷法.根据一点电荷附近置一Qi=—~rQfri=无限大接地导体平梅口一点电荷附近置一接地导体球两个模型.可Qi=—~rQfri=0有一点电荷Q位于两个互相垂直的接地导体平面所围威的宣角空间内.它到两个半面的距离为赫旺,求空间电篆解：可以构璧口囹所示的三个家电荷来代籍两导体板的仲用..Q[r]_1站J（x一工口）'*（＞—、）'斗@一、）J（x-x口y+0-1》+（史+&）‘,+,l（y^z>o）+3十”）日+S矿^（X-Xo）2+（y+（7）2+（2r+^）22-T面电磁菠以0=45口从其空入射到备=2的介质，电幽窿垂宣于入射面，术反射系数帝晰射系数,’解：门为界面法问单位矢量，＜SxS'x*＞分别为入射彼，反射波和折射彼的玻印友=<S"<>.fl<5"牌

<S»忠导矢量的周期平均值.则反射余数R养晰射奈数T定义为,E*友=<S"<>.fl<5"牌

<S»忠内1g伊:又根据电堀疆垂直于入射面的菲涅耳公式，可徭L弟£。昭「顼危£睥印、、拓。腿金）

%有一可见平面光波由水入射到空气，入射角为60\,证明这时将会友生全反射「并事折射波沿表面侍描的相速度和透入空气的深度，设该彼在空气中的彼长为弟=6.28x10'cm,米的折射率为n=1.33o.解：由折射定律伟临界角功二皿曲叫:入第方。，.听以当平面光波以80。入射时,_1_■kJaJ将会发生全反射.折射波：=kshiO相速度v=—=―=—c邮辰〃妒奴.251116^投入空气的深度x=—=J===6.28x103以1.7x10-5cm2为血勺一啮2^1Sin260-(—)2\1.3311.写出矩形岐导管内磁场百满足的方程及边界条件、解：对于定态波，磁场为H(小)=的驴-谊QD=由麦氏方程组VxH=——=S击

dt由麦氏方程组VE=0得Vx(7x^)=V(V-^f)-72^=-VaJT--^£Vx^又°*=一石='妒E-切’兴归=-寸H即为^形岐导管内磁场百满足的方程[(V2+『)H=0,『=廿甲即为^形岐导管内磁场