高中数学课件第六章第四节基本不等式

了解基本不等式的证明过程了解基本不等式的证明过程会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题基本不等算术平均数与几何平均设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均 ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数小于其几何平均数已知x>0，y>0如果积xy是定值P，那么当且仅

时，x＋y有小 (简记：积定和最小如果和x＋y是定值P，那么当且仅当x＝y时，xy有最值 (简记：和定积最大[思考探究在利用基本不等式求最值时，应注意哪些方面提示：利用基本不等式求最值时，一定要注意“三相等一正即公式中a、必须是正数，“二定”即必须有定值和为定值或积为定值，“三相等”即公式中的等号必须成立，必要时要合理拆分项或配凑因式，以满足上述三个条件.已知ab≠0，a，b∈R，则下列式子总能成立的是 A. －2C.≤－2 解析：选项A、B、C中不能保证为正.已知 －2(x>0)，则f(x) 最大值为 B.最小值为C.最大值为 D.最小值为 当且仅当x＝，即x＝1时，“＝”成立.答案下列函数中，y的最小值为4的 y＝x＋B.y＝ 解析：对于A，当x＜0时，最小值不存在且B中y＝＝2≥4，当且仅当＝1时等号成立，这样的实数x不存在，故y＝(x∈R)取不到最小值同理对于D，等号成立的条件为sn2x＝4只有C，＝x＋4－x≥，当且仅当x＝，即x＝n时等号成立，函数有最小值4.答案＝ ＝>解析 ∴lg >lgb)，又 答案若直线ax＋by＋1＝0(a>0，b>0)平分圆＝0， 的最小值 解析：由x2＋y2＋8x＋2y＋1＝0得∴设圆的圆心坐标为∴－4a－b＋1＝0，即∴由 ＝4 的最小值为答案合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目标在于使等号成立，且每项为正值，必要时需出现积为定值或和为定值.当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保检验转换是否有误的一种方法.如设0＜x＜2，求函数 的最大值 ＋a的取值范围已知x＞0，y＞0，且x＋y＝1， 的最小值[思路点拨[课堂笔记 ＝ ＝

当且仅当3x＝8－3x，即x＝时，取等号∴当 的最大值是(2)显然当a＞4时 ＝2当且仅当＝a－4，即a＝4＋时，取等号； 当且仅当＝(4－a)，即a＝4－时，取等号 ＋a的取值范围是 (3)∵x＞0，y＞0，且 ＝((x＋y)＝10＋ 当且仅 ，即x＝2y时等号成立时，∴当 有最小值时，若若x∈[0,1]，求函数的最大值解：由例1(1)的解答知，当x∈[0,1]值不能用基本不等式∴函数在[0,1]上单调递增 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，是指从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知看“可知，逐步推向“未知特别警示] 证明不等式时要注意灵活变形，多次利用基本不等式时，要注意每次等号是否都成立，同时也要注意基本不等式的变形形式的应用.已知a>0，b>0且a＋b＝1.求证 [思路点拨[课堂笔记 (1)∵a>0，b>0，且∴ 当且仅 ＝，即a＝b＝时，等号成立∴原不等式成立(2)∵a>0，b>0，且∴原不等式⇔⇔a＋b＋1＋2⇔2＋2 ≤1⇔ab＋ ⇔ab＋×1＋ 当且仅当a＝b＝取等 故原不等式成立应用基本不等式解决实际仔细阅读题目，透彻理解题意分析实际问题中的数量关系，引入未知数，并用它表示其他的变量，把要求最值的变量设为函数；应用基本不等式求出函数的最值还原实际问题，作出解答特别警示] (1解应用题时，一定要注意变量的实际意义即其取值范围.(2009·湖北高考围建一个面积为302的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙利用的旧墙需维修，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示.已知旧墙的维修费用为45元/m，(1)将y表示为x的函数(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小[课堂笔记 (1)如图，设矩形的另一边长为a则 ＝10 －360≥10当且仅当225x＝时，等号成立即当x＝24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元.以选择题或填空题的形式考查基本不等式在求.近几如09年湖北、江苏高考，符合新课标对学生应用所学知识分析解决实际问题能力的要求，仍是今后高考对本节内容的一个考查方向.[考题印证 元，则他的满意度为.如果一个人对两种交易(卖出或求h甲和h乙关于mA、mB的表达式；当mB时，求证：h甲＝h乙设mA＝mB，当mA、mB分别为多少时，甲、记(2中最大的综合满意度为0选取A、B的值，使得甲≥0和乙≥h0同时成立，但等号不同时成立？试说明理由.【解设甲买进产品A的满意度：h1甲＝；甲卖出产品B的满意度：h2甲＝；甲买进产品A和卖出产品B的综合满意度：h甲＝；┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(3分同理，乙卖出产品A和买进产品B的综合满h乙＝┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(4分当 y时故h甲＝h乙.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(6分当 y时由(1)知h甲＝h乙＝因 因此，当mA＝6，mB＝10时，甲、乙两人的综合满意均最大，且最大的综合满意度 .┄┄┄(8分由(2)知 因为h甲h乙＝ ┄┄┄┄┄(10分所以，当h甲 h乙≥ ，有h甲＝h乙＝因此，不能取到AB的值，使得h甲≥h0h乙≥h0同时成立，但等号不同时成立.(2)[自主体验某养殖厂需定期购买饲料，已知该厂每天需要饲料20018其他费用为平均每千克每天00元，购买饲料每次支付运费300元.求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支的总费用最少解：(1)设该厂应隔x(x∈N＋)天购买一次饲料，平每天支付的总费用为∵饲料的保管与200×0.03＝6(元∴x天饲料的保管与6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6＝3x2－3x(元从而有1y＝＝当且仅 ＝3x，即x＝10时，y1有最小值即每隔10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少.(2若厂家利用此优惠条件，则至少5饲料，设该厂利用此优惠条件，每隔x天x5)购买一次饲料，平均每天支付的总费用为2，则y2＝＝ ∴当x≥25时，y2′＞0，即函数y2在[25，＋∞)上增函数∴当x＝25时，y2取得最小值为390.而∴该厂可以接受此优惠条件 当x>0时，＋的当x≥2时，x＋最小值为2 的，解析 ，当且仅当，即x＝1时，等号成立答案2.(2009·天津高考)设x，y∈R，a＞1，b＞1.若 ，则的最大值 解析 ≤log3＝log33＝1.已知x>0，y>0，lg2x＋lg8y＝lg2，则的最小值 B.2 解析：因为x>0，y>0，且lg2x＋lg8y＝lg2，所以.于是 .答案已知 ，则函数y＝5x(3－4x)的最大值 解析：因为0＜x＜，所以当且仅当x＝－x，即x＝时等号成立答案5.(2010·忻州模拟设xy，为正实数，满足x23＝，则的最小值是 .解析