高考三角函数经典解答题

(圆满版)高考三角函数经典解答题及答案(圆满版)高考三角函数经典解答题及答案(圆满版)高考三角函数经典解答题及答案1在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a，b，c，且a2c2b21ac.AC2（1）求sin2cos2B的值；2（2）若b=2，求△ABC面积的最大值．1解：(1)由余弦定理：conB=42A2B1sin+cos2B=-4（2）由cosB1,得sinB15.∵b=2，442+c218115(a=c时取等号)△ABC故S△ABC的最大值为

1532在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC3acosBccosB.I）求cosB的值；（II）若BABC2，且b22，求a和cb的值.解：（I）由正弦定理得a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC，则2RsinBcosC6RsinAcosB2RsinCcosB,故sinBcosC3sinAcosBsinCcosB,可得sinBcosCsinCcosB3sinAcosB,sin(BC)3sinAcosB,可得又sinA3sinAcosB.sinA0,所以cosB1.3（II）解：由BABC2,可得acosB2，又cosB1,故ac6,3由b2a2c22accosB,可得a2c212,所以(ac)20,即ac,所以a＝c＝63已知向量m=sinB,1cosB,向量n=（2，0），且m与n所成角为π，31此中A、B、C是ABC的内角。求角B的大小;求sinAsinC的取范。解：（1）m=sinB,1cosB，且与向量n=（2，0）所成角，31cosB3sinB3sinAcosB1sin(B1)62又0B7B6665B62B32（2）由（1）知，B，A+C=33sinAsinC=sinAsin(A)=1sinA3cosA=sin(3A)3220A，3A2333sin(A)3,1，sinAsinC3,1322ur(1,2sinr(sinA,1urrc3a.（I）求A的大4已知向量mA)，ncosA),知足m//n,b小；（II）求sin(B6)的.解：（1）由m//n得2sin2A1cosA0⋯⋯2分即2cos2AcosA10cosA1或cosA12A是ABC的内角,cosA1舍去A3（2）bc3a由正弦定理，sinBsinC3sinA3B22C32sinBsin(2B)3323cosB3sinB3即sin(B)3222625在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，C＝2A，cosA3，41）求cosC,cosB的值；（2）若BABC27，求边AC的长。2解：（1）cosCcos2A2cos2A12911168由cosC13737,得sinC8;由cosA,得sinA844cosBcosACsinAsinCcosAcosC737319484816（2）BABC27,accosB27,ac24①22又ac,C2A,c2acosA3a②sinAsinC2由①②解得a=4，c=6b2a2c22accosB163648925b5，即AC边的长为5.166已知A、B是△ABC的两个内角，向量rAB,sinABra（2cos），若|a|22（Ⅰ）试问tanAtanB能否为定值？若为定值，恳求出；不然请说明原因；（Ⅱ）求tanC的最大值，并判断此时三角形的形状.解：（Ⅰ）由条件3(62r22)|a|22cos2ABsin2AB1cos(AB)1cos(AB)222∴cos(AB)1cos(AB)21∴3sinAsinBcosAcosB∴tanAtanB为定值.3（Ⅱ）tanCtan(AB)tanAtanB1tanAtanB由（Ⅰ）知tanAtanB10，∴tanA,tanB3

.23进而tanC3(tanAtanB)≤32tanAtanB322∴取等号条件是tanAtanB3，即AB获得最大，367在△ABC中，角A、B、C的分a、b、c.已知a+b=5，c=7，且4sin2ABcos2C7.22(1)求角C的大小；（2）求△ABC的面.解：(1)∵A+B+C=180°由4sin2ABcos2C7得4cos2Ccos2C72222∴41cosC(2cos2C1)722整理，得4cos2C4cosC10解得：cosC1⋯⋯5分2∵0C180∴C=60°（2）解：由余弦定理得：22222c=a+b－2abcosC，即7=a+b－ab∴7(ab)23ab由条件a+b=5得7=25－3abab=6⋯⋯10分∴SABC1absinC1633322228已知角A,B,CABC的三个内角，其分a,b,c，若m(cosA,sinA)，AA122n,sin，a23，且mn(cos)．222（1）若ABC的面S3，求bc的．（2）求bc的取范．解：（1）m(cosA,sinA)，n(cosA,sinA)，且mn1.22222cos2Asin2A1，即cosA1，又A(0,)，A2⋯⋯⋯..2分22223又由SABC1bcsinA3，bc422由余弦定理得：a2b2c2bccosb2c2bc2316(bc)2，故bc44（2）由正弦定理得：bca234，又BCA，sinBsinCsinA2sin33bc4sinB4sinC4sinB4sin(B)4sin(B)330B，B23sin(B)1，即bc的取范是333.323(23,4].⋯10分9在角△ABC中，已知内角A、B、C所的分a、b、c，且(tanA－tanB)＝1＋tanA·tanB．若a2－ab＝c2－b2，求A、B、C的大小；已知向量m＝(sinA，cosA)，n＝(cosB，sinB)，求｜3m－2n｜的取范．10在ABC中，角A、B、C的分a、b、c，m(2bc,a)，n(cosA,cosC)，且mn。⑴求角A的大小；5⑵当y2sin2Bsin(2B)取最大值时，求角B的大小6解：⑴由mn，得mgn0，进而(2bc)cosAacosC0由正弦定理得2sinBcosAsinCcosAsinAcosC02sinBcosAsin(AC)0,2sinBcosAsinB0QA,B(0,)，sinB0,cosA1，A（623分）⑵y2sin2Bsin(2B)(1cos2B)sin2Bcoscos2Bsin6661311sin(2B)2sin2Bcos2B26由(1)得，0B2,2B7,62时，3666即B3时，y取最大值211在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且cosBb.cosC2ac（I）求角B的大小；（II）若b13，ac4，求△ABC的面积.解：（I）解法一：由正弦定理abc2R得sinAsinBsinCa2RsinA，b2RsinB，c2RsinC将上式代入已知cosBbc得cosBsinBcosC2acosC2sinAsinC即2sinAcosBsinCcosBcosCsinB0即2sinAcosBsin(BC)0∵ABC，∴sin(BC)sinA，∴2sinAcosBsinA0∵sinA≠0，∴cosB1，2∵B为三角形的内角，∴B2.3解法二：由余弦定理得cosBa2c2b2，cosCa2b2c22ac2ab将上式代入cosBb得a2c2b2×2abc2bcosC2ac2aca2b22ac6整理得a2c2b2ac∴cosBa2c2b2ac12ac2ac22∵B三角形内角，∴B3（II）将b13，ac4，B2代入余弦定理222得bacaccosB32b2(ac22ac2accosB，)∴13162ac(11)，∴ac32∴S△ABC1acsinB33.2412ABC中，a、b、c是三个内角A、B、C的，对于x的不等式x2cosC4xsinC60的解集是空集．（1）求角C的最大；（2）若c7ABC的面S33，求当角C取最大ab的．，22cosC0解析：（1）然cosC0不合意，有0，cosC0cosC0即，即1，16sin2C24cosC0cosC2或cosC2故cosC1，∴角C的最大260。⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分（2）当C=60，SABC1absinC3ab33，∴ab6，242由余弦定理得c2a2b22abcosC(ab)22ab2abcosC，∴(ab)2c23ab121，∴ab11。4213在△ABC中，角A、B、C的分a、b、c，且足（2a－c）cosB=bcosC.（Ⅰ）求角B的大小；urr4k,1k1urr5，求k的.（Ⅱ）msinA,cos2A,n,且mn的最大是解：（I）∵(2a－c)cosB=bcosC，∴（2sinA－sinC）cosB=sinBcosC.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)∵A+B+C=π，∴2sinAcosB=sinA.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分0<A<π,∴sinA≠0.7∴cosB=1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分2∵0<B<π，∴B=.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分urr37分（II）mn=4ksinA+cos2A.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯=－2sin2A+4ksinA+1，A∈（0，22）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分3sinA=t，t∈(0,1].urr－k)2+1+2k2,t∈(0,1].⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分mn=－2t2+4kt+1=－2(t∵k>1，∴t=1urr，mn取最大.依意得，－2+4k+1=5，∴k=3.2uv()14已知角△ABC三个内角A、B、C，向量p=2-2sinA,cosA+sinA与向量v()q=sinA-cosA,1+sinA是共向量.（Ⅰ）求角A.（Ⅱ）求函数y=2sin2B+cosC-3B的最大.urr2解：（Ⅰ）Qp,q共22sinA1sinAcosAsinAcosAsinA⋯⋯2分sin2A3⋯⋯⋯⋯4分4又A角，所以sinA3A⋯⋯⋯6分23C3B23B3B（Ⅱ）y2sin2B2sinBcoscos222sin2Bcos(2B)1cos2B1cos2B3sin2B3223sin2B1cos2B1sin(2B)1⋯⋯⋯⋯⋯9分226QB0,22B6,5⋯⋯⋯⋯10分662B62B，ymax2⋯⋯⋯⋯12分3CC）CC)且15在三角形中，m（cos,n,－sinm,n的角ABC=,sin2=(cos23221）求C；2）已知c=7,三角形的面S=33,求a+b（a、b、c分∠A、∠B、∠C所的）228解：（1）m?ncos2Csin2CcosC212m?n|m||n|cos213C=cosC=23（2）c2=a2+b2－2abcosCc=7249=a2+b2－ab=(a+b)2－3ab.S=1absinC=1absin=3ab=33422342Ab=6(a+b)2=49+3ab=49+18=121a+b=11444216已知ABC中，角A，B，C，所对的边分别是a,b,c，且2a2b2c23ab；1）求sin2AB2（2）若c2，求ABC面积的最大值。解：（Ⅰ）a2b2c23ab,cosCa2b2c232分22ab4ABC,sin2AB1cosA22（Ⅱ）a2b2c23ab,且c，a222又a2b22ab,3ab2ab4,ab2

B1cosC726分8b243ab，288分3,sinC2710分cosC1cos2C13444SABC1absinC7,2当且仅当ab22时，△ABC面积取最大值，最大值为7.17在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且知足csinA=acosC．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求3sinA-cos（B+4）的最大值，并求获得最大值时角A、B的大小。解析：（I）由正弦定理得sinCsinAsinAcosC.因为0A,所以9sinA0.进而sinCcosC.又cosC0,所以tanC1,则C4B3A.4（II）由（I）知于是3sinAcos(B)3sinAcos(A)43sinAcosA2sin(A).63,A11,即A时,Q0A6,进而当A46126232sin(A)6取最大2．3sinAcos(B)A,B5.上所述，4的最大2，此31218△ABC的内角A、B、C的分a、b、c．己知A—C=90°，a+c=2b，求C．解：由ac2b及正弦定理可得sinAsinC2sinB.⋯⋯⋯⋯3分又因为AC90,B180(AC),故cosCsinC2sin(AC)2sin(902C)2cos2C.⋯⋯⋯⋯7分22cos2C,cosCsinC22cos(45C)cos2C.因0C90，所以2C45C,19在ABC中，内角A，B，C的分cosA-2cosC=2c-aa，b，c．已知cosBb．10sinC1（I）求sinA的值；（II）若cosB=4，b=2，ABC的面积S。abck,解：（I）由正弦定理，设sinAsinBsinC2ca2ksinCksinA2sinCsinA,则bksinBsinBcosA2cosC2sinCsinA.所以cosBsinB即(cosA2cosC)sinB(2sinCsinA)cosB，化简可得sin(AB)2sin(BC).ABC，所以sinC2sinAsinC2.所以sinAII）由由余弦定理

sinC2sinA得c2a.b2a2c22accosB及cosB1,b2,4得4=a24a24a21.4解得a=1。所以c=2cosB1,且GB.sinB15.又因为4所以4所以20在ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且2asinA(2bc)sinB(2cb)sinC（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若sinBsinC1，试判断ABC的形状.解：（Ⅰ）由已知，依据正弦定理得2a2(2bc)b(2cb)c11即a2b2c2bc由余弦定理得a2b2c22bccosA故cosA1,A1202（Ⅱ）由（Ⅰ）得sin2Asin2Bsin2CsinBsinC.又sinBsinC1，得sinBsinC12因0B90,0C90，故BC所以ABC是等腰的角三角形。21在△ABC中，a,b,c分内角A,B,C的，且2asinA(2ac)sinB(2cb)sinC.（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）求sinBsinC的最大.解：（Ⅰ）由已知，依据正弦定理得2a2(2bc)b(2cb)c即a2b2c2bc由余弦定理得a2b2c22bccosA故cosA1，A=120°⋯⋯6分2（Ⅱ）由（Ⅰ）得：sinBsinCsinBsin(60B)3cosB1sinB22sin(60B)故当B=30°，sinB+sinC获得最大1。⋯⋯12分22△ABC中，角A，B，C所的分a,b,c,S△ABC的面，足S3(a2b2c2)。4（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求sinAsinB的最大。1223设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2bsinA．（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）求cosAsinC的取值范围．解：（Ⅰ）由a2bsinA，依据正弦定理得sinA2sinBsinA，所以sinB1，π