2019数学浙江省学业水平考试专题复习必修44

2021版数学浙江省学业水平考试专题复习必修442021版数学浙江省学业水平考试专题复习必修442021版数学浙江省学业水平考试专题复习必修44知识点一直量的相关见解名称定义备注既有大小又有方向的量；向量的大向量平面向量是自由向量

小叫做向量的长度(或称模)零向量长度为0的向量；其方向是随意的记作0a单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为±|a|平行向量方向同样或相反的非零向量方向同样或相反的非零向量又叫做0与任素来量平行或共线共线向量共线向量相等向量长度相等且方向同样的向量两向量只有相等或不等，不可以比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为0知识点二向量的线性运算向量运算定义法那么(或几何意义)运算律(1)互换律：a＋b＝b求两个向量和的＋a；加法运算(2)联合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)求a与b的相反向减法a－b＝a＋(－b)量－b的和的运算叫做a与b的差(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ>0时，λa的方向与a的(1)λ(μa)＝(λμ)a；务实数λ与向量a数乘方向同样；当λ<0时，λa的方(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；的积的运算向与a的方向相反；当λ＝0时，(3)λ(a＋b)＝λa＋λbλa＝0知识点三共线向量定理及平面向量根本定理1．共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当存在独一一个实数λ，使b＝λa.2．平面向量根本定理假如e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的随意愿量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.此中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内全部向量的一组基底．知识点四平面向量的坐标运算1．向量加法、减法、数乘及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，那么a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λ1y)，|a|＝x12＋y12.2．向量坐标的求法(1)假定向量的起点是坐标原点，那么终点坐标即为向量的坐标．→＝(x2－x1，y2－y1)，(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么AB→|AB|＝x2－x12＋y2－y12.3．向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，此中b≠0.a∥b?x1y2－x2y1＝0.题型一直量相关见解辨析例1下边对于向量的表达，正确的选项是________．(填序号)①任素来量与它的相反向量不相等；→→②四边形ABCD是平行四边形当且仅当AB＝DC；③一个向量方向不确立当且仅当模为0；④共线的向量，假定起点不同样，那么终点必定不同样．答案②③解析①不正确．零向量的相反向量还是零向量，但零向量与零向量是相等的．②③正确．→→④不正确．如图AC

与BC共线，固然起点不同样，但其终点却同样．感悟与点拨向量是既有大小又有方向的量，且平移不变，因此在判断相关向量的命题时，必定重要扣三点：(1)大小，(2)方向，(3)可平移．追踪训练1(1)假如e1，e2是平面α内一组不共线的向量，那么以下四组向量中，不可以作为平面内全部向量的一组基底的是( )A．e1与e1＋e2B．e1－2e2与e1＋2e2C．e1＋e2与e1－e2D．e1＋3e2与6e2＋2e1(2)给出以下命题：①假定a≠b，那么a必定不与b共线；→②假定AB→＝DC，那么A，B，C，D四点是平行四边形的四个极点；③假定向量a与任素来量b平行，那么a＝0；④假定a＝b，b＝c，那么a＝c；⑤假定a∥b，b∥c，那么a∥c.此中正确的命题是________．(填序号)答案(1)D(2)③④解析(1)选项A中，设e1＋e2＝λe1，1＝λ，那么无解；1＝0，λ＝1，选项B中，设e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，那么－2＝2λ，无解；λ＝1，选项C中，设e1＋e2＝λ(e1－e2)，那么

1＝－λ，无解；选项D中，e1＋3e2＝12(6e2＋2e1)，因此两向量是共线向量．(2)①两个向量不相等，可能是长度不同样，方向可以同样或相反，因此a与b有共线的可能，故①不正确；→→②AB＝DC，A，B，C，D四点可能在同一条直线上，故②不正确；③零向量的方向是随意的，与任素来量平行，③正确；④a＝b，那么|a|＝|b|且a与b方向同样；b＝c，那么|b|＝|c|且b与c方向同样，那么a与c方向同样且模相等，故a＝c，④正确；⑤假定b＝0，因为a的方向与c的方向都是随意的，a∥c可能不建立，故⑤不正确．题型二平面向量线性运算→→→例2(1)在△ABC中，AB＝c，AC＝b，假定点D知足BD→＝2DC→，那么AD等于( )2152A.3b＋3c－3b3cB.2C.b－313cD.1b＋323c(2)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＝13BC，E，F分别为线段AD与BC的中点．设→→→→＝a，BC＝b，那么EF＝________，DFBA→＝________，CD＝________.(用向量a，b表示)13答案(1)A(2)b－a12b－aa－b63→→解析(1)∵BD＝2DC，→∴AD→→－AB＝BD→→→＝2DC＝2(AC－AD)，→→→∴3AD＝2AC＋AB，→∴AD2→3AC＝12→3AB3b＋＋＝13c.→(2)EF→→→＝EA＋AB＋BF＝－116b－a＋2b＝13b－a，→DF→→＝DE＋EF＝－16b＋13b－a＝16b－a，→CD→→＝CF＋FD＝－12b－12b－a＝a－b.63感悟与点拨(1)解此类题的重点在于娴熟地找出图形中的相等向量，并能娴熟运用相反向量将加减法互相转变．(2)用几个根本向量表示某个向量问题的根本技巧：①察看各向量的地点；②找寻相应的三角形或多边形；③运用法那么找关系；④化简结果．追踪训练2(1)以以下列图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三均分→点，那么EF等于( )11

A.AB－AD

23→→11→→B.2AD4AB＋11

C.ABDA

32→→＋1→2→D.ABAD－23→(2)设D为△ABC所在平面内一点，AD＝－14→→→→AB＋AC(λ∈R)，那么λ等于( )AC(λ∈R)，那么λ等于( )，假定BC＝λDC33A．2B．3C．－2D．－3答案(1)D(2)D→→→解析(1)在△CEF中，有EF＝EC＋CF.→→1∵点E为DC的中点，∴EC＝2DC.→∵点F为BC的一个三均分点，∴CF＝2→3CB.→∴EF＝1→DC22→CB＋＝312→AB＋23→DA1→＝AB－223→AD.(2)∵D为△ABC所在平面内一点，→AD＝－1→3AB＋4→3AC，→∴AD→－AC＝－1→→(AB－AC3→)，即CD＝－1→CB，3→→∴BC＝－3DC，那么λ＝－3.题型三共线向量定理的应用例3设a，b是两个不共线的非零向量．→→→(1)假定AB＝－a＋b，BC＝2a＋tb，CD＝2018a－2b，且A，B，D三点共线，那么t＝________；(2)假定8a＋kb与ka＋2b共线，那么实数k＝________.答案(1)－2018(2)±4→→→解析(1)AD＝AB＋BC→＋CD＝(－a＋b)＋(2a＋tb)＋(2018a－2b)＝2019a＋(t－1)b，→→因为A，B，D三点共线，因此AB与AD共线．→因此AD→＝μA(Bμ为实数)，即2019a＋(t－1)b＝μ(－a＋b)，解得μ＝－2019，t＝－2018.(2)因为8a＋kb与ka＋2b共线，因此存在实数λ使得8a＋kb＝λ(ka＋2b)，即(8－λ)ka＋(k－2λ)b＝0.因为a与b是两个不共线的非零向量，8－λ＝k0，因此解得λ＝±2，因此k＝2λ＝±4.k－2λ＝0，感悟与点拨(1)三点共线问题，可用向量共线来解决，应注意愿量共线与三点共线的差别和联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)当两向量共线时，要注意待定系数法和方程思想的运用．追踪训练3(1)平面向量a＝(1，x)，b＝(y,1)，假定a∥b，那么实数x，y必定知足( )A．xy－1＝0B．xy＋1＝0C．x－y＝0D．x＋y＝0→→→＝(1，－3)，OB＝(2，－1)，OC＝(k＋1，k－2)，假定A，B，C三点能组成三角

(2)向量OA形，那么实数k应知足的条件是________．答案(1)A(2)k≠1解析(1)平面向量a＝(1，x)，b＝(y,1)．假定a∥b，那么xy＝1，即xy－1＝0.(2)假定点A，B，C能组成三角形，→那么向量AB→，AC不共线．→因为AB→→＝OB－OA＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，→→→AC＝OC－OA＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)，因此1×(k＋1)－2k≠0，解得k≠1.一、选择题1．给出以下说法：→→→→①假定向量a与向量b不平行，那么a与b的方向必定不同样；②假定向量AB，CD知足|AB|>|CD|，→→→→且AB与CD同向，那么AB>CD；③假定|a|＝|b|，那么a，b的长度相等且方向同样或相反；④因为零向量方向不确立，故其不可以与任何向量平行，此中正确说法的个数是( )A．1B．2C．3D．4答案A解析②两向量不可以比较大小，故不正确；③a与b长度相等，但方向不定，故不正确；④规定0与随意愿量平行，故不正确．→2．D是△ABC的边AB的中点，那么向量CD等于( )→A．－BC＋1→2BA→B．－BC＋1→AB2→－1→BA2→＋12→BA答案A→→解析因为CD＝CB→＋BD→→→，CB＝－BC，BD＝12→BA，→因此CD→＝－BC＋1→BA.23．向量a＝(－2,3)，b＝(2，－3)，那么以下结论正确的选项是( )A．向量a的终点坐标为(－2,3)B．向量a的起点坐标为(－2,3)C．向量a与b互为相反向量D．向量a与b对于原点对称答案C4．(2021年6月学考)向量a＝(x,1)，b＝(2，－3)，假定a∥b，那么实数x的值是( )A．－2323B.C．－32D.32答案A→5.如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，那么AF→＋BD等于( )→A.FD→B.FC→→D.BE答案D→6．以下式子中，不可以化简为AD的是( )→→A．(AB＋CD→)＋BC→B．(AD→＋MB→→＋CM)＋(BC)→→→－OA＋CD→→→＋AD－BM答案D→→→→→解析A中，(AB)＋BC＋CD＝AC＋CD→＝AD；→→B中，(AD＋MB→→)＋(BC＋CM)→＝AD→→→＋(MB＋BC＋CM)→＝AD→＋(MC→＋CM→)＝AD；→→→→→C中，OC－OA＋CD＝AC＋CD→＝AD；→→D中，MB＋AD→－BM→→＝AD＋2MB，应选D.→→7．在平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，AB＝a，AD→＝b，那么BE等于( )A．－12a－bB．－12a＋b1C.a－bD.21a＋b2答案B→→→解析由题意可得BE＝BA＋AD→＋DE＝－a＋b＋12a1＝b－2a.8．点A2，－12，B13，22→，那么与向量AB同方向的单位向量是( )A.35，－435B.－，55B.－，45C.45，－345D.－，55D.－，35答案B→解析∵AB＝－32，2，→∴|AB|＝－3252＋22＝.2→∴与向量AB同方向的单位向量为→AB2＝5－→|AB|32，2＝－345，5.9．假定向量a＝(3,4)，且存在实数x，y，使得a＝xe1＋ye2，那么e1，e2可以是( )A．e1＝(0,0)，e2＝(－1,2)B．e1＝(－1,3)，e2＝(2，－6)C．e1＝(－1,2)，e2＝(3，－1)D．e1＝－12，1，e2＝(1，－2)答案C解析依据平面向量根本定理知e1，e2不共线．对于A，e1为零向量，e1，e2共线；对于B，e2＝－2e1，e1，e2共线；对于C，e1＝(－1,2)，e2＝(3，－1)，∴－1×(－1)－2×3＝－5≠0，∴e1与e2不共线，即该选项正确；对于D，e2＝－2e1，∴e1，e2共线．10．a＝(1,2＋sinx)，b＝(2，cosx)，c＝(－1,2)，(a－b)∥c，那么锐角x等于( )A．45°B．30°C．15°D．60°答案A解析由题意得a－b＝(－1,2＋sinx－cosx)，再由(a－b)∥c可得－2－(－1)×(2＋sinx－cosx)＝0，化简可得sinx＝cosx，∴tanx＝1，∴锐角x为45°.二、填空题11．e1＝(2,1)，e2＝(1,3)，a＝(－1,2)，假定a＝λ1e1＋λ2e2，那么实数对(λ1，λ2)为________．答案(－1,1)解析∵a＝λ1e1＋λ2e2＝(2λ1＋λ2，λ1＋3λ2)，又a＝(－1,2)，－1＝2λ1＋λ2，λ1＝－1，∴解得2＝λ1＋3λ2，λ2＝1，∴实数对(λ1，λ2)＝(－1,1)．→→＋BC12．四边形ABCD是边长为1的菱形，∠BAD＝60°，那么|DC|＝________.答案3解析∵四边形ABCD是边长为1的菱形，∠BAD＝60°，∴∠ADC＝120°，在△ACD中，由余弦定理得AC＝AD2＋CD2－2AD·CDcos∠ADC＝3.→∴|DC→→＋BC|＝|DC→＋AD→|＝|AC|＝3.→→→13．在边长为1的正方形ABCD中，设AB＝a，BC＝b，AC＝c，那么|b－a－c|＝________.答案2解析∵在边长为1的正方形ABCD中，→→→设AB＝a，BC＝b，AC＝c，∴|a|＝1，a＋b＝c，∴|b－a－c|＝|b－a－a－b|＝|－2a|＝2|a|＝2.→→→14．向量OA＝(k,12)，OB＝(4,5)，OC＝(10,8)，假定A，B，C三点共线，那么k＝______.答案18→→→解析BC＝OC－OB＝(6,