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文档简介
fft试证:若 满足Fourier积分定理中的条件,则有ftacostbsint其中a
01
0fcos,b
1
fsin.π π Fourier三角形式表明.表明:利用Fourier积分的复数形式,有ft
fejtejt2π 11
fcosjsin2
π 1ajbcostjsint2 由于aabb所以ft
1acost1bsint2 2 acostbsint0 0Fourier 1t2,t21
0, t0f
t ; 2)
t ;0, t21
etsin2t,t00, t13)ft 3)ft 1, 0t10, 1tFourier角形式解。 1t2,t21解:1
t Fourier0, t21F()F[f(t)]
f(t)et2f(t)costt21(1t2)costt0 0 sint 2tcost 2sint t2sint1 4(sincos)2 2 3数)
30f(t)的Fourier积分为1 1 f(t) F()ejt F()cost2π π 04(sincos)costπ 0 32)所给函数为连续函数,其Fourier变幻为FωF f(t)f(t)ettet
sin2tejtt 0 e2tje2tj 1 et ejtt [e(12jj)te(12jj)t0 2j 2j 01e(12jj)t e(12jj)t2j12jj 12jjj 1 1
0 252j0 21(2)j 1(2)j 25624数为奇函数)f(t)Fourier
(实部为偶函数,虚ft 1F()ejt2π 1 2522π 25624
costjsint1
52
costsint
1
52
tcostπ 25624 π 256242
52
costsintπ 0 25624这里用到奇偶函数的积分性质.3)所给函数有间断点f(-t)-f(t)是奇函数,其Fourier为FF f(t)f(t)ejtt2jf(t)sintt 02j11sintt
2j(cos1)(奇函数)0 f(t)的Fourier积分为1 j f(t)= Fet Fsint2π 0 π 021cossintπ 0
ft
0ft
0t-1,0,1(在间断点t0
处,右边f(t)应以
0 代替)。2Fourier1)ftet(0),cost
πet;f(t)e
cos
0 22 2 22 cos t e0 44 2
cost;sint,tπ nπn
πsint, tπ3)f(t) ,表明: 20,
tπ
0 12
0,
tπ表明:1)fte
为连续的偶函数,其Fourier变幻为FFfttejtt2tcostte e 0eecostsint222 Fourier
t0
22ft
1Fet
1
costt2π π 0 22即cost
πet0 22 22)ftetcostFourierF)ftett
tcostejtte et
ejtejt2
ejtt1 0
0
e(1jj)tt e(1jj)tt e(1jj)tt e(1jj)tt2 0 0 e(1jj)t1je(1jj)t1j
e(1jj)t1jje(1e(1jj)t1jje(1jj)t1j1 1 1
1
1 2221jj 1jj 1jj 1jj 44coscost costf(t)f(t)
1
1 22ejt 2π ejt 22 π即 cost e0 44 2
costFourierF
ftettππ
sintejttππ
sintcostjsintt2jπsintsinttjπcos1tcos1ttsinsin1t1sin1t1 π π sin sin 2jsinj
j
0 0
1 1
21F-1F
1Fet2π
12jsinπcostjsint2π 212
sinπsintsint,tππ 0 21故π
0,
tπsinπsint2sint,tπ0 12
0, tπ4fet0,t0FourierFourier解:根据Fourier正弦积分公式,并且用分部积分法,有ft2fsinsintπ 0 0 2 π0 0
tsin sinesinesin2cost2π02 sinπ0 2 2
sin0根据Fourier余弦积分公式,用分部积分法,有ft 2 f cos cosπ0 02 π0 0
tcos cosesinesin2cost2π02 cosπ0 2 2
01—2A,0t
cos求矩形脉冲函数的Fourier变幻.0,其他解:F()F jtt Aejtt
ejt A1ejt0 j j0设F 是函数ft的Fourier变幻,表明F 与ft有相同的奇偶性。表明:F 与ft是一个Fourier变幻关于,即1F ftejtt,ft F ej2π如果F 为奇函数,即F F ,则1 1ft F ej t F ej 2π 2π(令u)
1Fueutu2π (换积分变量u为ft亦为奇函数。
1Fetft2π ftftf,则Fftettftett (令tu)fueuu(换积分变量u为t)ftettF所以F亦为奇函数.ft与F同为偶函数.4fet0Fouriersin
πe00 12 2解:由Fourier正弦变幻公式,有F()Fs
t
eetsintcost12
ftsintt
etsintt0 0 12由Fourier正弦逆变幻公式,有ft
1
)
2
()sint
2sints s π 0
π 0 12由此,当t0时,可得sinπf
πe00 12 2 25.设F ftF),试表明:ftF()F(;ftF()F(。ffr
jfi
fr
fi
t均为t的实值函数,且诀别为ft的实部与虚部.因此Fftett
ftjfr
ttjsint
ftcostfr
tsinttjf
tsintfi
tcosttReFjImF其中ReF
ftcostfr
tsintt, arImFfr
tsintfi
tcosttbft为tffr诀别为
t,fi
0.此时,a式和b式 ReF
ftcosttr ImF r
tsintt所以FReFjImFReFjImFFFF,则有ReFjImFReFjImFF的实部是关于F的虚部是关于的奇函数。因此,必定有Fftcosttjftsintt r rftfr
t为t1)获证.ft为tfti诀别为
t,fr
t0式和b式 ReF i
tsintt ImFftcos i所以FReFjImFReFjImFReFjImFFFF,则有ReFjImFReFjImFF的实部是关于F的虚部是关于此,必定有Fftsinttjftcostt,i ifi
为t2)获证.FourierF(
sin
ft.F(
sin
为连续的偶函数,由公式有ftπFet1sincost2 π 0 1sint1sint2π 0 2π 0 但由于当a0时sin
sin(a)
sinttπ0 0 当a0时
0 t 2sinsin(a)π0 0 2sina
11当a00
0,所以得ft4
11 已知某函数的FourierFπδδ 0 0ft。解:由函数δtt0
gtg0
,易知ft1Fet2π 1δet1δ
et2π 0 2π 01 ejt ejt cost1 2 2 00 0sgnt1,t01, t0
的Fourier变幻。解:容易看出sgntutut,而F[u(tF(1πδ().jft
1δtaδtaδt
aδta的Fourier2
2 2变幻。解:
F F ft 1 δta δta δta δta2 2 2
jt1ejt2 t
ejtt
ejtt
aejt t2 2cosa。210。求函数ftFourier解:已知Fsint δ00δ0由ft cosit1si2t有F ft jδ 2 δ 22 2fttFourier解:已知F ej
2πδ ,由0e3 jft t
e2j 8即得F f
jδ 3 δ 1 δ 1 δ 34π求函数ft sin5t 的Fourier变幻.3解:由于3π13ft sin5t 3 2 2故F f
jδ 5 δ
3πδ 5 δ 5。2 214.表明:若F ejt F ,其中 t为一实数,则F cos
1F F2F sint
1FF2j F为F的共轭函数.表明:因为FejtejttFejtejttejtejtt 1FFetetettcostettF cost2 2 同理可证另一等式。17.求作如图的锯齿形波的频谱图。(图形见教科书)。1解:
2π,ftT
ht,0tT0 T 0, 其他C 1
ftt1T1htth0 T
T 0T 2C F
1
ftett
htett
hTtettn 0 T 00h 1 10
T 0T T2 000 jh002T jn20
ejntT000
jn0
Tett00 0
2nπF
h2δ h2δπhδ hδ.2 2nπ 0 n 0n nn0 n01-3F1
()F [f1
(t)],F2
()F [f2
(t)], ,是常数,表明(线性性质:F
(t)f(tF()
()1 2 1 2F -1F)F)f(t)f
(t)1 2 1 2FourierFourierF f1
(t)f2
(t)f
(t)f2
(t)ejtt
f(t)ejtt1
f(t)ejtt2F1
()F2
()F -1
()
)
F)F)ejt1 2 2π 1 21
()ejt
F()ejt2π 1
2 f1
)f2
(t)6.若F)F [f(t)],表明(翻转性质):F()F [f(t)]分析:根据Fourier变幻的定义,再进行变量代换即可表明.表明:F [f(t)]
ftejtt(令tu)(换u为t)
fuejuftejttF()9设函数ft1, t1,利用关于称性质表明
sintπ,1.0,t
t
0,1表明:F [f(t)]
ftejtt11
ejtt1costt1sintt0 0 由关于称性质:F [f(t)]F,则F [F(t)]2πf,有F [F(t)]
sint2πft F sint
π,1t
0,112.利用能量积分
t2t
1
F2,求下列积分的值:1)1cosxx;2)sin4
2πxx; x2 x23)
1 x;4)
x2 x. 1x2 2
1x2 2x解:1)
1cosx2
x
2sin2x2
xx sint2(令2
t)
t t t 1 sint2t 2π
F 12π
1π2 π12)
sin4xx2
x
sin2
xcos2xxx2sinx2xsinxcosx2x x x tπ1sint2tt2 π-π=π2 2
1 1 2 1 1 23)
x t
F ,其 1x2 2中
1t2
2
1t2 1
1
cost πF
ejtt2
t2 e
πe1t2从而
1t2
0 1t2 2
1 x
1
πe2
1π2e2 π
1e2
π1x2
2π π
2 0 24)
x2 x
x211x
1 x 1 x 1x2 2
1x2
1x2
1x22 π π π π πarctanx 2
22221-41。表明下列各式:2)f1
tf2
t
ftf
t
tf2 tf
ft;36)
t
ft
ft
ft
t
ft 1
2 t
2 1 t 210)ft
utt
f分析:根据卷积的定义表明。2)
t ft
ftf
t
ft1 2
3 1 2 3
u
tuu
f1
fuf3
tuu 1 3 2
fftufuuftu
ftu
uu
1 2
3 1
2 3
f1
t
tftf2
ft36)
t
ft
f
tt 1
2 t 1 2
f
t
t
ft,t 1 2 1 t 2ft
ft
f
tf
t
2 t 1
2tf
ft
ft.t 1
2 t 1 210)ft ut
futut1,t
f。 0,t
2.若f1
u,f2
sintutf1
t
ft.2注意:不能随意调换f1
f2
t的位置.解:由f1
t
etut
et,t0, t0
,ft2
sintut
sint,t0,0, t0所以f1
t
ftf2
t f1
t
ff2
t要确定f2
f1
00,f2
0;t0,f1
0
0t0
0, 即t, 因此ft f1
tf2
t
ft1
ff2
ttsinet0ettsine0(分部积分法)et
esincost 21 0esincos 1 et 21 21sincoset214F1
F f1
t,F2
F f2
t,表明:F f1
tf2
t
1F2π
*F2
表明:1F
F
FuF
uu2π 1
2
1 2 1F
uftejuttu2π 2
1 1F
u
teuttu2π
2 1 1F
ueut
tut2π 2
1 1f
t
ueutut2π 1
2 1f
t
sestetst2π 1
2
ftejtf1
ttF f1
tf2
t5.求下列函数的Fourier变幻:fsin
tu;0ftetsin
tu;05)fut;0解:1)已知F utδ
1,又j00ftsintut1etutetut.000 2j由位移性质有F ft
1πδ
1 πδ 1 2j
0
0 0 0πδ2j
δ0
0。02202)由Fourier变幻的定义,有F etsintutetsintutett0 sin
0tejtteetsintcost0200j2 00j202j205)utFourierF ut
e
utet
πδ00 j 0再由象函数的位移性质,有Fejtutt
ej
π 0 0
00 0 07.已知某信号的相关函数R中a0.解由定义知SRe1e2ae
1e2a,求它的能量谱密度S,其4 4 10
e2aej1e2aej4 4 01e2a1e2aj42aj142aje2aj 01 1 1 a 42aj 2aj 4a229fu0的能量谱密度。
t
etu
et,t0,0, t0
et,tf t
e
t
t
0,
t当0ff0的区间为,所以R
ftfttetet0ee2tte
e2t
e0
2当0ff0的区间为,所以R
ftfttetetee2tte
1 2e2te 1e2 1R
1e,ft的能量谱密度,即2S
Re
1eej 10
jej 0 1 1
j0
1 ejj j 0 1 1 j j 1221-51xtxt的解.分析:求解微分、积分方程的步骤:1)Fourier2)解代数方程得象函数;Fourier。解:设FxtXFourierXX1.即X 1 .1其逆变幻为xt0, t0.et,t04.求解下列积分方程:y 1) t2a2
1 ab;t2b222)ety 2πet2.2解:1)利用卷积定理可以求解此类积分方程。显然,方程的左端是未知函数y与 1 的卷积,即ytt2a2边取Fourier变幻,有
1 。设F ytY,关于方程两 t2 F yt 1 F 1 t2a2即
t2b2F yt
1 F 1 t2a2 t2b20
cost22
πet,有2Y
1t2a2
ejtt
1t2b2
ejtt即Y2
costt2costt0 t2a2π
0 t2b2ebπ所以Y2b πea
aebab由上可知F
2a 1
cost
t
πa, et2a2 0 t2a2 aytF -1aebabab-ab π
π-1b
eba.a-a. πbt2b-a2 2)设F ytY,关于方程两边取Fourier变幻,同理可得 t2F yt
et
F 2πe2
π 2 利用钟形脉冲函数的Fourier变幻F Aet2
Ae4Fourier定义可求得:F et
222
,从而 t2F ytF e2即2
F 2πe2Y
2πe2 2 22122
π2
e22πe22从而
πj2e2 2 2yt
-1e
-1j2e2,其中,记F fte
ft
1 et
,上式中第二项可利用微分性质
22π2F ftj2F ftj2
2,则 2 2 1 t
t21 t2F -1j2e
ft
t
2π
2 2πe2因此π
et
πt21et22
2π1
t2et2。y t 2π 2 2π
2 25x:2axtbxftchtfhtabc均为已知常数.解:设F ftF,F htH,F xtX.关于方程两边取Fourier变幻,可得XbXFcH即X从而
cHajbF,xt
X1
cH
ej.2π-1 2π
ajbF t2-1Laplace结果。1)ftsint.2分析:用Laplace变幻的定义解题. t
t st 1 j
j解:L
sin sin et
e ste
stt0 20
2 2j
2
2 1 1 1
2 Re(s)0.2j j j
4s212)fe2t
s s 2 2解:L e2te2teste2st 1 Re(s). 03)ft2解:
0 s20L t2testt1t2(est)1tet2estt0 s 0 s
0 0 2
t(est)
2testestt
2Re(s)0。s2 0
s20
s34)fsintcost.Ltcost
sintcostestt01sin2testt2 01 2 1 。2 s24 s24fcos2t. 1cos2t解:L cos2t cos2testt
estt20 01
1cos2testt
11e2jst
e2jstt2s 2 0 2s 4 0 11 1 1
s22 .2s 4s2j s2j
ss24 Laplace3, 0t21)ft
1,2t4.0, t4解:L ftftest32est4est0 0 23 2 1 4 1 es
e0 s
3e2se4s .2 s3, tπ2)ft 2.cost,tπ 2解:L ftftestt3etcosetst πst 03 π ejt
20e-jt
π23 πs
ejst
ejst e et2
estt 1e
s π 2
s 2
2js jsπ0 2 23 πs
1ejs
ejsπ 3
πs 1 πs 1e
2 2
1e2
e2Re(s)0s 2
j
js s
s21
3)fte2t5δt解:L
t
e2tδtestte2st5δtestt0 0 0 1s2
5e5t0
1s
Re(s)2.4)fcostδtsintu解:L ftδtcostutsintesttδtcosesttsinestt01
0 1ejst
0ejstcoste t0 2j 0
ete
estt1 2j
js 0
js 011 1 1 1 1 s2 Re(s).2j js js 1s2 1s212-21Laplaceft23t2.1解:由L tm
m!及L
有L t23t2
232。 sm12)f1tet。
s s3
s2 s解:L1,L
tet
1 L tet1 1 。s2 3)ftt12et.解:
+
s
-12 L t-12etL t2
2tet
et 2
1
s24s5.s-13fttcosat。
s-12
s-1 s-13Lcosat
Lcosat
s
s2a2 s ss2a2f5sin2t3cos2t
s2a2 2解:已知Lt ,Lcost s ,则s22 s22Lsin2t3cos2t5 2
3 2
103sfe4tcos4t
s24 s24 s24解:由L4ts 及位移性质有s216L e
4tcos4t
s+4 . (216若L ftFs,表明(象函数的微分性质):Fns1nL tnft, Resc特别地,L 下列各式:
tFs,或
ft1t
1Fs1)fte3tsin2t,求Fs。3322,解:L
e3tsin2t
2
+324 2 22s
4s3L te3tsin2t
s+324
+3
2 +32 2
4
42)ftt
te3tsin2tt,求Fs。0解:L te3tsin2tt1L e3tsin2t1 2 ,
s s s324 t
2
23s212s13Lt
3tsin2tt
ss324 s2s3242 3)Fslns1ft.s1Fslns1,令s1
Fsft,F's 2 1 1
etetLtftLtfts21 s1 s1故LFsft
2sinht.t若L ftFs,表明(象函数的积分性质):ftL
Fssft
1
Fss t s s 并且利用此结论计算下列各式:1)ftsinktFs。ts22解:s22k
k ,s2k2 Lsinkt
s 1
s
πsks sks t
ss2k
s s21k1
k
s 2 k 2)ft
e3tsin2tt
,求Fs。解:L e3t解:L e3tsin2t s324L e3tsin2t
2 s
πarctans3 t t
s32
2 22-3f1
t,f2
Laplace均为c且L f1
tF1
s,L f2
t
Fs,则乘积f2
tf2
的Laplace变幻一定存在,且L
tf
t
1 j
qF
sqq1 2
j 1 2其中c,Resc.表明:已知f1
t,f2
Laplace数均为c,由Laplace变幻存在定理知f1理的条件且
tf2
Laplaceftf1
tf1
tf2
tMectMectM2e2ct,0t表明f1
tf2
的增长指数为2cf1
tf2
LaplaceFs0
ftf1
testt在半平面Res2c上一定存在,且右端积分在Rescc上绝关于且一致收敛,并且且在Res2c的半平面内,Fs为解析函数。根据L f1
tF1
s,则f1
Laplaceft 1
j
qeqtq1 2πj从而
j 1L f1
tf2
t0
ftf1
testt1
qt
st F qeq
f t e t0 2πj
j 1 2(交换积分次序)
1 j
tesqttq22πjj 1 0 2 1 jF
qF
sqq2πj
j 1 2Laplace(象原函数1)Fs 1 .s2a22)Fs
ssasb。3)Fs sc .sasb210)Fss21
。s24 1 1解:1)L1 sinat。s2a2 a2)
1 a b ,sasb
absa sb s 1 L1sasb
ab
eataebtb. 3)Fs
s
ca 1 1
bc 1 ,sasb2故
ba
sa sb
ba
sb2L1 L1
c
bc ac sasb2 ba
e
tba
ebtab210)Fs
s =1
-s ,有 s21 s24
3s21 s24ftL1Fs
1tcos2t3Laplace11)Fs 。1s2426)Fslns21。s213)Fs
1e2s.s21)s1所以
2j,s2
2j均为Fs的二级极点, ftL1FsL1 1 2
ResFsests2j2s2j2
ss k1 k est est lim lim s2jss2j2 s2jss2j2 test 2s2j test 2s2j lim estlim ests2js2j2 s2j4 s2js2j2 s2j4 t
e2j
8je2j
e2j
8je2jtt16 256 16 256tte2jte2jt
1e2jte2j
sin
tcos2t8 2 16 2j 16 86)令Fslns21,Fsln 2 ,s2 s s21Fs 1 1
Letet2Ltft,s1 s1 s s21
2 L 1ln s2
f t
1cosht 。1 e2s
1
e2s13)L
1
1
1 s2
s2
s2
s2tt2ut22t1,t2 。求下列卷积:3)tmtn(mn为正整数
2-4
t
0t2tmt
tmtntmn1kCt nknk kn0 0 k0tn
1 Cktnmk
1ktmkCktnk k n
k01k
ntmk1tnk
k0ntmn1n
01kC
nmk1mk1 n nk0 k0m!n!tmn1n1!.tmtnLaplaceLaplace求出卷积sinktsinkt0。解:sinktsinkttsinsinkt1tcosktcos2kt0 2 01tcoskt1tcoskt2tk2 4k 01tcoskt
sin2tk
1tcosktsinkt.tsinh
2
0 2 2k解:tsinhtsinhtt
tsinht01tt1te
t2 0 2 01tt()20
1tt(e)2 0
12te2
tetsinhtt0 09)utaf0.
0, ta..u
a f
u a f 0
a
ft
,ta10)δtaf0。解:当taδtaft0。当ta,δtaft
tδaft0δaftft fa. a
Fs2。设L ftFs,利用卷积定理,表明:L tftt0表明:L ft utL ftL utFs1
s sL ft
ut
tuf
ftL
ftt
s
t
0 3.利用卷积定理,表明:L1
sinat.s2a2
2 2a s表明:Fs s 1 ,由ss2a2 2
s2a2
s2a2s112s112a2cosat,L12a2a有
sinatsftL1Fs
1cosatsinata
1tsincosata 0 1tsinatsinat2 tsinat
1 tsinatt2a 4a2 0tsin
1 cosat
tsinat2a 4a2
0
2a2-5求下列常系数微分方程的解:1)yye2t,y00;8)y3y3yy1,y0y0y00;12)2yy0,y0y0y00,y01;16)yy10sin2t,y00,y1.2 2 LaplaceLaplace解:1)LaplacesYsYsL e2t即
1s2Ys
1 1 。s2s
s2 s1从而方程的解为ytL1se2t
etLaplaces3Ys3s2Ys3sYsYs1s即1Ys 1 1ss33s23s1
ss13s1
0是Yss2
1是Ys的一个三级ftL1Ys2
ResYsest k1
sskests1ests13 ss1
lim2!ss2s2
sest212
est
s2t22st2s1 s31 12t2t1et。 12)关于方程两边取Laplace变幻,并且接合初始条件,有s4Yss3y0s2y0sy0y02s2Ys2sy02y0Ys0即ssYs 1sss212
s21 s21从而方程的解为yt
1scostsint
1tsint.16)关于方程两边取Laplace变幻,并且接合初始条件,有s2Yssy0y0Ys10 2s24即Ys
20 y0
20 1
1
y0,从而s21s24
s21
s21 s24
s21ytL1s
20sint10sin2ty0sint。3 3y0y1y017
,所以方程的解为2 2 3ytsint10sin2t32。求下列变系数微分方程的解:1)tyy4ty0,y03,y00;3)ty2t1y2y0,y02;5)tynyy0,y0y00,n0。1LaplaceLtyy4ty0即LLyty0,亦即ssYssy0y0sYsy04s
Ys0s从而s24YsYs0sY ss 0Y s24两边积分可得1 lnY ln s24 1
或Ys cs2s24取其逆变幻,有ycJ0
2t欲求c,y03y0cJ0
0c3,所以方程的解为y3J
2t
1k x2k其中J0
x k0
k!k12 Bessel3)方程两边取Laplace变幻,有LtyL t1yL t2y0sYssy0y02sYsy0s s2sYsy0整理化简后可得
Yss0ss22s1Ys4s1Ys6s即Ys 4 Ys 6s s1 s12这是一阶线性非齐次微分方程,这里Ps所以
4 ,Qs 6s1 s12YsePss
QsePsssc1 s14
6s12sc 2 cs1 s14从而方程的解为ytL1s2e
ct3e3!
2ct3 et(
为任意常数)15)方程两边取Laplace变幻,有Lty1nLyLy0即ssYssy0y01nsYsy0Ys0s整理化简后可得Ys 1n1s2Ys s s2两边积分可得Ys ln csn1 s即sYscsn1es
csn1
1esyt
nct2Jn
2 t (c为任意常数)其中J 称为n阶第一类Bessel函数。n3。求下列积分方程的解:1)ytattsinty;03)05)0
yyt16sin4t;yytt2et.解:1)显然,原方程可写为ytatysint两边取Laplace变幻,并且利用卷积定理,有YsaYs 1s2 s21所以 as2
1 1Y s s4
as2
s4从而方程的解为
t3yt L1
sat 6 63)原方程可写为yy16sin4t两边取Laplace变幻,并且利用卷积定理,有Ys2
64s216即s216Yss216取其Laplace逆变幻,有0ytL1s8J4t,0即表明y8J及y8J均为所求。这里,J 为零阶第一类0 0 0Bessel函数。5)原方程可写为yyt2et2两边取Laplace变幻,并且利用卷积定理,有2Ys所以2s12s1s1
s13从而方程的解为yt
2 1s te 2 π π
tet, 即yt4 tet及yt4 tet均为所求.π π求下列微分积分方程的解:1)t0
ycostyt,y01;3)yt2yt20
yu
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