习题第4章 函数应用 测试题

第四章函数应用测试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是()[答案]A[解析]二分法用来求变号零点的近似值，故选A.2．方程lgx＋x＝0的根所在区间是()A．(－∞，0) B．(0,1)C．(1,2) D．(2,4)[答案]B[解析]若lgx有意义，∴x>0，故A不正确，又当x>1时，lgx>0，lgx＋x>0，C、D不正确，故选B.3．函数f(x)的图像如图所示，则函数f(x)的零点个数为()A．1 B．2C．3 D．4[答案]D[解析]因为f(x)与x轴有4个交点，所以共有4个零点．4．函数f(x)＝x3－2x2＋2x的零点个数为()A．0 B．1C．2 D．3[答案]B[解析]∵f(x)＝x3－2x2＋2x＝x(x2－2x＋2)，若x2－2x＋2＝0，Δ＝4－8<0，∴x2－2x＋2≠0，∴f(x)的零点只有1个，故选B.5．夏季高山温度从山脚起每升高100米，降低摄氏度，已知山顶的温度是摄氏度，山脚的温度是26摄氏度，则山的相对高度为()A．1750米 B．1730米C．1700米 D．1680米[答案]C[解析]设从山脚起每升高x百米时，温度为y摄氏度，根据题意得y＝26－，山顶温度是摄氏度，代入得＝26－.∴x＝17(百米)，∴山的相对高度是1700米．6．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是()A．[－2,1] B．[－1,0]C．[0,1] D．[1,2][答案]A[解析]二分法求变号零点时所取初始区间[a，b]，使f(a)·f(b)<0.显然：f(－2)＝－3，f(1)＝6，∴f(－2)·f(1)<0.故选A.7．已知函数f(x)的图像是连续不断的，x、f(x)的对应关系如下表：x123456f(x)－－－则函数f(x)存在零点的区间为()A．区间[1,2]和[2,3]B．区间[2,3]和[3,4]C．区间[2,3]和[3,4]和[4,5]D．区间[3,4]和[4,5]和[5,6][答案]C[解析]由图表可知，f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0.故选C.8．(2022，湖北文，9)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x.则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为()A．{1,3} B．{－3，－1,1,3}C．{2－eq\r(7)，1,3} D．{－2－eq\r(7)，1,3}[答案]D[解析]令x<0，则－x>0，∴f(－x)＝(－x)2－3(－x)＝x2＋3x，又∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝x2＋3x，∴f(x)＝－x2－3x(x<0)，∴f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－3xx≥0,－x2－3xx<0)).∴g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4x＋3x≥0,－x2－4x＋3x<0)).当x≥0时，由x2－4x＋3＝0，得x＝1或x＝3.当x<0时，由－x2－4x＋3＝0，得x＝－2－eq\r(7)，∴函数g(x)的零点的集合为{－2－eq\r(7)，1,3}．9．某商品零售价2022年比2022年上涨25%，欲控制2022年比2022年只上涨10%，则2022年应比2022年降价()A．15% B．12%C．10% D．50%[答案]B[解析]1＋10%＝(1＋25%)(1－x%)，解得x＝12.10．设二次函数f(x)＝x2－x＋a，若f(－t)<0，则f(t＋1)的值()A．是正数 B．是负数C．是非负数 D．正负与t有关[答案]B[解析]因为f(t＋1)＝(t＋1)2－(t＋1)＋a＝t2＋t＋a，f(－t)＝t2＋t＋a，又∵f(－t)<0，所以f(t＋1)为负数．第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上)11．函数f(x)＝(x2－3)(x2－2x－3)的零点为________．[答案]±eq\r(3)，3，－1[解析]令f(x)＝0，得x＝±eq\r(3)，或x＝3，或x＝－1.12．关于x的方程3x2－5x＋a＝0的一个根大于1，另一根小于1，则a的取值范围是________．[答案]a<2[解析]设f(x)＝3x2－5x＋a.由题意知，f(1)<0，即－2＋a<0，∴a<2.13．用一根长为12m的细铁丝弯折成一个矩形的铁框架，则能弯成的框架的最大面积是________．[答案]9m[解析]设框架的一边长为xm，则另一边长为(6－x)m.设框架面积为ym2，则y＝x(6－x)＝－x2＋6x＝－(x－3)2＋9(0<x<6)，ymax＝9(m2)．14．已知f(x)是定义域为R的奇函数，且在(－∞，0)内的零点有2022个，则f(x)的零点的个数为________．[答案]4025[解析]因为f(x)为奇函数，且在(－∞，0)内有2022个零点，由奇函数的对称性知，在(0，＋∞)内也有2022个零点，又x∈R，所以f(0)＝0，因此共4025个零点．15．设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋bx＋cx≤0,2x>0))，若f(－4)＝2，f(－2)＝－2，则关于x的方程f(x)＝x的解的个数是________．[答案]3[解析]由已知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(16－4b＋c＝2,4－2b＋c＝－2))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝4,c＝2))，∴f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋4x＋2x≤0,2x>0))，作图像如图所示．由图像可知f(x)＝x的解的个数为3.三、解答题(本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出：(1)f(x)＝－8x2＋7x＋1；(2)f(x)＝x2＋x＋2；(3)f(x)＝x3＋1.[解析](1)因为f(x)＝－8x2＋7x＋1＝－(8x＋1)(x－1)，令f(x)＝0，可解得x＝－eq\f(1,8)或x＝1，所以函数的零点为－eq\f(1,8)和1.(2)令x2＋x＋2＝0，因为Δ＝12－4×1×2＝－7<0，所以方程无实数解．所以f(x)＝x2＋x＋2不存在零点．(3)因为f(x)＝x3＋1＝(x＋1)(x2－x＋1)，令(x＋1)(x2－x＋1)＝0，解得x＝－1.所以函数的零点为－1.17．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2－x＋m的零点都在区间(0,2)内，求实数m的范围．[解析]由题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ≥0，,f0>0，,f2>0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－4m≥0,m>0,4－2＋m>0))，解得0<m≤eq\f(1,4).所以实数m的取值范围是(0，eq\f(1,4)]．18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lgx，x≥\f(3,2)，,lg3－x，x<\f(3,2).))若方程f(x)＝k无实数解，求k的取值范围．[解析]当x≥eq\f(3,2)时，函数f(x)＝lgx是增函数，∴f(x)∈[lgeq\f(3,2)，＋∞]；当x<eq\f(3,2)时，函数f(x)＝lg(3－x)是减函数，∴f(x)∈(lgeq\f(3,2)，＋∞)．故f(x)∈[lgeq\f(3,2)，＋∞)．要使方程无实数解，则k<lgeq\f(3,2).故k的取值范围是(－∞，lgeq\f(3,2))．19．(本小题满分12分)某公司从2022年的年产值100万元，增加到10年后2022年的500万元，如果每年产值增长率相同，则每年的平均增长率是多少？(ln(1＋x)≈x，lg2＝，ln10＝[解析]设每年年增长率为x，则100(1＋x)10＝500，即(1＋x)10＝5，两边取常用对数，得10·lg(1＋x)＝lg5，∴lg(1＋x)＝eq\f(lg5,10)＝eq\f(1,10)(lg10－lg2)＝eq\f,10).又∵lg(1＋x)＝eq\f(ln1＋x,ln10)，∴ln(1＋x)＝lg(1＋x)·ln10.∴ln(1＋x)＝eq\f,10)×ln10＝eq\f,10)×＝＝%.又由已知条件：ln(1＋x)≈x得x≈%.故每年的平均增长率约为%.20．(本小题满分13分)已知关于x的函数y＝(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1恒有零点．(1)求m的范围；(2)若函数有两个不同零点，且其倒数之和为－4，求m的值．[解析](1)当m＋6＝0时，m＝－6，函数为y＝－14x－5显然有零点，当m＋6≠0时，m≠－6，由Δ＝4(m－1)2－4(m＋6)(m＋1)＝－36m－20≥0，得m≤－eq\f(5,9).∴当m≤－eq\f(5,9)且m≠－6时，二次函数有零点．综上，m≤－eq\f(5,9).(2)设x1，x2是函数的两个零点，则有x1＋x2＝－eq\f(2m－1,m＋6)，x1x2＝eq\f(m＋1,m＋6).∵eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)＝－4，即eq\f(x1＋x2,x1x2)＝－4，∴－eq\f(2m－1,m＋1)＝－4，解得m＝－3.且当m＝－3时，m＋6≠0，Δ>0符合题意，∴m的值为－3.21．(本小题满分14分)某房地产公司要在荒地ABCDE(如图所示)上划出一块长方形地面建造一幢公寓，问：如何设计才能使公寓占地面积最大？求出最大面积(尺寸单位：m)．[分析]解答本题可先进行分类讨论，在各种情况下列出函数关系式并求最值，然后比较得到所求解的情况．[解析]如图所示，设计长方形公寓分三种情况：(1)当一顶点在BC上时，只有在B点时长方形BCDB1面积最大，∴S1＝SBCDB1＝5600m2(2)当一顶点在EA边上时，只有在A点时长方形AA1DE的面积最大，∴S2＝SAA1DE＝6000m2(3)当一顶点在AB边上时，设该点为M，则可构造长方形MNDP，并补出长方形OCDE.设MQ＝x(0≤x≤20)，∴MP＝PQ－MQ＝80－x.又OA＝20，OB＝30，则eq\f(OA,OB)＝eq\f(MQ,QB)，∴eq\f(2,3)＝eq\f(x,QB)，∴QB＝eq\f(3,2)x，∴MN＝QC＝QB＋BC＝eq\f(3,2)x＋70