习题 双曲线的简单性质 课时作业 Word版含解析

双曲线的简单性质课时作业2一、选择题1.已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(3),2)，双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为()A.eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,2)＝1 B.eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,6)＝1C.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1 D.eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,5)＝1解析：由题知双曲线的渐近线为y＝±x，它与椭圆的四个交点是对称的，以这四个交点为顶点的四边形是正方形，其面积为16，可知点(2,2)在椭圆C上，即满足eq\f(4,a2)＋eq\f(4,b2)＝1又∵e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)故而b2＝5，a2＝20.∴椭圆的方程为eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,5)＝1.答案：D2.设F1，F2是双曲线eq\f(x2,4)－y2＝1的左，右焦点，P在双曲线上，当△F1PF2的面积为1时，eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))的值为()A.0 B.1C.eq\f(1,2) D.2解析：不妨设P在第一象限，eq\f(1,2)·2c·yP＝1，∴yP＝eq\f(\r(5),5)，∴P(eq\f(2\r(30),5)，eq\f(\r(5),5))，∴eq\o(PF1,\s\up6(→))＝(－eq\r(5)－eq\f(2\r(30),5)，－eq\f(\r(5),5))，eq\o(PF2,\s\up6(→))＝(eq\r(5)－eq\f(2\r(30),5)，－eq\f(\r(5),5))，∴eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，故选A.答案：A3.若实数k满足0<k<9，则曲线eq\f(x2,25)－eq\f(y2,9－k)＝1与曲线eq\f(x2,25－k)－eq\f(y2,9)＝1的()A.离心率相等 B.虚半轴长相等C.实半轴长相等 D.焦距相等解析：由0<k<9，易知两曲线均为双曲线且焦点都在x轴上，由eq\r(25＋9－k)＝eq\r(25－k＋9)，得两双曲线的焦距相等，选D.答案：D4.如右图，已知F1，F2是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左，右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF2是锐角三角形，则双曲线的离心率e的范围是()A.(1＋eq\r(2)，＋∞) B.(1,1＋eq\r(2))C.(1，eq\r(3)) D.(eq\r(3)，2eq\r(2))解析：令x＝－c，可求得点B的纵坐标为eq\f(b2,a)，由双曲线的对称性可知△ABF2为等腰三角形，∴△ABF2是锐角三角形⇔∠BF2A为锐角⇔∠BF2F1<45°⇔tan∠BF2F1<1⇔eq\f(b2,2ac)<1，即b2<2ac，∴c2－2ac－a2<0，即e2－2e－1<0，解之得1<e<1＋eq\r(2)，∴选B.答案：B二、填空题5.椭圆C1：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1与双曲线C2：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)被称为一对“情侣”曲线，设C1，C2的离心率分别为e1，e2，则eeq\o\al(2,1)＋eeq\o\al(2,2)＝________.解析：∵a>b>0，∴eeq\o\al(2,1)＝eq\f(a2－b2,a2)，eeq\o\al(2,2)＝eq\f(a2＋b2,a2)，∴eeq\o\al(2,1)＋eeq\o\al(2,2)＝2.答案：26.设点P在双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右支上，双曲线两焦点为F1、F2，|PF1|＝4|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为________．解析：∵|PF1|－|PF2|＝2a∴|PF2|＝eq\f(2,3)a，又∵|PF2|≥c－a，∴eq\f(2,3)a≥c－a，则e＝eq\f(c,a)≤eq\f(5,3)，又e>1，∴1<e≤eq\f(5,3).答案：(1，eq\f(5,3)]7.P是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上的点，F1，F2是双曲线的焦点，其离心率e＝eq\f(5,4)，且∠F1PF2＝90°，若△F1PF2的面积为9，则a＋b＝________.解析：e＝eq\f(c,a)＝eq\f(5,4)，设a＝4k，c＝5k(k>0)，则b＝3k，由题意得，|PF1|2＋|PF2|2＝100k2①，eq\f(1,2)|PF1||PF2|＝9②，(|PF1|－|PF2|)2＝64k2③，由①②③得100k2－36＝64k2，解得k＝1，∴a＋b＝7k＝7.答案：7三、解答题8.已知双曲线的中心在原点，右顶点为A(1,0)，点P在双曲线的右支上，点M(m,0)到直线AP的距离为1.若直线AP的斜率为k，且|k|∈[eq\f(\r(3),3)，eq\r(3)]，求实数m的取值范围．解：如图，由条件得直线AP的方程为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0.因为点M到直线AP的距离为1，即eq\f(|mk－k|,\r(k2＋1))＝1，∴|m－1|＝eq\f(\r(k2＋1),|k|)＝eq\r(1＋\f(1,k2)).∵|k|∈[eq\f(\r(3),3)，eq\r(3)]，∴eq\f(2\r(3),3)≤|m－1|≤2，解得eq\f(2\r(3),3)＋1≤m≤3或－1≤m≤1－eq\f(2\r(3),3)，∴实数m的取值范围是[－1,1－eq\f(2\r(3),3)]∪[1＋eq\f(2\r(3),3)，3]．9.“神舟”六号飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心(记为A，B，C)，A在B的正东方向，相距6千米，C在B的北偏西30°方向，相距4千米，P为航天员着陆点．某一时刻，A接收到P的求救信号，由于B，C两地比A距P远，在此4秒后，B，C两个救援中心才同时接收到这一信号．已知该信号的传播速度为1千米/秒．求在A处发现P的方位角．解：因为|PC|＝|PB|，所以P在线段BC的垂直平分线上，又因为|PB|－|PA|＝4，所以P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，以线段AB的中点为坐标原点，AB所在直线为x轴，正东方向为x轴正方向建立直角坐标系，如图所示，则A(3,0)，B(－3,0)，C(－5,2eq\r(3))．所以双