定积分几何应用平面图形面积

直角坐标情参数方程情极坐标情直角坐标dA

f(x)dbAaf(x)ddA

f(x)

g(x)]d

A

f(x)

g(x)]dbab一般地b

y=Aaf(x)cc

g(x)d

y=[f(x)a

g(x)]d

bxbc[g(x)b(ad

(x)]d

yyydy

x(y)

A

(y)(y)d

x(y)(cd 例1y2

xy

x21º

y2的交点(0,0)

yx22º

x

dA

xx2)d1A1

xx2)dx

2 x2

x3

30 例 计算由曲线y

x3

6xy

x2的图形的(方法1)1º

yyx2

x36yy

x36xx2

2

2º选x为积分变量 x[2,

x

d

6x)

x2]d

x

d

[

(

6x)]d

AA1A 2

(

6x

x2)d 3(x20

x3

6x)dx

2533(方法2)33A3

f(x)

g(x)dx

(

6x)

x2d 0(2

6x

x2)d

3(x20

x3

6x)dx

253说明：注意各积分区间上被积函数的形式问题：积分变量能选y吗

例3计算由曲线

y2

2x

x

4yyxy22xy2

2y

x

选y2

y[2, y2dA

(y4

)d2

A2(

4

)d2

参数方程例4

x2 y2 a2 b2

所围图形的面积解利用对称性a

有dA

y bA40yd

oxx

dx xyy

bsin

(0

2应用定积分换元法

令x

acost,令x

acost,

y

bsinx

tπ;a2a

当x

a时

t A

yd y

π2

t

oxx

dx 04ab 2

ππabaab一般地,(f(x)0,x[a,b])yyf(x)极坐标情

及围成的曲边扇形的面积在区间上任取小区间dA

1()22A12()d2(例5计 2所围图形面积AA2

)2πa2

132

4π3a23如何画出极坐标方程所表示的曲线的草图设曲线L的极坐标方程为(1由

0，即(

可确定曲线L的的取值范围；如：对于双纽线

yy由方程

令2

2θ2

32

2θOx2Ox 4

θ4

3θ 2若(

则L关于极轴对称若

(

3利用

(的符号，判

()的单调合综

画出图例 求双纽线

a2cos

所围平面图形的面积解总面积第一象限部分面积的4πA4πA A πa2sin20a2例 求双纽线与圆

所围公共部分的面积解解

π6

y4y46o4yy4a6oπ A

20 2sin 1π124 424

cos2d

π6π

cos2)

a2

π11

2 26(6

12

3)a2.内容小求

思考yyf(x)(x,y)oy=yyf(x)(x,y)oy=f(x yyfyyf(x)(x,y)oxS22S1x S2

f(x)dxxS1

xyS2

xy

f(x)dx f(x)dxxxx

2[xy f(x)dx]整理，得x

f(x)dx2即

f(x)d

2

(

两边同时对3f(x)

2f(x)

2xf

(x)3y

2y

2xy

2xy2y

2

y

xlnC,lny2

y2

因为曲线y

fx)过点

C2

9x,2

x)

y2

2x.备用例2-

求由曲线

sin

y

x与直线

xπ所围成的平面图形的面积 yo解A

f(x)0π

y g(x)d 20π 40

xx

xdxxdx

ππ2π4

x

xd 40π

x

xdx

24πππ

x

xd4xx)dx2xx)dx4xx)dx2xx)dx

x

0x)0

x

πx)π4

2

ycos

ysin 例2-2求曲

lnx

lnx e1

x

,e1

y 又lnx

1x

ye

xylnx

e1

x 1ln

1y lny

lny

e1

y

o

yxy

e1e1

xyyeee1111e

dx

1 dx

ye11e

xyo eeeeexye

y例2-

y

x(

x面积等y

x(

1)与

x轴围成的面积y解yA

x(1

1)x 10

x(

1)dx 120时

x(

1)d

1312

o 3 3

由A1

A2

2(13

1)0,2

12

2由图形的对称性

3

1,

也符合条件例4-1求由摆线x轴所围平面图形的面积A

2π0

ydx

2

a(1cost)da2

cost)2d 4a2 0

td

2aπ8a2π0

ud

(令ut2π16a2

ud

3πa20例6-

cos

(a 1a2(1o2a

)2

a2 2令t2π8a2

2cos4t0

31

π3 例7-

与 所围图形的面积

a(1

cos解

A1πa22

1a2(12

)2

2a12

a2

(3222

1cos2)d12

a( π2)例7-

求心形线

1

cosθ与圆ρ

3cos所围公共部分图形的面积解求两曲线的交点对应

,

1

3cos

12

π3A2(A1π

0

1(12

cos