离散余弦变换

离散余弦变换离散余弦变换(DiscreteCosineTransform,简称DCT变换)是一种与傅立叶变换紧密相关的数学运算。在傅立叶级数展开式中，如果被展开的函数是实偶函数，那么其傅立叶级数中只包含余弦项，再将其离散化可导出余弦变换，因此称之为离散余弦变换。DCT原理C(k)=2ccosn=0C(k)=2ccosn=0(2n+1)k兀

2N,k=0,1,...N-1k=0k=1,2,...,N-1,、2明(2n+1)k兀x(n)=「=乙c(k)C(k)cos,n=0,1,...N—1TOC\o"1-5"\h\z<N2Nk=0二维的DCT2(2m+1)k兀(2n+1)/兀Y(k,/)=c(k)c(l)„x(m,n)coscosMN2Mm=0n=0l=0,1,...,N-1。k=0k=1,2,...,M-1c(c(/)="k=0k=1,2,...,N-1二维逆离散余弦变换(IDCT)的定义如下:(2n+1)/兀cos2N2年1反1(2m+1)k^x(m,n)=."—c(k)c(/)Y(k,/)cosMN2MK=0L=0(2n+1)/兀cos2N，、小、…-、小-、…N,设y(n)=x(2n),y(N-n-1)=x(2n-1),n=0,1,...,—-12对x(n)做DCT变换，用y(n)替换x(n)，得2兀kn.sinN冗k——),k=0,1,...2兀kn.sinN冗k——),k=0,1,...N-12NX(k)=x(k)"y(n)(coscos一sinNN2Nn=0k=0k=1,2,...,N-1对y(n)做DFT变换，用欧拉公式展开，得

Y(k)=t1n=0/、2兀kn...2兀kny(n)cos+jsinNN,k=0,1,,N-1…、2很容易得出,x(k)Y(k)=t1n=0/、2兀kn...2兀kny(n)cos+jsinNN,k=0,1,,N-1…、2很容易得出,x(k)=孑x(k)cos%Thecommandsbelowcomputethediscretecosinetransformfortheautumn%image.Noticethatmostoftheenergyisintheupperleftcorner.RGB=imread('autumn.tif');I=rgb2gray(RGB);J=dct2(I);imshow(log(abs(J)),[]),colormap(jet(64)),colorbar%Nowsetvalueslessthanmagnitude10intheDCTmatrixtozero,andthen%reconstructtheimageusingtheinverseDCTfunctionidct2.J(abs(J)<10)=0;K=idct2(J);imview(I)imview(K,[0255])J的部分数据297853603.6-1762.71621-2092.82102-118.15-1461-619.01634.42-603.35311.98-386.95352.2710940779.34-521.39583.21-827.63499.28-86.533433.9385.5-2757.8-685.67-354.22974.36-1014.3-478.77137.71-100.7-2397.7365.12-680.77702.71-205.15-661.45-54.241-3875.3-645.331962.9-769.621174-159.97-10.454-141.26234.6682.381329.7-770.64731.9-157.91040.1152.08875.92872.3472.12-127.97-54.858-831.221232.6-234.97968.98-383.86-527.87-125.97-641.26-179.3372.05-826.34151.28-626.28-817.0389.972-172.79160.85-494.6-703.92-52.045-722.03415.47-171.91282.21271.9-452.22157.2-196.83-129.38350.66146.72356.730-85.975633.47019.2418.74678.66228.22-178.69253.58315.47-291.1699.85386.82-300.3528.409-256.85-22.00198.33分析：得到的系数可认为就是原始图像信号在频率不断增大的余弦函数上的投影，也就是说一个图像的DCT低频系数分布在DCT系数矩阵的左上角，高频系数分布在右下角，低频系数的绝对值大与高频系数的绝对值。中、低频系数所含有的原始信号的成份较多，所以由其反变换重构图像就能得到图像的近似部分。高频系数是在众多正交的余弦函数上投影的加权，是这些不同频率的余弦信号一起来刻画原始信号的结果，图像近似的部分在这些函数上被相互抵消了，剩下的就是图像的细节部分了。例2我们用分块函数的方法fun=@dct2;J=blkproc(I,[88],fun);imagesc(J),colormap(hot)DCT的物理意义在图像压缩编码中，减少空间相关性的主要方法是正交变换。图像经过正交变换后，能实现图像数据压缩的物理本质在于经过多维坐标系中的适当的坐标旋转和变换，能够把散在各个坐标轴上的原始图像数据，在新的坐标系中集中到少数坐标轴上，因而能够用较少编码比特数来表示一幅图像，实现图像的压缩编码。图像经DCT后，得到的DCT图像有三个特点：一是系数值全部集中到0值附近(从直方图统计的意义上)，动态范围很小，这说明用较小的量化比