冀教九年级数学上册第24章《一元二次方程》教案

冀教版九年级数学上册第24章《一元二次方程》教学设计冀教版九年级数学上册第24章《一元二次方程》教学设计112/112冀教版九年级数学上册第24章《一元二次方程》教学设计第二十四章一元二次方程1.经历从本责问题出发成立一元二次方程的过程，领悟方程是刻画现实世界中数量关系的重要模型，进一步发展符号感.2.认识一元二次方程及方程的解的见解，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程.3.会用一元二次方程根的鉴识式判断方程根的情况.4.认识一元二次方程的根与系数之间的关系.5.在认识一元二次方程的过程中领悟转变的数学思想.6.能依照详尽问题中的数量关系，列出一元二次方程并求得结果，能依照详尽的问题的实质意义检验结果的合理性.1.经过一元二次方程见解的学习，培养学生对见解理解的完满性和深刻性.2.经过对一元二次方程解法的研究，培养学生数学推理的严实性及慎重性，同时培养学生追求简略方法的研究精神及创新意识.3.经过列一元二次方程解应用题，进一步培养学生成立数学模型的能力，同时提升学生分析问题、解决问题的能力.1.经过学习一元二次方程的见解，领悟类比思想在数学中的应用.2.经过学习配方法、因式分解法解一元二次方程，向学生浸透转变思想在研究数学问题中的应用，同时体验知识之间的联系，激发学生爱数学、学数学的兴趣.3.经过对求根公式的推导，向学生浸透数学中的分类思想.4.领悟数学本源于生活，又应用到生活，由设未知数列方程向学生浸透方程的思想方法，培养学生应用数学解决问题的意识.方程是科学研究中重要的数学思想方法，也是后续内容学习的基础和工具，它是初中数学中的基础内容，在初中数学中据有重要地位，一元二次方程是在学习了一元一次方程、二元一次方程(组)、不等式知识的后继学习，它和学习一元一次方程、二元一次方程组同样，也能够表达好多本责问题中的数量关系，是分析和解决好多实质问题的重要的数学模型之一.本章在初中代数中起着承前启后的作用，一方面对以前学过的一些内容进行综合应用，如研究解方程的方法时开平方、一元一次方程、完满平方公式、因式分解等知识都有应用，另一方面，一元二次方程又是前边所学知识的继续和发展，是学好二次函数不可以缺少的知识，也是学好高中数学的确定工程.本章主要让学生进一步领悟在本责问题中成立方程模型，一元二次方程的见解、基本解法及应用都是重要的基础知识，解方程的基本思想是化归思想，将“二次”方程转变成两个“一次”方程求解，包括了重要的数学思想和数学方法，其中配方法是初中数学中的基本方法，经过对配方法的学习，研究出一元二次方程的求根公式，进而研究出根与系数之间的关系.本章内容重新至尾置于实质情况中，使学生充分感觉和经历在本责问题中抽象出数学模型，领悟方程是刻画现实世界的一个有效模型，领悟数学在实质中的应用价值.经过学习本章内容进一步培养学生化本责问题为数学问题的能力和分析问题、解决问题的能力，培养应用数学的意识.【要点】1.一元二次方程及其相关见解.2.用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程.3.能应用根的鉴识式、根与系数之间的关系解决相关问题.4.利用本责问题成立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题.【难点】1.用配方法解一元二次方程.2.选择合适的方法解一元二次方程.3.在本责问题中追求等量关系，进而抽象出一元二次方程数学模型.1.一元二次方程是初中数学最重要的数学模型之一，经过成立一元二次方程模型解决本责问题，能够使学生更深入地领悟数学与现实世界的联系，因此从本责问题抽象出一元二次方程的相关见解及数学符号表示，学生用类比思想理解并掌握一元二次方程、解的见解及一般形式.2.一元二次方程的解法中，浸透“降次”的转变思想，即把方程转变成两个一元一次方程，教材由实质背景引入，成立一元二次方程模型，研究将二次降为一次的方法，转变成一元一次方程求解.配方法是推导一元二次方程的求根公式的工具，引导学生用配方法导出求根公式，进而领悟不同样解法的优缺点与相互的联系，培养学生灵便解一元二次方程的能力与扎实的运算功底.3.一元二次方程根的鉴识式的学习，使学生理解一元二次方程根的存在情况与系数之间的关系.研究一元二次方程根与系数的关系，不但为了一元二次方程理论的完满性，更重要的是初高中的连结问题，经过这节课的学习，培养学生学习数学的慎重性和数学思想能力.4.数学本源于生活，并应用于生活中，数学与生活息息相关，应用一元二次方程解决本责问题，引导学生分析其中的已知量、未知量和等量关系，成立一元二次模型，得出方程的解，并检验所得的结果可否吻合实质，得出拥有一般意义的一元二次方程的解法，让学生经历“问题情况—成立模型—求解考据”的数学活动过程，培养学生建模思想，渐渐形成应妄图识.一元二次方程1课时解一元二次方程3课时一元二次方程根与系数的关1课时系*一元二次方程的应用3课时回顾与反思1课时一元二次方程1.理解一元二次方程的见解.2.掌握一元二次方程的一般形式，正确认识二次项系数、一次项系数及常数项.3.领悟一元二次方程是刻画本责问题的重要数学模型.4.理解一元二次方程解的见解.1.经过一元二次方程的引入，培养学生建模思想，概括、分析问题及解决问题的能力.2.领悟数学本源于生活，又回归生活的理念.3.由设未知数、列方程向学生浸透方程的思想，进而进一步培养学生数学思想能力.1.培养学生主动研究知识、自主学习和合作交流的意识.2.激发学生学数学的兴趣，领悟学数学的快乐，培养用数学的意识.3.领悟数学知识与现实世界的联系.【要点】一元二次方程的见解及一般形式.【难点】1.由详尽问题抽象出一元二次方程的转变过程.2.正确鉴识一般式中的“项”及“系数”.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】预习教材P34~35.导入一::【课件显现】教材章前图，请同学们阅读章前问题，并回答以下问题一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端A处到地面的距离为8m.若是梯子的顶端沿墙面下滑1m，那么梯子的底端B在地面上滑动的距离也是1m吗?你能列方程解决这个问题吗?学生分析等量关系:A'B'2=A'C2+B'C2.，于是得方程2-2x2.设梯子的底端在地面上滑动的距离xm10=(81)+(6+)整理得x2+12x-15=0.【问题】这个方程可否是我们前边学过的方程?导入二:观察以下方程:【课件显现】(1)3x-2=0，(2)x2+2x-3=0，(3)x+=0，(4)x2-5=0.哪些是我们学过的一元一次方程?其他方程与一元一次方程有什么不同样?【师生活动】复习方程、一元一次方程及方程的解的见解.【学生活动】小组合作交流，观察新方程，分析元和次，试一试为新方程定义.[设计妄图]让学生在本责问题中成立一元二次方程模型，领悟数学本源于生活，经过复习一元一次方程的见解，让学生用类比的方法从已有的知识系统中自然地成立出新知识.[过渡语]方程是一类重要的数学模型，在现实生活中拥有广泛的应用.在学习了一元一次方程、二元一次方程组和分式方程的基础上，现在我们来学习一元二次方程.共同研究一教材中观察与思虑取的本责问题，设未知数，成立方程模型【课件显现】以下列图，某学校要在校园内墙边的空地上修筑一个长方形的存车处，存车处的一面靠墙(墙长22m)，其他三面用90m长的铁栅栏围起来.若是这个存车处的面积为700m2，求这个长方形存车处的长和宽.思路一教师引导学生思虑并回答:长方形存车处的长与宽之间的数量关系为，该问题中的等量关系为.(1)设长方形存车处的宽(靠墙的一边)为xm，则它的长为m，长方形存车处的面积为.由此，我们能够列出方程，化简得.(2)设长方形存车处的长(与墙垂直的一边)为xm，则它的宽为m，长方形存车处的面积为.由此，我们能够列出方程，化简得.【师生活动】教师引导分析，学生回答，经过所设未知数，依照题意列出方程，老师谈论并分析怎样成立一元二次方程的数学模型，整理所列出的方程.【课件显现】-解:(1)设长方形存车处的宽(靠墙的一边)为xm，则它的长为m.依照题意，可得方程-·x=700.整理，得x2-90x+1400=0.(2)设长方形存车处的长(与墙垂直的一边)为xm，则它的宽为(90-2x)m.依照题意，可得方程(90-2x)·x=700.整理，得x2-45x+350=0.思路二小组活动，共同研究，思虑以下问题:(1)分析题意，题中的已知条件是什么?(2)分析题意，题中的等量关系是什么?(3)怎样设未知数，依照题中等量关系怎样列方程?(4)分析下边小明和小亮列方程的做法，他们的解题思路和所列方程可否正确?【课件显现】小明的做法:-设长方形存车处的宽(靠墙的一边)为xm，则它的长为m.依照题意，可得方程-·x=700.整理，得x2-90x+1400=0.小亮的做法:设长方形存车处的长(与墙垂直的一边)为xm，则它的宽为(90-2x)m.依照题意，可得方程(90-2x)·x=700.整理，得x2-45x+350=0.【师生活动】教师先出示问题(1)~(3)，学生谈论交流后出示问题(4)，学生再进行交流.教师在巡视过程中及时解决疑难问题，学生谈论后小组显现结果，教师及时补充和谈论.[设计妄图]师生共同分析商议本责问题中的等量关系，列出方程，为引出一元二次方程的见解做铺垫，同时提升学生成立方程模型解决生活中本责问题的能力.共同研究二共同概括见解请口答下边问题.(1)上边方程整理后含有几个未知数?(2)上边方程中未知数x的最高次数是几次?(3)方程两边都是整式吗?(4)你能类比一元一次方程的见解，给出一元二次方程的定义吗?【学生活动】小组合作交流，类比一元一次方程定义，试一试给出一元二次方程的定义.老师谈论概括:一元二次方程满足三个条件:(1)都只含一个未知数x;(2)它们的最高次数都是2次;(3)方程两边都是整式.【课件显现】只含有一个未知数，而且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程.[设计妄图]学生经过合作交流，类比一元一次方程的定义得出一元二次方程的定义，领悟类比思想在数学中的应用，同时培养学生概括总结能力及合作交流能力.[过渡语]我们认识了一元二次方程的相关见解，现在同学们比一比谁理解得更透彻吧.【课件显现】请抢答以下各式可否为一元二次方程:(1)2x2=9;(2)2x2-1=3y;(3)4x2+3=2x;=0;-(5)5x2-2x+3;(6)2x(x+2)=5x-2;(7)3x(x-1)=3x2-5.【师生活动】学生以抢答的形式来完成该题，并让学生说出判断原由.教师对学生给出的答案作出谈论和概括，并让学生概括判断易错点——先化简再判断.[设计妄图]经过抢答进一步加强一元二次方程的见解满足的三个条件，同时提高学生学习数学的兴趣和积极性.共同研究三一元二次方程的一般形式【思虑1】类比一元一次方程的一般形式，你能不可以够写出一元二次方程的一般形式?【课件显现】一元二次方程的一般形式为:ax2+bx+c=0(a≠0).其中ax2是二次项，a是二次项系数;bx是一次项，b是一次项系数;c是常数项.【思虑2】(1)任何一个一元二次方程可否都能够整理成一般形式?(2)一元二次方程的二次项系数为什么不可以够为0?(任何一个一元二次方程都能化成一般形式;当一元二次方程的二次项系数a=0，b≠0时，方程为一元一次方程)【师生活动】学生独立思虑后，小组合作交流，教师对学生的显现进行谈论、概括.[设计妄图]经过概括一元二次方程的一般形式，让学生理解掌握数学符号语言在数学中的应用，更深入地理解一元二次方程的见解，同时重申了一元二次方程见解中的易错点.[过渡语]我们又知道了一元二次方程的一般形式，试一试我们能不可以够完成以下问题.【课件显现】做一做:将以下一元二次方程化为一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项.(1)4x2=3(x+4);(2)(2x-3)(3x-2)=10;-(3)·=7;(4)(2x-1)(2x+1)=(3x+1)2.〔分析〕一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)，因此，经过去分母、去括号、移项、合并同类项等法规先将一元二次方程进行整理，再依占相关见解求解.解:(1)原方程可化为:4x2-3x-12=0.其中二次项系数为4，一次项系数为-3，常数项为-12.(2)原方程可化为:6x2-13x-4=0.其中二次项系数为6，一次项系数为-13，常数项为-4.(3)原方程可化为:2x2+x-48=0.其中二次项系数为2，一次项系数为1，常数项为-48.(4)原方程可化为:5x2+6x+2=0.其中二次项系数为5，一次项系数为6，常数项为2.追问:求一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项时应注意什么?(一是先化简成一般形式;二是书写系数时不要遗漏前边的符号)【师生活动】学生独立思虑回答，教师进行谈论概括.[设计妄图]经过做一做，让学生认识求一元二次方程的项或项的系数时，先化成一元二次方程一般形式再求解，加深对一元二次方程一般形式的理解.共同研究四一元二次方程的根【思虑】1.什么是一元二次方程的解?(使一元二次方程两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解)板书:一元二次方程的解也叫做这个方程的根.2.怎样判断一个数值可否是一元二次方程的根?(将这个数值代入一元二次方程，若是方程左右两边相等，则该数值是方程的根;若是方程左右两边不相等，则该数值不是方程的根)【课件显现】做一做:在以下各题中，括号内未知数的值，哪些是它前面方程的根?(1)x2-3x-4=0(x=0，x=-1，x=4);(2)(x+2)(x-2)=12(x=-1，x=-4，x=4);(3)2y2-y-1=0，，-.【师生活动】学生独立完成并回答，教师谈论.[设计妄图]经过做一做让学生真切理解和掌握一元二次方程的根的见解.[知识拓展]1.判断一个方程是一元二次方程需同时满足三个条件:(1)是整式方程;(2)只含有一个未知数;(3)未知数的最高次数是2.同时要注意二次项系数不可以够为0.2.一元二次方程的一般形式的特点是方程的右边为0，左边是关于未知数的二次整式.3.一元二次方程的项或系数是针对一元二次方程的一般形式而言的，因此写项或系数时，要先化成一般形式，而且都包括前边的符号.4.判断一个数值可否是一元二次方程的根的方法:将这个数值代入一元二次方程，若是方程左右两边相等，则该数值是方程的根;若是方程左右两边不相等，则该数值不是方程的根.5.若是已知a是一元二次方程的根，把x=a代入方程，方程左右两边相等，能够求待定系数的值，整体思想是常用的数学思想.1.一元二次方程见解需要满足三个条件:(1)是整式方程;(2)只含有一个未知数;(3)未知数的最高次数是2.2.一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)，易错点是忽略重申a≠0.3.确定一元二次方程的项与系数时必然先化成一般形式，书写时应注意包括前边的符号.4.一元二次方程的解也叫一元二次方程的根.5.依照本责问题列一元二次方程的要点是读懂题意，找到题目中的等量关系.6.本节课用到了类比思想、整体思想解决数学问题.1.在以下方程中，一元二次方程的个数是()①x2+=;②ax2+bx+c=;③(x-1)(x+2)=x2-1;④3x2-=0;⑤x2-1=x.A.2个B.3个C.4个D.5个:(1)含有一个未知数;(2)未知数的最高次数是分析:一元二次方程必定满足三个条件2;(3)是整式方程，同时注意二次项系数不为0.①④⑤满足条件，②中二次项系数可能为0，③化简后不含有二次项，不吻合定义.应选B.2.一元二次方程7x-2x=0的二次项、一次项、常数项依次是()2A.7x，2x，02，-2x，无常数项2，0，2x2，-2x，0分析:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中ax2是二次项，bx是一次项，c是常数项.因此该方程中二次项、一次项、常数项依次是7x2，-2x，0.应选D.3已知=2是一元二次方程x2+mx+2=0的一个解，则m的值是()A.-3C.0D.0或3分析:把x=2代入方程，得4+2m+2=0，解得m=-3.应选A.4.若(m-2)-=-3是一元二次方程，则m=.分析:依照一元二次方程的见解知未知数x的最高次数是2，且二次项系数不为0，得m2-2=2，m-2≠0，解得m=-2.故填-2.5.依照题意填空.(1)若是两个连续奇数的积是323，求这两个数，若是设其中较小的一个奇数为x，你能列出求解x的方程吗?，一般形式为.(2)以下列图，在宽为

20m，长

30m的矩形场所上，修筑同样宽的两条道路，余下的部分作为耕地，要使耕地的面积为

500m2，若设路宽为

xm，则可列方程为，一般形式为.分析:(1)依照两个奇数的积是323，列方程，得x(x+2)=323，化简，得x2+2x-323=0;(2)将两条道路平移到矩形的边上，矩形的长为(30-x)m，宽为(20-x)m，依照余下的耕地面积为500m2，列方程，得(20-x)(30-x)=500，化简，得x2-50x+100=0.答案:(1)x(x+2)=323x2+2x-323=0(2)(20-x)(30-x)=500x2-50x+100=0一元二次方程共同研究一教材中观察与思虑取的本责问题，设未知数，成立方程模型共同研究二共同概括见解共同研究三一元二次方程的一般形式共同研究四一元二次方程的根一、教材作业【必做题】教材第36页习题A组第1，2，3题.【选做题】教材第36页习题B组第1，2题.二、课后作业【基础牢固】1.以下方程为一元二次方程的是()2=0B.2(x2-1)=3yC.-=0D.(x-3)2=(x+3)22.已知x=-1是方程ax2+bx+c=0的一个根，则等于()m-3-2x+1=0是一元二次方程，则m=.3.关于x的方程x4.若关于x的一元二次方程(m-1)x2+2x+m2-1=0的常数项为0，则m的值为.5.已知x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，则代数式a2+b2+2ab的值是.6.以下列图，某小区规划在一个长30m，宽20m的长方形ABCD上修筑三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其他部分种花草.要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道的宽应设计成多少米?设通道的宽为xm，由题意列方程得.7.将以下方程化成一元二次方程的一般形式，并指出各项系数.(1)(2x-1)2=7;(2)3x2+5(2x+1)=0.【能力提升】.若关于x的方程k2-x2+-x+5=0是一元二次方程，则k的取值范围是.8(4)9.已知x=2是关于x的方程x2-2a=0的一个解，则一次函数y=ax-1的图像不经过第象限.10.(2015·菏泽中考)已知m是方程x2-x-1=0的一个根，求m(m+1)2-m2(m+3)+4的值.【拓展研究】11.已知关于x的方程(m2-1)x2-(m+1)x+m=0.(1)x为什么值时，此方程是一元一次方程?(2)x为什么值时，此方程是一元二次方程?并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项.【答案与分析】1.A(分析:B中含有两个未知数，C中方程不是整式方程，D中方程化简后不含有x的二次项，只有A吻合一元二次方程定义.应选A.)2.A(分析:把x=-1代入方程可得a-b+c=0，∴a+c=b，∴==1，应选A.)3.5(分析:依照一元二次方程的定义可得m-3=2，解得m=5，故填5.)，4.-1(分析:由题意得因此m=-1，故填-1.)，5.1(分析:把x=1代入方程可得1+a+b=0，∴a+b=-1，∴a2+b2+2ab=(a+b)2=(-1)2=1，故填1.)6.(30-2x)(20-x)=6×78(分析:设道路的宽为xm，将6块草地平移为一个长方形，长为(30-2x)m，宽为(20-x)m.依照长方形面积公式即可列方程(30-2x)(20-x)=6×78.)7.解:(1)2x2-2x-3=0，二次项系数为2，一次项系数为-2，常数项为-3.(2)3x2+10x+5=0，二次项系数为3，一次项系数为10，常数项为5.≥1且k≠2(分析:一元二次方程满足二次项系数不为0，该题易忽略考虑二次根式的被开方数为非负值.)9.二(分析:把x=2代入方程可得a=3，因此一次函数为y=3x-1，函数图像过第一、三、四象限，故填二.)10.解:∵m是方程x2-x-1=0的一个根，∴m2-m=1，∴m(m+1)2-m2(m+3)+4=-m2+m+4=-(m2-m)+4=-1+4=3.11.解

:(1)由题意得

-

，

即

m=1

时，方程

(m2-1)x2-(m+1)x+m=0

是一元一次方程，-2x+1=0.(2)由题意得m2-1≠0，即m≠±时，方程(m2-1)x2-(m+1)x+m=0是一元二次方程.此方程的二次项系数是m2-1，一次项系数是-(m+1)，常数项是m.由于学生已经学习了一元一次方程及相关见解，授课中力求表现“问题情况——数学模型——见解概括”的模式.类比一元一次方程的相关见解，经过自主学习、小组交流、共同概括、练习检测等环节让学生在欢喜的课堂上掌握了本节课的要点，学生在课堂中发挥主体作用，让数学课堂有了生命力，在本节课，大多数学生能体验成功的快乐，激发了学生学习兴趣.在练习中学生经历由浅入深，由易到难的过程，提升了学生分析问题、解决问题的能力，同时浸透了数学建模思想、整体思想在数学中的应用，使学生的数学思想和数学能力获得提升.在授课过程中，小组合作交流还存在个别学生参加意识不强的现象，有些问题教师引导不到位，比方本责问题中成立数学模型时，经过题意不可以够找到等量关系时，没有很好地帮助学生提升分析问题的能力.本节课虽采用了学生自主学习、共同研究的方法，但是仍是没有松开手脚，教师仍是急于解决下边的问题，给学生思虑、交流的时间还不是很充分，应该把课堂英勇交给学生，让学生亲自经历知识形成过程，加深对知识的理解和掌握.本章内容的难点为一元二次方程的应用，在引出一元二次方程的相关见解时，经过创立实质情况，成立一元二次方程的模型，经过观察方程特点，类比一元一次方程的相关见解得出新见解，学生在本责问题中成立数学模型时，教师应给足够的时间交流、研究.在学习一元二次方程见解时，英勇放手，让学生经过自主学习，理解掌握有关见解，领悟类比思想在数学中的应用，真切让学生在课堂上动起来.练习(教材第35页)1.解:(1)是，二次项系数为2;一次项系数为1;常数项为-1.(2)不是.(3)是，二次项系数为3;一次项系数为0;常数项为-12.(4)是，二次项系数为1;一次项系数为-2;常数项为-1.2.解:依照题意，得(40-4x)(60-2x)=800.习题(教材第36页)A组1.解:以下表所示:二次一次常数题号一般形式项项项(1)x2-121=0x20-121(2)x2-2x-11=0x2-2x-11(3)x2-x-2=0x2-x-2(4)6x2-7x-21=06x2-7x-212.解:设小亮为x岁，则小丽为(x+1)岁，可列方程x(x+1)=210;设小丽为x岁，则小亮为(x-1)岁，可列方程x(x-1)=210.化简两个方程，得x2+x-210=0，x2-x-210=0，都是一元二次方程.3.解:由于直角三角形的三条边长是三个连续整数，因此两条直角边长分别为x-1，x-2.依照题意，得(x-2)+(x-1)=x，整理，得x-6x+5=0.1.解:当a-1≠0，即a≠1时，该方程为关于x的一元二次方程.2.解:当v0=25m/s，g=10m/s2，h=20m时，可得关于t的方程20=25t-×t2，即20=25t-5t2，整理得t2-t.5+4=0成立数学模型，类比概括见解1.一元二次方程是初中数学的重要模型，它与生活实质息息相关，因此以生活实际问题为背景导入新课，领悟数学本源于生活，又应用到生活中去，激发学生学习兴趣.经过分析生活本责问题中的等量关系，成立方程模型，经过观察所得方程，很自然引出了本节课的课题即本节课的要点.2.类比方法是数学中重要的方法，因此本节课类比以前学过的一元一次方程的相关见解，让学生经过自主学习、小组交流方式研究新知识，重难点基本能够解决，教师合时点拨即可让学生掌握重难点.3.本节课重难点、易错点的掌握经过不同样形式的练习加以牢固，让学生积极参加，培养竞争意识，激发学习兴趣，教师随时注意学生们出现的问题，及时引导和反响，使学生在快乐中掌握知识.整体思想及学过的知识与本节课的要点结合成为了本节课的一个难点，在习题的设计上要难易适中，有合适的梯度，敬爱学生差异，对有困难的学生多关注，培养学生综合能力的提升.226的值.已知α是方程x-2016x+1=0的一个根，试求α-2015α+α22α，即〔分析〕由于是方程x-x的一个根，因此α-2016+1=02016+1=022.注意化简α-2016α=-1，α+1=2016α，将所求代数式化简，整体代入法可求代数式的值22时转变成与α-2016α，α+1相关的代数式.222解:由题意可得α-2016α+1=0，∴α-2016α=-1，α+1=2016α，2626∴α-2015α+=α-2016α+α+=-1+α+6=-1+α+6=-1+=-1+2016=2015.解一元二次方程1.能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程.2.会依照方程的不同样特点，灵便采用合适的方法解方程.3.不解方程，会判断一元二次方程根的情况.4.能利用一元二次方程解决本责问题，加强学生的数学应妄图识和能力.1.在研究一元二次方程的解法过程中，领悟转变、降次、分类等数学思想在数学中的应用.2.参加对一元二次方程解法的研究，体验数学发现的过程，培养学生观察和总结的能力，发展数学思想.3.经过正确、熟练地解一元二次方程，提升学生的综合运算能力.1.经过对一元二次方程解法的研究，感觉数学的慎重性，培养学生的数学建模意识和合情推理能力.2.经过师生的共同活动，培养学生积极参加、主动研究的精神，发展学生合作意识.3.由生活本责问题抽象出一元二次方程，培养学生的数学建模意识及数学应妄图识，激发学生的学习兴趣.第课时1.会依照平方根的定义解简单一元二次方程.2.知道形如(ax+b)2=p的方程能够用直接开平方法求解.3.理解并掌握用配方法解简单的一元二次方程.4.能利用配方法解决本责问题，加强学生的数学应妄图识和能力.1.经过比较、转变，总结得出配方法的解题步骤，提升学生的推理能力.2.经历研究用配方法解一元二次方程的步骤，体验数学发现的过程，感悟转变思想在解一元二次方程中的运用.3.经过用配方法熟练地解一元二次方程，培养学生的运算技巧，提升学生的计算能力.1.经过师生的共同活动，培养学生积极参加、主动研究、敢于公布见解的精神.2.激励学生积极主动地参加知识的形成过程，激发求知的欲望，体验成功的快乐，加强学习的兴趣和自信心.3.经过配方法的研究活动，培养学生勇于研究的优异学习习惯，感觉数学的慎重性以及数学结论的确定性.4.经过用配方法将一元二次方程变形的过程，让学生进一步领悟转变的思想方法，并加强他们的数学应妄图识和能力，激发学生的学习兴趣.【要点】利用配方法解简单的一元二次方程.【难点】经过配方把一元二次方程转变成(x+m)2=n(n≥0)的形式.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】预习教材P37~39.导入一:【课件显现】一桶油漆可刷的面积为1500dm2，张明用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部表面面，你能算出盒子的棱长吗?【师生活动】学生思虑，教师引导回答以下问题:(1)设其中一个盒子的棱长为xdm，则一个正方体的表面积为dm2;(2)题目中的等量关系为;因此，依照题意可列方程;化简可得.【师生活动】学生在教师的引导下完成填空，教师及时引导和点拨.追问:怎样解这个方程?5和-5是方程的两个根，它们都吻合问题的实质意义吗?(棱长不可以够为负数，因此正方体的棱长为5dm)【课件显现】解:设其中一个盒子的棱长为xdm，则一个正方体的表面积为6x2dm2.依照题意，得×6x2=1500，整理，得x2=25，依照平方根的意义，得x=±.即x1=5，x2=-5(不合题意，舍去).答:其中一个盒子的棱长为5dm.导入二:1.什么是一个数的平方根?平方根有哪些性质?2.计算:9的平方根是，的平方根是.3.若x2=36，则x的值是.4.什么是完满平方公式?【师生活动】共同复习平方根的见解和性质及完满平方公式.[设计妄图]由本责问题导入新课，让学生领悟数学本源于生活，又应用于生活，激发学生学习数学的兴趣，同时教师引导学生分析解决问题，为今后学习一元二次方程的应用打下基础.经过复习平方根的见解和性质及完满平方公式，让学生很自然地应用旧知识解决新问题.[过渡语]我们复习了平方根的定义，依照平方根的定义能够解某些特其他一元二次方程，让我们试一试解这些方程吧.试着做做【课件显现】1.依照平方根的意义，解以下方程:(1)x2=4;(2)(x+1)2=4.【师生活动】学生独立思虑回答，教师规范书写.解:(1)依照平方根的意义得x=±，x1=2，x2=-2.(2)依照平方根的意义得x+=±，x+1=2或x+1=-2，x1=1，x2=-3.【思虑】方程的左右两边满足什么形式时，利用平方根的意义，能够直接开平方解一元二次方程?(方程左边是完满平方式的形式，方程右边是一个非负数.即(x+m)2=n，其中n≥0)【师生活动】学生独立思虑后小组合作交流，教师对学生的显现进行谈论、归纳.【课件显现】2.解以下方程:(1)x2+2x+1=4;(2)x2+2x-3=0.教师引导分析，思虑以下问题并回答:(1)方程(2)与方程(1)的差异是什么?(方程(1)左边能够化简成完满平方式，方程(2)左边不是完满平方式)(2)把常数项移项，怎样把方程(2)的左边化成与方程(1)的左边同样?(移项，得x2+2=3，依照等式的性质，方程两边同时加1能够化成与(1)的左边相x同)(3)能不可以够配方后解方程?(配方后用直接开平方法能够求解)【师生活动】学生小组合作交流，教师在巡视过程中帮助有困难的学生，小组代表板书解题过程，教师谈论.解:(1)原方程可化为(x+1)2=4，x+=±，∴x+1=2或x+1=-2，x1=1，x2=-3.(2)原方程可化为x2+2x+1=4，即(x+1)2=4，∴x+=±，∴x+1=2或x+1=-2，x1=1，x2=-3.追加提问:经过上边的研究，解一元二次方程的基本策略是什么?【师生活动】学生思虑，教师提示:由方程(x+1)2=4，获得方程x+1=2或x+1=-2，方程的次数有什么变化?将新知识化成原来学过的知识，是数学中常用的转变思想.(“降次”是解一元二次方程的基本策略，解一元二次方程时就是把一个一元二次方程“降次”，达到转变成两个一元一次方程的目的)[设计妄图]经过研究利用平方根的意义解一元二次方程的方法，学生做好新旧知识的连结，同时练习的设计由浅入深，学生易于理解和掌握本节课的学习要点.引导学生比较练习(1)和(2)两个方程，发现它们之间的联系，进而找到解决问题的打破口，依照完满平方公式进行配方，领悟从特别到一般，从详尽到抽象的思想过程.做一做【课件显现】先把以下方程化为(x+m)2=n(m，n是常数，n≥0)的形式，再求出方程的根.(1)x2+2x=48;(2)x2-4x=12;(3)x2-6x+5=0;(4)x2+x-=0.思路一【课件显现】依照完满平方公式填空:(1)x2+2x+()2=(x+)2;(2)x2-4x+()2=(x-)2;(3)x2-6x+()2=()2;(4)x2+x+(

)2=(

)2.【师生活动】

学生独立思虑后，小组谈论交流，共同完成，教师及时谈论

.教师重申:当一次项系数为负数或分数时，要注意运算的正确性.【思虑】1.当二次项系数为1时，配方常常数项和一次项系数之间有什么关系?(当完满平方式的二次项为1时，常数项是一次项系数一半的平方)2.以上方程左边能不可以够化成完满平方的形式?3.你能将以上方程左边化成完满平方形式后求出该方程的解吗?【师生活动】学生独立思虑后，小组合作交流，教师对有困难的学生进行指导，小组代表显现，教师谈论过程中重申易错点.解:(1)原方程可化为x2+2x+1=49，即(x+1)2=49，x+=±7，∴x+1=7或x-，∴+1=7x1=6，x2=-8.(2)原方程可化为x2-4x+4=16，即(x-2)2=16，x-=±，∴x-2=4或x-2=-4，x1=6，x2=-2.(3)原方程可化为x2-6x+9=4，即(x-3)2=4，x-=±，∴x-3=2或x-3=-2，x1=5，x2=1.(4)原方程可化为x2+x+=1，即=1，x+=±，∴x+=1或x+=-1，x1=，x2=-.[设计妄图]经过复习利用完满平方知识填空，学生概括、猜想、考据二次项系数为1时，常数项与一次项系数之间的关系，为用配方法解一元二次方程的学习打下基础，同时培养学生概括猜想能力.经过练习，牢固将方程左边化为完满平方式后，直接开平方解一元二次方程的方法，为概括配方法解方程做好铺垫.思路二【思虑】1.观察方程(1)和(2)，你可否将方程左边配成完满平方形式?2.方程(1)(2)左边化成完满平方式时，方程右边怎样变化才能使方程依旧成立?3.方程(3)(4)怎样转变成方程(1)(2)的形式?4.你能将方程(3)(4)的左边化成完满平方形式吗?5.请你试一试求出以上方程的解.【师生活动】学生独立思虑后，给学生足够的时间进行小组合作交流，教师在巡视过程中帮助有困难的学生，小组代表板书解答过程，教师进行谈论.解决过程同思路一.[设计妄图]经过教师提出的问题，学生有目的地进行合作交流，搜寻解一元二次方程的新的方法，培养学生勇于研究的精神及合作意识，课件显现解答过程，达到规范学生做题习惯的目的.概括总结:【课件显现】经过配方，把一元二次方程变形为一边为含未知数的一次式的平方，另一边是常数，当常数为非负数时，利用开平方，将一元二次方程转变成两个一元一次方程，从而求出原方程的根，这类解一元二次方程的方法叫做配方法.【思虑】你能概括出配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤吗?【师生活动】小组合作交流，共同研究，教师对学生的显现进行概括总结.【课件显现】配方法解一元二次方程的步骤:(1)移项(常数项移到方程右边);(2)配方(方程两边都加前一次项系数的一半的平方);(3)开平方;(4)解出方程的根.[设计妄图]经过小组合作概括结论，培养学生合作意识和概括总结能力.例题讲解【课件显现】用配方法解以下方程:(1)x2-10x-11=0;(2)x2+2x-1=0;【师生活动】学生独立完成，小组内交流答案，比一比哪个小组所用时间短，而且正确率高，教师在巡视过程中帮助个别有困难的学生.解:(1)移项，得x2-10x=11.配方，得x2-10x+52=11+52，即(x-5)2=36.两边开平方，得x-=±6.因此x1=11，x2=-1.(2)移项，得x2+2x=1.配方，得x2+2x+12=1+12，即(x+1)2=2，两边开平方，得x+=±.因此x1=-1+，x2=-1-.[设计妄图]经过练习进一步牢固配方法解一元二次方程的步骤，经过比赛形式训练学生的计算能力，培养学生的竞争意识.做一做:【课件显现】关于方程2x2+4x+1=0，怎样用配方法求解呢?教师引导分析:(1)该方程能不可以够按上边的方法先移项，此后直接配方?(观察方程移项后，二次项系数不为1，因此不可以够直接配方)(2)观察该方程和上边方程有什么差异?(二次项系数不为1)(3)怎样把二次项系数化为1?(依照等式的基本性质，方程两边同时除以二次项系数可得)(4)依照上边的分析，试一试完成解方程.【师生活动】小组谈论交流，共同研究解方程的方法，教师对有困难的学生恩赐合适提示.小组交流后学生板书解题过程，教师指导点拨.解:移项，得2x2+4x=-1，二次项系数化为1，得x2+2x=-，配方，得x2+2x+1=-+1，(x+1)2=

，∴x+=

±

，x1=-1+，x2=-1-.思虑并回答:用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么?[设计妄图]几个问题的设计是层层递进的，化解了授课的难度，学生在研究、交流的过程中掌握了知识，培养了数学思想和分析问题、解决问题的能力，同时再次培养学生的概括总结能力.【课件显现】用配方法解方程:2x2+3=6x.【师生活动】学生独立完成后小组交流答案，教师在巡视过程中帮助有困难的学生.解:移项，并将二次项系数化为1，得x2-3x=-.配方，得

x2-3x+

-，即

-

.两边开平方，得x-=±.因此x1=-，x2=.[知识拓展]1.直接开平方法是解一元二次方程的最基本的方法，主要解形如(ax+b)2=c(c≥0)的一元二次方程，解方程的理论依照是平方根的定义.2.利用直接开平方法解一元二次方程时，要注意开方的结果.3.方程(ax+b)2=c中，当c<0时，方程没有实数根.4.配方法是对二次项和一次项配方，因此一般先把常数项移到方程右边，再利用等式的性质将方程两边都加前一次项系数一半的平方(二次项系数必定为1).5.用配方法解一元二次方程，实质就是对一元二次方程变形，转变成直接开平方法所需要的形式.配方为了降次，利用平方根的定义把一元二次方程转变成两个一元一次方程来解.1.依照平方根的见解可解形如(ax+b)2=c(c≥0)的一元二次方程.2.经过配方，把一元二次方程变形为一边为含未知数的一次式的平方，另一边是常数，当常数为非负数时，利用开平方，将一元二次方程转变成两个一元一次方程，进而求出原方程的根，这类解一元二次方程的方法叫做配方法.2.解一元二次方程的基本思路:降次——把一元二次方程化为(x+h)2=k(k≥0)的形式后两边开平方，使原方程变成两个一元一次方程，3.用配方法解一元二次方程的一般步骤:(1)移项(把常数项移到方程的右边);(2)把二次项系数化为1(方程两边同时除以二次项系数a);(3)配方(方程两边都加前一次项系数一半的平方);(4)开平方(依照平方根意义，方程两边开平方);(5)求解(解一元一次方程).1.若代数式2x2-6的值为12，则x的值为()A.3B.C.±分析:由题意可得2x2-6=12，移项，得2x2=18，系数化为1，得x2=9，直接开平方，得x=±.应选C.2.方程(1-x)2=2的根是()A.-1，，-3C.1-，1+D.-1，+1分析:直接开平方，得1-x=±，即1-x=或1-x=-，解得x1=1-，x2=1+.应选C.3.已知x2-8x+15=0，左边化成含有x的完满平方形式，其中正确的选项是()x2-8x+(-4)22-8x+(-4)22+8x+42=1D.x2-4x+4=-11分析:移项，得x2-8x=-15，两边同时加一次项系数一半的平方，得x2-8x+(-4)2=1.应选

B.2+6x+

=(x+

)2，a2-

+=(a-

)2.分析:二次项系数为

1时，完满平方式中常数项是一次项系数一半的平方

.答案:9

3a2+2x-5=0

配方后的方程为

.分析:移项，得x+2x=5，两边同时加1，得x+2x+1=6，配方得(x+1)=6.故填(x+1)=6.(1)x2-4x+4=5;(2)3(x-1)2-6=0;(3)x2+2x-3=0;(4)9y2-18y-4=0.解:(1)化简得(x-2)2=5，直接开平方得x-=±，因此x-2=或x-2=-，解得x1=2+，x2=2-.(2)移项得3(x-1)2=6，系数化为1，得(x-1)2=2，直接开平方得x-=±，即x-1=或x-1=-，因此x1=1+，x2=1-.(3)移项，得x2+2x=3，两边同时加1，得x2+2x+1=4，配方得(x+1)2=4，∴x+1=2或x+1=-2，∴x1=1，x2=-3.(4)移项，得9y2-18y=4，两边同时除以9，得y2-2y=，两边同时加1，得y2-2y+1=+1，配方得(y-1)2=，∴y-1=或y-1=-，∴y1=1+，y2=1-.第1课时试着做做做一做例题讲解一、教材作业【必做题】教材第39页习题A组第1，2，3题.【选做题】教材第40页习题B组第1，2题.二、课后作业【基础牢固】的解是.方程x2=9()1(+1)C.2或-4D.±2.(2015·滨州中考)用配方法解一元二次方程x2-6x-10=0时，以下变形正确的为()A.(x+3)2=1B.(x-3)2=1C.(x+3)2=19D.(x-3)2=193.若是方程2(x-3)2=72，那么这个一元二次方程的两根是..方程x2x-5=0的解是.4+45.若分式-.的值为0，则x的值为-6.解以下方程:(1)3x2-=0;(2)12(3-2x)2-3=0;(3)x2+6x-5=0;(4)x2+3=2x;(5)3x2+2x-1=0.【能力提升】7.代数式

的值为0，则x的值为.8.用配方法证明:代数式x2+8x+17的值恒大于零.9.以下列图，在ABC中，∠B=°，点P从点B开始，沿BA边向点A以1cm/s的速度搬动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度搬动，若是AB=6cm，BC，P，Q都从B点同时出发，几秒后PBQ的面积等于2=12cm8cm?【拓展研究】ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式时，关于10.嘉淇同学用配方法推导一元二次方程b2-4ac>0的情况，她是这样做的:由于a≠0，方程ax2+bx+c=0变形为:x2+x=-，第一步x2+x+=-，第二步，第三步-x+(b2-4ac>0)，第四步--x=，第五步嘉淇的解法从第步开始出现错误;事实上，当b2-4ac>0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是.用配方法解方程:x2-2x-24=0.【答案与分析】1.C(分析:直接开平方得x+=±，即x+1=3或x+1=-3，∴x=2或x=-4.).移项，得x2-x，配方，得x2-x，即x-2，应选D.)2D(6=106+9=19(3)=191=9，x2=-3(分析:系数化为1，得(x-3)2=36，直接开平方，得x-=±6，x-3=6或x-3=-6，x1=9，x2=-3.)1=1，x2=-5(分析:移项，得x2+4x=5，两边同时加4，得x2+4x+4=9，配方得(x+2)2=9，∴x+2=3或x+2=-3，∴x1=1，x2=-5.故填x1=1，x2=-5.)5.-2(分析:由题意可得x2-4=0，解得x=±，又分母不为0，∴x-2≠0，∴x=-2，故填-2.)6.解:(1)移项，得3x2=，系数化为1，得x2=，∴x1=，x2=-.(2)移项，得12(3-2x)2=3，两边都除以

12，得(3-2x)2=

，∴

-2x=±，即

3-2x=

或

3-2x=-

，∴x1=，x2=7.()

∵x2+6x=5

，∴x2+6x+9=5+9，∴(x+3)2=14，∴x+=

±

，∴x1=

-3，x2=-

-3.

()

∵x2-2

x=-3，∴

x

2

-2

x+3=0

，∴

(

x

-

)

2

=0

，

∴

x

1

=x

2=

.()

∵x2+2x=1，∴x2+x=，∴x2+x+

，∴

，∴x+=±，∴x1=

，x2=-1.7.2(分析:由题意得x2-x-2=0，解方程得x1=-1，x2=2，又x2-1≠0，∴x=2，故填2.)8.证明:x2+8x+17=(x+4)2+1，∵(x+4)2≥0，∴(x+4)2+1≥1，∴x2+8x+17的值恒大于0.9.解:设x秒后PBQ的面积等于8cm2，则PB=xcm，BQ=2xcm，依题意，得x·2x=8，因此x2=8，依照平方根的意义，得x=±，即x1=2，x2=-2.能够考据，2和-2都是方程x·2x=8的根，但是搬动时间不可以够是负值.因此2秒后PBQ的面积等于8cm2.--10.解:四x=移项，得x2-2x=24，配方，得x2-2x+1=24+1，即(x-1)2=25，开方得x-=±，∴x1=6，x2=-4.本节课以生活实例和复习平方根的相关见解导入新课，让学生领悟生活中各处有数学，激发学生学习兴趣，开平方及完满平方式是学习配方法的基础，经过复习为本节课的学习做好铺垫.综合运用研究式、启示式、活动式等方法进行授课，依照因材施教，次序渐进原则，以问题形式表现，学生经过思虑、交流、研究、显现、概括等活动，发展学生分析问题、解决问题的能力.学生活动多以小组谈论、共同研究为主，学生在课堂上比较活跃，积极参加，给数学课注入了生命活力.本节课知识的概括总结是学生在老师的引导下完成，培养了学生的概括总结能力，同时学生的数学思想获得了培养.本节课在师生共同研究中完成，在研究活动中有些学生参加意识不强，特别在小组内交流的知识有难度时，部分学生无从下手的感觉，比方研究完满平方式一次项系数与常数项之间的关系，以及二次项系数不为1时，怎样用配方法解方程时，教师应及时引导，将问题难度降低，激发学生学习热情.另一方面，对易错点的重申还存在不足之处，应让学生自己概括易错点，加深印象.本节课的主要内容是研究配方法解一元二次方程，整体设计由浅入深，层层递进，先由平方根的见解解特其他一元二次方程，再经过研究二次项系数为1的二次三项式配成完满平方式，很自然地研究二次项系数为1的一元二次方程的解法，最后研究二次项系数不为1的一元二次方程的解法，教师引导学生用转变思想转变成二次项系数不为1的一元二次方程求解，学生在教师的引导、小组合作交流的学习形式下，由浅入深地研究新知识，学生易于理解和掌握，同时学生亲自经历知识的形成过程，使学生数学思想能力获得提升.练习(教材第39页)1.提示:(1)x1=-8，x2=6.(2)x1=-8，x2=2.(3)x1=-9，x2=1.(4)x1=x2=1.2.提示:(1)方程两边同时除以3，得x2-2x=，配方得(x-1)2=，故x1=1+，x2=1-.(2)x1=1，x2=.习题(教材第39页)A组1.提示:(1)x1=-5，x2=9.(2)x1=3+26，x2=3-26.(3)x1=x2=-4.(4)x1=，x2=-.2.提示:(1)x1=-，x2=.(2)x1=，x2=-(3)x1=6-6.，x2=.8866(4)=，=-.x1x23.解:设矩形的宽为xcm，则长为(x+2)cm，依照题意，得x(x+2)=15，解得x1=3，x2=-5(不合题意，舍去)，则x+2=5.即矩形的宽为3cm，长为5cm.组1.解:设较小的正整数为x，则较大的正整数为x+1.依照题意，得x(x+1)=156，解得x1=12，x2-不合题意，舍去).则x+1=13，即这两个连续正整数分别为，.=13(12132.解:设草坪的宽为xm，则花坛的长为(24-2x)m，宽为(12-2x)m，因此(24-2x)·(12-2x)=××.整理得x2-18x+32=0，解得x1=16，x2=2.当x=16时，花坛的长和宽都是负数，不合题意，舍去，因此x=2.因此花坛的长为20m，宽为8m.侧重研究活动，培养学生数学思想能力1.与一元一次方程、二元一次方程组对照，一元二次方程的解法涉及更多的知识，能够依照方程的特点选择不同样的解法.本节课的配方法是初中数学授课中的重要内容，也是数学学习的主要思想方法.配方法诚然不是解一元二次方程的主要方法，但是经过配方法能够推导出公式法的求根公式，而且是今后运用配方的思想解决一些数学问题的基础.因此本节内容在教材中起到承前启后的作用，在整个初中的数学学习都起到至关重要的作用.2.在授课中注意找准学生的近来发展区，主要以启示学生进行研究的形式张开，在知识研究的过程中，经过设计既有联系又层层递进的问题，给学生充分的时间进行交流研究，教师及时发现问题并加以引导，经过学生的合作交流经历知识的形成过程，进而打破本节课的难点，并让学生领悟成功的欢喜，同时培养了学生分析问题、解决问题的能力及数学思想能力.3.本节的要点是配方法解一元二次方程的研究，让学生领悟从特别到一般，从具体到抽象的思想过程，此后概括总结出配方法解一元二次方程的一般步骤，既能够培养学生概括总结能力，又加深了学生对本节课要点知识的印象.若a，b，c是ABC的三边长，且a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，试判断ABC的形状.〔分析〕将已知等式右边移项到左边，配方后利用完满平方式的非负性，求出a，b，c的值，此后依照勾股定理的逆定理判断三角形的形状.解:∵a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，∴a2-6a+b2-8b+c2-10c+50=0，a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0，∴(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0，a=3，b=4，c=5，∴a2+b2=c2.∴ΔABC为直角三角形.第课时1.理解一元二次方程求根公式的推导过程.2.会用根的鉴识式判断一元二次方程的根的情况.3.熟练地使用求根公式解一元二次方程.1.经过研究一元二次方程的求根公式，提升学生的观察能力、分析问题能力，同时培养学生的数学建模意识.2.经过正确、熟练地使用求根公式解一元二次方程，提升学生的综合运算能力.3.经过研究求根公式的推导及应用过程，获得成功的数学体验，加强学好数学的信心.1.研究公式的过程中，小组之间的交流合作，进一步发展学生合作交流的意识和能力，让学生体验数学活动充满着创立和乐趣.2.发展学生独立思虑、勇于研究的创新精神，向学生浸透转变思想，让学生感觉数学中的内在美.【要点】根的鉴识式及用公式法解一元二次方程.【难点】一元二次方程求根公式的推导过程.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】预习教材P40~42.导入一:韦达是16世纪法国最伟大的数学家之一，当比利时数学家提出一个一元45次的方程的求解问题向各国数学家挑战时，法国国王把这个问题交给了韦达，韦达当时就得出一解，回家后一鼓作气，很快又得出22解，答案宣告，震惊世界.像这类高次方程，有没有一个通法，也就是说:关于每个次数的一元方程可否找出一公式来求解，一直是各国数学家都想解决的一个问题.我们今天就来研究一下，一元二次方程可否可找出一个公式，我们在解这类方程的时候按公式代入就行了呢?导入二:【课件显现】用配方法解以下方程.(1)x2-6x-15=0(2)4x2-3x+2=0【师生活动】学生独立完成后，小组内交流答案.师生共同复习配方法解一元二次方程的一般步骤.【课件显现】(1)移项，得x2-6x=15，配方，得x2-6x+9=15+9，即(x-3)2=24，开方得x-=±6，x-3=26或x-3=-26，∴x1=3+26，x2=3-26.(2)移项，得4x2-3x=-2，二次项系数化为1，得x2-x=-，配方，得x2-x+=-，66即-=-，6-<0，∴原方程无实数根.6[设计妄图]经过数学家的故事，激发学生学习数学的兴趣，激发学生学习本节课的求知欲;经过对旧知识的回顾，学生再次经历了配方法解方程的全过程，为本节课配方法研究一元二次方程的求根公式做好铺垫，同时让学生获得成功的欢喜，调动学生的学习热情，唤醒学生的思想，为后边的研究确定了优异的基础.[过渡语]我们复习了配方法解一元二次方程的一般步骤，若是这个一元二次方2程是一般形式ax+bx+c=0(a≠0)，你可否用上边配方法的步骤求出它的两根?2共同研究一用配方法解方程ax+bx+c=0(a≠0)【课件显现】依照配方法解方程的一般步骤，将方程ax2+bx+c=0(a≠0)左边配成完满平方形式.思路一教师引导分析填空.移项，得.将二次项系数化为1，得.配方，得x2+x+=-+.整理，得.于是，获得-.思路二【师生活动】学生独立思虑后进行推导，并针对自己推导过程中的问题小组讨论交流，教师在巡视过程中帮助有困难的学生.课件显现推导过程，有错误的学生及时改正.解:移项，得ax2+bx=-c，方程中的二次项系数化为1，得x2+x=-.配方，得x2+x+=-.即-.共同研究二一元二次方程的求根公式问题1一元二次方程(x+m)2=n必然有根吗?【师生活动】学生思虑回答，教师及时指导和补充.问题2一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)配方后的方程-必然有根吗?【师生活动】学生小组谈论，共同研究，规范书写过程.教师连续板书过程.∵a2>0，()当b2-4ac>0时，->0，-x+=±.方程有两个不相等的实数根:x1，x2.==(2)当b2-4ac=0时，-=0，=0.方程有两个相等的实数根:x1=x2=-.(3)当b2-4ac<0时，-≥0，方程没有实数根.<0，而[设计妄图]让学生亲自经历一元二次方程求根公式的推导，有利于求根公式的掌握，学生在发现问题、共同交流的过程中，培养了分析问题、解决问题的能力，同时规范了学生的数学语言，领悟了数学中的分类思想.概括总结:【思虑】(1)不解方程，你能判断一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况吗?(2)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是什么?【师生活动】学生小组合作交流，师生共同得出结论.(课件显现同时板书)关于一元二次方程ax2+bx+c=0:(1)当b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根;(2)当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根;(3)当b2-4ac<0时，方程没有实数根.我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的鉴识式.--当b2-4ac≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0的两实数根能够用x=.求出的这个式子叫做一元二次方程的求根公式.利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.教师重申:(1)用一元二次方程根的鉴识式能够判断一元二次方程根的情况;(2)一元二次方程的根由系数a，b，c决定;(3)用公式法解一元二次方程时，先将方程化成一般形式，确定a，b，c的值，然后代入公式求解.[设计妄图]经过小组合作交流，既加深了学生对根的鉴识式和求根公式的认识，又培养了学生的合作意识和概括总结能力，同时达到了熟练记忆求根公式的目的，为熟练判断一元二次方程根的情况及应用公式解方程供应了理论依照.[过渡语]我们学习了一元二次方程根的鉴识式及公式法解一元二次方程，下边让我们经过例题检验一放学习情况吧.例题讲解【课件显现】(教材41页例3)不解方程，鉴识以下方程根的情况:(1)x2+3x+2=0;(2)x2-4x+4=0;(3)2x2-4x+5=0.【师生活动】教师提问:不解方程，怎样判断一元二次方程根的情况?学生回答后教师谈论，然后学生迅速演算或口算出b2-4ac，进而判断出根的情况，看谁做得既快又正确，学生回答后教师课件显现解答过程.解:(1)这里a=1，b=3，c=2.b2-4ac=32-××=，∴原方程有两个不相等的实数根.(2)这里a=1，b=-4，c=4.∵b2-4ac=(-4)2-××=，∴原方程有两个相等的实数根.(3)这里a=2，b=-4，c=5.b2-4ac=(-4)2-××=-24<0，∴原方程没有实数根.【课件显现】(教材41页例4)用公式法解以下方程:(1)4x2+x-3=0;(2)x2-2x-5=0.【师生活动】学生独立思虑后完成，小组内交流答案，教师在巡视中指导有困难的学生，学生显现答案后教师谈论规范解题过程.解:(1)这里a=4，b=1，c=-3.b2-4ac=12-××(-3)=49>0，--7∴x=，8即x1=，x2=-1.(2)这里a=1，b=-2，c=-5.b2-4ac=(-2)2-××(-5)=24>0，∴x=-(-)6=±6，即x1=1+6，x2=1-6.追问:你能总结公式法解一元二次方程的步骤吗?(将所给方程化成一般形式;找出系数a，b，c;计算鉴识式b2-4ac;代入求根公式)[设计妄图]经过例题让学生熟练掌握根的鉴识式及公式法解方程，看谁判断速度快，激发学生的竞争意识，培养学习兴趣;演示解方程的过程，规范答题格式，培养学生慎重的学习态度.[知识拓展]公式法解一元二次方程的一般步骤:(1)将所给的方程变成一般形式，注意移项要变号，尽量让a>0;(2)找出系数a，b，c，注意各项的系数包括符号;(3)计算b2-4ac，若结果为负数，方程无解;(4)若结果为非负数，代入求根公式，算出结果.1.用根的鉴识式判断一元二次方程的根的情况

:当b2-4ac>0

时，方程有两个不相等的实数根;当

b2-4ac=0

时，方程有两个相等的实数根

;当

b2-4ac<0

时，方程没有实数根

.--2.求根公式:当b2-4ac≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0的两实数根为x=.3.公式法解一元二次方程的步骤.4.用公式法解方程应注意的问题:先将方程化为一般形式，确定，，c的值时注意符号，当24≥0时，将，abb-acab，c的值代入求根公式.1.关于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，以下表达正确的选项是()方程总有两个实数根B.只有当b2-4ac≥0时，方程才有两个实数根C.当b2-4ac<0时，方程只有一个实数根D.当b2-4ac=0时，方程无实数根分析:一元二次方程根的情况由根的鉴识式b2-4ac决定，当b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根;当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根;当b2-4ac<0时，方程无实数根.应选B.2.一元二次方程x2-4x+5=0的根的情况是()有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根没有实数根分析:方程中a=1，b=-4，c=5，代入根的鉴识式计算得b2-4ac=(-4)2-××=-4<0，因此方程没有实数根.应选D.3.当m=时，关于x的一元二次方程2x2+mx+2=0有两个相等的实数根.分析:由方程2x2+mx+2=0有两个相等的实数根得b2-4ac=0，即m2-××=，∴m2=16，∴m=±.故填±.4.已知关于x的一元二次方程-x2+(2m+1)x+(1-m2)=0，当m为什么值时，该方程没有实数根?解:b2-4ac=(2m+1)2-×(-)×(-m2)=4m+5，∵该方程没有实数根，∴m+5<0，m<-.5.公式法解以下方程:(1)x2-3x-1=0;(2)4x2-3x+1=0;(3)5x+2=3x2.解:(1)a=1，b=-3，c=-1，b2-4ac=(-3)2-××(-1)=13>0，(-)∴x=，即x1=-，x2=.(2)a=4，b=-3，c=1，∵b2-4ac=(-3)2-××=-7<0，∴方程无实数根.(3)原方程可化为3x2-5x-2=0，a=3，b=-5，c=-2，b2-4ac=(-5)2-××(-2)=49>0，∴x=7，6即x1=2，x2=-.第2课时共同研究一用配方法解方程ax2+bx+c=0(a≠0)共同研究二一元二次方程的求根公式例题讲解一、教材作业【必做题】教材第42页习题A组第1，2题.【选做题】教材第42页习题B组第1，2题.二、课后作业【基础牢固】1.以下方程中没有实数根的是()22+x+2=02+8x+1=02-2x+2=02若m为不等于零的实数，则方程2+mx-m2=0的根的情况是().xA.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.有两个实数根D.没有实数根3.方程x2+x-1=0的一个根是()-B.-C.-1+D.4.(2015·广东中考)若关于x的方程x2+x-a+=0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是()≥≤2C.a>2

D.a<25.一元二次方程

ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是

，条件是

.6.关于

x的一元二次方程

(k-1)x

2+2x-2=0

有两个不相等的实数根，则

k的取值范围是

.7.当x=

时，代数式

x2-8x+12

的值是

-4.8.公式法解以下方程:(1)4x2-x-3=0;(2)3x2+1=2x;(3)(x+1)(x-1)=2x;(4)4x2-3x+1=0.【能力提升】9.已知关于x的方程x2+(1-m)x+=0有两个不相等的实数根，则m的最大整数值是.10.已知关于x的方程x2-(m+2)x+(2m-1)=0.(1)求证:方程有两个不相等的实数根;(2)若此方程的一个根是1，央求出方程的另一个根，并求出以此两根为两边长的直角三角形的周长.【拓展研究】11.某电厂规定:该厂家属区的每户居民一个月用电量不高出A千瓦时，那么这户居民这个月只交10元电费，若是高出A千瓦时，那么这个月除了交10元用电费外高出部分还要按每千瓦时元收费.(1)若某户2月份用电90千瓦时，高出规定A千瓦时，则高出部分电费为多少元?(用A表示)(2)下表是这户居民3月、4月的用电情况和交费情况.用电量(千瓦交电费总金额月份时)(元)3801544510依照上表数据，求电厂规定的A值为多少.【答案与分析】1.B(分析:分别求各方程的鉴识式b2-4ac，满足b2-4ac<0的方程是x2+x+2=0.应选B.)2.B(分析:方程中a=1，b=m，c=-m2，代入根的鉴识式计算得b2-4ac=m2-××(-m2)=5m2>0，因此方程有两个不相等的实数根.应选B.)3.D(分析:方程中a=1，b=1，c=-1，代入求根公式可得，应选D.)4.C(分析:b2-4ac=1-4->0，即1+4a-9>0，解得a>2，应选C.)--Δ=b2-4ac≥05.x=6.k>且k≠1(分析:∵一元二次方程(k-1)x2+2x-2=0有两个不相等的实数根，∴b2-4ac>0，且k-1≠0，即4-4(k-)×(-2)>0，且k≠1，解得k>且k≠1，故填k>且k≠1.)7.4(分析:依照题意列方程得x2-8x+12=-4，解方程可得x1=x2=4，故填4.)8.解:(1)a=4，b=-1，c=-3，b2-4ac=1-

××(-3)=49>0，∴x=

8

7，∴x1=-

，x2=1.(2)将方程化为一般形式

3x2-2

x+1=0

，∵a=3

，

b=-2

，

c=1

，∴b2-4ac=(

-2

)2-

××

=

∴，x1=x2=

.

(3)将方程化为一般形式为

x2-2

x-1=0

，∵a=1

，

b=-2

，c=-1，∴

b2-4ac=(

-2

)2-

×

×(-1)=12>0，∴x=

，x1=，x2=-.(4)a=4，b=-3，c=1，∴b2-4ac=(-3)2-××=-7<0，∴方程无实数根..分析依照题意得=(-m2-×>0，解得m，因此m的最大整数值为.故填.90(:)<00)10.(1)证明:m+2)=(2-××(m-1)=m2+4m+4-8m+4=m2-4m+8=(m-2)2+4，∵(m-2)2≥0，∴(m-2)2+4≥4，∴无论m取何值都有>，∴方程有两个不相等的实数根.(2)解:把x=1代入方程可得1-(m+2)+2m-1=0，解得m=2，因此原方程为x2-4x+3=0，解方程可得x1=1，x2=3，∴方程的另一个根是x=3.当1，3为直角三角形的两条直角边时，由勾股定理得斜边长为，此时周长为4+;当3为直角三角形的斜边时，另素来角边长为-=2，此时周长为4+2.11.解:(1)高出部分电费=(90-A)·=-A2+A，答:高出部分电费为-A2+A元.(2)依题意得(80-A)·=15，解得A1=30，A2=50.∵A应大于45千瓦时，A=30千瓦时舍去，答:电厂规定的A值为50千瓦时.本节课经过复习配方法解一元二次方程，很自然地引出用配方法解一般形式的一元二次方程，进而推出求根公式，在研究求根公式的过程中，教师经过设计一个个的小问题，给学生留下足够的思虑时间和空间，让学生经过自主学习，合作交流等活动，积极主动地研究知识，同时让学生领悟了数学中的分类思想在数学中的应用.在整节课中无论是公式的推导，仍是公式的应用，都是在教师的引导下，学生自己完成的，注重了知识的形成过程，熬制了学生的发散思想.在课堂检测中编排的习题既侧重本节课基础知识的训练，又侧重学生能力的培养，整节课学生在欢喜的课堂气氛中掌握了知识，培养了能力.本节课有一元二次方程根的鉴识式和求根公式两个要点内容，在研究公式的过程中有部分学生对字母系数的方程不够熟悉，造成推导公式的困难，因此在时间安排上，学生思虑时间很短，如一元二次方程根的鉴识式与方程根之间的关系，没给学生留充分的思虑时间.其他过高地预计了学生的能力，学生对求根公式是陌生的，造成课堂训练受骗算出错很多的情况.本节课的主要内容是研究一元二次方程根的鉴识式和求根公式，在课堂上不是让学生背公式、套公式解方程，而应让学生初步成立对一些规律性的问题加以概括、总结的数学建模意识，由学生亲自领悟公式推导的全过程，提升学生推理能力和逻辑思维能力，同时进一步发展学生合作交流的意识，帮助学生形成积极主动的求知态度.因此在授课方案中，要给学生充分的时间思虑和交流，让学生做课堂的主人，教师针对学生的困难合时引导，让学生的分析问题及解决问题的能力真切获得提升.练习(教材第42页)1提示:(1)两个不等实根.(2)无实根.(3)两个相等实根.(4)两个不等实根..2.提示:(1)x1=-1，x2=3.(2)x1=x2=-.(4)x1=3+7，x2=3-7.(3)x1=，x2=.习题(教材第42页)A组--71.解:(1)a=3，b=5，c=-2，由于b2-4ac=52-××(-2)=49>0，因此x=6，因此x1=，x2=-2.(2)a=3，b=-2，c=-1，由于b2-4ac=(-2)2-××(