理论力学-13动静法动力学重要原理

动力学重要原理— 原理衡的理论来求解。这种解答动力学问题的方法，称动静法JeanleRondd’Alembert1743年成 2 1744年：《流体的平衡和运 1747线现象的成因。17521761～1781年：了8 的著作被汇编成《全集》，共5卷，1821年，1967年重印。第十第十 静§13–1惯性力的概§13–2质点的动静§13–3质点系的动静§13–4刚体惯性力系的简 原理的应 §§13- 惯性力的概 FF'FmaF 力F是由于小车具有惯性，力图保持原来F定义：质点

FI

方向：与加速度的方向相作用位置：迫使质点产生加速度的施力物体上 FI

投影式

maxmay

m

d2xdt2d2dt

FIFnmaFI

m2m2d2z

maz

m

Fbma 注意质点惯性力不是作用在质点上的真实力，它是质点对施力体的反作用力。6 §§13- 质点的动静非自由质点M，质量m，受主动力F约束反力FN共同作用

F

maFFFN MFMF7FFFN 在质点运动的任一瞬时，质点所受的主动力、约束反力和虚加的质点惯性力构成一平衡力系。这就是质点的达原理，也称质点的动静法该式对动力学问题来说只是形式上的平衡，并没有改变动力学问题的实质。采用动静法解决动力学问题的最大优点，可以利用静力学提供的解题方法，给动力学问题一种统一的解题格式。8 例1] 列车在水平轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆，当车厢向右作匀加速运动时，单摆左偏角度，相对于车厢静止。求车厢的加速a9 解选单摆的摆锤为研究对象FI

(

ma由动静法Fx

0

mg

cos解 a角随着加速

的变化而变化

a不变时角不变。只要测出角，就能知道列车的加速度a摆式加速计的原理§§13- 设有一质点系由n个质点组成，对每一个质点，Fi

FIi

(i1,2,.....n对整个质点系，主动力系、约束反力系、惯性力系形式上构成平衡力系。这就是质点系的 原理。可用方程表示为：Fi

FNi

FIiMO(Fi)

MO(FNi)

MO(FIi)将质点系受力按内力、外力划分,则

FiF

FiF

iF(ei

FIi M(F(e))

(FIi) iiF(eii

FIi

(F(e))

(FIi)说明对整个质点系来说，动静法给出的平衡方程，只是质点系的惯性力系与外力系的平衡，而与内力系无关。质点系的动静法（第二种描述方法在质点系运动的任一瞬时，作用于质点系的外力系与虚加的惯性力系构成零力系。 iiF(eii

FIi

(F(e))

(FIi)

(mivi)

F(e

动量定

)

(miai

MO(mivi)

ii

(F(e))

动量矩定 用动静法求解动力学问题时的平衡方程对平面任意

F(e

Fxxixi

(e 00iix对于空间任意力系iix

(F(e))

(FIi)xiF(exi

Fx

(F(e))M

)

(e)

xziz0,xziz0,

(F(e))

My

(FIi)iziF(eizi

Fz

(F(e))M

)实际应用时同静力学一样任意选取研究画受力 §§13- 刚体惯性力系的简简化方法：采用静力学中的力系简化的将虚拟的惯性力系向任一点O简化而得到一个惯性力（惯性力系的主矢）和一个惯性力偶（惯性力系的主矩）。

miai

与简化中心位置无MIO

MO(FIi

与简化中心位置有无论刚体作什么运动，惯性力系主矢都等于刚体质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反。 一、平动

向质心C简化

MO(FIi

MC(FIi)

(miaCM

miri

aC刚体平动时惯性力系合成为一过质心的合惯性力。

r1Cr1C FFFFOManCCCFnO为转轴，C为质心，向O点简化F主矢：FFF

C C 主矩M

(F

) (Fn rimiri mr

i

( FFFFOManCCC

MIO作用在OOFFOFFCM

JC作用在C 讨论①刚体作匀速转动，转轴不通过质点C

me MM②转轴过质点C，但0，惯性力

（与反向③刚体作匀速转动，且转轴过质心，则（主矢、主矩均为零

0 三、刚体作平面运刚体平面运动可分解随基点（质点C）的平动

FM绕通过质心轴FM

MIC 对于平面运动刚体：由动静法可列出如下三个方程Fx

(e

FIRxFy

(e

FIRyCMC(F)C

(F(e))

M 实质上d2

(eM dt2ddM dt2d

(e

刚体平面运动微分方JC dt2

(F(e) 例物体系统由质量均为m的两否等于F？AA FFIAFBA

Fma 例2.质量为M的三棱柱体A以加速

a1向右移动，质量为m滑块B以加速度

相对三棱柱体的斜面滑动，试问滑B的惯性力的大小和方向如何解a2aa2a22aa12

a2aa 例3.匀质轮重为P，半r，在水平面上作纯滚动。某瞬时角速度，求轮对质心C的转动惯量， JC 2g pgvC

r()g3PrT4g

Pr

PrLC

JC 2g

FI

gaCg

JC 2 例4：均质杆长l,质量m,与水平面铰接,杆由与平面成0角位静止落下。求开始落下时杆AB的角加速度及A点支座反力解选杆AB为研究对象运动分析，虚加惯性力系

FIR C CaCaC

man

M

JA

ml3

MA

(F)0

M

mgcos023g3g0l

mgcosl FAnmgFAnmg

mgsin0

0

mgcos

aC aC

mgcos0

mlFFmg40

n

解法（二）：定轴转动刚体微分方程+质心运动定CCA解：（1）选AB为研究对象

JA

MAFml23

mgcos2l 31ml3

B求质心C的加速

aCaCt0

,

,

3gcos

,

a la

3g

CmanC

0

mg

FAn

mgcos0CC

mg 例5：牵引车的主动轮质量为m，半径为R，沿水平直线轨道S、

及驱动力偶矩M，车轮对于质心C的回转半径为轮与轨道间摩擦系数为f, 件下，驱动力偶矩M之最大值。OP取轮为研究受力分析并虚加惯性力

M

m Fy0

FNmgSFNmgMP(F)

,M

m

mR2Fx0

Ff

FIR

T

MRT

mOP

2R2要保证车轮不滑动，必Ff≤f

可见，f越大越不易滑动MmaxfmgMmaxfmgρ2R2R2Rρ2

fmg §§13-根据原理，以静力学平衡方程的形式来建立动力学应用动静法既可求运动，例如加速度、角加速度；也可以求力，并且多用于已知运动，求质点系运动时的动约束反力。 应用动静法求动力学问题的步骤及要点①选研究对象：原则与静力学相同析：画出全部主动力和约束反③运动分析：运动学补充方程（运动量之间的关系）。主要是刚体质心加速度，刚体角加速度，标出方向。④虚加惯性力：在受力图上画上惯性力和惯性力偶，一定要在正确进行运动分析的基础上。熟记刚体惯性力系的简化结果。⑤列动静方程。选取适当的矩心和投影轴⑥求解求[注FIR,

M

的方向及转向已在受力图中标出，建立方程时只需按

maC

JO代入即可 例1质量为1和2的两重物，分别挂在两条绳子上，绳又分别绕在半径为r1和r2并装在同一轴的鼓轮上，已知鼓轮对于转轴O的转动惯量为J，系统在重力作用下发生运动，求鼓轮的角加速度。解：方法 原理求解

取系统为研究对象受力分析：画出主动力和约束反力 运动分析：求加速度与角加速度的关系

a1

,

虚加惯性力和惯性力偶

FF

,FI

,

a1a列动静法方

MO(F)mgrm

FI

m

m

1212212

22 m1r1 22 方法2用动量矩取系统为研

Fe mv 1 (mr2mr

J 1 2

F(e)

m1

代入动量矩

v1

,

d(mr2mr2J)

m

mdt

1 2

22 m1r1 22

方法 ：取系统为研究对象，任一瞬时系统的动：T1mv21mv2

J T 2 JPF

1v11

,

dT

PF

mr

mr

J

m

m

1 2 1 222 m1r1 22 例2在图示机构中，沿斜面向上作纯滚动的圆柱体和鼓轮O均试求角加②绳子的拉力③轴承O处的支反力④圆柱体与斜面间的摩擦力（不计滚动摩擦 方法1用动能定理求鼓轮角加速度，动静法求约束反力OOvA

T1 2g

R223P vOO4g vOOT3P4g

R2PF

PRsinO 3PO

QR2 PF

2g

PRsinO

2(MPRsin)(Q3P)R2 受力分析并虚加惯性

F

yMM

12

FOFO

QM(F),RMM(F),RM

OO αO

2MPRsinQ3P

P3MQRsinP Q3PPFx

FOx

Q3P

0

Q

sin

Q

P3MQRsinQ3P

取轮A为研究对象，受力分析并虚加惯性FIA

g

12

R2α AFPCAaA

AMA

FfR

Ff

2gαA

O

2(MPRsin)(Q3P)R2Ff

P(MPRsin)(Q3P)R能否能否只用动静法求解 方法 用动静法求A解：取轮为研究对象，受力分析并虚加惯性AAFPCFIA

g

12

R2α AaAA

AMA

FfR

Ff

PR2g

Fx

FT

PFT

3PR2g

P MOxQ取轮O为研究MOxQM

12

QO2g OAMO(F)0A

FTR

MFT

FT

3PR2g

POαA

2MPRsinQ3P

FT

P3MQRsinPQ3PPFx

FOx

Q3P

0

Q

sin

FOyQ

P3MQRsinQ3P Ff

PR2g

P(MPRsin (Q3P)R方法3用动能定理求角加速度，动量定理及动量矩定理求约束反力 vA

OT1 2g

R223P vOO4g vOOT3P4g

R2 PF

PRsinO 3PQR2O PF

2g

(

PRsinO

2(MPRsin)(Q3P)R2 用动量矩定理（定轴转动微分方程）求绳子拉力取轮O为研究对象，由定轴转动微分方程得：Q2g

MFT M P(3MQRsin

(Q3P)R

O用质心运动定理求解轴承O处支反 O取轮O为研究对象，根据质心运动定理

0

FT

0

Q

(

,

(( APCAPC根据刚体平面运动微分方

求摩擦x

Ff

O

JAA1PR2

2(MPRsin)g

P(MPRsin R2g

(Q3P)R2

(Q3P)R 例3 均质圆柱体重为P，半径为R，无滑动地沿倾斜平板由静止自O点开始滚动。平板对水平线的倾角为，试求OA=时平板在O点的约束反力。板的重力略去不计。解：(1)用动能定理求速度，加速圆柱体作平面运动 在初始位置时，处于静止状态，故在末位置时，设角速度为，则vC=R,动能为1T21

1g 2

R22

3Pv4g T3Pv

W

PS

F 4g

由动能定

T2

W P3Pv4g

0

PS t求导数

2g3

,

2gsin3R(2) 原理求约束反取系统为研究对象，受力分析并虚加惯性力和惯性力

P

3

sin