数学史概论-第四讲课件

印度数学1

印度文明概述2古代《绳法经》中的数学3“巴克沙利手稿”与零号4“悉檀多”时期的印度数学（四）婆什迦罗(一）阿耶波多（三）马哈维拉（二）婆罗摩笈多第4讲.古代与中世纪的东方数学1印度数学1印度文明概述2古代《绳法经》中的数学3印度数学（公元5－12世纪）

史前时期：公元前2300年前哈拉帕文化：前2300-前1750年，印度河流域出现早期国家早期吠陀时代：前1500-前900年，雅利安人侵入印度后期吠陀时代：前900-前600年，雅利安人的国家形成，婆罗门教形成列国时代：前6-前4世纪，摩揭陀国在恒河流域中部称霸，开始走上统一北印度的道路，佛教产生帝国时代：前4-公元4世纪，从孔雀王朝到贵霜帝国古印度简况强盛独立的王朝[孔雀王朝（前324－前187），笈多王朝（公元320－540）]、外族几乎不断的侵扰、文化受到宗教的影响2印度数学（公元5－12世纪）史前时期：公元前2300年前古

《吠陀》印度雅利安人的作品，婆罗门教的经典《绳法经》（前8－前2世纪）：庙宇、祭坛的设计与测量，包含几何、代数知识，如毕达哥拉斯定理等

印度数学吠陀时期(公元前10-前3世纪)悉檀多时期(公元5-12世纪)印度数学《吠陀》手稿（毛里求斯，1980）3《吠陀》印度雅利安人的作品，婆罗门教的经典印度数学《吠陀》

古代《绳法经》中的数学《吠陀》《测绳的法规》：几何内容和建筑中的代数计算问题。如勾股定理、矩形对角线的性质、相似直线形的性质，以及一些作图法等，在作一个正方形与已知圆等积的问题中，使用了圆周率的以下近似值：用到=3.004和关于正方形祭坛的计算中取圆周长

弧长4古代《绳法经》中的数学《吠陀》用到=3.004和

“巴克沙利手稿”与零号

巴克沙利(Bakhshali)手稿:数学内容涉及到分数,平方根,数列,收支与利润计算,比例算法,级数求和,代数方程等,其代数方程包括一次方程,联立方程组,二次方程.该书使用了一些数学符号,如减号,将“127”记成“127”,出现了10个完整的十进制数码,用点表示0：印度人以“0”表示“无”概念与佛教的“空”(梵文Sūnya)有关.用圆圈符号“0”表示零也是印度人的一项伟大发明,最早出现于9世纪的瓜廖尔(Gwalior)地方的一块石碑上,大约在11世纪,10个完整印度数码臻于成熟.印度人不仅把“0”视作记数法中的空位,而且也视其为可施行运算的一个特殊的数.公元773年,印度数码传入阿拉伯国家,后来通过阿拉伯人传到欧洲,成为今天国际通用的所谓阿拉伯数码。5“巴克沙利手稿”与零号巴克沙利(Bak

“悉檀多”时期的印度数学阿耶波多(AryabhataI,476-约550）婆罗摩笈多(Brahmagupta,598-665）马哈维拉(Mahavira,9世纪)婆什迦罗(BhaskaraⅡ，1114-约1185)等。(一）阿耶波多

现今所知有确切生年的印度最早数学家天文数学著作:《阿耶波多历数书》(499)贡献：对希腊三角学的改进；一次不定方程的解法。半弦与全弦所对弧的一半相对应

BCA

以半径的1/3438作为度量弧的单位给出了第一象限内间隔为345‘的正弦差值表。印度第一个正弦表:天文著作《苏利耶历数全书》(约5世纪)6“悉檀多”时期的印度数学阿耶波多(AryabhataI,

阿耶波多最大贡献是建立了丢番图方程求解的所谓“库塔卡”方法，采用辗转相除法的演算程序，接近于连分数算法。为求方程整数解，首先对a，b使用辗转相除法得到系列商{q1,q2,q3,…,qn},以及相应的余数系列：{r1,r2,r3,…,rn=0},依法则：

计算,得到的渐近分数序列：有，，于是不定方程的特解为

7阿耶波多最大贡献是建立了丢番图方程求解的所谓（二）婆罗摩笈多著作:《婆罗摩修正体系》(628)《肯德卡迪亚格》(约665)贡献:把0作为一个数来处理对负数有明确的认识，提出了正负数的乘除法则给出二次方程的求根公式给出佩尔(Pell)方程的一种特殊解法:“瓦格布拉蒂”

方法:首先选择适当的整数k与k‘，分别找出ax2+k=y2和ax2+k’=y2的解(,)与(‘,’),再做所谓“瑟马萨”的组合,得到:

,为ax2+kk'=y2的解.

取k=k’,若a2+k=2，则是ax2+k2=y2的解.8（二）婆罗摩笈多,为ax2+kk'=y2的解.

这样就得到ax2+1=y2的解：

婆罗摩笈多进一步指出，只要在k=1，2，4的条件下，求得ax2+k=y2的一组解(,)，就可得出ax2+1=y2无穷组解。婆罗摩笈多在《肯德卡迪亚格》中利用二次插值法构造了间隔为15的正弦函数表，给出下面的插值公式：于是9这样就得到ax2+1=y2的解：（其中h=15,x1，sin(h)与2sin(h)分别表示一、二阶差分）

婆罗摩笈多正弦差分表角度正弦线一阶差二阶5307531-74510624-96013015-1075145590150几何方面:获得边长为a，b，c，d的四边形的面积公式：实际上，这一公式仅适合于圆内接四边形，婆罗摩笈多并未认识到这一点，后来马哈维拉由这一公式出发，将三角形视为有一边为0的四边形，从而获得海伦公式。12世纪的婆什迦罗曾经对婆罗摩笈多的四边形公式提出过质疑。[p=(a+b+c+d)/2].10（其中h=15,x1，sin(h)与2马哈维拉著作：《计算方法纲要》

内容：九个部分（1）算术术语，（2）算术运算，（3）分数运算，（4）各种计算问题，（5）三率法（即比例）问题，（6）混合运算，（7）面积计算，（8）土方工程计算；（9）测影计算。

给出了一般性的组合数公式给出椭圆周长近似公式：

受《九章算术》或中国其它算书的影响。

施里德哈勒(Sridhara,9世纪):《计算概要》,日用数学著作。11马哈维拉11印度古代和中世纪最伟大的数学家和天文学家数学著作：《莉拉沃蒂》（Līlāvatī）和《算法本源》代表印度古代数学最高水平的著作天文著作：《天球》和《天文系统之冠》

《莉拉沃蒂》共有13章：第一章给出算学中的名词术语；第二章是关于整数、分数的代数运算，包括加、减、乘、除、平方、开平方、立方、开立方等；第三章论各种计算法则和技巧；第四章关于利率等方面的应用题；第五章数列计算问题，主要是等差数列和等比数列；第六章关于平面图形的度量计算；第七至十章关于立体几何的度量计算；第十一章为测量问题；第十二章是一些代数问题，包括不定方程；第十三章是一些组合问题。该书很多数学问题用歌谣的形式给出。

《算法本源》主要是算术和代数著作。什迦罗对不定方程有特别的兴趣，除对“库塔卡”问题外，他把婆罗摩笈多关于佩尔方程的特殊解法改造成一般性的解法。对ax

2+1=y2，婆什迦罗首先选择适当的整数k，找出ax2+k=y2的一组特解(,)，即a2+k=2，另外再找一个整数m，使（1，m）是ax2+（m2-a）=y2的一组特解，使用“瑟马萨”组合，得到婆什迦罗12印度古代和中世纪最伟大的数学家和天文学家婆什迦罗12最后根据“库塔卡”方法，可以找到m使k

m

+,并且使

m2-a最小。计算满足ax2+k(m2-a）=y2,即则（1

，1）是方程ax

2+k1=y2的解。用1

，1，k1代替

，，k，重复做上面的演算，若干次后就得到ax2+p=y2的特解（其中p=1，2，4），再根据婆罗摩笈多的方法得到ax

2+1=y2的无穷个解。

婆什迦罗能够熟练地使用诸如和差与半角等三角公式，在解二次方程中能够认识并广泛使用无理数，讨论了形如和的无理数的平方根。13最后根据“库塔卡”方法，可以找到m使km+

3.1阿拉伯帝国的兴起

3.2阿拉伯的代数

3.3阿拉伯的三角学与几何学

阿拉伯国家指以阿拉伯民族为主体的国家，大多分布在亚洲西部和北非一带，一般使用阿拉伯语，信奉伊斯兰教。然而“阿拉伯数学”并非指阿拉伯国家的数学，而是指8-15世纪阿拉伯帝国统治下的中亚西亚地区的数学，包括穆斯林、希腊人、波斯人和基督徒等所写的阿拉伯文数学著作。阿拉伯数学143.1阿拉伯帝国的兴起阿拉伯国家阿拉伯数学

伊斯坦布尔的天文学家

（1971）

消化希腊数学,吸收印度数学

文化中心:巴格达

9-15世纪繁荣600年

对文艺复兴后欧洲数学的进步有深刻影响希腊(公元前6世纪-公元6世纪)印度(公元5-12世纪)阿拉伯科学(公元9-15世纪)波斯(公元前6世纪-前3世纪)15阿拉伯数学

伊斯坦布尔的天文学家

（1971）消化希腊数阿尔·花拉子米（乌兹别克,783－850）（苏联,1983）

早期阿拉伯数学:8世纪中叶－9世纪

代数教科书的鼻祖：《代数学》(820)(复原与对消)1140年被罗伯特(英)译成拉丁文

欧洲延用几个世纪标准的代数学教科书阿拉伯数学

《印度计算法》16阿尔·花拉子米（乌兹别克,783－850）（苏联,11717

花拉子米(约783~850):《还原与对消计算概要》(al-Kitābal-mukhtasarfīhisābal-jabrwa‘l-muqābala,约820年前后)简称《代数学》“Al-jabr”:还原移项;“a‘l-muqābala”:对消.传入欧洲后，到十四世纪“Al-jabr”演变为拉丁语“Algebra”，也就成了今天的英文“Algebra”。(i)用代数方式处理线性方程组和二次方程；(ii)第一次给出一元二次方程一般代数解法及几何证明(iii)引进移项、合并同类项等代数运算《代数学》首先指出，该书的数学问题都是由根（x）、平方（x2）和数（常数）这三者组成。阿拉伯的代数学(一）花拉子米《代数学》分六章叙述6种类型的一、二次方程求解问题。第一章讨论ax2=bx型方程；第二章讨论ax2=b型方程；第三章讨论一次方程ax=b；第四、五、六章是关于三项二次方程求解问题，分别讨论三种类型的二次方程：x2+px=q,x2+q=px,x2=px+q,都给出了相应的求根公式。这六种方程的系数都是正数，可统一为以下一般形式18花拉子米(约783~850):《还原与对消明确指出,二次方程可能有两个正根,也可能有负根,但他不取负根与零根。之后，花拉子米又以几何方式证明上述各种解法的合理性。如对方程x2+21=10x求解过程的证明如下：图1图2花拉子米分两种情形讨论。(1)当x<5时，以x为边作正方形ABCD，延长BC至L，使BL=5，再延长BL至P，使LP=5，同样，延长AD至E，使AE=5，再延长至H，使EH=5；以EH为边长作正方形EHGF，以LF为边长作正方形LFMN,（如上图）x2+px+q=0，花拉子米相当于获得一般的求根公式:19明确指出,二次方程可能有两个正根,也可能有负根,但他不取负根(2)当x>5时，以x为边作正方形ABCD，在边BC上截取BL=5，延长LC至G，使LG=5，以LG为边长作正方形LGNF，以LC为边长作正方形EFMD，(如图2),记矩形FLCM、MCGN、EFMD、DMNP的面积分别为a、b、c、d，由图形可知，x2+b+d=10x,这样b+d=21。那么，LC=FM=2，故

花拉子米指出:任何二次方程都可以通过“还原”与“对消”（即移项与合并同类项）的步骤化成他所讨论的六种类型方程。若记矩形DCLE、ELPH、LFMN、MNPG的面积分别为a、b、c、d，由图形可知，x2+a+b=10x,这样a+b=21。由于a=(5x)x=d,于是c=52

bd=5221，即那么,LC=FM=2,故

于是c=52

bd=5221，即由于a=c+d=5(x

5)，20(2)当x>5时，以x为边作正方形ABCD，在边BC上《印度计算法》:（Algoritmidenumeroindorum）系统介绍印度数码和十进制记数法，以及相应的计算方法。拉丁文译本在欧洲传播，为欧洲近代数学的发生提供了科学基础。该书在欧洲传播后，“Algoritmi”也演变为“Algorithm”。

艾布·卡米勒:（AbuKamil，约850~930）“埃及的计算家”继承了花拉子米的数学工作为。《计算技巧珍本》：许多数学问题也采自于花拉子米的书《论五边形和十边形》：包括几何和代数两方面的内容，关于四次方程解法和处理无理系数二次方程是其主要特色。

奥马海亚姆与三次方程

奥马·海亚姆（OmarKhayyam，1048?~1131）：11世纪最著名且最富成就的数学家、天文学家和诗人《还原与对消问题的论证》(简称《代数学》):开平方、开立方算法该书对代数学发展的最杰出贡献是用圆锥曲线解三次方程。21《印度计算法》:（Algoritmidenumeroi

门奈赫莫斯(Menaechmus,约BC360)为解决倍立方体问题而发现了圆锥曲线，它与三次方程x3=2a2相联系。阿基米德在考虑：平面截球，使所截得的两部分体积比为定值的问题时，导致三次方程：x2(ax)=bc2。他利用两条圆锥曲线y(ax)=ab和ax2=c2y的交点来求解。阿基米德的传统启发了阿拉伯数学家。海亚姆将不高于三次的代数方程分为25类(系数为正数),其中14类三次方程,对每类三次方程给出相应一种几何解法,例如解x3+ax=b,首先将其化为x3+c2x=c2d,(这里c2=a,c2d=b,按照希腊人的数学传统:a、b是线段,c2为正方形,c2d为长方体),方程x3+c2x=c2d的解就是抛物线x2

=cy与半圆y2=x(dx)交点的横坐标x.他首先画出正焦弦为c的抛物线,再画出直径为d的半圆(如下图),过它们的交点作垂线PS，则QS长度就是方程的解.

QxS

dx

RP22门奈赫莫斯(Menaechmus,约BC360高次方程的数值解法：纳西尔·丁(Nasir-Eddin,1201~1274)和阿尔·卡西（Al-Kashī,?~1429）都给出了开高次方的一般性算法。阿尔·卡西：撒马尔罕天文台负责人《算术之钥》：给出用于开方的二项式系数表，与11世纪中国贾宪的“开方作法本源图”十分相似，所介绍的两种造表方法之一，与杨辉算书所录贾宪“增乘方法求廉草”完全一致.《算术之钥》中还有“契丹算法”（即盈不足术,当时的历史学家称中国为契丹al-Khataayn）和“百鸡问题”，后来传入欧洲。23高次方程的数值解法：纳西尔·丁(Nasir-Eddin,12高精度三角函数表的编造海拜什·哈西卜(Al-Hasīb,764?~870?)制定间隔为15‘的60进制正弦表，还编制了间隔为1的正切表。艾布·瓦法

(Abū'l-Wafā,940~997?)编制出间隔为10‘的正弦表和正余弦表引入正割、余割比鲁尼(Al-Bīrūnī,973~1050)利用二次插值法制定了正弦、正切函数表。马拉盖天文台阿拉伯的三角学与几何学24高精度三角函数表的编造马拉盖天文台阿拉伯的三角学与几何学24阿尔·巴塔尼

(al-Battānī,858?~929)《天文论著》,又名《星的科学》对希腊三角学加以系统化创立了系统的三角学术语，如正弦、余弦、正切余切。他称正弦为jība，来源于阿耶波多的印度语术语jīva,拉丁语译作sinus,后来演变为英语sine；称正切为umbraversa,意即反阴影；余切为umbrarecta,意即直阴影；后来演变拉丁语分别为tangent和cotangent发现了一些等价于下列公式的三角函数关系式：

巴塔尼（858?-929）,,，,。以及球面三角形的余弦定理：cosa=cosbcosc+sinbsinccosA.

25阿尔·巴塔尼(al-Battānī,858?~929)巴艾布·瓦法《天文学大全》

继承并发展了托勒玫的《大汇编》编制精细的三角函数表证明了与两角和、差、倍角和半角的正弦公式等价的关于弦的一些定理,证明了平面和球面三角形的正弦定理。比鲁尼(Al-Bīrūnī,973~1050)

146余部著作《马苏德规律》：在三角学方面有一些创造性的工作正弦公式、和差化积公式、倍角公式和半角公式。给出一种测量地球半径的方法,26艾布·瓦法26首先用边长带有刻度的正方形ABCD(如图4.4a)测出一座山高(其中)，再于山顶T处悬一直径SP可以转动的圆环MPNS,从山顶T观测地平线上一点I，测得俯角OTI=，由于，，得到，从而算出地球半径。，，比鲁尼算得1子午线长为106.4-124.2公里。TGCEBDAFMSTPNHIOG图4.4a图4.4b27首先用边长带有刻度的正方形ABCD(如图4.4a)测出一座山阿尔·卡西计算sin1的值：首先求出sin72和sin60的值,以求sin12=sin(7260)的值,再用半角公式求sin3的值,由三倍角公式得出sin3=3sin14sin31，即sin1是三次方程sin3=3x4x3的解，阿尔·卡西用牛顿迭代法：，（x1=sin3）求出sin1的近似值。纳西尔·丁

《伊儿汗天文表》(1271):测算出岁差51“/每年

《天文宝库》

对托勒玫的宇宙体系加以评注，并提出新的宇宙模型

《论完全四边形》

脱离天文学的系统的三角学专著，系统阐述了平面三角学，明确给出正弦定理。讨论球面完全四边形，对球面三角形进行分类，指出球面直角三角形的6种边角关系(C为直角)：cosc=cosacosb;cosc=ctgActgB;cosA=cosasinB;cosA=tgbctgC;sinb=sincsinB;sinb=tgactgB.

28阿尔·卡西cosc=cosacosb;c

讨论了解平面和球面斜三角形的一些方法，引入极三角形的概念以解斜三角形。指出在球面三角形中，由三边可以求三角，反之，由三角可以求三边，这是球面三角与平面三角的一个重要标志。与阿拉伯人的代数成就和三角学成就相比，他们的几何学工作显得薄弱，阿拉伯人在几何方面的工作主要是对希腊几何的翻译与保存，并传给了欧洲。他们主要受欧几里得、阿基米德、阿波罗尼乌斯、海伦和托勒玫等人的影响，希腊几何学对阿拉伯数学的严格性产生一定的作用。他们曾经对《几何原本》作过评注，其中第五公设引起了他们的注意，不少人试图证明这条公设，如焦赫里(ai-Jawhari，约830)、著名学者塔比·伊本·库拉(ThabitibnQurra,约826~901)、伊本·海塞姆(Ibnal-Haytham,965~1040?)、奥马·海亚姆以及纳西尔·丁等人。阿拉伯人关于第五公设的这种兴趣与尝试，诱发了后世欧洲学者在这方面的兴趣，对非欧几何的诞生有一定的影响。

29讨论了解平面和球面斜三角形的一些方法，引入极三角形的概念印度数学1

印度文明概述2古代《绳法经》中的数学3“巴克沙利手稿”与零号4“悉檀多”时期的印度数学（四）婆什迦罗(一）阿耶波多（三）马哈维拉（二）婆罗摩笈多第4讲.古代与中世纪的东方数学30印度数学1印度文明概述2古代《绳法经》中的数学3印度数学（公元5－12世纪）

史前时期：公元前2300年前哈拉帕文化：前2300-前1750年，印度河流域出现早期国家早期吠陀时代：前1500-前900年，雅利安人侵入印度后期吠陀时代：前900-前600年，雅利安人的国家形成，婆罗门教形成列国时代：前6-前4世纪，摩揭陀国在恒河流域中部称霸，开始走上统一北印度的道路，佛教产生帝国时代：前4-公元4世纪，从孔雀王朝到贵霜帝国古印度简况强盛独立的王朝[孔雀王朝（前324－前187），笈多王朝（公元320－540）]、外族几乎不断的侵扰、文化受到宗教的影响31印度数学（公元5－12世纪）史前时期：公元前2300年前古

《吠陀》印度雅利安人的作品，婆罗门教的经典《绳法经》（前8－前2世纪）：庙宇、祭坛的设计与测量，包含几何、代数知识，如毕达哥拉斯定理等

印度数学吠陀时期(公元前10-前3世纪)悉檀多时期(公元5-12世纪)印度数学《吠陀》手稿（毛里求斯，1980）32《吠陀》印度雅利安人的作品，婆罗门教的经典印度数学《吠陀》

古代《绳法经》中的数学《吠陀》《测绳的法规》：几何内容和建筑中的代数计算问题。如勾股定理、矩形对角线的性质、相似直线形的性质，以及一些作图法等，在作一个正方形与已知圆等积的问题中，使用了圆周率的以下近似值：用到=3.004和关于正方形祭坛的计算中取圆周长

弧长33古代《绳法经》中的数学《吠陀》用到=3.004和

“巴克沙利手稿”与零号

巴克沙利(Bakhshali)手稿:数学内容涉及到分数,平方根,数列,收支与利润计算,比例算法,级数求和,代数方程等,其代数方程包括一次方程,联立方程组,二次方程.该书使用了一些数学符号,如减号,将“127”记成“127”,出现了10个完整的十进制数码,用点表示0：印度人以“0”表示“无”概念与佛教的“空”(梵文Sūnya)有关.用圆圈符号“0”表示零也是印度人的一项伟大发明,最早出现于9世纪的瓜廖尔(Gwalior)地方的一块石碑上,大约在11世纪,10个完整印度数码臻于成熟.印度人不仅把“0”视作记数法中的空位,而且也视其为可施行运算的一个特殊的数.公元773年,印度数码传入阿拉伯国家,后来通过阿拉伯人传到欧洲,成为今天国际通用的所谓阿拉伯数码。34“巴克沙利手稿”与零号巴克沙利(Bak

“悉檀多”时期的印度数学阿耶波多(AryabhataI,476-约550）婆罗摩笈多(Brahmagupta,598-665）马哈维拉(Mahavira,9世纪)婆什迦罗(BhaskaraⅡ，1114-约1185)等。(一）阿耶波多

现今所知有确切生年的印度最早数学家天文数学著作:《阿耶波多历数书》(499)贡献：对希腊三角学的改进；一次不定方程的解法。半弦与全弦所对弧的一半相对应

BCA

以半径的1/3438作为度量弧的单位给出了第一象限内间隔为345‘的正弦差值表。印度第一个正弦表:天文著作《苏利耶历数全书》(约5世纪)35“悉檀多”时期的印度数学阿耶波多(AryabhataI,

阿耶波多最大贡献是建立了丢番图方程求解的所谓“库塔卡”方法，采用辗转相除法的演算程序，接近于连分数算法。为求方程整数解，首先对a，b使用辗转相除法得到系列商{q1,q2,q3,…,qn},以及相应的余数系列：{r1,r2,r3,…,rn=0},依法则：

计算,得到的渐近分数序列：有，，于是不定方程的特解为

36阿耶波多最大贡献是建立了丢番图方程求解的所谓（二）婆罗摩笈多著作:《婆罗摩修正体系》(628)《肯德卡迪亚格》(约665)贡献:把0作为一个数来处理对负数有明确的认识，提出了正负数的乘除法则给出二次方程的求根公式给出佩尔(Pell)方程的一种特殊解法:“瓦格布拉蒂”

方法:首先选择适当的整数k与k‘，分别找出ax2+k=y2和ax2+k’=y2的解(,)与(‘,’),再做所谓“瑟马萨”的组合,得到:

,为ax2+kk'=y2的解.

取k=k’,若a2+k=2，则是ax2+k2=y2的解.37（二）婆罗摩笈多,为ax2+kk'=y2的解.

这样就得到ax2+1=y2的解：

婆罗摩笈多进一步指出，只要在k=1，2，4的条件下，求得ax2+k=y2的一组解(,)，就可得出ax2+1=y2无穷组解。婆罗摩笈多在《肯德卡迪亚格》中利用二次插值法构造了间隔为15的正弦函数表，给出下面的插值公式：于是38这样就得到ax2+1=y2的解：（其中h=15,x1，sin(h)与2sin(h)分别表示一、二阶差分）

婆罗摩笈多正弦差分表角度正弦线一阶差二阶5307531-74510624-96013015-1075145590150几何方面:获得边长为a，b，c，d的四边形的面积公式：实际上，这一公式仅适合于圆内接四边形，婆罗摩笈多并未认识到这一点，后来马哈维拉由这一公式出发，将三角形视为有一边为0的四边形，从而获得海伦公式。12世纪的婆什迦罗曾经对婆罗摩笈多的四边形公式提出过质疑。[p=(a+b+c+d)/2].39（其中h=15,x1，sin(h)与2马哈维拉著作：《计算方法纲要》

内容：九个部分（1）算术术语，（2）算术运算，（3）分数运算，（4）各种计算问题，（5）三率法（即比例）问题，（6）混合运算，（7）面积计算，（8）土方工程计算；（9）测影计算。

给出了一般性的组合数公式给出椭圆周长近似公式：

受《九章算术》或中国其它算书的影响。

施里德哈勒(Sridhara,9世纪):《计算概要》,日用数学著作。40马哈维拉11印度古代和中世纪最伟大的数学家和天文学家数学著作：《莉拉沃蒂》（Līlāvatī）和《算法本源》代表印度古代数学最高水平的著作天文著作：《天球》和《天文系统之冠》

《莉拉沃蒂》共有13章：第一章给出算学中的名词术语；第二章是关于整数、分数的代数运算，包括加、减、乘、除、平方、开平方、立方、开立方等；第三章论各种计算法则和技巧；第四章关于利率等方面的应用题；第五章数列计算问题，主要是等差数列和等比数列；第六章关于平面图形的度量计算；第七至十章关于立体几何的度量计算；第十一章为测量问题；第十二章是一些代数问题，包括不定方程；第十三章是一些组合问题。该书很多数学问题用歌谣的形式给出。

《算法本源》主要是算术和代数著作。什迦罗对不定方程有特别的兴趣，除对“库塔卡”问题外，他把婆罗摩笈多关于佩尔方程的特殊解法改造成一般性的解法。对ax

2+1=y2，婆什迦罗首先选择适当的整数k，找出ax2+k=y2的一组特解(,)，即a2+k=2，另外再找一个整数m，使（1，m）是ax2+（m2-a）=y2的一组特解，使用“瑟马萨”组合，得到婆什迦罗41印度古代和中世纪最伟大的数学家和天文学家婆什迦罗12最后根据“库塔卡”方法，可以找到m使k

m

+,并且使

m2-a最小。计算满足ax2+k(m2-a）=y2,即则（1

，1）是方程ax

2+k1=y2的解。用1

，1，k1代替

，，k，重复做上面的演算，若干次后就得到ax2+p=y2的特解（其中p=1，2，4），再根据婆罗摩笈多的方法得到ax

2+1=y2的无穷个解。

婆什迦罗能够熟练地使用诸如和差与半角等三角公式，在解二次方程中能够认识并广泛使用无理数，讨论了形如和的无理数的平方根。42最后根据“库塔卡”方法，可以找到m使km+

3.1阿拉伯帝国的兴起

3.2阿拉伯的代数

3.3阿拉伯的三角学与几何学

阿拉伯国家指以阿拉伯民族为主体的国家，大多分布在亚洲西部和北非一带，一般使用阿拉伯语，信奉伊斯兰教。然而“阿拉伯数学”并非指阿拉伯国家的数学，而是指8-15世纪阿拉伯帝国统治下的中亚西亚地区的数学，包括穆斯林、希腊人、波斯人和基督徒等所写的阿拉伯文数学著作。阿拉伯数学433.1阿拉伯帝国的兴起阿拉伯国家阿拉伯数学

伊斯坦布尔的天文学家

（1971）

消化希腊数学,吸收印度数学

文化中心:巴格达

9-15世纪繁荣600年

对文艺复兴后欧洲数学的进步有深刻影响希腊(公元前6世纪-公元6世纪)印度(公元5-12世纪)阿拉伯科学(公元9-15世纪)波斯(公元前6世纪-前3世纪)44阿拉伯数学

伊斯坦布尔的天文学家

（1971）消化希腊数阿尔·花拉子米（乌兹别克,783－850）（苏联,1983）

早期阿拉伯数学:8世纪中叶－9世纪

代数教科书的鼻祖：《代数学》(820)(复原与对消)1140年被罗伯特(英)译成拉丁文

欧洲延用几个世纪标准的代数学教科书阿拉伯数学

《印度计算法》45阿尔·花拉子米（乌兹别克,783－850）（苏联,14617

花拉子米(约783~850):《还原与对消计算概要》(al-Kitābal-mukhtasarfīhisābal-jabrwa‘l-muqābala,约820年前后)简称《代数学》“Al-jabr”:还原移项;“a‘l-muqābala”:对消.传入欧洲后，到十四世纪“Al-jabr”演变为拉丁语“Algebra”，也就成了今天的英文“Algebra”。(i)用代数方式处理线性方程组和二次方程；(ii)第一次给出一元二次方程一般代数解法及几何证明(iii)引进移项、合并同类项等代数运算《代数学》首先指出，该书的数学问题都是由根（x）、平方（x2）和数（常数）这三者组成。阿拉伯的代数学(一）花拉子米《代数学》分六章叙述6种类型的一、二次方程求解问题。第一章讨论ax2=bx型方程；第二章讨论ax2=b型方程；第三章讨论一次方程ax=b；第四、五、六章是关于三项二次方程求解问题，分别讨论三种类型的二次方程：x2+px=q,x2+q=px,x2=px+q,都给出了相应的求根公式。这六种方程的系数都是正数，可统一为以下一般形式47花拉子米(约783~850):《还原与对消明确指出,二次方程可能有两个正根,也可能有负根,但他不取负根与零根。之后，花拉子米又以几何方式证明上述各种解法的合理性。如对方程x2+21=10x求解过程的证明如下：图1图2花拉子米分两种情形讨论。(1)当x<5时，以x为边作正方形ABCD，延长BC至L，使BL=5，再延长BL至P，使LP=5，同样，延长AD至E，使AE=5，再延长至H，使EH=5；以EH为边长作正方形EHGF，以LF为边长作正方形LFMN,（如上图）x2+px+q=0，花拉子米相当于获得一般的求根公式:48明确指出,二次方程可能有两个正根,也可能有负根,但他不取负根(2)当x>5时，以x为边作正方形ABCD，在边BC上截取BL=5，延长LC至G，使LG=5，以LG为边长作正方形LGNF，以LC为边长作正方形EFMD，(如图2),记矩形FLCM、MCGN、EFMD、DMNP的面积分别为a、b、c、d，由图形可知，x2+b+d=10x,这样b+d=21。那么，LC=FM=2，故

花拉子米指出:任何二次方程都可以通过“还原”与“对消”（即移项与合并同类项）的步骤化成他所讨论的六种类型方程。若记矩形DCLE、ELPH、LFMN、MNPG的面积分别为a、b、c、d，由图形可知，x2+a+b=10x,这样a+b=21。由于a=(5x)x=d,于是c=52

bd=5221，即那么,LC=FM=2,故

于是c=52

bd=5221，即由于a=c+d=5(x

5)，49(2)当x>5时，以x为边作正方形ABCD，在边BC上《印度计算法》:（Algoritmidenumeroindorum）系统介绍印度数码和十进制记数法，以及相应的计算方法。拉丁文译本在欧洲传播，为欧洲近代数学的发生提供了科学基础。该书在欧洲传播后，“Algoritmi”也演变为“Algorithm”。

艾布·卡米勒:（AbuKamil，约850~930）“埃及的计算家”继承了花拉子米的数学工作为。《计算技巧珍本》：许多数学问题也采自于花拉子米的书《论五边形和十边形》：包括几何和代数两方面的内容，关于四次方程解法和处理无理系数二次方程是其主要特色。

奥马海亚姆与三次方程

奥马·海亚姆（OmarKhayyam，1048?~1131）：11世纪最著名且最富成就的数学家、天文学家和诗人《还原与对消问题的论证》(简称《代数学》):开平方、开立方算法该书对代数学发展的最杰出贡献是用圆锥曲线解三次方程。50《印度计算法》:（Algoritmidenumeroi

门奈赫莫斯(Menaechmus,约BC360)为解决倍立方体问题而发现了圆锥曲线，它与三次方程x3=2a2相联系。阿基米德在考虑：平面截球，使所截得的两部分体积比为定值的问题时，导致三次方程：x2(ax)=bc2。他利用两条圆锥曲线y(ax)=ab和ax2=c2y的交点来求解。阿基米德的传统启发了阿拉伯数学家。海亚姆将不高于三次的代数方程分为25类(系数为正数),其中14类三次方程,对每类三次方程给出相应一种几何解法,例如解x3+ax=b,首先将其化为x3+c2x=c2d,(这里c2=a,c2d=b,按照希腊人的数学传统:a、b是线段,c2为正方形,c2d为长方体),方程x3+c2x=c2d的解就是抛物线x2

=cy与半圆y2=x(dx)交点的横坐标x.他首先画出正焦弦为c的抛物线,再画出直径为d的半圆(如下图),过它们的交点作垂线PS，则QS长度就是方程的解.

QxS

dx

RP51门奈赫莫斯(Menaechmus,约BC360高次方程的数值解法：纳西尔·丁(Nasir-Eddin,1201~1274)和阿尔·卡西（Al-Kashī,?~1429）都给出了开高次方的一般性算法。阿尔·卡西：撒马尔罕天文台负责人《算术之钥》：给出用于开方的二项式系数表，与11世纪中国贾宪的“开方作法本源图”十分相似，所介绍的两种造表方法之一，与杨辉算书所录贾宪“增乘方法求廉草”完全一致.《算术之钥》中还有“契丹算法”（即盈不足术,当时的历史学家称中国为契丹al-Khataayn）和“百鸡问题”，后来传入欧洲。52高次方程的数值解法：纳西尔·丁(Nasir-Eddin,12高精度三角函数表的编造海拜什·哈西卜(Al-Hasīb,764?~870?)制定间隔为15‘的60进制正弦表，还编制了间隔为1的正切表。艾布·瓦法

(Abū'l-Wafā,940~997?)编制出间隔为10‘的正弦表和正余弦表引入正割、余割比鲁尼(Al-Bīrūnī,973~1050)利用二次插值法制定了正弦、正切函数表。马拉盖天文台阿拉伯的三角学与几何学53高精度三角函数表的编造马拉盖天文台阿拉伯的三角学与几何学24阿尔·巴塔尼

(al-Battānī,858?~929)《天文论著》,又名《星的科学》对希腊三角学加以系统化创立了系统