【配套K12】江苏省2019高考数学二轮复习专题七应用题第1讲函数不等式中应用题学案

K12教育资源学惯用资料第1讲函数、不等式中的应用题[考情考向分析]应用题察看是江苏高考特点，每年均有察看，试题难度中等或中等偏上．命题主要察看学生运用所学知识成立数学有关模型解决实诘问题的能力.与函数、不等式有关的应用题，可以经过成立函数、不等式模型，解决实质中的优化问题或许知足特定条件的实际问题．热门一和函数有关的应用题例1某工厂现有200人，人均年收入为4万元．为了提升工人的收入，工厂将进行技术改造．若改造后，有x(100≤x≤150)人连续留用，他们的人均年收入为4a(a∈N*)万元；剩下的人从事其余服务行业，这些人的人均年收入有望提升2x%.(1)设技术改造后这200人的人均年收入为y万元，求出y与x之间的函数关系式；当x为多少时，能使这200人的人均年收入达到最大，并求出最大值．(1)y＝200－x×4×1＋2x%＋4ax200－0.02x2＋a＋3x＋200＝501212＝－2500[x－25(a＋3)]＋4(a＋3)＋4.此中100≤x≤150，x∈N*.①当100≤25(a＋3)≤150，即当x＝25(a＋3)时，y取最大值，即

1≤a≤3，a∈N*时，12ymax＝4(a＋3)＋4；②当25(a＋3)＞150，即a＞3，a∈N*时，函数y在[100,150]上单一递加，∴当＝150时，y取最大值，即ymax＝3＋4.xa答当1≤≤3，a*，＝25(a＋3)时，y12∈N取最大值(＋3)＋4；ax4a当a＞3，a∈N*，x＝150时，y取最大值3a＋4.思想升华二次函数是高考数学应用题命题的一个重要模型，解决此类问题要充分利用二次函数的结论和性质．追踪操练1某公司参加A项目生产的工人为1000人，均匀每人每年创办利润10万元．根据现实的需要，从A项目中调出x人参加B项目的售后服务工作，每人每年可以创办利润K12教育资源学惯用资料K12教育资源学惯用资料10a－3x万元(a＞0)，A项目余下的工人每人每年创办利润需要提升0.2x%.500(1)若要保证A项目余下的工人创办的年总利润不低于本来1000名工人创办的年总利润，则最多调出多少人参加B项目从事售后服务工作？(2)在(1)的条件下，当从A项目调出的人数不可以超出总人数的40%时，能使得A项目中留岗工人创办的年总利润向来不低于调出的工人所创办的年总利润，务实数a的取值范围．解(1)依据题意可得(1000－x)(10＋10×x%)≥1000×10，整理得x2－500x≤0，解得0≤x≤500，最多调出的人数为500.0≤x≤500，解得0≤x≤400.(2)由x≤1000×40%，a－3×≤－·＋×10x)(10500x(1000100.2x%)对x∈[0,400]恒成立，3x22即10ax－50≤1000×10＋20x－10x－2x%恒成立，x2即ax≤250＋x＋1000对于随意的x∈[0,400]恒成立．当x＝0时，不等式明显成立；当0＜x≤400时，x10001＋250000a≤250＋x＋1＝250xx＋1.250000，令函数f(x)＝x＋x可知f(x)在区间[0,400]上是减函数，f(x)min＝f(400)＝1025，x100051250＋x＋1≥10.5151故0＜a≤10，所以实数a的取值范围是0，10.热门二和不等式有关的应用题2秸秆还田是现在世界上广泛重视的一项培肥地力的增产举措，在根绝了秸秆燃烧所造成的大气污染的同时还有增肥增产作用．某农机户为了达到在收割的同时让秸秆还田，花137600元购置了一台新式结合收割机，每年用于收割可以收入6万元(已减去所用柴油费)；该收割机每年都要按期进行维涵养护，第一年由厂方免费维涵养护，第二年及今后由该农机户付费维涵养护，所付开销y(元)与使用年数n的关系为y＝kn＋(n≥2，且∈N*)，已知第bnK12教育资源学惯用资料K12教育源学用料二年付1800元，第五年付6000元．求出机用于涵养护的用f(n)(元)与使用年数n(n∈N*)的函数关系式；台收割机使用多少年，可使年均匀利润最大？(利润＝收入－涵养护用－机械用)解(1)依意知，当＝2，y＝1800；n当n＝5，y＝6000，1800＝2k＋b，k＝1400，即＋，解得b＝－1000，6000＝5kb所以f(n)＝0，n＝1，1400n－1000，n≥2且n∈N*.(2)使用n年，年均利润W(元)，1依意知，当n≥2，W＝60000－n[137600＋1400(2＋3＋⋯＋n)－1000(n－1)]1137600＋1400×n－1n＋2－1000n－1＝60000－n212＝60000－n(137200＋700n－300n)＝60300－137200≤60300－2137200700n＋n700n·＝40700，n当且当700＝137200，即n＝14取等号．nn所以台收割机使用14年，可使年均利润最大．思升运用基本不等式求解用，要注意结构符合基本不等式使用的形式，同要注意等号成立的条件．追踪演2小于年初支出50万元一大，第一年因各样用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增添支出2万元，假定每年的运收入均25万元．小在运累收入超支出后，考将大作二手销售，若在第x年年关出售，其售收入(25－x)万元(国家定大的年限10年)．大运到第几年年关，运累收入超支出？在第几年年关将大销售，能使小得的年均匀利最大？(利＝累收入＋售收入－支出)解(1)大到第x年年关的运累收入与支出的差y万元，y＝25x－[6x＋x(x－1)]－50,0＜x≤10，x∈N*，即y＝－x2＋20x－50,0＜x≤10，x∈N*，由－x2＋20x－50＞0，K12教育源学用料K12教育资源学惯用资料解得10－52＜x＜10＋52，而2＜10－52＜3，故从第三年开始运输累计收入超出总支出．由于利润＝累计收入＋销售收入－总支出，所以销售二手货车后，小张的年均匀利润为112y＝x[y＋(25－x)]＝x(－x＋19x－25)25＝19－x＋x，又19－x＋2525x≤19－2x·＝9，x当且仅当x＝5时等号成立．答第5年年关销售货车，获得的年均匀利润最大．热门三和三角函数有关的应用题例3(2018·镇江期末)如图，准备在墙上钉一个支架，支架由两直杆AC与BD焊接而成，焊接点D把杆分红，两段，此中两固定点，间距离为1米，与杆的夹角ACADCDABABAC为60°，杆AC长为1米，若制作AD段的成本为a元/米，制作CD段的成本是2a元/米，制作杆BD成本是4a元/米．设∠ADB＝α，则制作整个支架的总成本记为S元．(1)求S对于α的函数表达式，并求出α的取值范围；问AD段多长时，S最小？解(1)在△ABD中，由正弦定理得AB＝BD＝AD，sinαπsin2πsin3－α333cosα1∴BD＝2sinα，AD＝2sinα＋2，则S＝a3cosα＋1＋2a1－3cosα＋1＋2sinα22sinα24a3＝a43－3cosα＋3，2sinα2sinα2π2π由题意得α∈3，3.(2)令S′＝3a·1－4cosαα＝12sinα＝0，设cos.20K12教育资源学惯用资料K12教育资源学惯用资料πα0α3，α0cosα1114，24S′－0S极小值1S最小，此时sin15∴当cosα＝4时，α＝4，3cosα15＋5AD＝2sinα＋2＝10.

2π0，3112，4＋思想升华诸如航行、建桥、丈量、人造卫星等波及必定图形属性的应用问题，经常需要应用几何图形的性质，用三角函数知识来求解．追踪操练3某单位将举办庆典活动，要在广场上直立一形状为等腰梯形的彩门BADC(如图)．设计要求彩门的面积为(单位：m2)，高为(单位：m)(，h为常数)．彩门的下底BCShS固定在广场底面上，上底和两腰由不锈钢支架组成，设腰和下底的夹角为α，不锈钢支架的长度和记为l.请将l表示成对于α的函数l＝f(α)；问当α为什么值时l最小，并求最小值．解(1)过D作DH⊥BC于点H，以以下图．π则∠DCB＝α0＜α＜2，DH＝h，hhDC＝sinα，CH＝tanα.2hAD＝x，BC＝x＋tanα.12h·，则Sh，由于＝x＋x＋tanαx＝－tanαS2hhl＝f(α)＝2DC＋ADS21π＝h＋hsinα－tanα0＜α＜2.K12教育资源学惯用资料K12教育资源学惯用资料S21(2)由(1)可知，l＝f(α)＝h＋hsinα－tanα，－2cosα－11－2cosα则f′(α)＝h·sin2α－sin2α＝h·sin2α，令f′(α)＝h·1－2cosαπsin2α＝0，得α＝3.ππππα0，333，2f′(α)－0＋f(α)极小值所以l＝fπSmin3＝3h＋h.1．某学校有长度为14m的旧墙一面，现准备利用这面旧墙建筑平面图形为矩形、面积为12621m新墙的开销为a元；②修1m旧墙的开销是am的活动室，工程条件是：①建4元；③拆去1m旧墙所得的资料，建1m新墙的开销为a元，经过讨论有两种方案：2利用旧墙的一段xm(0<x＜14)为矩形厂房的一面边长；(2)矩形活动室利用旧墙的一面边长为x≥14.问怎样利用旧墙，即x为多少时建墙的开销最省？(1)(2)两种方案，哪一种方案最好？解设利用旧墙的一面边长为xm，126则矩形另一边长为xm.当0＜x＜14时，aa252总开销f(x)＝4x＋2(14－x)＋a2x＋x－14367a4＋x－1≥35a，当且仅当x＝12时取最小值35a.当x≥14时，总开销f(x)＝a×＋a2x＋252－14414xK12教育资源学惯用资料K12教育源学用料212ax＋x－4，126f′(x)＝2a1－x2＞0，f(x)在[14，＋∞)上增，所以当x＝14取最小a.答第(1)种方案最省，即当x＝12m，用最省，35a元．2．某油的容量31万吨，年初油量10万吨，从年初起划每个月月初先石油m万吨，此后再出一部分石油来足地区内和地区外的需求．若地区内每个月用石油1万吨，地区外前x个月的需求量y(万吨)与x的函数关系y＝*5＋px(p＞0,1≤x≤10，x∈N)．已知前4个月地区外的需求量15万吨．写出第x个月石油出后，油内油量M(x)(万吨)的函数表达式；要使油中的石油在前10个月内任何候都不超出油的容量，又能足地区内和地区外的需求，求m的取范．解(1)因前4个月地区外的需求量15万吨，所以15＝5＋·4，p*p＝25，y＝5＋5x(1≤x≤10，x∈N)．M(x)＝10＋mx－x－(5＋5x)＝mx－x－5x＋5(1≤x≤10，x∈N*)．(2)因第x个月的月初石油后，油量不可以多于31万吨，所以M(x－1)＋m≤31，即10＋mx－(x－1)－(5x－1＋5)≤31，mx－x－5x－1≤25，*此式全部1≤x≤10(x∈N)恒成立，t＋5m≤t2＋1＋1(t＝k，k＝0,1，⋯，9)恒成立，5令u＝t＋5，m≤＋1(u＝5＋k，k＝0,1，⋯，9)恒成立，26u＋u－10265因u＋u－10在u＝8获得最大4，所以5＋1的最小5，≤5.26mu＋u－10另一方面，第x个月出石油后，油量不可以少于0万吨，所以M(x)≥0，即mx－x－5x＋5≥0.K12教育源学用料K12教育源学用料5m≥－x＋＋1，x*此式全部1≤x≤10(x∈N)恒成立，所以m≥－51129x－2＋4，此式全部1≤x≤10(x∈N*)恒成立，9m≥(x＝4取等号)．49上所述，4≤m≤59答每个月石油m的取范是，5.A通关1．某公司生的A种品，它的成本是2元，售价是3元，年售量100万件．得更好的效益，公司准取出必定的金做广告．依据，每年投入的广告是x(位：十万元)，品的年售量将是原售量的y倍，且y是x的二次函数，它的关系以下表x(十万元)012⋯y1⋯求y与x之的函数关系式；假如把利看作是售减去成本和广告，写出年利S(十万元)与广告x(十万元)的函数关系式；假如投入的年广告x，x∈[10,30]万元，广告在什么范内，公司得的年利随广告的增大而增大？解(1)二次函数的分析式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．1c＝1，a＝－10，由关系表，得a＋b＋c＝，解得34a＋2b＋c＝＝，，b5c＝1，∴函数的分析式y＝－1x2＋3x＋1(x≥0)．105(2)依据意，得＝10(3－2)－＝－x2＋5＋10(x≥0)．SyxxK12教育源学用料K12教育资源学惯用资料＝－x2＋5x＋10＝－x－52＋65，(3)S24∵1≤x≤3，∴当1≤x≤2.5时，S随x的增大而增大．故当年广告费为10～25万元之间，公司获得的年利润随广告费的增大而增大．2．在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板，此后在矩形纸ABCD板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边缘虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒(如图)．设小正方形边长为x厘米，矩形纸板的两边AB，BC的长分别为a厘米和b厘米，此中a≥b.当a＝90时，求纸盒侧面积的最大值；试确立a，b，x的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．(1)由于矩形纸板ABCD的面积为3600平方厘米，故当a＝90时，b＝40，进而包装盒子的侧面积S＝2×x(90－2x)＋2×x(40－2x)＝－8x2＋260x，x∈(0,20).由于＝－82＋260x＝－8x－652＋4225，Sx42654225故当x＝4时，侧面积最大，最大值为2平方厘米．包装盒子的体积V＝(a－2x)(b－2x)xx[ab－2(a＋b)x＋4x2]，x∈0，b，b≤60.222V＝x[ab－2(a＋b)x＋4x]≤x(ab－4abx＋4x)x(3600－240x＋4x2)＝4x3－240x2＋3600x.当且仅当a＝b＝60时等号成立．f(x)＝4x3－240x2＋3600x，x∈(0,30)．则f′(x)＝12(x－10)(x－30)．于是当0＜x＜10时，f′(x)＞0，所以f(x)在(0,10)上单一递加；10＜x＜30时，f′(x)＜0，所以f(x)在(10,30)上单一递减．所以当x＝10时，f(x)有最大值f(10)＝16000，K12教育资源学惯用资料K12教育资源学惯用资料此时a＝b＝60，x＝10.所以当＝＝60，x＝10时纸盒的体积最大，最大值为16000立方厘米．ab3．(2018·苏州模拟)某“T”型沟渠南北向宽为4m，东西向宽为2m，其俯视图如图所示．假定沟渠内的水面向来保持水平川址．(1)过点A的一条直线与沟渠的内壁交于P，Q两点，且与沟渠的一边的夹角为θ(θ为锐角)，将线段PQ的长度l表示为θ的函数；若从南面漂来一根长度为7m的笔挺的竹竿(粗细不计)，竹竿向来浮于水平面内，且不发生形变，问：这根竹竿可否从拐角处向来漂向东西向的沟渠(不会卡住)？试说明原因．解(1)由题意得，PA＝sin24θ，QA＝cosθ，所以l＝PA＋QA＝sin24θ0<θπθ＋cos<2.(2)设f(θ)＝2＋4π，θcosθ0<θ<2sin由f′(θ)＝－2cosθ4sinθ222sin3θ－cos3θsin2θ＋cos2θ＝sin2θcos2θ，令f′(θ)＝0，得tanθ02＝.2)时，f′(θ)π时，f且当θ∈(0，θ0<0；当θ∈θ0，2′(θ)>0，所以f(θ)在(0，θ0)上单一递减，在πθ0，2上单一递加，所以当θ＝θ0时，f(θ)获得极小值，即为最小值．21，cosθ＝2，233000所以f(θ)的最小值为36，即这根竹竿能经过拐角处的长度的最大值为36m.由于36>7，所以这根竹竿能从拐角处向来漂向东西向的沟渠．答竹竿能从拐角处向来漂向东西向的沟渠．4．(2018·江苏启东中学月考)园林管理处拟在公园某地区规划建设一半径为r米，圆心角为θ(弧度)的扇形观景水池，此中θ∈(0，2π)，O为扇形AOB的圆心，同时紧贴水池周边(即K12教育资源学惯用资料K12教育资源学惯用资料OA，OB和θ所对的圆弧)建设一圈理想的无宽度步道．要求总估计开销不超出24万元，水池造价为每平方米400元，步道造价为每米1000元．若总开销恰巧为24万元，则当r和θ分别为多少时，可使得水池面积最大，并求出最大面积；若要求步道长为105米，则可设计出的水池最大面积是多少？1解(1)弧长AB为θr，扇形AOB面积为S＝2θr

2,2400×2θr＋1000(2r＋θr)＝240000.即θr2＋5(2r＋θr)＝1200.1200－10r所以θ＝r2＋5r.1211200－10r2＝650－5(r＋5)＋625(r＋5)×625S＝θr＝×2×r≤650－5×2＝22r＋5rr＋5r＋5400.625θ＝2∈(0，2π).当且仅当r＋5＝r＋5，即r＝20时取等号，此时r＝20,θ＝2，面积最大值为400平方米．105－2(2)由θr＋2r＝105，得出θ＝r，r121－2r)，∴S＝θr＝r(105220<θ＝105－2r<2π，所以rr2＋5(2r＋θr)≤1200，1051052＋2π<r<2，105所以15所以45≤r<.r或r≥45，2≤2121－2r)，r∈45，105∴S＝2θr＝2r(1052，1所以当r＝45,θ＝3时，水池的最大面积为337.5平方米．K12教育资源学惯用资料K12教育资源学惯用资料r的取值范围为45，105，且当r＝45,1337.5平方米．答2θ＝3时，水池的最大面积为K12教育资源学惯用资料K12教育资源学惯用资料B组能力提升5．(2018·南通模拟)如图，某机械厂欲从AB＝2米，AD＝22米的矩形铁皮中裁剪出一个四边形ABEF加工成某仪器的部件，裁剪要求以下：点E，F分别在边BC，AD上，且EB＝EF，<.设∠＝θ，四边形的面积为f(θ)(单位：平方米)．AFBEBEFABEF求f(θ)对于θ的函数关系式，求出定义域；(2)当，AF的长为什么值时，裁剪出的四边形的面积最小，并求出最小值．BEABEF(1)过点F作FM⊥BE，垂足为M.在Rt△FME中，MF＝2，∠EMF＝π2，∠FEM＝θ，22所以EF＝sinθ，ME＝tanθ，2AF＝BM＝EF－EM＝sinθ－tanθ，1所以f(θ)＝2(AF＋BE)×AB122242＝2×sinθ－tanθ＋sinθ×2＝sinθ－tanθ.π依据题意得，AF<BE，所以θ<2，π且当点E与点C重合时，EF＝EB＝22，FM＝2，θ＝4，42ππ所以函数f(θ)＝sinθ－tanθ的定义域为4，2.K12教育资源学惯用资料K12教育资源学惯用资料424sin2θ＋cos2θ222(2)由(1)可知，f(θ)＝sinθ－tanθ＝θθ－θ2sin2cos22tan21－tan2θ2θ11θ＝2tan2＋θ－θ－tan2＝3tanθ＋1≥23tanθ×1＝23，tan2tan22θ2θtan2tan2当且仅当3tanθ12＝θ时，不等式取等号，tan2ππθππ又θ∈4，2∈，4，2，8故tanθ＝3，θ＝π，θ＝π.232632432223BE＝sinθ＝3，AF＝sinθ－tanθ＝3.答当BE，AF的长度分别为433米，233米时，裁剪出的四边形ABEF的面积最小，最小值为23平方米．6．(2018·苏锡常镇调研)图(Ⅰ)是一斜拉桥的航拍图，为认识析大桥的承重状况，研究小组将其抽象成图(Ⅱ)所示的数学模型．索塔，与桥面均垂直，经过丈量知两索塔的高ABCDAC度均为60m，桥面AC上一点P到索塔AB，CD距离之比为21∶4，且P对两塔顶的视角为135°.(1)求两索塔之间桥面的长度；AC(2)研究表示索塔对桥面上某处的“承重强度”与多种要素有关，可简单抽象为：某索塔对桥面上某处的“承重强度”与索塔的高度成正比(比率系数为正数a)，且与该处到索塔的距离的平方成反比(比率系数为正数b)．问两索塔对桥面哪处的“承重强度”之和最小？并求出最小值．(1)设AP＝21t，PC＝4t(t>0)，记∠APB＝α，∠CPD＝β，60206015则tanα＝21t＝7t，tanβ＝4t＝t，K12教育资源学惯用资料K12教育源学用料2015tanα＋tanβ7t＋t由tan(α＋β)＝tan45°＝1－tanαtanβ＝300＝1，1－7t2215化得7t－125t－300＝0，解得t＝20或t＝－7(舍去),