李贤平-概率论基础-Chap4(高等教学)课件

第四章数字特征与特征函数第一节数学期望第二节方差、相关系数、矩第三节母函数(略）第四节特征函数第五节多元正态分布(略）1高级教育第四章数字特征与特征函数第一节数学期望1高级教育一、数学期望的概念

数字特征是由随机变量决定的一些常数，期望与方差是其中最重要的两个特征，它们只能刻化随机变量的部分性质。数学期望(MathematicalExpectation)是一个随机变量的平均取值，是它所有可能取值的加权平均，权是这些可能值相应的概率。§4.1数学期望2高级教育一、数学期望的概念 数字特征是由随机变量决定的一些常数，例4.1.1一位射击教练将从两个候选人中挑选一人作为他的队员，甲还是乙的成绩更好？成绩(环数)甲的概率乙的概率

80.10.2

90.30.510 0.6 0.3解.以ξ、η分别表示甲、乙射击一次的结果，

ξ的数学期望(甲射击一次的平均成绩)是

Eξ=8×0.1+9×0.3+10×0.6=9.5(环)，同理，乙射击一次的平均成绩是

Eη=8×0.2+9×0.5+10×0.3=9.1(环)。

□3高级教育例4.1.1一位射击教练将从两个候选人中挑选一人作为成二.离散随机变量的数学期望如果ξ的分布律为级数绝对收敛的条件是为了保证期望不受求和顺序的影响。

数学期望反映了随机变量取值的中心趋势。4高级教育二.离散随机变量的数学期望如果ξ的分布律为级数绝对收敛的几种重要的离散型分布的期望：(1)（0—1）分布：(2)二项分布：5高级教育几种重要的离散型分布的期望：(1)（0—1）分布：(2)(3)泊松分布：(4)几何分布：6高级教育(3)泊松分布：(4)几何分布：6高级教育例随机变量取值，对应的概率为，则由于，因此它是概率分布，而且但是因此，的数学期望不存在。

从上面的例子可以看出，其中重要的离散型分布的参数都可由数学期望算得，因此它是一个重要的概念。7高级教育例随机变量取值，例4.1.3某人有10万元，如果投资于一项目将有30%的可能获利5万，60%的可能不赔不赚，但有10%的可能损失全部10万元；同期银行的利率为2%，问他应该如何决策？解.以ξ记这个项目 的投资利润。利润

50-10概率

0.30.60.1平均利润为：

Eξ=5×0.3+0×0.6+(-10)×0.1=0.5，而同期银行的利息是10×0.02=0.2，因此从期望收益的角度应该投资这个项目。8高级教育例4.1.3某人有10万元，如果投资于一项目将有例4.1.4假定某人设计了如下一个赌局：每个人从有3张假币的10张100元纸币中随机地抽出4张。如果全是真的，则赢得这400元；如果这4张中至少有一张假币，只输100元。问这种规则是否公平，或者说你是否愿意参加？解.一个公平合理的赌博或博弈规则必须是双方的平均获利都等于0。

以ξ记每局赌博中庄家的获利(可以为负)，则ξ所有可能的取值是-400与100。9高级教育例4.1.4假定某人设计了如下一个赌局：每个人从有31540050050□在古典概率模型中已经得到ξ的分布律xkpk-400

6100

6

ξ的数学期望，即庄家在每局赌博中 的平均获利为：

Eξ=(-)+=

663

这种赌博对庄家有利，平均每一局他将净赚16.67元。10高级教育1540050050□在古典概率三.连续随机变量的数学期望如果ξ的密度函数p(x)满足则连续随机变量ξ的数学期望是积分：否则称为这个随机变量的期望不存在11高级教育三.连续随机变量的数学期望如果ξ的密度函数p(x)满几种常用连续型分布的期望：(1)均匀分布12高级教育几种常用连续型分布的期望：(1)均匀分布12高级教育(2)指数分布(3)柯西分布(期望不存在)由于故数学期望不存在。13高级教育(2)指数分布(3)柯西分布(期望不存在)由于故数学期望不存(4)正态分布14高级教育(4)正态分布14高级教育(5)Gamma分布15高级教育(5)Gamma分布15高级教育四.一般场合：适合一切随机变量的数学期望的定义

若随机变量的分布函数为F(x)，类似于连续型的场合，作很密的分割，则落在中的概率等于，因此与以概率取值的离散型随机变量近似，而后者的数学期望为

注意到上式是Stieltjes积分的渐近和式。16高级教育四.一般场合：适合一切随机变量的数学期望的定义若随机变量数学期望的一般定义：

如果ξ的分布函数F(x)满足

则ξ的数学期望定义成Stieltjes积分：否则称这个随机变量的期望不存在.17高级教育数学期望的一般定义：否则称这个随机变量的期望不存在.17高级Riemann积分的推广:Stieltjes积分(1)F(x)在xk

处具有跳跃度pk

时,化为级数(2)F(x)存在导数p(x)

时,化为Riemann积分18高级教育Riemann积分的推广:Stieltjes积分(1)F设随机变量ξ，g(x)为一元Borel函数，定义随机变量η=g(ξ)，则不必计算新的随机变量的分布。这个结果的证明要用到测度论，超出了本课程的范围。

1.单个变量函数的期望五、随机变量函数的期望19高级教育设随机变量ξ，g(x)为一元Borel函数，定义随机变离散型场合，上述公式化为则η=g(ξ)的分布列可由下得到这是因为：的分布列为20高级教育离散型场合，上述公式化为则η=g(ξ)的分布列可由下得到连续型场合，若具有密度函数p(x)，则事实上，不妨只考虑g严格单调增加且可导情形，此时η=g(ξ)

的密度为21高级教育连续型场合，若具有密度函数p(x)，则事实上，不妨只考例（报童问题）设某报童每日的潜在卖报数服从参数为的泊松分布。如果每卖出一份报可得报酬a，卖不掉而退回则每份赔偿b

。若某日该报童买进n

份报，试求其期望所得，进一步求最佳的买进份数n

。解：若记其真正卖报数为,则与的关系为这里服从截尾泊松分布，即22高级教育例（报童问题）设某报童每日的潜在卖报数服从参数为记所得为，则因而，期望所得为23高级教育记所得为，则因而，期望所得为23高级教育求n

使E(g())达到极大,这是一个典型的最优化问题.

一般计算泊松分布的部分和可用下列公式：24高级教育求n使E(g())达到极大,这是一个典型的最优化问题

例4.1.7假定某公司开发了一种新产品，他们每卖出一件可获利500元，而积压一件将损失

2000元，预计这种产品的销售量ξ服从参数

0.00001的指数分布，

p1(x)=0.00001e-0.00001x

，x>0.问应该生产多少才能使得平均获利最大？25高级教育 例4.1.7假定某公司开发了一种新产品，他们25高级平均获利即η的数学期望为26高级教育平均获利即η的数学期望为26高级教育即平均获利为：Q(c)=2500×10000(1-e-0.00001c)-2000c关于c的二阶导数-0.25e-0.00001c

＜0，因此Q(c)具有极大值，令解出c=-10000×ln(2000/2500)=2231.4，即要使平均获利最大，应该生产2231件产品。□27高级教育即平均获利为：关于c的二阶导数-0.25e-0.00001 2.随机向量函数的期望

设随机向量(ξ1,ξ2,…,ξn)的联合分布函数为F(x1,x2,…,xn)，g(x1,x2,…,xn)为n元Borel函数，定义随机变量η=g(ξ1,ξ2,…,ξn)，则特别地，28高级教育 2.随机向量函数的期望 设随机向量(ξ1,ξ2,…,ξ六、数学期望的基本性质性质1

若a≤≤b，则a≤E()≤b

.特别地,E(C)

=C,这里C是常数.

性质2(单调性)若几乎处处地有≤，则

E()≤E().性质3(线性性质）对任意常数及b

，有29高级教育六、数学期望的基本性质性质1若a≤≤b，则a≤E(4.和的期望等于期望的和对任意n个随机变量ξ1、…、ξn，都有：

E(ξ1+ξ2+…+ξn)=Eξ1+Eξ2+…+Eξn5.独立乘积的期望等于期望的乘积如果ξ1、…、ξn相互独立，则有：

E(ξ1×ξ2×...×ξn)=Eξ1×Eξ2×…×Eξn注意:该性质不是充要条件。30高级教育4.和的期望等于期望的和对任意n个随机变量ξ1、…、ξn，例4.1.8计算正态分布N(,σ2)的期望.解.因为正态分布ξ可转化为

ξ=

+σξ0，其中ξ0~N(0,1)

显然有，因此，Eξ=

+σE(ξ0)=

,即正态分布N(,σ2)的期望就是参数

。□利用性质求期望31高级教育例4.1.8计算正态分布N(,σ2)的期望.因此，E例4.1.9计算二项分布及超几何分布的期望解.定义n个随机变量ξ1、…、ξn，每个ξi

同分布于参数M/N的Bernoulli分布1,第i次取到的是次品，0,第i次取到的是合格品32高级教育例4.1.9计算二项分布及超几何分布的期望解.定义n有放回抽样时它们相互独立，即ξ=ξ1+ξ2+…+ξn服从二项分布；无放回抽样时它们不独立，而η=ξ1+ξ2+…+ξn服从超几何分布；注意到,每个ξi的期望都是M/N，因此（1）二项分布B(n,p)的期望为np=nM/N；（2）超几何分布HG(n,N,M)的期望为nM/N。□33高级教育有放回抽样时它们相互独立，即ξ=ξ1+ξ2+…+ξn§4.2方差，相关系数，矩一、方差二、切比雪夫不等式三、相关系数四、矩五、条件数学期望34高级教育§4.2方差，相关系数，矩一、方差34高级教育哪门炮射击效果好一些呢?甲炮射击结果乙炮射击结果例如:炮落点距目标的位置如图，哪门炮效果好一点些？又如:甲、乙两个合唱队都由5名成员组成，身高如下：甲：1.60、1.62、1.59、1.60、1.59乙：1.80、1.60、1.50、1.50、1.60哪个合唱队演出效果好？35高级教育哪门炮射击效果好一些呢?甲炮射击结果乙炮射击结果例如:炮落一、方差定义

设X是一个随机变量，若存在，则称为X的方差.记为D(X)或Var(X).

方差的算术平方根称为均方差或标准差。记为注：方差实际上就是X的函数g(X)=[X-E(X)]2的期望.方差反映了随机变量的取值与平均值的偏离程度.36高级教育一、方差定义设X是一个随机变量，若证明：推论：常用计算公式：37高级教育证明：推论：常用计算公式：37高级教育例4.2.2射击教练将从他的两名队员中选择一人参加比赛，应该是甲还是丙更合适？成绩(环数)甲的概率丙的概率

80.10.2

90.30.110 0.6 0.7解.这里甲、丙两人的平均成绩都是

Eξ=Eη

=9.5需要比较方差，简单计算后可以得到：

Dξ=0.45，Dη

=0.65因此,应该选择甲队员去参加比赛。38高级教育例4.2.2射击教练将从他的两名队员中选择一人参加比赛ξp续例4.1.1,甲乙射击技术如下：

8910p0.10.30.6η

89100.20.50.3已经知道平均来说甲的成绩比乙好，计算方差能发现甲的成绩也比乙稳定(Dξ

=0.45,Dη

=0.49).如果只射击一次，谁的成绩可能更好一些？

需要利用分布律计算并比较两个概率

P(ξ＞η)，以及P(ξ＜η)39高级教育ξp续例4.1.1,甲乙射击技术如下： 89几种常见分布的方差:(1)（0—1）分布：(2)二项分布：40高级教育几种常见分布的方差:(1)（0—1）分布：(2)二项分(3)泊松分布：41高级教育(3)泊松分布：41高级教育(4)均匀分布:42高级教育(4)均匀分布:42高级教育(5)指数分布：43高级教育(5)指数分布：43高级教育特别，当(6)正态分布：44高级教育特别，当(6)正态分布：44高级教育常见分布的数学期望与方差列表：45高级教育常见分布的数学期望与方差列表：45高级教育方差的基本性质2.随机变量线性变换的方差公式:设a、b

是两个常数，则有D(a+bξ)=b2Dξ.注：与数学期望的性质比较：E(a+bξ)=a+bEξ平移改变随机变量期望，但不会改变方差.1.设C是常数,则D(C)

=0;46高级教育方差的基本性质2.随机变量线性变换的方差公式:注：与数学

4.独立和的方差等于方差的和：若X与Y

独立，则注：这条性质同样不是一个充要条件。推广：若X1,X2,…,Xn

相互独立,则证明：见后面“Chebyshev不等式”部分。3、D(X)=047高级教育4.独立和的方差等于方差的和：注：这条性质同样不是一个充要1.如果ξ1、…、ξn

相互独立，则有：

D(ξ1

±ξ2±…±ξn)=Dξ1+Dξ2+…+Dξn2.任意随机变量和的期望等于期望的和：

E(ξ1±ξ2±…±ξn)=Eξ1±Eξ2±…±Eξn比较：3.

独立随机变量乘积的期望等于期望的乘积：E(ξ1

ξ2…

ξn)=Eξ1

Eξ2…Eξn48高级教育1.如果ξ1、…、ξn相互独立，则有：2.任意随机变量5.若，则。证明：因为注：这个性质表明数学期望具有一个重要的极值性质：在中,当时达到极小;这也说明在的定义中取的合理性。49高级教育5.若，则例2、已知X~b(n,p)，求D(X)。注：利用方差和的性质时要注意相互独立的条件。50高级教育例2、已知X~b(n,p)，求D(X)。注：利用方差和的

“标准化”的目的是通过线性变换把一个随机变量的期望转化为0，方差转化为1.随机变量的标准化：假设随机变量ξ的期望Eξ及方差Dξ都存在,且Dξ>0，则称为ξ的标准化随机变量。51高级教育 “标准化”的目的是通过线性变换把一个随机变量的期望转化为二.Chebyshev不等式对于任何具有有限期望与方差的随机变量ξ，都有其中ε

是任一正数。证明:若

F(x)是ξ的分布函数，则显然有52高级教育二.Chebyshev不等式对于任何具有有限期望与方差的随Chebyshev不等式还常写成下面的形式:或

Chebyshev不等式的意义：利用随机变量ξ的数学期望及方差对ξ的概率分布进行估计。它断言不管ξ的分布是什么，ξ落在中的概率均不小于53高级教育Chebyshev不等式还常写成下面的形式:或Chebys从Chebyshev不等式还可以看出,当方差愈小时,事件的概率也愈小，从这里可以看出方差是描述随机变量与其期望值离散程度的一个量。特别地,若,则对于任意的，恒有即所以方差为零的随机变量是常数。因此,54高级教育从Chebyshev不等式还可以看出,当方差愈小时,事件的概在不等式中分别取ε=σ，2σ，3σP{|ξ-

|≤σ}≥0P{|ξ-

|≤2σ}≥0.75P{|ξ-

|≤3σ}≥0.8889比较正态分布的结果：P{|ξ-

|≤σ}=0.6826，P{|ξ-

|≤2σ}=0.9544，P{|ξ-

|≤3σ}=0.9974。55高级教育在不等式中分别取ε=σ，2σ，3σP{|ξ-|≤定义

设(X,Y)为二维随机变量,若存在，则称它为X与Y的协方差，cov(X,Y).三、相关系数对于随机向量,我们除了关心它的各个分量的情况外,还希望知道各个分量之间的联系,于是引进了协方差和相关系数的概念。常用计算公式：56高级教育定义设(X,Y)为二维随机变量,若存在，则称它为X与协方差的概率意义:

协方差实际上是两个随机变量中心化以后乘积的数学期望，是它们关系的一种度量。

协方差为正说明ξ、η具有相同变化趋势，即平均来说ξ相对于Eξ变大(或变小时)η也相对于Eη增加(或减少);反之协方差为负则说明ξ、η具有相反的变化趋势。57高级教育协方差的概率意义: 协方差实际上是两个随机变量中心化以后乘a,b为常数协方差的性质58高级教育a,b为常数协方差的性质58高级教育和的方差公式：59高级教育和的方差公式：59高级教育设为n维随机向量，记协方差矩阵：简记作DX.60高级教育设事实上,对任何实数有因而,对于协方差矩阵有:Remark：3、协方差矩阵是一个非负定矩阵。61高级教育事实上,对任何实数有因而,对定义.

称为X与Y的相关系数。更常用的是如下“标准化”了的协方差.相关系数就是标准化的随机变量与的协方差。这里当然要求DX,DY为正。以后补充定义常数与任何随机变量的相关系数为零。相关系数：62高级教育定义.称为X与Y的相关系数。更常用的是如下“标准化”了例3求服从多项分布的随机向量的各个分量之间的协方差和相关系数。解:显然因此注意到,因此,这里整数,且63高级教育例3求服从多项分布的随机向量的各个分量之间的协方差和相关系因而有从而，相关系数为由于可写出协方差阵与相关系数阵。64高级教育因而有从而，相关系数为由于可写出协方差阵与相关系数阵。64高下面研究相关系数的性质,先证明一条常用的不等式。定理(Cauchy-Schwarz不等式)等式成立当且仅当这里是某一个常数。对任意的随机变量ξ与η

,如果则有65高级教育下面研究相关系数的性质,先证明一条常用的不等式。定理(Cau证明:对任意的实数t,定义显然对一切，因此二次方程或者没有实根或者有一个重根。所以此外,方程有一个重根存在的充要条件是这时，

，因此66高级教育证明:对任意的实数t,定义把柯西-施瓦兹不等式应用到及，可以得到相关系数的如下重要性质。性质1对于ξ与η的相关系数ρ

，而ρ

=-1,当且仅当性质1表明,当时,ξ与η存在着线性关系.有线性关系是一个极端，ρ=0又是一个极端。而ρ=1,当且仅当67高级教育把柯西-施瓦兹不等式应用到及定义

若随机变量与的相关系数ρ=0，则我们称与(线性)不相关。性质2对随机变量与,下面的事实等价：不相关；

独立性和不相关性都是随机变量间联系“薄弱”的一种反映，自然希望知道这两个概念之间的联系。性质3若与独立，则与不相关。其逆不成立，请看下面的例子。68高级教育定义若随机变量与的相关系数ρ=0，则我们称与(线例4设服从中的均匀分布，这里a是定数。试判断与的独立性与相关性。解：因而，与

的相关系数为69高级教育例4设服从中的均匀分布，这里a是定数。试当，X与Y的线性关系越显著；当,X与Y的线性关系越不显著；相关系数之间线性关系的一种度量.是X与Y于是，当时，当时，存在线性关系。但是,当或时，，这时与不相关。但是这时却有，因此与不独立。两个随机变量不相关，它们之间可能存在其它关系。即使Remark：70高级教育当，X与Y的线性关系越显著；当

不相关性是就线性关系而言的，而独立性是就一般关系而言的。但是如果它们服从二元正态分布，那么它们之间的独立性和不相关性是等价的。性质4对于二元正态分布，不相关性与独立性等价.这个结果可推广到多元场合。性质5若ξ与η

都是取二值随机变量，则不相关性与独立性等价.71高级教育不相关性是就线性关系而言的，而独立性是就一般关系而言的在抽样调查中的应用

抽样调查是社会经济中用的最多的统计方法。为对总体的某个指标（主要是总值、平均值、比率和百分比）进行估算特设计某种抽样方案。

最简单的抽样方式是简单随机抽样。例6袋中有张卡片，各记以数字，不放回地从中抽出张，求其和的数学期望和方差。解:取一张时，其数字的分布均值及方差分别为:72高级教育在抽样调查中的应用抽样调查是社会经济中用的最多的统计

若以

记n张卡片的数字之和,以记第i次抽得的卡片上的数字，则由于抽签与顺序无关，因此故所以这里，我们又一次用到抽签与顺序无关。73高级教育若以记n张卡片的数字之和,以

在中令，这时是一个常数，因此

,于是因而,最后得到:与有放回抽取的方差相比,多出了一个因子

，称为有限总体修正因子。

当时，它等于1；而当时，它取值为0。这与直观符合。

特别地，若取

则可以得到超几何分布的均值和方差的表达式。74高级教育在中令，这时现代证券组合理论

Markovitz在50年代引进的均值--方差模型成了现代证券组合理论的基石。

一个相当自然的假定是：投资者都追求高收益而规避风险，也即希望有高的均值而不愿有大的方差。

但是，证券市场的历史记录表明，高收益常伴随着高风险。根本的出路在于采用证券组合，即把全部资金分散投资于各种证券。

假定投资于上述

种证券的资金的比例分别为

假定有种证券可以投资,并把它们的收益率看作是随机变量,通常记为

,相应的均值和方差分别记为和并以记与的相关系数。75高级教育现代证券组合理论Markovitz在50年代引进的则总的收益率为显然其平均收益率为而方差则为因此寻找最优证券组合的问题化为：

求投资比例，使等于某个目标值而达到最小，或者控制在一个可以接受的水平而使达到最大。

Markovitz模型兼顾了金融市场中收益和风险两大要素，而且形式简便，为金融学的发展开创了新局面，他也因此获得了1990年度的诺贝尔经济学奖。76高级教育则总的收益率为显然其平均收益率为而方差则为因此寻找最优证券组四、

矩

数学期望,方差,协方差是随机变量常用的数字特征，它们都是某种矩。

矩是最广泛使用的一种数字特征，在概率论和数理统计种占有重要地位。常用的矩有两种：原点矩和中心矩定义.对正整数，称为阶原点矩.数学期望是一阶原点矩。定义.对正整数，称为阶中心矩.方差是二阶中心矩。定理.中心矩和原点矩可相互表达。77高级教育四、矩数学期望,方差,协方差是随机变量常用的数字特征证明：事实上，

此外对正数

k

，还可以定义k

阶原点绝对矩及k阶中心绝对矩，它们较少使用。

对于多维随机变量，可以定义各种混合矩，例如称为k+l阶混合中心矩。协方差是二阶混合中心矩，是其中最重要的一种。证毕.78高级教育证明：事实上，此外对正数k，还可以定义k阶原点解：密度函数为故原点矩和中心矩相同。显然,当k为奇数时，；当k为偶数时，例7设为服从正态分布，求其k阶原点矩和k阶中心矩。79高级教育解：密度函数为故原点矩和中心矩相同。显然,当k为奇数时，推广：若为服从正态分布N(,2)，其k阶中心矩:k阶原点矩：当k为奇数时，当k为偶数时，80高级教育推广：若为服从正态分布N(,2)，k阶原点矩：当五、条件数学期望1.离散随机变量的条件期望Y

关于随机事件(X=x)的条件期望：Remark：Y关于X的条件期望E(Y|X)是一个随机变量，它取值为E(Y|X=x)的概率是P(X=x

)。其反映了随机变量Y的平均值对随机变量X的依赖。81高级教育五、条件数学期望1.离散随机变量的条件期望Y关于随机事件(2.连续随机变量的条件期望在的条件下，的条件数学期望定义为Remark:为随机变量:它取值，对应密度为p(x).注意：条件数学期望具有数学期望的所有性质.82高级教育2.连续随机变量的条件期望在的条件下，所以它服从正态分布例考虑二维正态分布，(ξ,η)~从第三章已经知道η关于随机事件(ξ=x)的条件分布为因此η关于随机事件(ξ=x)的条件期望就是83高级教育所以例考虑二维正态分布，(ξ,η)~从第三章已经知道η设(X,Y)为二维随机向量，且E(X)存在，则有证明：只对连续性情况证明.设的概率密度为,则有

定理(全期望公式)

84高级教育设(X,Y)为二维随机向量，且E(X)存在，则有证明：只对连

全期望公式的应用:

这公式提供了一个在大范围求平均的一种思想方法，即所谓的两次平均法.85高级教育全期望公式的应用:这公式提供了一个在大范围求平均的例8一名矿工被困在矿井有三个门的位置，第一个门与一个经3小时路程可到达安全区的坑道连接；第二个门与一个经5小时路程可回到原处的坑道连接；第三个门与一个经7小时路程可回到原处的坑道连接。假定该矿工等可能在三个门种选择，求他平均需要多少时间才能到达安全区。解：设该矿工需要小时到达安全区，则的可能取值显然有由题设知记矿工平均需要时间为由全期望计算式:解得86高级教育例8一名矿工被困在矿井有三个门的位置，第一个门解：设该矿工§4.5特征函数一、特征函数的定义二、特征函数的性质三、逆转公式与唯一性定理四、分布函数的再生性五、多元特征函数87高级教育§4.5特征函数一、特征函数的定义87高级教育一、特征函数的定义

分布函数及其密度无疑是描述随机变量概率规律的有力工具，可方便地解决许多与随机变量有关的概率问题。但是，在今后的某些问题中，分布函数又表现出某些不足。例如：（1）分布函数本身的分析性质不太好，它只是一个单边连续的有界非降函数。（2）独立随机变量和的分布函数等于各分布函数的卷积,这在计算上带来不少麻烦。

另一方面,数字特征也只反映了概率分布的某些侧面。一般并不能通过它来确定分布函数。下面介绍的特征函数,即能完全决定分布函数，又具有良好的分析性质。88高级教育一、特征函数的定义分布函数及其密度无疑是描述随机变定义如果与都是概率空间上的实值随机变量，则称为复随机变量.对复随机变量的研究本质上是对二维随机变量的研究.

如果二维随机变量与相互独立，则称复随机变量与相互独立。

定义复随机变量的数学期望为89高级教育定义如果与都是概率空间上的

对于复随机变量，可平行的定义或建立一系列结果。例如:若是相互独立的，则又如,若是一个博雷尔可测函数，

则这里,90高级教育对于复随机变量，可平行的定义或建立一系列结果。例如:定义若随机变量的分布函数为，则称为的特征函数。

特征函数是一个实变量的复值函数，由于，所以它对一切实数t都有意义。

显然特征函数只与分布函数有关，因此又称某一分布函数的特征函数。91高级教育定义若随机变量的分布函数为，则称为的特这时，特征函数是密度函数p(x)的Fourier变换。对于离散型随机变量，若其分布列为：则其特征函数为：

对于连续型随机变量，若其分布密度为p(x)，则其特征函数为：92高级教育这时，特征函数是密度函数p(x)的Fourier变换。对于一些重要分布的特征函数例1退化分布的特征函数例2二项分布的特征函数例3泊松分布的特征函数为93高级教育一些重要分布的特征函数例1退化分布例4分布

的特征函数：特别地，指数分布Exp(λ)：

卡方分布：94高级教育例4分布的特征函数：特别地二、特征函数的性质性质1特征函数有如下性质：证明：性质2特征函数在上一致连续。证明：95高级教育二、特征函数的性质性质1特征函数有如注意上式右边已与t无关。而因此，

可选足够大的使右边的第一项任意小，然后选充分小的可使第二个积分也任意小，从而证明了定理的结论。96高级教育注意上式右边已与t无关。而因此，可选足够大的性质3对于任意的正整数及任意的实数及复数，成立证明：

这个性质称为非负定性，是特征函数的最本质的性质之一。97高级教育性质3对于任意的正整数及任意的实数性质4两个相互独立的随机变量之和的特征函数等于它们各自特征函数之积。证明：设与是两个相互独立的随机变量，由与的独立性不难推得复随机变量与也是独立的，则性质4可以推广到n个独立随机变量之和的场合.正是由于性质4，才使特征函数在概率论中占有重要地位.98高级教育性质4两个相互独立的随机变量之和的特征函数等于它们各自性质5设随机变量的n阶矩存在，则它的特征函数可微分n

次，且当时：证明:

由于的阶矩存在，故，因而可作下列积分号下的微分取，即得结论成立。利用性质5，我们可以方便地求随机变量的各阶矩。99高级教育性质5设随机变量的n阶矩存在，则它的特征函数可微分n推论.设随机变量的n阶矩存在，则它的特征函数可作如下展开：性质5设，这里a,b

为常数，则证明:100高级教育推论.设随机变量的n阶矩存在，则它的特征函数可作例5

求正态分布的特征函数.解:先讨论的场合：由于正态分布的一阶矩存在，可对上式求导，得101高级教育例5求正态分布的特征函数.解:先讨论因此,由于f(0)=1，所以c=0,从而对于的场合，利用性质6可得：102高级教育因此,由于f(0)=1，所以c=0,从而对于例.103高级教育例.103高级教育三、逆转公式与唯一性定理特征函数和分布函数是相互唯一确定的，由分布函数决定特征函数是显然的，剩下来的是证明可由特征函数唯一决定分布函数。

则引理设

104高级教育三、逆转公式与唯一性定理特征函数和分布函数是相互唯一证明：从数学分析中知道狄利克雷积分而105高级教育证明：从数学分析中知道狄利克雷积分而105高级教育定理（逆转公式）

设分布函数的特征函数为，又是的连续点，则证明：不妨设，记106高级教育定理（逆转公式）设分布函数的特征函数为，交换中两积分的积分顺序得到：因为对，有因此，对，取共轭即知上式也成立。107高级教育交换中两积分的积分顺序得到：因为对，有因此，由前面的引理知：有界，因此由勒贝格控制收敛定理并利用引理的结果可知：108高级教育由前面的引理知：有界，因此由勒贝格控若是的连续点，则109高级教育若是的连续点，则109高级教育定理(唯一性定理)分布函数由其特征函数唯一确定.而分布函数由其连续点上的值唯一决定。由唯一性定理知特征函数可完整地描述随机变量。特别当是绝对可积函数时，有下列更强的结果。证明:应用逆转公式，在的每一连续点上，当沿的连续点趋向于时，有110高级教育定理(唯一性定理)分布函数由其特征函数唯一确定.而分布函定理

若特征函数f(t)绝对可积，则相应的分布函数F(x)的导数存在并连续，并且证明:由逆转公式，若及是的连续点，则利用，可得：111高级教育定理若特征函数f(t)绝对可积，则相应的分布函数F由假设，绝对可积，因此有利用勒贝格控制收敛定理因此,存在而且有界。

因此，在绝对可积的条件下，分布密度与特征函数通过傅立叶变换来联系。112高级教育由假设，绝对可积，因此有利用勒贝格控制收敛定理因此,四、分布函数的再生性在研究独立随机变量和的分布时，我们发现有的分布具有这样的性质：两个具有同一类型分布的独立随机变量之和的分布仍是这种类型的分布，且对应的参数等于两个随机变量相应参数之和。这就称为再生性。例6因为例7因为113高级教育四、分布函数的再生性在研究独立随机变量和的分布时，我们例8因为例9因为分布函数的分解问题

若两个独立随机变量之和服从某一分布，问是否能断定这两个随机变量也分别服从这个分布？

这实际上是分布函数再生性问题的逆问题。已经证明：对于正态分布和泊松分布，分解问题成立.114高级教育例8因为例9因为分布函数的分解问题若两个独立随机变五、多元特征函数

若随机向量的分布函数为,与随机变量相仿，我们可以定义它的特征函数.

可以类似于一元的场合,建立起n元特征函数的理论,由于方法完全相同,我们只叙述相关结论,证明一概从略。性质1在中一致连续，并且115高级教育五、多元特征函数若随机向量的分布函数性质2如果是的特征函数，则的特征函数为性质3如果存在，则性质4若的特征函数为,则维随机向量的特征函数为116高级教育性质2如果是的特征逆转公式如果是随机向量的特征函数，而是它的分布函数，则其中和都是任意实数，但满足唯一的要求：落在平行体的面上的概率为零。117高级教育逆转公式如果是随机向量唯一性定理分布函数由其特征函数唯一决定。

有了唯一性定理,可以进一步证明特征函数的如下两个性质，它们表征了独立性。性质5若的特征函数为,而的特征函数为

，则随机变量相互独立的充要条件为118高级教育唯一性定理分布函数由其特征函数唯一对一切实数及成立性质6若以及分别记随机向量及的特征函数,则与独立的充要条件是:119高级教育对一切实数及成立性质6若以习题四第十一周：第3、8、9、16、24题第十二周：第14、30、31、32题第十三周：第26、48、50、51，52题注：第50、51题要利用第49的结果.120高级教育习题四第十一周：第3、8、9、16、24题第十二周：第第四章数字特征与特征函数第一节数学期望第二节方差、相关系数、矩第三节母函数(略）第四节特征函数第五节多元正态分布(略）121高级教育第四章数字特征与特征函数第一节数学期望1高级教育一、数学期望的概念

数字特征是由随机变量决定的一些常数，期望与方差是其中最重要的两个特征，它们只能刻化随机变量的部分性质。数学期望(MathematicalExpectation)是一个随机变量的平均取值，是它所有可能取值的加权平均，权是这些可能值相应的概率。§4.1数学期望122高级教育一、数学期望的概念 数字特征是由随机变量决定的一些常数，例4.1.1一位射击教练将从两个候选人中挑选一人作为他的队员，甲还是乙的成绩更好？成绩(环数)甲的概率乙的概率

80.10.2

90.30.510 0.6 0.3解.以ξ、η分别表示甲、乙射击一次的结果，

ξ的数学期望(甲射击一次的平均成绩)是

Eξ=8×0.1+9×0.3+10×0.6=9.5(环)，同理，乙射击一次的平均成绩是

Eη=8×0.2+9×0.5+10×0.3=9.1(环)。

□123高级教育例4.1.1一位射击教练将从两个候选人中挑选一人作为成二.离散随机变量的数学期望如果ξ的分布律为级数绝对收敛的条件是为了保证期望不受求和顺序的影响。

数学期望反映了随机变量取值的中心趋势。124高级教育二.离散随机变量的数学期望如果ξ的分布律为级数绝对收敛的几种重要的离散型分布的期望：(1)（0—1）分布：(2)二项分布：125高级教育几种重要的离散型分布的期望：(1)（0—1）分布：(2)(3)泊松分布：(4)几何分布：126高级教育(3)泊松分布：(4)几何分布：6高级教育例随机变量取值，对应的概率为，则由于，因此它是概率分布，而且但是因此，的数学期望不存在。

从上面的例子可以看出，其中重要的离散型分布的参数都可由数学期望算得，因此它是一个重要的概念。127高级教育例随机变量取值，例4.1.3某人有10万元，如果投资于一项目将有30%的可能获利5万，60%的可能不赔不赚，但有10%的可能损失全部10万元；同期银行的利率为2%，问他应该如何决策？解.以ξ记这个项目 的投资利润。利润

50-10概率

0.30.60.1平均利润为：

Eξ=5×0.3+0×0.6+(-10)×0.1=0.5，而同期银行的利息是10×0.02=0.2，因此从期望收益的角度应该投资这个项目。128高级教育例4.1.3某人有10万元，如果投资于一项目将有例4.1.4假定某人设计了如下一个赌局：每个人从有3张假币的10张100元纸币中随机地抽出4张。如果全是真的，则赢得这400元；如果这4张中至少有一张假币，只输100元。问这种规则是否公平，或者说你是否愿意参加？解.一个公平合理的赌博或博弈规则必须是双方的平均获利都等于0。

以ξ记每局赌博中庄家的获利(可以为负)，则ξ所有可能的取值是-400与100。129高级教育例4.1.4假定某人设计了如下一个赌局：每个人从有31540050050□在古典概率模型中已经得到ξ的分布律xkpk-400

6100

6

ξ的数学期望，即庄家在每局赌博中 的平均获利为：

Eξ=(-)+=

663

这种赌博对庄家有利，平均每一局他将净赚16.67元。130高级教育1540050050□在古典概率三.连续随机变量的数学期望如果ξ的密度函数p(x)满足则连续随机变量ξ的数学期望是积分：否则称为这个随机变量的期望不存在131高级教育三.连续随机变量的数学期望如果ξ的密度函数p(x)满几种常用连续型分布的期望：(1)均匀分布132高级教育几种常用连续型分布的期望：(1)均匀分布12高级教育(2)指数分布(3)柯西分布(期望不存在)由于故数学期望不存在。133高级教育(2)指数分布(3)柯西分布(期望不存在)由于故数学期望不存(4)正态分布134高级教育(4)正态分布14高级教育(5)Gamma分布135高级教育(5)Gamma分布15高级教育四.一般场合：适合一切随机变量的数学期望的定义

若随机变量的分布函数为F(x)，类似于连续型的场合，作很密的分割，则落在中的概率等于，因此与以概率取值的离散型随机变量近似，而后者的数学期望为

注意到上式是Stieltjes积分的渐近和式。136高级教育四.一般场合：适合一切随机变量的数学期望的定义若随机变量数学期望的一般定义：

如果ξ的分布函数F(x)满足

则ξ的数学期望定义成Stieltjes积分：否则称这个随机变量的期望不存在.137高级教育数学期望的一般定义：否则称这个随机变量的期望不存在.17高级Riemann积分的推广:Stieltjes积分(1)F(x)在xk

处具有跳跃度pk

时,化为级数(2)F(x)存在导数p(x)

时,化为Riemann积分138高级教育Riemann积分的推广:Stieltjes积分(1)F设随机变量ξ，g(x)为一元Borel函数，定义随机变量η=g(ξ)，则不必计算新的随机变量的分布。这个结果的证明要用到测度论，超出了本课程的范围。

1.单个变量函数的期望五、随机变量函数的期望139高级教育设随机变量ξ，g(x)为一元Borel函数，定义随机变离散型场合，上述公式化为则η=g(ξ)的分布列可由下得到这是因为：的分布列为140高级教育离散型场合，上述公式化为则η=g(ξ)的分布列可由下得到连续型场合，若具有密度函数p(x)，则事实上，不妨只考虑g严格单调增加且可导情形，此时η=g(ξ)

的密度为141高级教育连续型场合，若具有密度函数p(x)，则事实上，不妨只考例（报童问题）设某报童每日的潜在卖报数服从参数为的泊松分布。如果每卖出一份报可得报酬a，卖不掉而退回则每份赔偿b

。若某日该报童买进n

份报，试求其期望所得，进一步求最佳的买进份数n

。解：若记其真正卖报数为,则与的关系为这里服从截尾泊松分布，即142高级教育例（报童问题）设某报童每日的潜在卖报数服从参数为记所得为，则因而，期望所得为143高级教育记所得为，则因而，期望所得为23高级教育求n

使E(g())达到极大,这是一个典型的最优化问题.

一般计算泊松分布的部分和可用下列公式：144高级教育求n使E(g())达到极大,这是一个典型的最优化问题

例4.1.7假定某公司开发了一种新产品，他们每卖出一件可获利500元，而积压一件将损失

2000元，预计这种产品的销售量ξ服从参数

0.00001的指数分布，

p1(x)=0.00001e-0.00001x

，x>0.问应该生产多少才能使得平均获利最大？145高级教育 例4.1.7假定某公司开发了一种新产品，他们25高级平均获利即η的数学期望为146高级教育平均获利即η的数学期望为26高级教育即平均获利为：Q(c)=2500×10000(1-e-0.00001c)-2000c关于c的二阶导数-0.25e-0.00001c

＜0，因此Q(c)具有极大值，令解出c=-10000×ln(2000/2500)=2231.4，即要使平均获利最大，应该生产2231件产品。□147高级教育即平均获利为：关于c的二阶导数-0.25e-0.00001 2.随机向量函数的期望

设随机向量(ξ1,ξ2,…,ξn)的联合分布函数为F(x1,x2,…,xn)，g(x1,x2,…,xn)为n元Borel函数，定义随机变量η=g(ξ1,ξ2,…,ξn)，则特别地，148高级教育 2.随机向量函数的期望 设随机向量(ξ1,ξ2,…,ξ六、数学期望的基本性质性质1

若a≤≤b，则a≤E()≤b

.特别地,E(C)

=C,这里C是常数.

性质2(单调性)若几乎处处地有≤，则

E()≤E().性质3(线性性质）对任意常数及b

，有149高级教育六、数学期望的基本性质性质1若a≤≤b，则a≤E(4.和的期望等于期望的和对任意n个随机变量ξ1、…、ξn，都有：

E(ξ1+ξ2+…+ξn)=Eξ1+Eξ2+…+Eξn5.独立乘积的期望等于期望的乘积如果ξ1、…、ξn相互独立，则有：

E(ξ1×ξ2×...×ξn)=Eξ1×Eξ2×…×Eξn注意:该性质不是充要条件。150高级教育4.和的期望等于期望的和对任意n个随机变量ξ1、…、ξn，例4.1.8计算正态分布N(,σ2)的期望.解.因为正态分布ξ可转化为

ξ=

+σξ0，其中ξ0~N(0,1)

显然有，因此，Eξ=

+σE(ξ0)=

,即正态分布N(,σ2)的期望就是参数

。□利用性质求期望151高级教育例4.1.8计算正态分布N(,σ2)的期望.因此，E例4.1.9计算二项分布及超几何分布的期望解.定义n个随机变量ξ1、…、ξn，每个ξi

同分布于参数M/N的Bernoulli分布1,第i次取到的是次品，0,第i次取到的是合格品152高级教育例4.1.9计算二项分布及超几何分布的期望解.定义n有放回抽样时它们相互独立，即ξ=ξ1+ξ2+…+ξn服从二项分布；无放回抽样时它们不独立，而η=ξ1+ξ2+…+ξn服从超几何分布；注意到,每个ξi的期望都是M/N，因此（1）二项分布B(n,p)的期望为np=nM/N；（2）超几何分布HG(n,N,M)的期望为nM/N。□153高级教育有放回抽样时它们相互独立，即ξ=ξ1+ξ2+…+ξn§4.2方差，相关系数，矩一、方差二、切比雪夫不等式三、相关系数四、矩五、条件数学期望154高级教育§4.2方差，相关系数，矩一、方差34高级教育哪门炮射击效果好一些呢?甲炮射击结果乙炮射击结果例如:炮落点距目标的位置如图，哪门炮效果好一点些？又如:甲、乙两个合唱队都由5名成员组成，身高如下：甲：1.60、1.62、1.59、1.60、1.59乙：1.80、1.60、1.50、1.50、1.60哪个合唱队演出效果好？155高级教育哪门炮射击效果好一些呢?甲炮射击结果乙炮射击结果例如:炮落一、方差定义

设X是一个随机变量，若存在，则称为X的方差.记为D(X)或Var(X).

方差的算术平方根称为均方差或标准差。记为注：方差实际上就是X的函数g(X)=[X-E(X)]2的期望.方差反映了随机变量的取值与平均值的偏离程度.156高级教育一、方差定义设X是一个随机变量，若证明：推论：常用计算公式：157高级教育证明：推论：常用计算公式：37高级教育例4.2.2射击教练将从他的两名队员中选择一人参加比赛，应该是甲还是丙更合适？成绩(环数)甲的概率丙的概率

80.10.2

90.30.110 0.6 0.7解.这里甲、丙两人的平均成绩都是

Eξ=Eη

=9.5需要比较方差，简单计算后可以得到：

Dξ=0.45，Dη

=0.65因此,应该选择甲队员去参加比赛。158高级教育例4.2.2射击教练将从他的两名队员中选择一人参加比赛ξp续例4.1.1,甲乙射击技术如下：

8910p0.10.30.6η

89100.20.50.3已经知道平均来说甲的成绩比乙好，计算方差能发现甲的成绩也比乙稳定(Dξ

=0.45,Dη

=0.49).如果只射击一次，谁的成绩可能更好一些？

需要利用分布律计算并比较两个概率

P(ξ＞η)，以及P(ξ＜η)159高级教育ξp续例4.1.1,甲乙射击技术如下： 89几种常见分布的方差:(1)（0—1）分布：(2)二项分布：160高级教育几种常见分布的方差:(1)（0—1）分布：(2)二项分(3)泊松分布：161高级教育(3)泊松分布：41高级教育(4)均匀分布:162高级教育(4)均匀分布:42高级教育(5)指数分布：163高级教育(5)指数分布：43高级教育特别，当(6)正态分布：164高级教育特别，当(6)正态分布：44高级教育常见分布的数学期望与方差列表：165高级教育常见分布的数学期望与方差列表：45高级教育方差的基本性质2.随机变量线性变换的方差公式:设a、b

是两个常数，则有D(a+bξ)=b2Dξ.注：与数学期望的性质比较：E(a+bξ)=a+bEξ平移改变随机变量期望，但不会改变方差.1.设C是常数,则D(C)

=0;166