考点23 空间几何中的平行

考点23空间几何中的平行知识理解.直线与平面平行的判定定理和性质定理知识理解文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行（线线平行n线面平行）nlDa,aUa,lUa,DlDa性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行（简记为“线面平行n线线平行”）□/□a,"，aC&=b，ninb二.平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理个平面内的两条相交直线与另个平面平行，则这两个平面平行（简记为“线面平行n面面平行”）口。□月，b"，aClb=P，aUa，bUa，□aUp性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行£0/□aUg，aAy=a，/3^y=b，UaUb如果两个平面互相平行，其中一个平面内的一直线平行与另外平面才x/%7a。］>aaa产JII三.线线平行相似比（常用三角形的中位线）构造平行四边形（证明一组对边平行且相等）平行的传递性线面垂直的性质：垂直同一个平面的两条直线平行

线面平行的性质面面平行的性质平面向量空间向量四.线面平行证明线面平行有两种常用方法：一是线面平行的判定定理；二是先利用面面平行的判定定理证明面面平行，再根据面面平行的性质证明线面平行.者向分析考向一三角形的中位线证线面平行【例1】（2021-全国高三专题练习节选）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，设G，H分别为PB，AC的中点，求证：GH//平面pad.【答案】证明见解析.【答案】证明见解析.【节选】证明：连接BD，易知ACBD=H，BH=DH又由BG=PG，故GH//PD.A又因为GH屯平面PAD,PDu平面PAD,所以GH//平面PAD.

【方法总结】三角形中位线证明线面平行思路（1）通过把面外的直线平移到平面内找到与之平行的直线（2）构造三角形中位线【举一反三】（2021-广东湛江节选）如图，在直三棱柱ABC-ABC中，D,E分别为BC,AC的中点，AB=BC.求证:AB//平面DEC.AB//平面DEC.111c【答案】证明见解析.【节选】因为D，E分别为BC，AC的中点，所以ED是三角形ABC的中位线，所以ED//ABTOC\o"1-5"\h\z在直三棱柱ABCABC中，AB//AB，所以AB//ED111iiii又因为ED平面DEC，AB平面DEC，所以AB//平面DEC.1111111（2020•全国高三专题练习）在三棱柱ABC-ABC中，E，F分别是AC，BC的中点.求证：EF//平面ABC.1111ii【答案】证明见解析.【节选】因为E,F分别是AC,BC的中占，所以EF是三角形ABC的中位线，所以EFIIAB1,1,1*又EF©平面ABC,ABu平面ABC，所以EFII平面ABC.1111111（2021-南宁市邕宁高级中学节选）如图，正四棱锥尸-ABCD中，E为PA的中点，求证：PCII平面EBD.【答案】证明见解析；【解析】连接AC交BD于点O,连接EO..•四边形ABCD为正方形，所以O为AC中点，又E为PA中点，EOIIPC，又EOu面EBD，PC⑦面EBD,PCII面EBD考向二构造平行四边形证线面平行【例2】（2020•全国高三专题练习节选）如图，直四棱柱ABCD-ABCD的底面是菱形，E，M，N分别是BC，1111BB，AD的中点.证明：MN〃平面CDE；111

【答案】证明见解析【解析】证明：连结BC,ME.1因为【答案】证明见解析【解析】证明：连结BC,ME.1因为M,E分别为BB1,BC的中点，所以ME〃B1C，且ME=-B1C.1又因为N为AD的中点，所以ND=AD.由题设知AB=DC，可得BC=AD,故ME=ND，i2iiiii因此四边形MNDE为平行四边形，MN〃ED.又MN二平面EDC，所以MN〃平面CDE.〃【方法总结】构造平行四边形证线面平行通过把面外的直线平移到平面内找到与之平行的直线构造平行四边形，通过一组对边平行且相等证明平行四边形利用平行四边形的性质证明线线平行【举一反三】

…—1fEf…八m1.（2020•广东梅州节选）如图，四棱锥PABCD中，AB=BC=-AD,/BAD=ZABC=90o,E是PD的A【答案】证明见解析【解析】取PA的中点F，连接EF,BFBC1因为E是PD的中点，所以EF//AD,EF=；AD由/BAD=ZABC=90。得BC//AD1又BC=-AD，所以EFBC，即四边形BCEF是平行四边形，所以CE//BF2=又BFu平面PAB，CE也平面PAB，故CE//平面PAB2.（2021全国高三专题练习节选）如图所示，已知正方形ABCD.E、F分别是AB、CD的中点，将ADE沿DE折起.证明BF//平面ADE.【答案】证明见解析.

【解析】E、F分别为正方形ABCD的边AB、CD的中点，.・.EB//FD，且EB=FD，.••四边形EBFD为平行四边形，・・・BF//ED，：EDu平面ADE，而BF⑦平面ADE，•BF//平面ADE3.（2021-河南洛阳市节选）在棱长为2的正方体ABCD-A1BC^D1中，O是底面ABCD的中心，求证:BO//平面DAC^C|C|【答案】证明见解析.【解析】证明：连接BD，设BDcAC=O，连接DOTOC\o"1-5"\h\z：ii，iiiii，1•OB//DO且OB=DO:.BODO是平行四边形二BO//DOi1且ii，i1是平行四边形.11又DOu平面DAC，BOU平面DAC，：.BO//平面DAC・111111111考向三三角形相似比证线面平行

【例31（2021•内蒙古赤峰市•高三月考节选）如图，四棱锥E-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AB=AE=BE=2BC=2CD=4，点M在棱AE上.证明：当MA=2EM时，直线CE//平面BDMCD【答案】证明见解析

【解析】证明：连结AC与BD交于点N，连结MNCD【答案】证明见解析―…CDCN1AB//CD，AB=2CD=4,:.ACND^AANB，二二——=一ABAN2EM_1--~MA-2，MA.又MNu面BDMEM=C，EM_1--~MA-2，MA.又MNu面BDM【举一反三】1.(2021•浙江杭州市•高三期末节选)在三棱锥A-BCD中，ZlBCD为等腰直角三角形，点E，G分别是线段BD，CD的中点，点F在线段AB上，且BF=2FA.若AD=1，AB=3，CB=CD=克.(I)求证：AG(I)求证：AG//平面CEF；【答案】证明见解析【解析】连接BG交EC于H，连接FH.则点H为qCD的重心，有票=2HG因为藉=理^=2，所以FH//AG，且FHu平面CEF，AG⑦平面CEFFAHG所以AG//平面CEF2.（2020•江西吉安市节选）如图，在三棱锥S-ABC中，已知SAC是正三角形，G为SAC的重心,D,E分别为SC,AB的中点，F在AB上，且AF=1AB，求证：DE//平面SGF【答案】证明见解析【解析】证明：连接ADAG2・.・D为昵的中点，G为SAC的重心，.・・点G一定在AD上，且而=3・.・E为AB的中点，又AF=1AB，.・.:.AE=1AB2△AFAE=-AB，艮口AE则GF//DE，：GFu平面SGF，DE仕平面SGF，・DE//平面SGF考向四面面平行的性质证线面平行【例4]（2021-江西宜春市节选）如图所示，在多面体ABCDEF中，AB//CD，AB1BC，AB=2BC=2CD，四边形ADEF为矩形，证明：DF//平面BCE【答案】证明见解析【解析】取AB的中点为M，连接FM,CM,DM，因为AM//CD且AM=CD四边形AMCD为平行四边形，所以AD//MC且AD=MC又因为四边形ADEF为矩形，所以FE//MC且FE=MC所以四边形EFMC是平行四边形，所以FM//EC且ECu平面BEC，FM⑦平面BEC所以FM//平面BEC，同理可证MD//平面BEC，又FMcMD=M所以平面MDF//平面BEC，因为DFu平面mdf所以DF//平面BCE用、【方法总结】面面平行的性质证明线面平行1:把线放在某个平面或构造一个平面与之平行利用面面平行的性质证明线面平行【举一反三】1.（2020•全国高三月考节选）斜三棱柱ABC-HDE中，设DC中点为M，且F,G分别为CE,AD的中点，证明：FG//平面ABCCFE【答案】证明见解析【解析】取BD中点N，连接GN,NF，易知N,M,F三点共线，由GN//AB,且GN平面ABC,AB平面ABC，故GN//平面ABC同理可得NF//平面ABC因为GNNF=N，故平面GNF//平面ABC由FGu平面FGN，故FG//平面ABC

.¥2.（2021•宁夏吴忠市节选）如图，在三棱锥PABC中，点D、E、F分别为棱PA、PC、BC的中点，G为AD的中点，求证：GF//平面BDE【答案】证明见解析【解析】法一：连接PF交BE于点H，连接DH，见图1:C•.•E,F分别是PC,BC的中点，.・・H是三角形PBC的重心,・.・PH=2HF由已知得PD=2DG,.•・DH//GF又DHu平面BDE,GF仁平面BDE,GF//平面BDE.法二：取EC中点M,连接FM,GM,见图2:C由已知得DE//GM:.DEu平面BDE,GM⑦平面BDE,GM//平面BDE.•M,F分别是EC,BC的中点，.BE//MF，又BEu平面BDE,MF⑦平面BDE,・•・MF//平面BDE・•・GMMF=M・•・平面OFM//平面BDE,又GFu平面GFM,・GF//平面BDE.法三：在平面ABC内，以垂直于AB的直线为x轴，AB所在的直线为y轴，AP所在的直线为z轴建立空间直角坐标系，见图3,

设正三角形ABC边长为2a(a>0则D(0,0,a),Ea,2,aB(0,2a,0)DB=(0,2a,-a设正三角形ABC边长为2a(a>0则D(0,0,a),Ea,2,aB(0,2a,0)DB=(0,2a,-a)设平面BDE的法向量为m=(七,y「z「，则DE1m,DB1m~2Xi+1=0,可取m=2y1-Z]3一r3\-*，1，2.k3)(a\(H3)又可0，0,yl，F—a，5a,0k2)k22)•••^F=p2331la,2a，-&a考向五证明线线平行••线面垂直的性质

【例5】（2021•江西赣州市节选）在如图所示的几何体中，ABC,△ACE,△BCD均为等边三角形，且平面ACE±平面ABC，平面BCD±平面ABC，证明：DE//AB；【答案】证明见解析【解析】证明：如图示：分别取AC，BC的中点F，G，连结EF，DG，FG因为AACE，△BCD均为全等的等边三角形，故EF±AC，DG±BC且EF=DG又因为平面ACE±平面ABC且交于AC，平面BCD±平面ABC且交于BC故EF±面ABC，DG±面ABC从而有EF//DG，又EF=DG进而得四边形DEFG为平行四边形，得：DE//FG，又FG//AB即：DE//ABJ7D【举一反三】1.如图，BCD与AMCD都是边长为2的正三角形，平面MCD±平面BCD，AB±平面BCD，AB=2，证明：直线AB//平面MCD；

【答案】见解析【解析】证明：取CD中点O，连接MOMCD是正三角形，MO1CD・.•平面MCD1平面BCD，MO1平面BCD•/AAB1平面BCD,・・.MO//AB又MOu面MCD,AB仁面MCD,AB//面MCD2如图，菱形ABCD与正三角形BCE的边长均为2,且平面ABCD±平面BCE,FD1平面ABCD,FD=、&.求证：EF〃平面ABCD

证明：如图，过点E作EH1BC于H，连接HD，：.EH=0.如图D••平面ABCD上平面BCE，EHu平面BCE平面ABCDc平面BCE=BC:.EH工平面ABCD又・FD上平面ABCD，FD=<3AFD//EH，FD=EHA四边形EHDF为平行四边形.AEF//HD・.・EFW平面ABCD，HDu平面ABCDAEF//平面ABCD考向六面面平行【例6（2020・江西省奉新县第一中学节选）如图，在多面体ABCDEFG中，面ABCD为正方形，面ABFE和面ADGE为全等的矩形，求证BC【答案】证明见解析:平面BDE//平面CFG【解析】证明：..•四边形ABCD为正方形，四边形ADGE为矩形，.・.BCEG，且BC=EG.・・四边形BCGE为平行四边形，.・・BE//CG〃又・.・BE二平面CFG，CGu平面CFG，aBE//平面CFG同理DE//平面CFG又・BE，DE为平面BDE内的两条相交直线，A平面BDE//平面CFG【举一反三】1.（2021-武汉市第一中学节选）如图所示，多面体ABCDEF中，四边形ACDE为菱形，BC//DF，求证：平面ABC//平面DEF

【答案】证明见解析【解析】•.•四边形ACDE是菱形，.•・AC//DE又ACu平面ABC,DE⑦平面ABC,.DE//平面ABC同理得，DF//平面ABC•/DE，DFu平面DEF，且DEcDF=D・•・平面ABC//平面DEF2.（2021・山西吕梁市节选）正方体ABCD-ABRD］，E为DC中点，O为BD1的中点，求证：OE〃跖q平面ADD1B【答案】见解析【解析】如图，连接BD，取BD的中点为G，连接OG,GE因为DO=OB,DG=GB，故OG//DD1，而OG⑦平面ADD1，DD1u平面，故OG//平面ADD1因为DE=EC,DG=GB，故GE//BC由正方体ABCD-A1B1C1D1可得AD//BC，故GE//AD，而GE⑦平面ADD1，ADu平面，故GE//平面ADD1，因为GEcOG=G，而GE,OGu平面OGE故平面OGE//平面ADD1，而OEu平面OGE,故OE//平面ADD1.和面ADGE为全等的矩形，求证BC【答案】证明见解析平面ADD1B【答案】见解析【解析】如图，连接BD，取BD的中点为G，连接OG,GEB（2021-安徽高三期末节选）如图，在四棱柱ABCD-A1BCD中，底面是菱形，点E，F分别为DD1CC1的中点，点G在D1F上，证明：BG//平面ACE【答案】证明见解析【解析】如图所示：连接BD交AC于点O，^QO为BD的中点，连接BF，OE，BD1，则BD1//OEBD1丈平面ACE，OEu平面ACE，.・・BD//平面ACE.ED1IICF，ED[=CF，.四边形D1ECF为平行四边形，.・.D1F//EC.又DF二平面ACE，ECu平面ACE，.D1F//平面ACE.BD1cD1F=D1，.平面BD1F//平面ACE，,/BGu平面BD1F，.BG//平面ACE.1.（2021•安徽淮南市节选）如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，O是AC与BD的交点，E为PB的中点，求证：OE//平面PAD【答案】证明见解析【解析】因为四边形ABCD是矩形，所以O是BD的中点又E是PB的中点，所以OE//PD因为OE⑦平面PAD，PDu平面PAD所以OE//平面PAD2.（2021-河南高三月考节选）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，M为PC的中点，AP//平面BDM【答案】证明见解析【解析】连接AC交BD于E,连接EM，则E为AC中点，所以EM^△APC的中位线，所以EM//AP又因为EMu平面BDM，AP⑦平面BDM，所以AP//平面BDM2.（2020•江西吉安市•高三节选）在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD是边长为1的正方形，M，【解析】取PD的中点Q，连结QN、AQ-“1—N是PC的中点，.・.QN//CD，且QN=号CD••底面四边形ABCD是边长是1的正方形，又M是AB的中点，・•・AM//CD，且AM=1CD:.QN//AM，且QN=AM，.四边形AMNQ是平行四边形，・•・MN//AQ，又AQu磁面PAD，MN*平面PAD，.：MN//平面PAD

3.（2021•江西景德镇市节选）如图，AB//CD,AD=CD=2EF=2AB=2，点G为BF的中点，求证：AD//平面EGC；【答案】证明见解析【解析】证明：取DC中点p，连接FP交EC于点Q，可知点Q为FP的中点，在三角形FPB中GQ//BP又因AD/BP，可得AD//GQ，GQc平面EGC，AD*平面EGC，所以AD//平面EGC（2021•广西河池市节选）如图，在长方体ABCD-A1BCD中，E为AB的中点，F为CC1的中点，证明：EF//平面AC^D【答案】证明见解析【解析】证明：取C1D的中点G,连GF,AG,如图所示:•「G为C1D的中点，F为CC1的中点，「.GF//CD且CD=2GF•.•E为AB的中点，AB=CD，AB//CD,.・.AE//GF且AE=GF・•・四边行AEFG为平行四边形，・•・AG//EF，又AGu平面AC1D，EF⑦平面AC1D，.・.EF//平面AC1D5.（2021安徽蚌埠市•高三二模节选）如图，已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形，AD//BC，CE//BG，且/BCD=/BCE=-，ZECD=120。.BC=CD=CE=2AD=2BG，求证：AG//平面BDE2fih\DA【答案】证明见解析【解析】证明：在平面BCEG中，过G作GN1CE于N，交BE于M，连DM由题意知，MG=MN，MN//BC//DA且mn=ad=1BC2MG//AD，MG=AD故四边形ADMG为平行四边形，.•・AG//DM又DMu平面BDE，AGU平面BDE，故AG//平面BDE

Er6.（2021-河南节选）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，E为CC/勺中点，证明：ACH平面BDE【答案】证明见解析【解析】证明：设BDC=O，连接OE,则O是AC中点，又E是CC1中点，・•・ACJ/OE，又OE4平面BDE，AC1丈平面BDE，；.ACJ/平面BDE7.（2021•河南驻马店市•高三期末节选）如图，该多面体由底面为正方形ABCD的直四棱柱被截面AEFG所截而成，其中正方形ABCD的边长为4，H是线段EF上（不含端点）的动点，FC=3EB=6，证明：GH//平面ABCD；【答案】证明见解析【解析】证明：取BC的中点M，连接HM,DM因为该多面体由底面为正方形ABCD的直四棱柱被截面AEFG所截而成，所以截面AEFG是平行四边形，则DG=CF-EB=4因为FC=3EB=6所以HM=1x(2+6)=4,且DG//FC//HM2所以四边形DGHM是平行四边形，所以GH//DM因为DMU平面ABCD，GH*平面ABCD所以GH//平面ABCD8.(2021・山西运城市•高三期末节选)如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD为等腰梯形，且AB=2CD=2，ZABC=60。，四边形ACFE为矩形，且FB=、.互，M，N分别为EF，AB的中点，【答案】证明见解析则NQ//1AC,且NQ=1AC又MF//-AC，且MF=-AC，所以MF//NQ且MF=NQ22所以四边形MNQF为平行四边形，所以MN//FQ又因为FQu平面FCB，MNQ平面FCB所以MN//平面FCB9.（2021-安徽黄山市节选）已知四棱锥P-ABCD中，AB//CD，设平面PABc平面PCD=m，求证：CD//m【答案】证明见解析【解析】证明：因为AB//CD，CD二平面pab，AB平面PAB，所以CD//平面PAB因为CDu平面尸。。，平面PABc平面PCD=m，所以CD//m10.（2021-江苏苏州市节选）如图所示，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正方形，对角线AC与BD交于点F，点E在棱BS上，若SD//平面AEC，求竺的值；EB【答案】1【解析】连结EFSD//平面AEC,SDu平面BSD，平面BSDc平面AEC=EF,：.SD//EF•・•底面ABCD是正方形，F为AC中点，：,EF是SD的中位线，则荒=1EB11.（2021-安徽六安市•高三一模节选）如图，在四棱锥尸-ABCD中，BC=CD=2AB=2,PA=3,E是PD的中点，证明：AE//平面PBCC【答案】证明见解析【解析】证明：取PC的中点F，连接EF、BF，如图所示:因为5分别为PD，PC的中点，所以EF//CD且EF=2CD又CD=2AB，AB//CD，所以EF//AB且EF=AB所以四边形AEFB是平行四边形，所以AE//BF又因为AE二平面PBC，BFu平面PBC所以AE//平面PBC.（2021•浙江台州市•高三期末节选）如图，在三梭柱ABC-A1B1C1中，D为AB的中点，求证：AC,/平面CDB]

【答案】证明见解析【解析】连结BC，与BC交于点O，连结OD,四边形BBCC是平行四边形，O为BC中点，D为AB中点，得AC//OD,又ODu平面CDB,故AC//平面CDB7JI八、、，1，.］，1.］；（2021•江西高三其他模拟节选）如图，已知四边形ABCD为菱形，对角线AC与BD相交于0,，平面ADEF平面BCEF=直线EF，求证：EF//DA【答案】证明见解析【解析】因为四边形ABCD为菱形，所以AD//BCAD仕平面BCEF，BCu平面BCEF/.AD//平面BCEF因为