高二数学必修二第四章圆与圆方程知识点总结计划

高中的高二数学必修二第四章圆与圆的方程学习知识点优异总结计划高中的高二数学必修二第四章圆与圆的方程学习知识点优异总结计划高中的高二数学必修二第四章圆与圆的方程学习知识点优异总结计划第四章圆与方程1、圆的定义：平面内到必然点的距离等于定长的点的会集叫做圆，定点为圆心，定长为圆的半径。设M（x,y）为⊙A上任意一点，则圆的会集可以写作：P={M||MA|=r}2、圆的方程（1）标准方程xa2yb2r2，圆心a,b，半径为r；点M(x0,y0)与圆(xa)2(yb)2r2的地址关系：当(x0a)2(y0b)2>r2，点在圆外;当(x0a)2(y0b)2=r2，点在圆上当(xa)2(y0b)2<r2，点在圆内;0（2）一般方程x2y2DxEyF0（x+D/2)2+(y+E/2)2=(D2+E2-4F)/4（D2E24F0）当D2E24F0时，方程表示圆，此时圆心为D,E，半径为r1D2E24F222当D2E24F0时，表示一个点；当D2E24F0时，方程不表示任何图形。（3）求圆的方程的方法：待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；直接法：直接依照已知条件求出圆心坐标以及半径长度。别的要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过圆心，以此来确定圆心的地址。3、直线与圆的地址关系：直线与圆的地址关系有相离，相切，订交三种情况：（1）设直线l:AxByC0222，圆心Ca,b到l的距离为，圆C:xaybrAaBbC，则有drl与C相离；drl与C相切；drl与C订交dB2A2（2）过圆外一点的切线：设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k，①若求得两个不相同的解，带入所设切线的方程即可；②若求得两个相同的解，带入切线方程，获取一条切线；接下来考据过该点的斜率不存在的直线（此时，该直线必然为另一条切线）过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为00-b)(y-b)=r2(x-a)(x-a)+(y两圆的地址关系判断条件公切线条数外离ｄ＞ｒ1+ｒ24条外切ｄ＝ｒ1+ｒ23条订交|ｒ1-ｒ2|＜ｄ＜ｒ1+2条ｒ2内切ｄ＝|ｒ1-ｒ2|1条内含ｄ＜|ｒ1-ｒ2|0条4、圆与圆的地址关系：经过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。设圆C1:xa12yb12r2，C2:xa22yb22R2两圆的地址关系常经过两圆半径的和（差的绝对值），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。（即几何法）注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线★5、.圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0联立圆C1的方程与圆C2的方程获取一个二元一次方程①若两圆订交，则该二元一次方程表示：圆C1与圆C2公共弦所在的直线方程；②若两圆相切，则该二元一次方程表示：圆C1与圆C2的公切线的方程；③若两圆外离，则该二元一次方程表示的直线拥有一个性质：从直线上任意一点向两个圆引切线，获取的切线长相等（反之，亦建立）6、已知素来线与圆订交，求弦的长度①代数法：联立圆与直线的方程求出交点坐标，利用两点间的距离公式求弦长②几何法：半弦长、弦心距、半径构成直角三角形（勾股定理）③代数法：直线方程与圆的方程联立，消去一个未知数，获取一个一元二次方程；利用弦长公式：|ＡＢ|＝1k21|y1-y2|）求解|ｘ1-ｘ2|（也许|ＡＢ|＝12k7、已知两圆订交，求公共弦的长度①代数法：联立两圆的方程求出交点坐标；利用两点间的距离公式求弦长②代数法：联立两圆的方程求出公共弦所在直线的方程（设公共弦的端点分别为A、B）；公共弦直线方程与任一圆的方程联立，消去一个未知数，获取一个一元二次方程；利用弦长公式：|ＡＢ|＝1k2|ｘ1-ｘ2|（也许|ＡＢ|＝1|y1-y2|）求解12k③几何法：半弦长、弦心距、半径构成直角三角形（勾股定理）④几何法：依照图像求解（两个直角三角形，两个未知数，解二元一次方程组）8、圆系与圆系方程圆系:拥有某种共同属性的圆的会集，称为圆系。圆系方程：（一）.圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0圆系方程：x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1)--（Ⅰ）①若圆C1与圆C2交于P1、P2点，那么，方程（Ⅰ）代表过P1、P2两点的圆的方程。②若圆C1与圆C2交于Ｐ点（一个点），则方程（Ⅰ）代表与圆Ｃ1、圆Ｃ2相切于Ｐ点的圆的方程。（二）.直线ｌ：Ａｘ+Ｂｙ+Ｃ＝0与圆Ｃ：x2+y2+Dx+Ey+F=0订交或相切则过它们的交点的圆系方程为：x2+y2+Dx+Ey+F+λ（Ａｘ+Ｂｙ+Ｃ）＝09、直线与圆的方程的应用用坐标法解决平面几何问题的“三部曲”：第一步：建立合适的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转变成代数问题；第二步：经过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论轴对称1、已知点A(4,1)，B(0,4)，在直线L：y=3x-1上找一点P，求使|PA|-|PB|最大时P的坐标。y解：如图，BP设点C(x,y)是点B关于直线L对称点，则由(0,4)1kl3，，C得：kBC'3(4,1)oPAx∴直线BC的方程为：y1x4，将其与直线y=3x-1联立，3解得：D3,7,其中D为BC中点，利用中点坐标公式，得C（3,3）。22显然：|PA|-|PB|＝|PA|-|PC|≤|AC|,当且仅当A、C、P三点共线时，|PA|-|PB|最大。可求得：直线AC方程为：2xy90，与L方程联立解得P的坐标为（2,5）。2、光辉由点C（3，3）出发射到直线L：y=3x-1上，已知其被直线L反射后经过点A(4,1)，求反射光辉方程。解：设点B是点C关于L的对称点，则由光辉反射的知识易知：点B在反射光辉上，故所求的反射光辉的方程即为直线AB所在的直线方程。由例1知点C关于L的对称点为B（0,4），故直线AB的方程易求得为：y3x4。4它即为反射光辉方程。直线和圆1．自点（－3，3）发出的光辉L射到x轴上，被x轴反射，其反射线所在直线与圆x2y24x4y70相切，求光辉L所在直线方程．解：已知圆的标准方程是(x－2)2＋(y－2)2＝1，它关于x轴的对称圆的方程是(x－2)2(y＋2)2＝1。设光辉L所在直线方程是：y－3＝k(x＋3)。由题设知对称圆的圆心C′（2，－2）到这条直线的距离等于|5k5|1．1，即dk21整理得12k225k120,解得k3或k4．故所求的直线方程是43y33(x3)，或y34(x3)，即3x＋4y－3＝0，或4x＋3y＋3＝0．432．已知圆C：x2y22x4y40，可否存在斜率为1的直线L，使以L被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点，若存在求出直线L的方程，若不存在说明原由．（14分）解：圆C化成标准方程为:(x1)2(y2)232假设存在以AB为直径的圆M，圆心M的坐标为（a，b）由于CM⊥L，∴kCMkL=－1∴kCM=b21，即a+b+1=0，得b=－a－1①a1直线L的方程为y－b=x－－，即x－y+b－a=0∴CM=ba3∵以AB为直径的22圆M过原点，∴MAMBOMMBCBCM9(ba3)OMa2b222222∴9(ba3)2a2b2②把①代入②得2a2a30，∴a3或a122当a3,时b5此时直线L的方程为：x－y－4=0；当a1,时b0此时直线L的方程22为：x－y+1=0故这样的直线L是存在的，方程为x－y－4=0或x－y+1=0．4．已知圆C:x12y2225及直线l:2m1xm1y7m4.mR（1）证明:不论m取什么实数,直线l与圆C恒订交；（2）求直线l与圆C所截得的弦长的最短长度及此时直线l的方程．解:(1)直线方程l:2m1xm1y7m4,可以改写为m2xy7xy40,所以直线必经过直线2xy70和xy40的交点.由方程组2xy470,解得x3,即两直线xy0y1的交点为A(3,1)又由于点A3,1与圆心C1,2的距离d55,所以该点在C内,故不论m取什么实数,直线l与圆C恒订交.(2)连接AC,过A作AC的垂线,此时的直线与圆C订交于B、D.BD为直线被圆所截得的最短弦长.此时,AC5,BC5,所以BD225545.即最短弦长为45.又直线AC的斜率kAC1,所以直线BD的斜率为2.此时直线方程2:y12x3,即2xy50.5（12分）已知圆x2+y2+x－6y+m=0和直线x+2y－3=0交于P、Q两点，且以PQ为直径的圆恰过坐标原点，求实数m的值．解：由x2y2x6ym02y1y24yx2y305y20y12m012my1y25又OP⊥OQ，∴x1212而12－12124m27Px+yy=0,xx=96(y+y)+4yy=5Qx∴4m2712mO0解得m=3556.已知圆C：(x+4)2+y2=4和点A(-23，0)，圆D的圆心在y轴上搬动，且恒与圆C外切，设圆D与y轴交于点M、N.∠MAN可否为定值？若为定值，求出∠MAN的弧度数；若不为定值，说明原由.【解】设圆D的方程为x2(yb)2r2(r0),那么M(0,br),N(0,br).由于圆D与圆C外切,所以2r16b2b2r24r12.又直线MA,NA的斜率分别为brbrkMA3,kMB.223brbrtanMAN232343r43rMAN.为定值brbr12b2r2314r32323夹角问题例5(06全国卷一文)从圆x22xy22y10外一点P(3,2)向这个圆