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第五§5-1扭转的概一、扭转的概念及实汽车的转 丝锥、 力偶，力偶作用面垂直于轴线变形特征：横截面绕轴线转动二、外力偶矩的设某轮所传递的功率是NkW，轴的转速nrpmNkW的功率相当于每分钟作功W= W=m2

(12)N×1000×60

m2N─ mn

n

NN─ mn

n

N§5-2扭矩和扭矩T扭

T

示传动轴，主动轮A输入功率NA=50马力，从动轮B、C、D输出功率分别为NB=NC=15马力，ND=20马力，轴的解 7024N 7024

1170N 7024NB

7024

N

mD

7024NCn

7024

NNA

50

NBNC

15

ND

20n=300mA

N

T1

NmB

N

T2

NmD

N

T3

NT(N

T1351T1351

NT3

N§5-3薄壁圆筒的扭一、薄壁圆筒的扭转应力分等厚度的薄壁圆筒,平均半径为r,壁厚为受扭前在其表面上用圆周线和纵向线画方格,然后加mm观察到如下现象纵向线倾斜了同一微小角度根据以上实验现象,可得结剪应力在截面上均匀分布，方向垂直于半 dAd

rA

dA rAr

dA2rt 2r2二、剪应力互等dxdxtdy

t

剪应力互等定理:在相互垂直的两个平面上,剪应力一定成对出现，其数值相等，方向同时指向或背离两平面的交线。三、剪 定薄壁圆筒的实验,证实了剪应力与剪应变之间存在着象拉压定律类似的关系即当剪应力变成正G称为材料的剪切弹性模量。上式关系称为剪切定律泊松比对于各向同性材料,可以证明:E、G、μ三个弹G 2(1)§3-4圆轴扭转时的应力.强度条一、圆轴扭转时横截面上的应 静力学关

变形几何关观察到下列现象各圆周线的形状、大小以及两圆周线间的距离没有变化纵向线仍近似为直线,但都倾斜了同一角度平面假设变形前为平面的横截面变形后仍为平面，它像刚性平面一样绕轴线旋转了一个角度。 ddx

在外表面

r物理关 定律,当剪应力不超过材料剪应力方向垂直于半

GodAodAdAAG

dAG

2dAA

Ip2dAA

极惯性I

2dAA

GId

GI G

G

T

TI

GI IW IWt

抗扭截面模

T I

T T下面求极惯性矩d/2

p和抗扭截面模量d/2Ip2dA

2

Ad AI

24

dooI dWt

2Ip2dA

D/2

2

(D4

d4 d/2 D4

(14tW I It D2D3 (1实心圆

dp (D4

d4

D4

(1

dD3

(1二、圆轴扭转时的变d d GId dGI dxlGI若T

const

TlGIlNET[WtT180[]刚度条件ddTGI[]/m例：实心圆轴受扭，若将轴的直径减小一时，横截面的最大剪应力是原来的 倍圆轴的扭转角是原来 16倍TmaxTtWt

dT T TG

T16 G例：图示铸铁圆轴受扭时，在＿面发生断裂，其破坏是由最大拉

应力引起的例：内外径分别为20和40的空心圆截面轴，受扭矩T=1作用，计算横截面上A点的剪应力及横截面上的最大和最小剪应力。A解：A

TA

I

TmaxT

min

42.44例：一直径为1的实心轴，另一内外径之比＝2／2＝0.8的空心轴，若两轴横截面上的扭矩相同，且最大剪应力相等。求两轴外直径之比D2/D1T解： T D23 D得

0.8例：在强度相同的条件下，用d/D=0.5的空心轴取代实心圆轴，可节省材料的百分比为多少解：设实心轴的直径为d1，T 得

D

D2 A空

4

4

例：一厚度为30mm、内直径为230mm的空心圆管，承受扭矩T=180kN·m。试求管中的解：(1)利用薄壁管的近似理论可求

2r2

2

55Pa利用精确的扭转理论可求

D3

(14

293

例：一空心圆轴，内外径之比为0.5，两端受扭转力偶矩作用，最大 扭矩为若将轴的横截面面积增加一倍，内外径之比仍保持不变，则其最大 扭矩为Ｔ的多少倍？（按强度计算）解：设空心圆轴的内、外径原分别为d、，面积增大一倍后内外径分别变为d1、1，最大扭矩为Ｔ1

3 T

例：一空心轴α=d/D=0.8，转速n=250r/m功率m

9549Nn D36

得D

mm

d63.3直径为d，在端点C受铅垂力P作用，材料的剪解Pal

32Pa2lCV

AB

GI

Gd例：已知一直径d=50mm的钢制圆轴在转角6°时，轴内最大剪应力等于90MPa，解：

TGI

maxTT

得：l

GI

6

max

90106例：圆截面橡胶棒的直径40,受扭后原来表面上的圆周线和纵向线间夹角由90°变为88°。如杆长l=300，试求两端截面间的扭转角；如果材料的剪变模量=2.7MPa，试求杆横截面上最大剪应力和杆端的外力偶矩ｍ。解：

ld2

l2d

2300

G

2

5Pa

m

料的[τ]=30MPa,G=80GPa,[θ]=0.5°/m,试选由

得d94.7d

d 例：一圆套在一实心圆钢轴上，长度为ｌ，与钢轴材料相同，先在实心圆轴两端加外力偶矩ｍ，使轴受扭后，在两端把管与轴焊起来，去掉外力偶矩。求此外管与内轴的最大剪应力。解：外管与内轴承受的扭矩相等，设为mm T TGIp GIp GIp解静力平衡方程为

mAmB变形协调条件为：

CB即

mAGI

mBbGI作业：（P68-3、4、6、8、10、11、17、§5-6非圆截面杆扭转的概在平面假设的基础上。对于非圆截面杆受扭时横截面不再保持为平面，杆的横截面已由原来的平面变成了曲面。这一现象称为截面翘曲。因此圆轴扭转时的应力、变形公式对非圆截面杆均不适用。非圆截面杆在扭转时有两种情形自由扭转或纯扭在扭转过程中杆的各横截面的翘曲不受任何约束任意两相邻横截面的翘曲程度完全相同。此时横截面只有剪应力而没有正应力。约束扭扭转时由于杆的端部支座的约束使杆件截面翘曲受到一定限制而引起任意两相邻横截面的翘曲程度不同将在横截面上产生附加的正应力。对于矩形和椭圆形的实体截面杆，由于约束扭转产生的附加正应力很小，一般可以忽略，但对于薄壁截面杆来说，这种附加的正应力是一、矩形截面杆的扭