普通高等学校招生全国统一考试数学试题理(全国卷3含解析)

一般高等学校招生全国一致考试数学试题理(全国卷3,含解析)一般高等学校招生全国一致考试数学试题理(全国卷3,含解析)23/23一般高等学校招生全国一致考试数学试题理(全国卷3,含解析)绝密★启用前2020年一般高等学校招生全国一致考试数学试题理全国卷3【命题特点】2020年新课标III高考数学试卷，试卷内容上表现新课程理念，贴近中学数学授课，坚持对基础知识、基本技术以及数学思想方法的察看。在保持牢固的基础上，进行适当的改革和创新。2020年的数学试卷“以稳为主”试卷构造平稳，同时题目平和、无偏怪题，难度控制理想。“稳中求进”试卷察看的详尽知识点有变化。1、回归教材，重视基础2020年新课标III卷依照了察看基础知识为主体的原则，特别是考试说明中的大部分考点，察看了复数、三角函数、折线图、概率、解析几何、向量、框图、线性规划等考点。2、合适设置题目难度与区分度与从前课标III卷相比较，今年的难度设置在最后21题。特别以选择题第12题和填空题第16道，只要能认真解析，解决此问题的是不能问题。3、布局合理，察看全面，重视数学方法和数学思想的察看解答题部分，包括三角函数、立体几何、概率统计、解析几何、导数五大版块和二选一问题。以知识为载体，立意于能力。4、命题察看的沿续性2020年新课标III卷，在力求创新基础上，也有一些不变的东西。比方2020年新课标III卷在会集、复数、算法、线性规划的命题方式基本完好一致。【命题趋势】函数知识：以导数知识为背景的函数问题；分段函数与不等式结合的题目；三角函数的性质及其谈论；从重结果察看转向重过程察看；从熟悉状况的察看转向奇特状况的察看。函数零点问题：函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，这也表现了数形结合思想的应用．不等式知识：突出工具性，不等式的性质与分段函数，绝对值的性质综合起来进行察看，察看学生的等价转变能力和分类谈论能力；4.立体几何知识：2020年已经变得简单，2020年难度仍旧不大，16题填空题将立体几何的知识与运动问题相联系，尔后确定最值及取值范围；第8题察看圆柱的体积问题，要修业生的空间想象能力比加强.5.解析几何知识：解答题主要察看直线、抛物线和圆的知识，考试的难度与从前持平，选择题5题察看共焦点问题，属于老例题目，10题综合了抛物线、圆和直线的问题，需要对地址关系有透彻的理解。6.导数知识：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，21题加强了与不等式的联系，要修业生的对导数的深层含义能正确掌握，12题涉及零点问题，由唯一性确定参数值，要应用选择题的特点灵便办理.一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分。在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项吻合题目要求的。1．已知会集A=22Iy1=(x,y│)yx，则AB中元素的个数为，BA．3B．2C．1D．0【答案】B【解析】【考点】交集运算；会集中的表示方法。【名师点睛】求会集的基本运算时，要认清会集元素的属性(是点集、数集或其他状况)和化简会集，这是正确求解会集运算的两个先决条件。会集中元素的三个特点中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的会集，在求出字母的值后，要注意检验会集中的元素可否满足互异性。2．设复数

z满足(1+i)z=2i，则∣

z∣=A．1

B．

2

C．

2

D．222【答案】C【解析】【考点】复数的模；复数的运算法规【名师点睛】共轭与模是复数的重要性质，注意运算性质有：(1)z1z2z1z2；(2)z1z2z1z2；(3)zz22；(4)zzzzzz；zz121212(5)zzzz；(6)z1z1。1212z2z13．某城市为认识游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2020年1月至2020年12月期间月款待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．依照该折线图，以下结论错误的选项是A．月款待游客量逐月增加B．年款待游客量逐年增加C．各年的月款待游客量巅峰期大体在

7,8

月D．各年

1月至

6月的月款待游客量相对

7月至

12月，颠簸性更小，变化比较平稳【答案】

A【解析】动性大，选项D说法正确；应选D。【考点】折线图【名师点睛】将频率分布直方图中相邻的矩形的上底边的中点按次连结起来，就获取一条折线，我们称这条折线为本组数据的频率折线图，频率分布折线图的的首、尾两端取值区间两端点须分别向外延伸半个组距，即折线图是频率分布直方图的近似，他们比频率分布表更直观、形象地反响了样本的分布规律。4．xy2x53y3的系数为y的张开式中xA．80B．40C．40D．80【答案】C【解析】试题解析：xy2xy5y55，x2xy2xy由2x5张开式的通项公式：Tr15ryryC5r2x可得：当r3时，x2xy5的系数为C5322340张开式中x3y31，当r2时，y2xy5张开式中x3y3的系数为C52232801，则x3y3的系数为804040。应选C。【考点】二项式张开式的通项公式【名师点睛】(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题能够分两步完成：第一步依照所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是依照所求的指数，再求所求解的项。求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理谈论求解。5．已知双曲线C：x2y21(a＞0,b＞0)的一条渐近线方程为y5x,且与椭圆x2y21有公共a2b22123焦点，则C的方程为A．x2y21B．x2y21C．x2y21D．x2y21810455443【答案】B【解析】应选B。【考点】双曲线与椭圆共焦点问题；待定系数法求双曲线的方程。【名师点睛】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法。详尽过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，尔后再依照a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值。若是已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为xy20，再由条件求a2b2出λ的值即可。6．设函数f(x)=(+)，则以下结论错误的选项是cosx3A．f(x)的一个周期为-2πB．y=f(x)的图像关于直线x=8对称3C．f(x+π)的一个零点为x=D．f(x)在(,π)单调递减62【答案】D【解析】当x,时，x35,4，函数在该区间内不只一，选项D错误；263应选D。【考点】函数yAcosx的性质【名师点睛】(1)求最小正周期时可先把所给三角函数式化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式，则最小正周期为T2y＝Asinωx或y＝Acosωx＋b的形式。；奇偶性的判断重点是解析式可否为(2)求f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω≠0)的对称轴，只要令xkkZ，求x；求f(x)的对称中2心的横坐标，只要令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)即可。7．执行右图的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为A．5

B．4

C．3

D．2【答案】D【解析】【考点】流程图【名师点睛】利用循环构造表示算法，必然要先确定是用当型循环构造，还是用直到型循环构造；当型循环构造的特点是先判断再循环，直到型循环构造的特点是先执行一次循环体，再判断；注意输入框、办理框、判断框的功能，不能混用；赋值语句赋值号左边只能是变量，不能够是表达式，右边的表达式能够是一个常量、变量或含变量的运算式。8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为．π．3π．π．π424【答案】B【解析】试题解析：绘制圆柱的轴截面以下列图，由题意可得：AC1,AB1，223，结合勾股定理，底面半径r12122323由圆柱的体积公式可得：圆柱的体积是Vr2h1，应选B。24【考点】圆柱的体积公式【名师点睛】(1)求解以空间几何体的体积的重点是确定几何体的元素以及线面的地址关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能够直接利用公式得出，则常用等积法、切割法、补形法等方法进行求解。9．等差数列an的首项为1，公差不为236成等比数列，则an前6项的和为0．若a，a，aA．24B．3C．3D．8【答案】A【解析】【考点】等差数列求和公式；等差数列基本量的计算【名师点睛】(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量1，n，，，n，知其中三个就能aadnS求别的两个，表现了用方程的思想解决问题。(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法。10．已知椭圆C：x2y21，（a>b>0）的左、右极点分别为1212a2b2A，A，且以线段AA为直径的圆与直线bxay2ab0相切，则C的离心率为．6．3．2．13333【答案】A【解析】【考点】椭圆的离心率的求解；直线与圆的地址关系【名师点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常有有两种方法：①求出a，c，代入公式e＝c；a②只要要依照一个条件获取关于，，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转变成a，c的齐次式，尔后等式(不等ab式)两边分别除以a或a2转变成关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)。11．已知函数f(x)x22xa(ex1ex1)有唯一零点，则a=．1．1．1．12B32【答案】C【解析】试题解析：函数的零点满足x22xaex1ex1，设gxex1ex1，则gxex1ex1ex11e2x11，ex1ex1当gx0时，x1，当x1时，gx0，函数gx单调递减，当x1时，gx0，函数gx单调递加，【考点】函数的零点；导函数研究函数的单调性，分类谈论的数学思想【名师点睛】函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，经过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不能解，则将问题转变成构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也表现了数形结合思想的应用。12．在矩形=1，=2，动点uuur=uuur+uuur中，P在以点C为圆心且与相切的圆上。若APABAD，ABCDABADBD则+的最大值为A．3B．22C．5D．2【答案】A【解析】试题解析：以下列图，建立平面直角坐标系设A0,1,B0,0,C2,0,D2,1,Px,y,依照等面积公式可得圆的半径r2，即圆C的方程是x2224，y55【考点】平面向量的坐标运算；平面向量基本定理【名师点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法规或三角形法规进行向量的加、减或数乘运算。用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再经过向量的运算来解决。二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分。xy013．若x，y满足拘束条件xy20，则z3x4y的最小值为__________。y0【答案】1【解析】试题解析：绘制不等式组表示的可行域，目标函数即：3131yxz，其中z表示斜率为k的直线系与可行域有交点时直线的截距值的倍，4444截距最大的时候目标函数获取最小值，数形结合可得目标函数在点A1,1处获取最小值z3x4y1。【考点】应用线性规划求最值【名师点睛】求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在by轴上截距最小时，z值最大。14．设等比数列an满足a1+a2=–1,a1–a3=–3，则a4=___________。【答案】8【解析】【考点】等比数列的通项公式【名师点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的重点在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵便运用，特别需要注意的是，在使用等比数列的前n项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程。x，，11x015．设函数f(x)x，x，则满足f(x)f(x)1的x的取值范围是_________。202【答案】1,4【解析】试题解析：令gxfxfx1，2当x0时，gxfxfx12x3，22当0x1时，gxfxfx12xx1，222当x1时，gxfxfx1212x1，22【考点】分段函数；分类谈论的思想【名师点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，尔后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值。当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，尔后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值可否满足相应段自变量的取值范围。16．a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有以下结论：①当直线与a成60°角时，AB与b成30°角；AB②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；③直线AB与a所成角的最小值为45°；④直线AB与a所成角的最小值为60°。其中正确的选项是________。（填写全部正确结论的编号）【答案】②③【解析】【考点】异面直线所成的角【名师点睛】(1)平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是经过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，详尽步骤以下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；③计算：求该角的值，常利用解三角形；④弃取：由异面直线所成的角的取值范围是0,，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直2线所成的角。求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必定作答。第22、23题为选考题，考生依照要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c。已知sinA3cosA0，a=27,b=2。1）求c；2）设D为BC边上一点，且ADAC,求△ABD的面积。【答案】(1)c4；3【解析】【考点】余弦定理解三角形；三角形的面积公式【名师点睛】在解决三角形问题中，面积公式最常用，由于公式中既有边又有角，简单和正弦定理、余弦定理联系起来。正、余弦定理在应用时，应注意灵便性，已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形拥有不唯一性，平时依照三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断。18．（12分）某商场计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶

4元，售价每瓶

6元，未售出的酸奶降价办理，以每瓶

2元的价格当天全部办理完。

依照从前销售经验，每天需求量与当天最高气温

（单位：℃）有关。若是最高气温不低于

25，需求量为

500瓶；若是最高气温位于区间

[20，25），需求量为

300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。（1）求六月份这类酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这类酸奶的利润为Y（单位：元）。当六月份这类酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学希望达到最大值？【答案】(1)分布列略；(2)n=300时，Y的数学希望达到最大值，最大值为520元。【解析】若最高气温不低于25，则Y6n4n2n，若最高气温位于区间20,25，则Y63002n3004n12002n;若最高气温低于20，则Y62002n2004n8002n;因此EY2n0.412002n8002n6400.4n。当200≤n300，若最高气温不低于20，Y6n4n2n;若最高气温低于20，Y62002n2004n8002n;因此EY2n8002n0.21601.2n。因此n=300，Y的数学希望达到最大，最大520元。【考点】失散型随机量的分布列；数学希望；【名点睛】失散型随机量的分布列指出了随机量X的取范以及取各的概率；要理解两种特别的概率分布——两点分布与超几何分布；并善于灵便运用两性：一是i≥0(i＝1,2，⋯)；二是p1＋p2＋⋯p＋pn＝1分布列的正。19．（12分）如，周围体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．（1）明：平面ACD⊥平面ABC；（2）AC的平面交BD于点E，若平面AEC把周围体ABCD分成体相等的两部分，求二面角D–AE–C的余弦。【答案】(1)明略；(2)7。7【解析】又由于△ABC是正三角形，故BOAC。因此DOB为二面角DACB的平面角。在Rt△AOB中，BO2AO2AB2。又ABBD，因此BO2DOBO2AOAB2BD2，故DOB90o。因此平面ACD⊥平面ABC。2）可取n1,3,1。3uuur0，设m是平面AECuuurm0,1,3。同理可得的法向量，则mgACmgAE0，则cosn,mnm7。nm7因此二面角--的余弦值为7。DAEC7【考点】二面角的平面角；面面角的向量求法【名师点睛】(1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不用然是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真认真，正确计算。(2)设m，n分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与<m，n>互补或相等，故有|cosθ|＝|cos<m，n>|=mn。求解时必然要注意结合实质图形判断所求角是锐角还是钝角。mn20．（12分）已知抛物线C：y2=2x，过点（2,0）的直线l交C与A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆。1）证明：坐标原点O在圆M上；2）设圆M过点P4,2，求直线l与圆M的方程。【答案】(1)证明略；直线l的方程为或直线l的方程为

xy20，圆M的方程为x2y210。31222xy40，圆M的方程为x9y185。4216【解析】故坐标原点O在圆M上。(2)由(1)可得yy2m,xxmyy242m24。12121故圆心Mm22,m，圆M的半径rm222的坐标为m2.uuuruuur由于圆M过点P4,2，因此APBP0，故x14x24y12y220，即xx4xxyy22yy2200。121211由(1)可得y1y24,x1x24。【考点】直线与抛物线的地址关系；圆的方程【名师点睛】直线与抛物线的地址关系和直线与椭圆、双曲线的地址关系近似，一般要用到根与系数的关系；在解决直线与抛物线的地址关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特别状况。中点弦问题，能够利用“点差法”，但不要忘记考据＞0或说明中点在曲线内部。21．（12分）已知函数fxx1alnx。（1）若fx0，求a的值；（2）设为整数，且关于任意正整数111mmn1122L12nm，求2的最小值。【答案】(1)a1；3【解析】试题解析：(1)由原函数与导函数的关系可得x=a是fx在x0，+的唯一最小值点，列方程解得a1；(2)利用题意结合(1)的结论对不等式进行放缩，求得111112L1ne，结合2221112可知实数m的最小值为311122223试题解析：解：（1）fx的定义域为0，+.111L11e故1222n。2而11112，因此m的最小值为3。1221322【考点】导数研究函数的单调性；导数研究函数的最值；利用导数证明不等式【名师点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，因此在历届高考中，对导数的应用的察看都特别突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的察看主要从以下几个角度进行：(1)察看导数的几何意义，经常与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函