初中数学竞赛-数论-带余除法

带余除法竞赛考纲考点 课标要求

知识与技能目标带余除法平方数的特征及应用

了解 理解带余除法的概念 平方数的定义平方数的因数特征 平方数的数字特征平方数在特定模下的余数特征 平方数序列的间距特征 平方数的应用

掌握 灵活应用√√末位数问题 整数的末位数的性质知识架构带余除法的概念平方数的定义带余除法 平方数的特征及应用 平方数的数字特征平方数在特定模下的余数特征平方数序列的间距特征末位数问题 平方数的应用初中数学竞赛课程 《带余除法》.学生版. 1/13模块一：带余除法知识精讲一、带余除法的概念对于整数a，b（b0，存在唯一的一对整数q，r（0rb1，使aqbrr称为a除以b所得的余数aqbr（0rb1）a关于模b的带余除法；而表达式aqbr（0rb1）则称为a关于模b的带余表示例题解析【例】n为正整数，302被nn1除所得商q及余数r都是正值，则r的最大值与最小值的和是（ ）A. 148 B.247 C.93 D.122【例】除以8和9都余1的所有3位数之和是（ ）A. 6492 B.6565 C.7501 D.7574【例】有一个整数N，用2除余1，用5除余2，用7除余3，用9除余4，则N的最小值为（ ）A. 87 B.157 C.227 D.787【例】如果a均为自然数除以7余2除以7余5当a2时除以7的余数（ ）A.1 B.3 C.4 D.6【例】自然数n1234 99100，n的数字从左到右恰为从1到100顺序排列，则n被9除所得的余数是初中数学竞赛课程 《带余除法》.学生版. 2/13【例6】求证：用一个正整数除以一个比它小的正整数，被除数一定大于余数的2倍.【例ababa2b2a2b2中一定有一个被5.【例8】求出最小的正整数n，使n3的末三位数是888【例9】大于100的整数中，被13除后商与余数相同的数有多少个？模块二：平方数的特征及应用知识精讲一、平方数的概念初中数学竞赛课程 《带余除法》.学生版. 3/13若a是整数，则a2叫做a的平方数.二、平方数的特征平方数的因数特征n2的标准分解式中，每个质因数的指数都是偶数若n2a2b（ab是整数）为平方数，则b为平方数若n2ab（ab是互质的整数）为平方数，则ab平方数的数字特征（1）n2的个位数字为0，14569n2的十位数字为奇数，当且仅当n2的个位数字为6n2的个位数字为5，则n2的十位数字为平方数在特定模下的余数特征（1）n20,1mod3,4（2）n20,1,4mod5,8（3）n20,1,4,79（4）n20,1,4,5,6,9 mod10平方数序列的间距特征（1）m2n23（0nm，m，nN）；m2和m2之间不存在平方数，即：若m2pm2，则p不是平方数例题解析【例10】设n是大于1909的正整数，则使得n1909为完全平方数的n有（ ）个2009nA. 3 B.4 C.5 D.6【例11】求证：四个连续自然数的积与1之和必定是一个完全平方数初中数学竞赛课程 《带余除法》.学生版. 4/13【例12N23x92yN不超过2392，则满足上述条件的一切正整数对xy共有多少对？【例13】求证：若m20092200922010220102，则m一定是完全平方数，且是奇数【例14】求出满足以下两个条件的最大正整数n：n2可以表示成两个连续整数的立方之差；2n79.【例15】求所有四位数m，满足m2006，且存在正整数n，使得mnmn是一个完全平方数初中数学竞赛课程 《带余除法》.学生版. 5/13【例16】若a是整数，且a22004a是一个正整数的平方，求a的最大值【例17】把1 n（n1）这n个正整数排成一行，使得任何相邻两数之和为完全平方数，问：n的最小是多少？【例18】若一个整数能够表示成x22xy2y2（xy是整数）的形式，则称该数为“好数”（1）判断29是否是好数；（2）写出8081，，100中的好数；（3）如果mnmn.【例19】一个六位数，它是一个完全平方数，且末三位数字都是4，这样的六位数有多少个？初中数学竞赛课程 《带余除法》.学生版. 6/13模块三：末位数问题知识精讲一、整数的末位数一个整数的末位数只能是0，1，2， ，9之一.实际上是求一个整数被10除的余二、整数的末位数的性（符号Ga表示整数a的末位数字）1、和的末位数等于各加数末位数之和的末位数；积的末位数等于各因数末位数之积的末位数；Gaa10，2，6、Ga2 ，Ga4 ，GG74 G94 1，G24 6、数数字的同次方幂的末位数字相同，而与其它位上的数字无关、若m,a,k都是正整数，且1m4，那么Ga4km Gam、若b为奇数，c为偶数，则Gabc Ga；若b为偶数，c为奇数，则Ga

Ga4 ；若b，c都是偶数，则Ga若b，c都是奇数，则Ga例题解析

Ga4 ；Gab【例20】若x213x10 ，求x4x4的个位数字初中数学竞赛课程 《带余除法》.学生版. 7/13【例2】若A1981995那么A的个位数字是几？【例22】设n是整数，如果n2的十位数字是7，那么n2的个位数字是什么？【例2371007131003的个位数字是多少？【例24】求2232，，1234567892的和的个位数字【例25】求自然数210031014102的个位数字初中数学竞赛课程 《带余除法》.学生版. 8/13【例26an

表示n4的末位数，则aa1 2

2008

的值为多少？【例27x1

，x，x2

，x，x4

为互不相等的正奇数，且满足2005x2005x

2005x2005x2005x

242x2x2x2x2x2的末位数1 字是多少？

3 4 5

1 2 3 4 5初中数学竞赛课程 《带余除法》.学生版. 9/13随堂练习【习1】设N11 1（1990个1，试问N被7除余几？并证明你的结.【习题2】有8个整数，它们都不是5的倍数，那么它们的4次方的和被5除，得到的余数是多少？3】199707除的余数是几？4】若a被1995除，所得的余数是2，则a被1995除，所得的余数是几？5】把1，2，，30这30个数分成k个组（每个数只能在一个组中出现个不同的数的和都不是完全平方数，求k初中数学竞赛课程 《带余除法》.学生版. 10/13【习题6】使m2m7为完全平方数的正整数m的个数为多少？7pp3整除5pp

末位数字是多少？8ab和cab7和5c的十位数是1，如果它们满足等式abc2005，求abc初中数学竞赛课程 《带余除法》.学生版. 11/13课后作业13240何一排就坐的人都少，则在该排就坐的人数最大可能是多少人？2a,ba除以7余2a2b除以7余5，则b除以7余几？3100a64和64均为四位数，且均为完全平方数，则整数a的值为多少？4M36,300596小数与