【班海精品课件】北师大版（新）八年级下-1.3线段的垂直平分线 第一课时

3.线段的垂直平分线第1课时一键发布配套作业&AI智能精细批改（任务-发布任务-选择章节）目录课前导入新课精讲学以致用课堂小结课前导入情景导入线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？什么叫线段的垂直平分线？回顾旧知班海——老师智慧教学好帮手班海，老师们都在免费用的数学作业精细批改微信小程序！感谢您下载使用【班海】教学资源！为什么他们都在用班海？一键发布作业，系统自动精细批改（错在哪？为何错？怎么改？），从此告别批改作业难帮助学生查漏补缺，培养规范答题好习惯，提升数学解题能力快速查看作业批改详情，全班学习情况尽在掌握多个班级可自由切换管理，学生再多也能轻松当老师无需下载，不占内存，操作便捷，永久免费！扫码一键发布数学作业AI智能精细批改(任务-发布任务-选择题目)新课精讲探索新知1知识点线段垂直平分线的性质探究如图，直线l垂直平分线段AB，P1，

P2

，P3，……是l上的点，请你猜想点P1，P2

，

P3，

…到点A与点B的距离之间的数量关系.ABlP1P2P3探索新知

可以发现，点P1，P2，P3…到点A的距离与它们到点B的距离分别相等.如果把线段AB沿直线l对折，线段P1A与P1B、线段P2A与P2B、线段P3A与P3B……都是重合的，因此它们也分别相等.探索新知归

纳由此我们可以得出线段的垂直平分线的性质：

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.利用判定两个三角形全等的方法，也可以证明这个性质.探索新知如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC=CB，点P在l上.求证PA=PB.证明：∵

l⊥AB，∠PCA=∠PCB.又AC=CB，PC=PC，∴△PCA≌△PCB(SAS).∴PA=PB.ABPCl探索新知归纳定理线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.探索新知已知：如图，直线MN⊥AB垂足为C，且AC＝BC，P是MN上的任意一点.求证：PA＝PB∵MN⊥AB，∴

∠PCA

＝∠PCB＝90°.∵AC＝BC，PC＝PC，∴△PCA

≌△PCB(SAS).∴PA＝PB(全等三角形的对应边相等）证明：ABPMN探索新知1．性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；条件：点在线段的垂直平分线上；结论：这个点到线段两端点的距离相等．表达方式：如图，l⊥AB，AO＝BO，点P在l上，则AP＝BP.2．作用：可用来证明两线段相等．探索新知如图，在四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是(

)A．AB＝AD

B．AC平分∠BCDC．AB＝BD

D．△BEC≌△DEC例1C探索新知导引：根据线段垂直平分线的性质得出AB与AD的关系，结合三角形全等进行逐一验证四个选择项求解．∵AC垂直平分BD，∴AB＝AD，BC＝CD.又∵AC＝AC，∴△ABC≌△ADC.∴∠BAC＝∠DAC，∠BCA＝∠DCA.又∵BC＝DC，CE＝CE，∴△BEC≌△DEC.∴选项A，B，D正确．探索新知总结平面几何图形问题的解决方法：

分析图形，结合已知条件对基本图形的形状进行判定，然后再根据具体图形的性质作出判定即可．探索新知如图，在△ABC中，AC＝5，AB的垂直平分线DE交AB，AC于点E，D.(1)若△BCD的周长为8，求BC的长；(2)若BC＝4，求△BCD的周长．导引：由DE是AB的垂直平分线，得AD＝BD，所以BD与CD的长度和等于AC的长，所以由△BCD的周长可求BC的长，同样由BC的长也可求△BCD的周长．例2探索新知解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AD＝BD.∴BD＋CD＝AD＋CD＝AC＝5.(1)∵△BCD的周长为8，∴BC＝△BCD的周长－(BD＋CD)＝8－5＝3.(2)∵BC＝4，∴△BCD的周长＝BC＋BD＋CD＝5＋4＝9.探索新知总

结本题运用了转化思想，用线段垂直平分线的性质把BD的长转化成AD的长，从而把未知的BD与CD的长度和转化成已知的线段AC的长．本题中AC的长、BC的长及△BCD的周长三者可互相转化，知其二可求第三者．探索新知如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝90°，线段AC的垂直平分线MN与AB交于点D，与AC交于点E，则∠BCD＝________．导引：例3在△ABC中，∵∠B＝90°，∠A＝40°，∴∠ACB＝50°.∵MN是线段AC的垂直平分线，∴DC＝DA.∴∠DCE＝∠A＝40°.∴∠BCD＝∠ACB－∠DCA＝50°－40°＝10°.10°探索新知总

结利用线段的垂直平分线的性质得出边相等，再利用等边对等角确定∠DCA的度数，根据角度差解决问题．典题精讲1已知：如图，AB是线段CD的垂直平分线，E，F是AB上的两点.求证∠ECF＝∠EDF.证明：因为AB是线段CD的垂直平分线，所以EC＝ED，FC＝FD.在△ECF和△EDF中，所以△ECF≌△EDF(SSS)．所以∠ECF＝∠EDF.ABEDC典题精讲2如图，在△ABC中，AD垂直平分BC，AC＝CE，点B，D，C，E在同一直线上，则AB＋BD与DE的关系是(

)A．AB＋DB＞DE

B．AB＋DB＜DEC．AB＋DB＝DE

D．不能确定C典题精讲3如图，在四边形ABDC中，∠A＝110°，若点D在AB，AC的垂直平分线上，则∠BDC为(

)A．90°

B．110°C．120°

D．140°D典题精讲4如图，已知△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，DE是AC的垂直平分线，DE交AB于点D，连接CD，则CD等于(

)A．3B．4C．4.8D．5D探索新知2知识点线段垂直平分线的判定想一想你能写出上面这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？如果是，请你加以证明.探索新知归纳定理到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线

段的垂直平分线上探索新知1．判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．2．条件：点到线段两端点距离相等；3．结论：点在线段垂直平分线上．4．表达方式：如图，∵PA＝PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上．5．作用：①作线段的垂直平分线的依据；②可用来证线段垂直、相等．探索新知已知：如图，在△ABC中，AB＝AC是△ABC内一点，且OB＝OC.求证：直线AO垂直平分线段BC.例4ABCO探索新知证明：∵AB＝AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）. 同理，点O在线段BC的垂直平分线上.∴直线AO是线段BC的垂直平分线（两点确定一条直线）.你还有其他证明方法吗？典题精讲1如图，AC＝AD，BC＝BD，则有(

)A．AB垂直平分CD

B．CD垂直平分ABC．AB与CD互相垂直平分D．以上都不正确A典题精讲2到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的(

)A．三条高的交点B．三条角平分线的交点C．三条中线的交点D．三条边的垂直平分线的交点D典题精讲3如图，点D在△ABC的BC边上，且BC＝BD＋AD，则点D在线段(

)的垂直平分线上．A．AB

B．AC

C．BC

D．不确定B易错提醒在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到的锐角为50°，则∠B＝__________.易错点：运用线段垂直平分线的性质解题时，考虑问题不全面70°或20°易错提醒分情况讨论：如果△ABC是锐角三角形，如图①所示，可得∠A＝40°，所以∠B＝∠C＝70°；如果△ABC是钝角三角形，如图②所示，可得∠EAB＝40°，所以∠B＝∠C＝20°.故∠B＝70°或20°.学以致用小试牛刀1如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为(

)A．30°B．45°C．50°D．75°B小试牛刀2如图，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，DE是AB边的垂直平分线，垂足为D，交边BC于点E，连接AE，则△ACE的周长为(

)A．16B．15C．14D．13A小试牛刀3如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC，BD相交于点O，如果AC＝BD，那么下列结论：①AD＝BC；②∠ABC＝∠BAD；③∠DAC＝∠CBD；④点O在线段AB的垂直平分线上．其中正确的是(

)A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④D小试牛刀4如图，已知△ABE中，AB，AE边上的垂直平分线m1，m2分别交BE于点C，D，且BC＝CD＝DE.(1)求证：△ACD是等边三角形；(2)求∠BAE的度数．小试牛刀∵直线m1，m2分别是AB，AE的垂直平分线，∴BC＝AC，ED＝AD.又∵BC＝CD＝DE，∴AC＝CD＝AD.∴△ACD是等边三角形．(1)证明：小试牛刀∵△ACD是等边三角形，∴∠ACD＝∠CAD＝60°.又∵∠ACD＝∠B＋∠BAC＝60°，BC＝AC，∴∠B＝∠BAC＝30°.同理∠EAD＝30°.

∴∠BAE＝∠BAC＋∠CAD＋∠EAD＝30°＋60°＋30°＝120°.(2)解：小试牛刀5如图，四边形ABCD是一只“风筝”的骨架，其中AB＝AD，CB＝CD.(1)八年级王建同学观察了这个“风筝”的骨架后，他认为四边形ABCD的对角线AC⊥BD，垂足为E，并且BE＝ED，你同意王建同学的判断吗？请说明理由；(2)设对角线AC＝a，BD＝b，请用含a，b的式子表示四边形ABCD的面积．小试牛刀(1)同意．理由如下：∵AB＝AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上．∵CB＝CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上．∴AC为线段BD的垂直平分线，即BE＝ED，AC⊥BD.解：小试牛刀(2)由(1)得AC⊥BD，∴S四边形ABCD＝S△CBD＋S△ABD＝BD•CE＋

BD•AE＝

BD•(CE＋AE)＝

BD•AC＝

ab.小试牛刀6如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE并延长AE交BC的延长线于点F.(1)求证：CF＝AD；(2)若AD＝2，AB＝8，当BC的长为多少时，点B在线段AF的垂直平分线上？为什么？小试牛刀∵AD∥BC，∴∠ECF＝∠ADE.∵E为CD的中点，∴CE＝DE.在△FEC与△AED中，∠FEC＝∠AED，CE＝DE，∠ECF＝∠EDA，∴△FEC≌△AED(ASA)．∴CF＝AD.(1)证明：小试牛刀当BC＝6时，点B在线段AF的垂直平分线上．理由：∵BC＝6，AD＝2，AB＝8，∴AB＝BC＋AD.又∵CF＝AD，BC＋CF＝BF，∴AB＝BF.∴点B在线段AF的垂直平分线上．(2)解：小试牛刀7如图①，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，∠A＝40°.(1)求∠BM