高一数学函数与方程

关于高一数学函数与方程第1页，共25页，2022年，5月20日，17点2分，星期六

结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程的根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.结合具体函数的图象，能用二分法求近似解.第2页，共25页，2022年，5月20日，17点2分，星期六1.若函数f(x)=ax-b(b≠0)有一个零点３,那么函数g(x)=bx2+3ax的零点是

.0,-1

因为函数f(x)=ax-b(b≠0)的零点是３，所以x=3是方程ax-b=0的根，所以b=3a.将它代入函数g(x)=bx2+3ax中，可得g(x)=bx(x+1),令g(x)=0,得x=0或x=-1.第3页，共25页，2022年，5月20日，17点2分，星期六2.已知函数f(x)=x3-x-1仅有一个正零点，则此零点所在区间是()CA.(3,4)B.(2,3)C.(1,2)D.(0,1)

利用零点存在的判定条件，判断零点存在的区间.由于f(0)=-1<0,f(1)=-1<0,

f(2)=5>0,f(3)=23>0,f(4)=59>0.根据选择支只有区间（1，2）满足.第4页，共25页，2022年，5月20日，17点2分，星期六3.函数f(x)=3ax+1-2a,在区间(-1,1)上存在一个零点,则a的取值范围是()CA.-1<a<B.a>C.a>或a<-1D.a<-1令f(-1)·f(1)<0，得a>或a<-1，故选C.第5页，共25页，2022年，5月20日，17点2分，星期六4.已知函数f(x)=()x-log2x,若实数x0是方程f(x)=0的解，且0<x1<x0，则f(x1)的值为()AA.恒为正值B.等于0C.恒为负值D.不大于0

因为f(x)在定义域（0，+∞）上单调递减，当x→0时，f(x)→+∞.因为f(x0)=0，所以f(x)=0只有一个实根.所以当0<x1<x0时，f(x1)>0恒成立，故选A.第6页，共25页，2022年，5月20日，17点2分，星期六5.设a、b、c均为正数，且2a=loga，()b=logb,()c=log2c,则a、b、c的大小关系是

.c>a>b考察函数f(x)=2x与g(x)=logx的图象的交点知，<a<1.同理得0<b<，c>1，所以c>a>b.第7页，共25页，2022年，5月20日，17点2分，星期六1.函数的零点(1)对于函数y=f(x),我们把使①

.叫做函数y=f(x)的零点.(2)方程f(x)=0有实根函数y=f(x)的图象②

函数y=f(x)③

.(3)如果函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象是连续不断的一条曲线,并且④

,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有⑤

,即存在c∈(a,b)，使得⑥

,这个c也就是方程f(x)=0的根.f(x)=0的实数x与x轴有交点有零点f(a)·f(b)<0零点f(c)=0第8页，共25页，2022年，5月20日，17点2分，星期六2.二分法(1)对于在区间［a,b］上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在区间⑦

,使区间的两个端点逐步逼近⑧

，进而得到零点近似值的方法叫做⑨

.(2)给定精确度ε，用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤如下：一分为二零点二分法第9页，共25页，2022年，5月20日，17点2分，星期六

第一步，确定区间［a,b］，验证f(a)·f(b)<0,给定精确度ε;第二步，求区间(a,b)的中点c;第三步，计算f(c);(ⅰ)若f(c)=0，则c就是函数的零点；

(ⅱ)若f(a)·f(c)<0,则令b=c(此时零点x0∈(a,c));(ⅲ)若f(c)·f(b)<0,则令a=c(此时零点x0∈(c,b)).

第四步,判断是否达到精确度ε:即若|a-b|<ε，则得到零点近似值a(或b);否则重复第二、三、四步.第10页，共25页，2022年，5月20日，17点2分，星期六题型一函数零点的判断例1

(1)已知区间①(-2，-1)，②(-1，0)，③(0，1)，④(1，2)，⑤(2，3)，则三次方程x3+x2-2x-1=0在哪些区间上有根?(2)判断方程3x+x2-2x-1=0根的个数及符号.第11页，共25页，2022年，5月20日，17点2分，星期六

(1)令f(x)=x3+x2-2x-1，则f(-2)·f(-1)=(-1)×1=-1<0，所以方程在(-2,-1)上有根，同理②④皆可，故所求区间为①②④.(2)令y=3x,y=-x2+2x+1=-(x+1)2+2,则原方程的根即为两函数图象交点的横坐标，如图，两交点的横坐标，一个小于0，一个等于0，故原方程有两个根，其一为负，其一为0.第12页，共25页，2022年，5月20日，17点2分，星期六

(1)当方程的根可能存在的区间已知时，用零点存在定理判断即可,如(1);当根可能存在的区间未知时,要构造函数，观察图象.研究一个函数的零点,还是两个函数图象的交点,前提是函数能否易于作出图象.再如求x+|lgx|=2的实根的个数,可考察函数y=|lgx|,y=2-x的交点的个数.(2)两函数图象交点个数问题，常转化为一个函数的零点个数问题，进而由零点存在定理判断，必要时要考察函数的单调性.第13页，共25页，2022年，5月20日，17点2分，星期六题型二函数零点的性质的应用

已知a∈R，函数f(x)=x2+2ax+1，如果函数y=f(x)在区间[-1,1]上有零点，求a的取值范围.例2①Δ=0a=±1，此时当a=1时，x=-1∈[-1，1]；当a=-1时，x=1∈[-1,1]，合乎题意.第14页，共25页，2022年，5月20日，17点2分，星期六②f(x)在区间[-1,1]上只有一个零点且不是f(x)=0的重根,此时有f(-1)f(1)<0a>1或a<-1.③函数f(x)在区间[-1,1]上有两个相异实根,Δ>0

f(-1)≥0

f(1)≥0-1<-<1综上知，函数f(x)=x2+2ax+1在[-1,1]上有零点，则a的取值范围是(-∞,-1]∪[1,+∞).a∈.则有第15页，共25页，2022年，5月20日，17点2分，星期六1.二次函数零点的个数就是方程ax2+bx+c=0的实根个数，一般的，由Δ>0、Δ=0、Δ<0判断.2.在闭区间上零点的个数应由零点判定定理及函数图象性质一并实施.第16页，共25页，2022年，5月20日，17点2分，星期六题型三二分法例3

用二分法求函数f(x)=x3-x-1在区间[1,1.5]内的一个零点(精确度为0.1).

由于f(1)=1-1-1=-1<0，

f(1.5)=3.375-1.5-1=0.875>0，所以f(x)在区间[1,1.5]内存在零点，取区间[1,1.5]作为计算的初始区间.第17页，共25页，2022年，5月20日，17点2分，星期六用二分法逐次计算列表如下：

因为|1.375-1.3125|=0.0625<0.1,所以函数的零点落在区间长度小于0.1的区间[1.3125,1.375]内,故函数零点的近似值为1.3125.端(中)点坐标中点函数值符号零点所在区间|an-bn|[1,1.5]0.51,25f(1.25)<0[1.25,1.5]0.251.375f(1.375)>0[1.25,1.375]0.1251.3125f(1.3125)<0[1.3125,1.375]0.0625第18页，共25页，2022年，5月20日，17点2分，星期六1.求函数零点的近似值的关键是判断二分法求值过程中，区间长度是否小于精确度ξ,当区间长度小于精确度ξ时,运算结束，而此时取的中点值即为所求，当然也可取区间端点的另一个值.2.“精确度”与“精确到”是两个不同的概念，精确度最后的结果不能四舍五入，而精确到只需区间两个端点的函数值满足条件，即取近似值之后相同，则此时四舍五入的值即为零点的近似解.第19页，共25页，2022年，5月20日，17点2分，星期六1.二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根分布问题，既可以运用公式法先求出方程的根，再列出等价条件组，也可以引入二次函数，由函数的图象特征列出等价的条件组，应因题而异，优化解题的思路.第20页，共25页，2022年，5月20日，17点2分，星期六2.函数与方程这一节内容渗透了丰富的数学思想方法，解题时需具有敏锐的观察力和较强的等价转化问题的能力，把复杂的问题化归为二次方程或二次函数问题，再运用等价转化思想、函数与方程思想、分离参数方法、分类讨论思想等解决问题.第21页，共25页，2022年，5月20日，17点2分，星期六3.二分法求方程近似解的过程中，解法的程序框图蕴涵着