球的计算(带答案)

球的计算专题训练题型一球面距离例1．(201４春?皇姑区校级期末)已知球的两个平行截面的面积分别为５π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为１,那么这个球的半径是(）A．４Ｂ.３C．2Ｄ．5解：截面的面积为8π的圆的半径是，设球心到大截面圆的距离为d,球的半径为r，则5+(ｄ21)=8＋ｄ，∴d＝1,∴ｒ=3，应选B．【变式１】(2０１4?东河区校级一模）已知半径为5的球的两个平行截面的周长分别为6π和8π，则两平行截面间的距离是( )A．１B．2?Ｃ．1或7Ｄ.2或6解解：画出球的截面图.以下列图．是一个球的大圆，两平行直线是球的两个平行截面的直径,答:有两种状况：①两个平行截面在球心的两侧,②两个平行截面在球心的同侧,对于①,ｍ，n=,两平行截面间的距离是:m＋n＝7；对于②,两平行截面间的距离是:m﹣n=1；应选C．【变式2】（２０14?开福区校级模拟)地球半径为R，则北纬６０0圈的长度是( )A．ＲB.RC.RD．πR解:地球的半径为R,则地球北纬60°的纬线圈的半径为:R.则地球北纬60°的纬线圈的周长等于πＲ应选:Ｄ.球的计算专题训练教师版1【变式3】(201２?陆川县校级一模)球面上三点A、B、C，其中AB为球的直径，若∠ABC=３0°,BC=2,则A、C两点的球面距离为( )?Ｂ．?Ｃ.Ｄ.解:由题意，球面上三点Ａ、Ｂ、C，其中AＢ为球的直径,∴Ａ、B、C同在一个大圆上.又由于AB为直径,所以∠ＡＣB=9０°，∵∠ABC=30°,ＢC=2，∴AB=４,球心角为60°,∴A、C两点的球面距离为2×=,应选B．【变式４】（2０12?葫芦岛模拟）球O为长方体ABCＤ﹣Ａ1Ｂ1C１D1的外接球,已知AＢ=2，AD=，AＡ1=,则极点Ａ、B间的球面距离是（)A．B.C.?D．解：∵AB＝２，AD=，AA1=,∴长方体的对角线,即球的直径2Ｒ＝4,设BD1∩ＡC１=O,则OA=OB=R=AB,∴∠ＡＯB=,∴l=Ｒθ＝,应选A．【变式５】(2012春?秦州区校级月考)已知A、Ｂ、C三点在球心为Ｏ，半径为３的球面上，且三棱锥O﹣AＢＣ为正周围体,那么A、B两点间的球面距离为( ).?B.C.πD．π解：作出图形,∵几何体Ｏ﹣ABC为正周围体,∴球心角∠AOＢ=，∴A,B两点的球面距离==π，应选:D.球的计算专题训练教师版2题型二外接球例２.（2０1５?徐汇区模拟）长方体的一个极点上三条棱长为3、4、5，且它的八个极点都在一个球面上，这个球的表面积是(）A.２０π?B．２５πC．50π?D.200π解：设球的半径为R，由题意，球的直径即为长方体的体对角线,则(２R)2=３2+42+52=50,∴Ｒ=．∴S球=４π×R2=50π.应选C【变式１】(２0１5?沈阳校级模拟)已知A,B，C点在球O的球面上,∠BAC=90°，AB=AＣ＝2.球心O到平面ABC的距离为1,则球O的表面积为( ).１2πB.16π?C.36πD.20π解：以下列图:取BC的中点M，则球面上A、B、C三点所在的圆即为⊙M，连接ＯＭ,则ＯM即为球心到平面ABC的距离，在Rt△OMＢ中，OＭ=1,MB=,∴ＯA＝，即球的半径为，∴球O的表面积为１2π.应选：Ａ【变式2】(20１5?太原校级模拟）已知矩形ABCD的极点都在半径为R的球O的球面上，ＡＢ=６，ＢC=2,棱锥O﹣ABCD的体积为8,则球O的表面积为（）A.16π?B.3２C.48πD．64π解答：解:由题可知矩形ABCD所在截面圆的半径即为ABCD的对角线长度的一半,∵AＢ=６,BＣ＝２,∴ｒ＝=２,由矩形AＢCD的面积S=AＢ?BC＝１2，则O到平面ＡBCＤ的距离为h满足：=８，解得h=2，故球的半径R＝＝4,故球的表面积为:4πR2=64π,应选:D球的计算专题训练教师版3【变式3】（20１5?上海模拟)已知底面边长为１,高为2的正六棱柱的极点都在一个球面上，则该球的表面积为(）Ａ．4πB．8π?C.?D.π解：∵正六棱柱的底面边长为１，高为2，∴正六棱柱体对角线的长为=２又∵正六棱柱的极点在同一球面上，∴正六棱柱体对角线恰好是球的一条直径,得球半径R＝,依照球的表面积公式，得此球的表面积为S=4πR2=8π应选：Ｂ．【变式4】（201５春?长春校级期末)若一个正三棱柱的主视图以下列图，其极点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．?B．C．?D.解答：解:依照几何体的三视图,得出该几何体是底面为边长等于２的正三角形,高为１的正三棱柱,则底面外接圆半径r=,球心终究面的球心距d=所以球半径2=R=所以该球的表面积S＝４πR2=,应选B.【变式５】（2015春?淄博校级月考）已知正三棱柱ABC﹣Ａ1B1Ｃ1内接于球O，若AB=3，AＡ=2,则球O的体积为()1A.B．1６πC．?D．解:依照对称性，可得球心O到正三棱柱的底面的距离为１，球心Ｏ在底面ABC上的射影为底面的中心O’,则Ｏ’A=,由球的截面的性质,可得,OA22＋=OO’2＝＝2，则球O的体积为π?OA３．故O'A,则有OA=＝选：Ｃ．【变式6】(２01４?瓦房店市校级模拟）点Ａ、B、Ｃ、D在同一球面上，AB=BC＝，AC＝2，若周围体ABＣD的体积的最大值为,则这个球的表面积为( )球的计算专题训练教师版4Ａ.B.8πC.D．解答:解：依照题意知，△ABC是一个直角三角形,其面积为1.其所在球的小圆的圆心在斜边AC的中点上，设小圆的圆心为Ｑ，若周围体ABCＤ的体积的最大值,由于底面积S△ABＣ不变,高最大时体积最大，所以，DＱ与面AＢC垂直时体积最大，最大值为Ｓ△ABC×DQ=,即×1×DＱ=,∴DQ=２,如图.设球心为O,半径为R，则在直角△AＱO中，OA2=AQ2+OQ２，即R2=1２+（２﹣R）2,∴R=，则这个球的表面积为：S=４π（）２=;应选Ｃ.题型三内切球例３．（２0１5?市中区校级四模)将棱长为1的正方体木块切削成一个体积最大的球，则该球的体积为( )A．B.?C．?D．解答：解:将棱长为1的正方体木块切削成一个体积最大的球时,球的直径等于正方体的棱长1,则球的半径R=，则球的体积V==，应选Ｄ【变式1】(2015?内江模拟)设正方体的全面积为２4，那么其内切球的体积是（)A．B.?Ｃ．?D.解:正方体的全面积为24，所以,设正方体的棱长为:a，6ａ2=2４a=2,正方体的内切球的直径就是正方体的棱长,所以球的半径为:1内切球的体积：。应选B．【变式2】（2