《高等数学》(2)学习要点与练习(一)

《高等数学》(2)学习要点与练习（一）本学期水利水电工程专业高等数学课程教学内容包括高等数学)容如下：高等数学第九章空间解析几何与向量代数第十章多元函数微分学第十一章重积分、曲线积分与曲面积分概率统计1章随机事件与概率2章3章统计推断下面根据课程的基本要求，指明各章学习要点，并给出一些练习，供学习参考.第九章 空间解析几何与向量代一、学习要点两点间的距离公式M x y z M x y z M 设空间两点 =( ，，)，=( ，，)M x y z M x y z M 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2(x x)2(x x)2(y2 1 2y)2(z z)21 2 11 2向量的坐标表示向量是本章重点，它是学习平面和空间直线知识的基本工具=(a

，a)，b=(b

，b，b

)是两个向量，有关向量有如下一些基本概念要掌握：1 2 3a2a2aa2a2a21 2 3

1 2 3方向余弦

cos

,cos

,cosaaaab且Cos2+Cos2+Cosaaabb数量积b

ab

co,

ab11

ab2

ab33

，两个向量的数量积是一个数.kkb向量积a b

a

b－a

b，a

b－a

b，a

b－a

b)，两个向量的向量积是一个向量.1 2 3b b b

23 32 31 1

12 211 2 3

sin,

;

; ,,b ab

b a和

b b.两个向量平行或垂直的充分必要条件bb0bb a∥bakb或 a∥bab0关于平面熟练掌握平面的点法式方程，掌握平面的一般方程，会求平面方程、点到平面的距离.求平面方程的关键是找出法方向=(A，B，C)。过点xy，z以为法方向的平面方程为 Ax)By)Cz)=00 0 0

0 0 0平面的一般方程为：Ax+By+Cz+D=0，法方向：=(A，B，C)点(x，y，z

)到平面Ax+By+Cz+D=0的距离为d=AxAxByCz D1 1 1A2B2C2关于空间直线.建立直线方程的关键也是确定其方向向量l=(a，b，c)。过点(x，y，z)以l为方向向量的直线方程是0 0 0xx yy zz 0 0

(标准方程)a b

xx

at由标准方程化为参数方程得yy 0

btzz ct0两平面的交线为一直线，即直线的一般方程为AxByCzD01 1 1 1AxByCzD 02 2 2 2方向向量

lnn,其n (A,B,C),

(A,B,C)。1 2

1 1 1

2 2 2：

x+B

y+C

z+D

=，法方向

(A,B,C)；1 1 1 1

1 1 1 1平面：Ax+By+Cz+D

=，法方向

(A,B,C)2 2 2 2 2

2 2 2 2 A B C A B C D

n∥n 即111；与重合 1 1 1 11 2

2 A B C 1 2

A B C D

2AA

2 2B+CC=0

2 2 2 21 2 1

12 12 1 2系数不满足以上条件时，两平面斜交.

：方向向量l

(a

,b,

)

(a

,b,c)1

1 1 1 1 2b c

2 2 2 2lll∥l即1

111 2

2 a b c2 2 2ll l

a+bb+cc=01 2 1

12 12 12系数不满足以上条件时，两直线斜交.

：方向向量l

(a

,b,c)1 1 1 1 1平面

x+B

y+C

z+D

=，法方向

(A,B,C) lnlnA

1 1 1 1cc01 1 1 1 1

1 1 1 1B a b cBll

∥n即1111 1

1 A B C1 1 1系数不满足以上条件时，直线与平面斜交.5.关于二次曲面x2y2y22x等。知道球面、椭球面、柱面和旋转抛物面的方程.球面方程：(x－a)2+(y－b)2+(z－c)2=R2，球心：(a，b，c)，半径：R(xa)2 (yy)2 (zz)2椭球面： 0 0 0 1a2 b2 c2x2y2r2xa)2y2a2圆锥面：x2+y2=z2；旋转抛物面：z=x2+y2二、练习题（一）填空题1.直线x1

y1

z与z轴夹角的余弦是 .1 2 22.设直线x1y1

z在平面x+2y－z+k=0上，则k= .1 2 53. 球面x2－2x+y2＋y+z2=0的球心.4.点（－1，－2，－1）到平面x2y2z50的距离.（二）选择题同时与向量a={2，1，4}和z轴垂直的向量是( )A.B.C.{2，1，0} D.{1，2，0}若一直线的方向向量{ 3,3,2}，则此直线与z轴的夹角是（ 。A.0 B.3

2 D. 4设向量ajbA.abC. ab且a,b反向

1j3k，那么（ 。2 2B.ab且a,b同向D. a与b既不平行，也不垂直与向量a垂直的单位向量( )12B.{1，0，1} C.{2

,0,1

} D.{1/2，0，1/2}2方程y+z=0的图形( )的平.2A.平行于坐标面yz 平行于y轴 C.过x轴 D.平行于z轴2xz1直线xyz

的方向向量是( )i j k

i j k

i j k

i j kA.1 1 B.2 1 0 C.2 1 D.1 1 2 0 1 1 1 （三）计算题3xyz2求过(1，1，1)且平行于直线

x2

y1

z的平面方程.2xz20

2 1 1.z轴和点P0（1，1，－1).4.求通过点且垂直于向量s1={1，2，1}s2＝{3，1，0}.xy35.(2，1，7)xOy平面的交线是

z

的