《电磁场与电磁波》(第四版 )答案五章习题解答

五章习题解答真空中直线长电流I5.1的磁通。解根据安培环路定理，得到长直导线的电流I产生的磁场0Be I0zbddSzbddS穿过三角形回路面积的磁通为dSIdSI0x S

db22[x

dz]dx00

Idb

zdxxd 05.1z(xdtan6

x

d3，故得到3题5.1图

d2xddxII03b3b2d

I b 3[23

)]通过电流密度为J的均匀电流的长圆柱导体中有一平行的圆柱形空腔，如题5.2示。计算各部分的磁感应强度B，并证明腔内的磁场是均匀的。解将空腔中视为同时存在J和J均匀的电流分布：一个电流密度为J、均匀分布在半径为b的圆柱内，另一个电流密度为J、均匀分布在半径为a叠加即可得到圆柱内外的磁场。C

BdlrJ bdrJ bdraoaoabb0

I，可得到电流密度为J、均匀分布在半径为b的圆柱内的电 0Jr rbB2 b bB流产生的磁场为 b b20

Jrb

rb 2 r2 bb电流密度为J、均匀分布在半径为a的圆柱内的电流产生的磁场为 0B 2

Jra

raa

题5.2图 a a J 0

ra 2 r2 a这里rra

分别是点o和oa

到场点P的位置矢量。BBa

叠加，可得到空间各区域的磁场为 b2 a2 B

0J r r

b)2 r2 bb

r2 a ba a2 B

0J

r (rb,

a)2 b

r2 a b aa空腔内：B 2

Jrb

ra

Jd (r02 0

a)式中d是点和o到点o的位置矢量。由此可见，空腔内的磁场是均匀的。b a下面的矢量函数中哪些可能是磁场？如果是，求其源变量J。Her

ar,B

H （圆柱坐标）0Hex

(ay)ey

ax,BH0Hex

ax

ay,BHy 0Hear,BH（球坐标系） 0解根据恒定磁场的基本性质，满足B0不是磁场的场矢量。若是磁场的场矢量，则可由JH求出源分布。1 1（1）在圆柱坐标中B (rB) (ar2)2a0rr r rr该矢量不是磁场的场矢量。（2） B

(ay)(ax)0x yezezz0x y该矢量是磁场的矢量，其源分布为JH

x yay ax

e2az（3） B(ax)(ay)0x y

e e ex y z该矢量是磁场的场矢量，其源分布为JH

0axay01（4）在球坐标系中B B 1 (ar)01rsin rsin该矢量是磁场的场矢量，其源分布为e1rr2sine1rr2sinr0 JH

e 0 ar2sin

actage2aA(r)

J(rd证明磁感应强度的积分公式B(r)

R0J(r)Rd( )00并证明B( )00

R3解: B(r)A(r)

J(r)d

J(r)d

J(r) 1 4

R

R R0

J(r)(

R)dR3

J(r)Rd0 R30B[A(r)]0有一电流分布J(rerJz 0

(ra)，求矢量位A(r)和磁感应强度B(r)。解由于电流只有ez

分量，且仅为r的函数，故A(r)也只有ez

分量，且仅为r的函数，即A(r)ez

A(rAz

(r)满足的一维微分方程和边界条件，即可求解出A(r)，然后由B(r)A(r)可求出B(r)。ra和raA(r

(r)。由于在ra时电流为零，所以1 21 2A(r) (r z1)Jr （ra）z1 r0 01 2A (r) (r z2)0 （ra）由此可解得

z2 r1A(r) z1 9

Jr3C0 0

lnrD1A (r)Cz2 2

lnrD2A(r)Az1 z

(r)满足的边界条件为①r0时，Az1

(r)为有限值②raAz1

(a)Az2

(a)，

ArArz1

raAArz2由条件①、②，有 C1

0， 9

Ja3C0 0

lnaD2

， 3

Ja2C0 0 2a1 1 1由此可解得 C2

3

Ja3，D0 0

3

Ja3( lna)0 0 3故A(r)1z1 9

Jr3D0 0 1

（ra）1 1 1A (r) Ja3lnr Ja3( lna) （ra）z2 3 0 0 3 0 0 3式中常数D1

由参考点确定，若令r0时，Az1

0D1

0。z P(x,y,z)

空间的磁感应强度为1B(r)A(r)e Jr2 （ra）11 1 3 0 0 r

(r)

(r)e

Ja3 （ra）0 2 2 0 a b yIx

如题5.6图所示，边长分别为a和b、载有电流I矩形回路。（1）求远处的任一点P(x,y,z)的矢量位A(r)，并证明它5.6

可以写成A(r)

p r0 m

eIab；r3 m z（2）由A求磁感应强度B，并证明B可以写成0zBI(d) 式中dabee 场点对小电流回路所张的立体角。0zrI 1I 1RC0dl解（1）电流回路的矢量位为 A(r)Rxx)2yy)2z22[r22rsin(xcosysinx2y22

dl

dS，有

1dldS1( )C S R RC S( )( 而 ( )( R RI 100所以 A(r)

dS( )RS对于远区场，rx,ry，所以Rr，故10I10(r) 0

dS(1)00

[IdS](1)

Iab)( )4 r 4S

r z r

r p r 0p ( ) 0 m0（2）由于 A(r) p0

r)e

p sin0 m

m r3

r3mz

r3

r2故 BAer

1 rsin

(sinAcos

)e

1rre

(rA)e

p0 m4 r3

(e2coser

sin)又由于 er

2cose

sinr3( )r3(r2

z r)r2p ee 故 B 0 m(z r) 0

abee ( z r) 0

(d)r2 r2 半径为a磁介质球，具有磁化强度为Me(Az2B)z其中A和B为常数，求磁化电流和等效磁荷。m解Jm

Mez

(Az2B)ez

e2Az0z等效磁荷体密度为 mMz(Az2B)2Az磁介质球表面的磁化电流面密度为J MnzIzI1 02x

r

eez

(Aa2cos2B)等效磁荷面密度为

e(Aa2cos2B)sin nMm

r

eer

(Aa2cos2B)(Aa2cos2B)cos5.8所示图，无限长直线电流I垂直于磁导率分别为5.8图

和1

（1）两种磁介质中的磁感应强度B和B（2）磁化电流分布。1 2解（1）由安培环路定理，可得He I所以得到 BHe

2rI01 0B H

rI2（2）磁介质在的磁化强度M

1B

H

()I0 2 0

2r0则磁化电流体密度 J

Me

1d(rM) e

(0

)I1

(r1)0m zrdr

z 0

rd rH(P)H(P)H(P)H(P)1 1 2 1lhH(P)H(P)1 21 22 22

r0处存在磁化线电流I 以z轴为中心r为半径作一个圆形回路C由安培环路定理，110BdlIC0有 II m故得到

I m

1)I0题5.9图JmS

在磁介质的表面上，磁化电流面密度为M eeM ee()I2r0zz0r已知一个平面电流回路在真空中产生的磁场强度为H0

，若此平面电流回路位于磁导率分别为和1

的两种均匀磁介质的分界平面上，试求两种磁介质中的磁场强度HH。1 2解由于是平面电流回路，当其位于两种均匀磁介质的分界平面上时，分界面上的磁场只有法向分量，根据边界条件，有BB1 2

B。在分界面两侧作一个小矩形回路，分别就真空和存在介质两种不同情况，应用安培环路定律即可导出HHH的关系。1 2 05.92有HdlH(P)hH(P)hH(P)hH2有1 1 2 1 1 2

(P)hI （1）C因H垂直于分界面，所以积分式中Hl0。这里I为与小矩形回路交链的电流。对平面电流回路两侧为真空的情况，则有C2Hdl2H20 0C

(P)h2H1

(P)hI （2）由于P和P是分界面上任意两点，由式和可得到HH 2H1 2 1 2 0即 BB2H21 0212于是得到B 1 2 H 01 2故有 H

B 22 H

H B 2 H1 11 1 21

2 02 1 2：A的切向分量是连续的。解由BA得 BdSAdSAdlC

（1）n媒质①lA1h媒质② CA2PP任作一个跨越分界面的狭小矩形回路Cn媒质①lA1h媒质② CA2式（1）应用于回路C上，并令h趋于零，得到AdlA1

lA2

llimBdSh0 SCllA l02A由于矢量l

1平行于分界面，故有5.10图

A A2t一根极细的圆铁杆和一个很薄的圆铁盘样品放在磁场BB0

（铁的磁导率为B和HB0

1T、50000

，求两样品内的磁化强度M。解对于极细的圆铁杆样品，根据边界条件H

H ，有2tHH0

B 0 0BHB 00MB

H

1(

1)B

4999 0 0 0 0 0对于很薄的圆铁盘样品，根据边界条件B1n

B ，有2n0BB0HBB 0MBH(11)B

4999 0 50000 0 05.12r0

15ca2c，鉄芯的相对磁导率r

1400N1000匝线圈，通过电流IA。计算螺旋管的电感；在鉄芯上开一个l0

的空气隙，再计算电感（假设开口后鉄芯的r

不变）求空气隙和鉄芯内的磁场能量的比值。解（1）由于ar0

，可认为圆形截面上的磁场是均匀的，且等于截面的中心处的磁场。aor0l0I由安培环路定律，可得螺旋管内的磁场为 aor0l0I2r0与螺线管铰链的磁链为 NSH故螺线管的电感为

a2N2I2r0LI2

a2N22r0

140041070.0221000220.15

2.346H（）当铁芯上开有小空气隙时，由于可隙很小，可忽略边缘

题5.12图效应，则在空气隙与鉄芯的分界面上，磁场只有法向分量。根据边界条件，有B0

BB，但空气隙中的磁场强度H 与铁芯中的磁场强度H 不同。根据安培环路定律，有0Hl H00

(2r0

l)NI0

NI又由于B H 、B

H 及B B

B，于是可得 B 0 r0 0

0 r 0

l(2rr0

l)0 a2N2I所以螺线管得磁链为

NSBl

0 r(2

l)故螺线管得电感为

r0 0 0

a2N2 210714000.02210002rLI l r

r

0.944H(2r0

l) 14000.00120.150.00101（3）空气隙中的磁场能量为 Wm0

H2Sl2 0 0 0鉄芯中的磁场能量为 W 1H2S(2rl)m 2 0 r 0 0W l 14000.001故 m0 r0 l

1.487W rm 0 0

0.150.001L0

1Rm

，RNI激励下，m电感量为LN2R

。磁路中单匝激励下的磁场储能W R2 2，则NI激励下的mW N。m m0

m0 m 0I解在单匝线圈励磁下，设线圈中的电流为I，有0N2I

LI0

R NI激励下，磁路m的磁通为 N0 Rm故电感量为 L N2I Rm

I2 R在单匝线圈励磁下，W LI2 m

NI激励下，磁路的磁能为m0 2 0

2R 2 0m1 N2I2 N2RW LI2 m2Nm 2 2R 2 0 m0ml1I1①l1I1①w1rS②w2l2一平面上，长度分别为l和

，宽度分别为w

，两线1 2圈最近的边相距为S

1 2I I。设，两线圈中分别载有电流和1 2ll1 2圈的互感是

l (Sw)(Sw)12M 02122

S(Sw1

w)2解由于ll1 25.14图

圈②的回路中产生的磁场与两根无限长的平行直线电流产1生的磁场相同。线圈①中的电流I在线圈②的回路中产生的磁场为1I 1 1B 01( )12与线圈②交链的磁 12

r rw1

Sw2

(1

1 )ldr

Il

lnS

lnSww01

12