中学几何辅助线专项突破（上）

几何辅助线专项突破几何辅助线专项突破（上）（上）初中数学几何辅助线专项突破（上）加辅助线又是决定初中几何成败的关键，在数学圈中流传着“得辅助线者得几何，得几何者得初中数学”的说法。，由此可以看出几何辅助线的重要性和广泛的运用新。为了引起同学们的重视，争取搞定几何辅助线专项，因此可以将常见的几何辅助线分门别类的整理出来，专项突破。第一章点拨：和综合性的探究题将是今后几年中考数学的重点题型。练习一、解答题（共9题，共0分）1.如图，已知在中，是边上的中线，．是上一点，延长交于，，求证：2.如图所示，在中，交于点，点是中点，交的延长线于点，交于点，若为的角平分线，求证：．23.如图，在中，．以线段，点为的中点，点，分别为，上的点，且，，为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形？4.如图，已知点为中边上的中点，．求证：，的平分线分别交，于点，，连接.5.如图，在中，若，，求边上的中线的取值范围.6.如图，在中，若，，为边的中点．求证：．7.如图，在中，，是的中点，，分别是，延长线上的点，且，则的度数为多少？38.等腰梯形中，，，与交于点，，、、分别是、、的中点，求证：是正三角形．9.如图，在五边形中，，，为的中点．求证：．二、材料题（共3题，9小题；共0分）10.一副三角板如图放置，等腰直角三角板在等腰直角三角形的斜边中点处，且可以绕点旋转，在旋转过程中，两直角边的交始终在边上．固定不动，另一块三角板的直角顶点放点，，4（（1）在旋转过程中线段2）若和大小有何关系？证明你的结论．，在旋转过程中四边形的面积是否改变？若不变，求出它的值；若改变，求出它的取值范围．3）若交点分别在边相应的图形，直接写出结论．1.如图，是等腰直角三角形，边上的点，且．（，，的延长线上，则(1)中的结论仍然成立吗？请画出1，是斜边的中点，、分别是、（（（1）请证明：2）请证明：3）若．．，，求的面积（直接写结果）．12.如图，在四边形中，，、分别是．、的中点，连接并延长，分别与、的延长线交于点、（1）求证：．5（2）如图，在四边形的中点，连接状，请直接写出结论．中，与相交于点于点，，、分别是的形、，分别交、、，判断（3）如图中，在的中点，连接，判断形状并证明．中，，点在上，，、分别是，连、并延长，与的延长线交于点，若接三、选择题（共1题，共0分）13.如图，在中，点是重心，于点，连接并延长交于点，连接并延长交，．若，则的值为（）．A.B.C.D.第二章角平分线点拨：6究题、综合题成为近几年中考的热点题型。练习一、材料题（共4题，9小题；共0分）1.如图（），把一副三角板和放置在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，直角边与轴重合，斜边与轴重合，直角边．交轴于点，斜边交轴于点，是的中点，（1）把图（）中的绕点顺时针旋转得图（），此时三点的坐标．的面积是，的面积是，分别求，，（2）如图（），设的平分线和的平分线交于点，的平分线和的平分线交于点，当改变的大小时，的值是否会改变？若改变，请说明理由；若不改变，请求出其值．2.完成下列小题．7（1）如图，在中，与的角平分线相交于点，过，则线段作，交．于点，交于点．若的长为（2）如图，在如果中，，求，分别平分的周长．和，，．3.如图，已知直线，，、在上，且满足，平分．（（1）求的度数．，那么2）若平行移动的比值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个值．（3）在平行移动的过程中，是否存在某种情况，使？若存在，求出度数；若不存在，请说明理由．4.阅读下列学习材料：8如图所示，上截取请根据上面的学习材料，解答下列各题：平分，为上一点，为上一点．连接，在射线，连接（如图），易证≌．（1）如图所示，在中，与是的外角平分线，是上异于点的任意一点，试比较的大小，并说明理由．（2）如图所示，上题中是的内角平分线，其它条件不变，求证：．二、解答题（共6题，共0分）5.如图，已知点是轴上一动点，正好是的角平分线，所在直线的夹角是否发生变化，若变化，请说明理由；若不变，请直接写是轴上一动点，点在线段上，连接，=．问动点，在运动的过程中，与出具体值．96.如图所示，已知，，求证平分．7.如图所示，已知中，，是的平分线，，过点作于点，判断与之间的数量关系，并加以证明．8.如图所示，已知等腰直角三角形中，，，平分，，垂足为．求证：．9.已知：如图，，．，于点，是中点．求证：1010.如图所示，已知中，，，平分，求证：．三、填空题（共2题，共0分）11.在中，，平分．，，，那么点到直线的距离是12.如图，已知，，且，求．11第三章时，要掌握作辅助线构造图形的方法。练习一、材料题（共3题，6小题；共0分）1.按要求完成下列各题．1）图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，将四个直角三角形中边长为的直角边分别向外延长一倍，得到图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（，．（2）如图，直线上有三个正方形，，，若，的面积是和，则的面积为．2.如图，在矩形，，，一把三角尺的直角顶点在滑动时交于点（点．与点，不重合），一直角边始终经过点，另一直角边与直线12（（1）求证：2）当．时，求的长．3.如图，是边长为的正方形的边上的一点，矩形的边过点，．（（1）求的长．2）直接写出图中与相似的所有三角形．二、选择题（共4题，共0分）4.如图，正方形的边长为，，，连接，则线段的长为（）．A.B.C.D.5.勾股定理被誉为“几何明珠”，在数学的发展历程中占有举足轻重的地位．如上由图是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图是由图放入长方形内得到的，都在长方形，，，点、、、、、的边上，则长方形的面积为（）．13A..如图，正方形B.C.D.6的边长为，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为此规律继续下去，则的值为（）．，，按照A.B.C.D.7.如图，已知与都是等边三角形，点在边上（不与，重合），与相交于点，则图中有（）对相似三角形．A.B.C.D.三、填空题（共1题，共0分）148.如图，小路是由黑色的正方形理石和白色的三角形理石铺成，已知中间所有的正方形的面积之和是平方米，小路左侧的所有三角形面积之和为平方米，则这条小路一共占地面积是平方米．（直接写出答案即可）四、解答题（共1题，共0分）9.已知在正方形中，的值．为的中点，于点，求第四章点拨：动图形相关的动态几何题，以及与相似、函数结合的综合题是中考的重点。练习一、材料题（共3题，6小题；共0分）1.在中，点为的中点．（1）如图，求证：．（2）延长到，使得，延长到，使得，连结．①如图，连结，若，请你探究线段与线段之间的数量关系．写出你的结论，并加以证明；15②请在图中证明：．2.小伟遇到这样一个问题，如图，在梯形中，，，对角线，相交于点．若梯形长的三角形的面积．的面积为，试求以，的长度为三边小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过平移可以解决这个问题．他的方法是过点即是以图参考小伟同学的思考问题的方法，解决下列问题：如，的三条中线分别为．作的平行线交的延长线于点，得到的，，的长度为三边长的三角形，可得的面积为，如，，16（（（为1）在图中利用图形变换画出并指明以，，的长度为三边长的一个三角形保留画图痕迹）．2）若的面积为，则以，，的长度为三边长的三角形的面积．3.阅读下面材料：（1）小明遇到这样一个问题：如图，在．已知小明发现，过点能够使问题得到解决（如图）．请回答：的值为中，，求延长线于点，构造分别交的值．于，交于，，作，交，经过推理和计算．（2）参考小明思考问题的方法，解决问题：如图，已知平行四边形和矩形的度数．，与交于点，，求二、解答题（共4题，共0分）4.已知：如图，在等腰三角形中，延长边到点，延长边到点，连接，恰有．求的度数．175.已知，如图四边形中，，、分别是和的中点，．、、的延长线分别交于、两点．求证：6.在中，、分别为、边上的高，．求证：．7.已知线段、、、、、．．且．求证：．三、选择题（共1题，共0分）188.如图，边长为的正方形在边长为的正方形所在平面上移动，始终保持（，线段的中点为，的中点为，则线段的长为）．A.B.C.D.四、填空题（共1题，共0分）9.如图，面积为的平行四边形纸片中，，，按下列步骤进行裁剪和拼图．第一步：如图①，将平行四边形纸片沿对角线剪开，得到和和纸片，纸片；再将纸片沿剪开（为上任意一点），得到处，将第二步：如图②，将处；纸片平移至纸片平移至第三步：如图③，将纸片翻转过来使其背面朝上置于同侧），将重合，中，对角线处（边与重合，和在纸片翻转过来使其背面朝上置于同侧）．长度的最小值为处，（边与和在则由纸片拼成的五边形．19第五章点拨：的重点题型。练习一、填空题（共5题，共0分）1.如图所示，已知点，直线与两坐标轴分别交于周长的最小值是、两点，、分别是上的动点，则，．2.如图，菱形的边长为，，点是边上的动点，点是对．角线上的动点，若使的值最小，则这个最小值为3.如图，是⊙的直径，上的一个动点，则，，点为弧的中点，点是直径的最小值为．204.将矩形纸片按如图所示的方式折叠，．，为折痕，试问5.如图，把矩形纸片，将纸片则点的坐标为放入平面直角坐标系中，使、分别落在轴、轴上，连接沿折叠，使点落在点的位置，若．，，二、解答题（共5题，共0分）6.如图，四边形为菱形，为边上一定点，为对角线上一动点．当最小时，画出点的位置，并说明理由．7.如图所示，是一矩形的台球台面，有黑白两球分别位于反弹后再击中白球、？两点位置上，试问：怎样撞击黑球，使黑球先碰撞台边218.如图，为矩形台球桌面，现有一白球和一彩球，再碰撞台边．怎样击打白球，才能使白球碰撞台边，反弹后击中彩球？9.如图所示，为内部一点，使得求的度