n维向量,向量间的线性关系

3.2向量间的线性关系3.3向量组的秩3.1.n维向量3.4向量空间第3章向量与向量空间n维向量,向量间的线性关系共56页，您现在浏览的是第1页!§3.1n维向量3.1.1n维向量的定义3.1.2n维向量的运算n维向量,向量间的线性关系共56页，您现在浏览的是第2页!定义1分量全为复数的向量称为复向量.分量全为实数的向量称为实向量，1n维向量的概念n维向量,向量间的线性关系共56页，您现在浏览的是第3页!2n维向量的表示方法

维向量写成一行，称为行向量，也就是行矩阵，通常用等表示，如：

维向量写成一列，称为列向量，也就是列矩阵，通常用等表示，如：n维向量,向量间的线性关系共56页，您现在浏览的是第4页!注意

１．行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；

２．行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算；

３．当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作列向量.n维向量,向量间的线性关系共56页，您现在浏览的是第5页!向量组,,…，称为矩阵A的行向量组．n维向量,向量间的线性关系共56页，您现在浏览的是第6页!3.1.2n维向量的运算向量相等：如果n维向量的对应分量都相等，即就称这两个向量相等，记为向量加法：向量称为向量的和，记为n维向量,向量间的线性关系共56页，您现在浏览的是第7页!负向量：向量称为向量的负向量向量减法：注意：两个向量只有维数相同时，才能进行加法和减法运算！n维向量,向量间的线性关系共56页，您现在浏览的是第8页!向量的运算律：n维向量,向量间的线性关系共56页，您现在浏览的是第9页!n维向量,向量间的线性关系共56页，您现在浏览的是第10页!定义13.2.1线性组合与线性表示

向量之间除了运算关系还存在着各种关系，其中最主要的关系是向量组的线性相关与线性无关。n维向量,向量间的线性关系共56页，您现在浏览的是第11页!叫做n维单位坐标向量。n维向量,向量间的线性关系共56页，您现在浏览的是第12页!由此可见,有的向量可由某一向量组线性表示，而有的则不行.那么如何判断一个向量能否由某一个向量组线性表示呢?关于向量的线性表示，有以下明显的事实：n维向量,向量间的线性关系共56页，您现在浏览的是第13页!n维向量,向量间的线性关系共56页，您现在浏览的是第14页!解：因为n维向量,向量间的线性关系共56页，您现在浏览的是第15页!解：因为n维向量,向量间的线性关系共56页，您现在浏览的是第16页!例

判断向量β1=(4,3,-1,11)与β2=(4,3,0,11)是否各为向量组a1=(1,2,-1,5),a2=(2,-1,1,1)的线性组合.若是,写出表达式.因此b1可由a1,a2线性表示,且由上面的初等变换可知k1=2,k2=1使b1=2a1+a2.n维向量,向量间的线性关系共56页，您现在浏览的是第17页!n维向量,向量间的线性关系共56页，您现在浏览的是第18页!定理

关于向量的线性相关与线性表示之间的相互关系,有下面的定理:n维向量,向量间的线性关系共56页，您现在浏览的是第19页!n维向量,向量间的线性关系共56页，您现在浏览的是第20页!n维向量,向量间的线性关系共56页，您现在浏览的是第21页!n维向量,向量间的线性关系共56页，您现在浏览的是第22页!例1：用定义判断线性相关性。(1)向量线性______关。(2)向量线性______关。相相结论n维向量,向量间的线性关系共56页，您现在浏览的是第23页!n维向量,向量间的线性关系共56页，您现在浏览的是第24页!n维向量,向量间的线性关系共56页，您现在浏览的是第25页!n维向量,向量间的线性关系共56页，您现在浏览的是第26页!思考n维向量,向量间的线性关系共56页，您现在浏览的是第27页!思考n维向量,向量间的线性关系共56页，您现在浏览的是第28页!n维向量,向量间的线性关系共56页，您现在浏览的是第29页!例如：n维实向量n维复向量第1个分量第n个分量第2个分量n维向量,向量间的线性关系共56页，您现在浏览的是第30页!分量全为零的向量称为零向量。

由定义可知，两个向量只有维数相同时才有相等或不相等的概念，换句话说维数不同的两个向量是不能进行比较的。例如，维数不同的两个零向量是不相等的。n维向量,向量间的线性关系共56页，您现在浏览的是第31页!

由若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组．例如3、向量、向量组与矩阵n维向量,向量间的线性关系共56页，您现在浏览的是第32页!

反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.n维向量,向量间的线性关系共56页，您现在浏览的是第33页!3.1.2n维向量的运算向量加法：向量称为向量的和，记为n维向量,向量间的线性关系共56页，您现在浏览的是第34页!数乘向量：设k是一个数，向量称为向量与数k的数量乘积。向量的加法与数乘运算统称为向量的线性运算。记为显然，向量的加法与数乘去处是矩阵的加法与数乘运算的特例。因此向量的两种运算满足以下去处规律。n维向量,向量间的线性关系共56页，您现在浏览的是第35页!向量的运算律：注意：两个向量只有维数相同时，才能进行加法和减法运算！n维向量,向量间的线性关系共56页，您现在浏览的是第36页!§3.2向量间的线性关系3.2.1线性组合与线性表示3.2.2线性相关与线性无关n维向量,向量间的线性关系共56页，您现在浏览的是第37页!定义23.2.1线性组合与线性表示

向量之间除了运算关系还存在着各种关系，其中最主要的关系是向量组的线性相关与线性无关。n维向量,向量间的线性关系共56页，您现在浏览的是第38页!n维向量,向量间的线性关系共56页，您现在浏览的是第39页!由此可见,有的向量可由某一向量组线性表示，而有的则不行.那么如何判断一个向量能否由某一个向量组线性表示呢?关于向量的线性表示，有以下明显的事实:课本P80n维向量,向量间的线性关系共56页，您现在浏览的是第40页!解：因为n维向量,向量间的线性关系共56页，您现在浏览的是第41页!解：因为n维向量,向量间的线性关系共56页，您现在浏览的是第42页!n维向量,向量间的线性关系共56页，您现在浏览的是第43页!定义31、线性相关的概念则称向量组是线性相关的，否则称它线性无关．3.2.2线性相关与线性无关n维向量,向量间的线性关系共56页，您现在浏览的是第44页!注意:n维向量,向量间的线性关系共56页，您现在浏览的是第45页!n维向量,向量间的线性关系共56页，您现在浏览的是第46页!n维向量,向量间的线性关系共56页，您现在浏览的是第47页!n维向量,向量间的线性关系共56页，您现在浏览的是第48页!n维向量,向量间的线性关系共56页，您现在浏览的是第49页!n维向量,向量间的线性关系共56页，您现在浏览的是第50页!n维向量,向量间的线性关系共56页