初奥林匹克数学竞赛训练试题集03

初一奥林匹克数学比赛训练试题集（03）一、选择题（共8小题，每题4分，满分32分）1．（4分）假如四个数之和的是8，此中三个数分别是﹣6，11，12，则第四个数是（）A．16B．15C．14D．132．（4分）如有理数a、b同时知足（1）ab＜0，（2）a（b+1）＞0，那么b的范围是（）A．0＜b＜﹣1B．﹣1＜b＜0C．b＜﹣1D．b＜13．（4分）如有理数x，y知足2xy）2（x﹣1）+|x﹣2y+1|＝0，则（xy）＝（A．1B．4C．9D．1619921992的个位数字是（）4．（4分）2+3A．3B．5C．7D．95．（4分）若，那么的值是（）A．3B．2C．1D．06．（4分）在自然数1，2，3，4，中，前15个质数之和的负倒数等于（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣7．（4分）有理数a，b，c在数轴上的地点如图，则化简|a+c|+|b+c|+|c﹣1|+|a﹣2c|﹣|b﹣c|的结果是（）A．2a﹣cB．1C．﹣1D．c﹣2a+18．（4分）有理数x1，x2，x3，x4，此中任一个都恰等于其他三个的代数和，则（）．x1+x2+x3+x4＝0，但最少x4≠0．x1＝x2＝x3＝x4＝01，x2，x3，x4，中两个为0，另两个非0C．xD．不存在这样的有理数二、填空题（共8小题，每题5分，满分40分）44．9．（5分）若x﹣y＝2，xy＝48，则x+y＝10．（5分）杯中水重m克，第一天蒸发掉10%，次日又连续蒸发掉杯中水的10%，为了保持本来水重，此时工作人员又增添15克水，则这杯中本来有水重m＝克．第1页（共11页）222222222．11．（5分）自然数x，y，z适合x+12＝y，x+40＝z，则x+y﹣z＝12．（5分）若对于x的一元一次方程（k﹣1）x＝4，有一个比2小的根，则k的取值范围是．13．（5分）因式分解（44．x+1）+（x+3）﹣272＝14．（5分）规定a*b＝，那么8*（2*4）＝．15．（5分）＝．16．（5分）若（b+c）（c+a）（a+b）+abc有因式222）+l（ab+ab+bc），则m＝，m（a+b+cl＝．三、解答题（共3小题，满分48分）17．（16分）设a1，a2，an，是n个随意给定的．求证：必然能够找到紧连在一同的若干个数，使得它们的和能被n整除．12389除以2的余数是几？18．（16分）1+2+3++8+919．（16分）求证：（b+c﹣2a）3+（c+a﹣2b）3+（a+b﹣2c）3＝3（b+c﹣2a）（c+a﹣2b）（a+b2c）．第2页（共11页）初一奥林匹克数学比赛训练试题集（03）参照答案与试题分析一、选择题（共8小题，每题4分，满分32分）1．（4分）假如四个数之和的是8，此中三个数分别是﹣6，11，12，则第四个数是（）A．16B．15C．14D．13【分析】能够设第四个数为x，依照题意可列出一个对于x的方程，求方程的解即可．【解答】解：设第四个数是x，依照题意得：（﹣6+11+12+x）＝8，解得：x＝15．应选：B．【谈论】本题察看了一元一次方程的应用，解题重点是要读懂题目的意思，依照题目给出的条件，找出适合的等量关系，列出方程．2．（4分）如有理数a、b同时知足（1）ab＜0，（2）a（b+1）＞0，那么b的范围是（）A．0＜b＜﹣1B．﹣1＜b＜0C．b＜﹣1D．b＜1【分析】由（1）得a，b异号，分两种状况，或，由（2）得a，b+1同号，又分两种状况，或，求出解集即可．【解答】解：∵ab＜0∴有或，又∵a（b+1）＞0，∴或，综上，有a＞0且﹣1＜b＜0，应选：B．【谈论】本题察看了有理数的乘法法例：同号两数相乘得正，异号两数相乘得负；以及一元一次不等式的解法．3．（4分）如有理数2xy）x，y知足2（x﹣1）+|x﹣2y+1|＝0，则（xy）＝（A．1B．4C．9D．16【分析】依照非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可．第3页（共11页）【解答】解：由题意得：，解得：，∴（xy）xy＝1．应选：A．【谈论】本题察看了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．19921992的个位数字是（）4．（4分）2+3A．3B．5C．7D．9【分析】分别找出21992和31992的个位数字，此后个位数字相加所得个位数字就是19921992的个位数字．2+3【解答】解：∵21992与24末位数字同样，为6，1992的末位数字与34的末位数字同样，为1，3∴219921992的个位数字为7．+3应选：C．【谈论】经过察看，分析、概括并发现此中的规律，并应用发现的规律解决问题是应当具备的基本能力．5．（4分）若，那么的值是（）A．3B．2C．1D．0【分析】先将通分，此后可获得一个关系式，进而再将原式变形即可得出答案．【解答】解：∵，∴＝﹣5，即可得：2x2+3y2＝﹣5xy，又＝+＝2+，∴＝2﹣2＝0．第4页（共11页）应选：D．【谈论】本题察看分式的化简求值，难度不大，注意将原分式变形是重点．6．（4分）在自然数1，2，3，4，中，前15个质数之和的负倒数等于（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣【分析】先依照质数的定义列举出在自然数1，2，3，4，中，前15个质数，再求出个质数的和，再依照负倒数的定义解答即可．【解答】解：∵前15个质数是2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，∴这15各数的总和为2+3+5+7+11+13+17+19+23+29+31+37+41+43+47＝328，∴其负倒数为﹣．应选：A．【谈论】本题察看的是质数与合数的定义及倒数的见解，熟知质数的定义是解答本题的重点．7．（4分）有理数a，b，c在数轴上的地点如图，则化简|a+c|+|b+c|+|c﹣1|+|a﹣2c|﹣|b﹣c|的结果是（）A．2a﹣cB．1C．﹣1D．c﹣2a+1【分析】依照题目中给出的数轴上的数即可获得a，b，c之间的大小关系，再利用有理数的运算法例进行判断．【解答】解：由图可知：|a+c|＝a+c，|b+c|＝﹣b﹣c，|c﹣1|＝1﹣c，|a﹣2c|＝2c﹣a，|bc|＝c﹣b，∴原式＝（a+c）+（﹣b+c）+（1﹣c）+（2c﹣a）﹣（c﹣b）＝1．应选：B．【谈论】本题主要察看了数轴．因为引进了数轴，我们把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”联合起来，两者相互增补，相辅相成，把好多复杂的问题转变为简单的问题，在学习中要注意培育数形联合的数学思想．8．（4分）有理数x1，x2，x3，x4，此中任一个都恰等于其他三个的代数和，则（）A．x1+x2+x3+x4＝0，但最少x4≠0B．x1＝x2＝x3＝x4＝0第5页（共11页）C．x1，x2，x3，x4，中两个为0，另两个非0．不存在这样的有理数【分析】由题意可得x1＝x2+x3+x4，x2＝x1+x3+x4，x3＝x1+x2+x4，x4＝x1+x2+x3，将上式整理得x1+x2+x3+x4＝0，进而得出结论．【解答】解：由题意，x1＝x2+x3+x4，x2＝x1+x3+x4，x3＝x1+x2+x4，x4＝x1+x2+x3，以上各式相加得x1+x2+x3+x4＝3（x1+x2+x3+x4）x1+x2+x3+x4＝0，分别减去上述四式得x1＝x2＝x3＝x4＝0．应选：B．【谈论】本题察看了有理数的加法，本题较复杂，要从多方面考虑．二、填空题（共8小题，每题5分，满分40分）44＝5392．9．（5分）若x﹣y＝2，xy＝48，则x+y【分析】依照x﹣y＝2，xy＝48，利用完满平方公式求出出答案．【解答】解：∵x﹣y＝222，∴x+y﹣2xy＝4，22∴x+y＝4+2xy＝4+96＝100，2224422又∵（x+y）＝x+y+2xy，4422222＝5392．∴x+y＝（x+y）﹣2xy

2+y，此后再将其平方即可得故答案为：5392．【谈论】本题察看了完满平方公式及代数式的求值，属于基础题，重点是灵巧运用完满平方公式进行解题．10．（5分）杯中水重m克，第一天蒸发掉10%，次日又连续蒸发掉杯中水的10%，为了保持本来水重，此时工作人员又增添15克水，则这杯中本来有水重m＝克．【分析】依照第一天蒸发掉10%，则蒸发掉0.1m克水，节余水m（1﹣10%）＝0.9m克，次日又连续蒸发掉杯中水的10%，即蒸发掉0.9m×10%＝0.09m；依照为了保持本来水重又增添15克水即可得等量关系前两天蒸发掉的水＝15克，据此列出方程求解即可．【解答】解：依题意，第一天蒸发掉0.1m克水，节余0.9m克．次日蒸发了0.9m×10%0.09m克水，第6页（共11页）因此0.1m+0.09m＝15，0.19m＝15，解得m＝．故答案为：．【谈论】本题察看了一元一次方程的应用，解题重点是要读懂题目的意思，依照题目给出的条件，找出适合的等量关系，列出方程．22222222211．（5分）自然数x，y，z适合x+12＝y，x+40＝z，则x+y﹣z＝【分析】把所给的两个方程进行因式分解，判断可能的自然数解，找到符合解，代入求值即可．【解答】解：由∵x2+122＝y2，∴（y+x）（y﹣x）＝144，∴；；；；

1375．个方程的解得；；；x2+402＝z2，∴（z+x）（z﹣x）＝1600；∴；；；；；解得；；；；∴同时知足的自然数x，y，z的只有x＝9，y＝15，z＝41、222则x+y﹣z＝﹣1375．故答案为﹣1375．【谈论】察看二次方程的自然数解；把所给方程进行因式分解，获得未知数的可能值是解决本题的打破点．12．（5分）若对于x的一元一次方程（k﹣1）x＝4，有一个比2小的根，则k的取值范围是k＜1或k＞3．【分析】本题第一要解这个对于x的方程，求出方程的解，依照有一个比2小的根，可以获得一个对于k的不等式，就能够求出k的范围．第7页（共11页）【解答】解：（k﹣1）x＝4，x＝．∵（k﹣1）x＝4有一个比2小的根，∴x＝＜2．1）若k﹣1＜0，即k＜1时，有4＞2（k﹣1），解得k＜3，则k的取值范围是k＜1；2）若k﹣1＞0，即k＞1时，有4＜2（k﹣1），解得k＞3，则k的取值范围是k＞3；3）若k﹣1＝0，即k＝1时，原方程无解．k的取值范围是k＜1或k＞3．故答案为：k＜1或k＞3．【谈论】本题综合察看了一元一次方程与解不等式．解对于k的不等式是本题的一个难点．442）（x+5）（x﹣1）．13．（5分）因式分解（x+1）+（x+3）﹣272＝2（x+4x+19【分析】第一利用换元，令x+2＝t，此后依照十字相乘法进行因式分解，最后再将x+2＝t代入进行复原，得出结果．【解答】解：令x+2＝t，44∴原式＝（t﹣1）+（t+1）﹣272，42＝2（t+6t﹣135），22＝2（t+15）（t﹣9），2＝2（t+15）（t+3）（t﹣3），再将x+2＝t代入即为：原式＝2[（x+2）2+15]（x+2+3）（x+2﹣3），＝2（x2+4x+19）（x+5）（x﹣1）．2故答案为：2（x+4x+19）（x+5）（x﹣1）．【谈论】本题综合察看了十字相乘法和换元法，做这种题必然要记得复原回去，不可以够得2出的结果为2（t+15）（t+3）（t﹣3）．14．（5分）规定a*b＝，那么8*（2*4）＝3．【分析】仔细读题，总结出新运算的规则，再按新规则解答．【解答】解：8*（2*4）＝8*（）＝8*＝．【谈论】本题是定义新运算题型．读懂新运算规则，是重点．第8页（共11页）15．（5分）＝．【分析】本题可对题中式子进行变形，除第一项外，各项分子，分母均乘以不同样的数，此后进行化简即可．【解答】解：本题对式子进行分析，通项为，可变形为，则原式＝??＝故答案为：【谈论】本题察看有理数的混淆运算，对各项进行变形，计算起来就较为简单．2220，16．（5分）若（b+c）（c+a）（a+b）+abc有因式m（a+b+c）+l（ab+ab+bc），则m＝l＝a+b+c．【分析】先运用多项式的乘法法例张开，再将多项式进行因式分解，222）此后与m（a+b+c+l（ab+ac+bc）比较，即可求出m与l的值．【解答】解：∵（b+c）（c+a）（a+b）+abc＝（bc+ab+c2+ac）（a+b）+abc222222＝abc+bc+ab+ab+ac+bc+ac+abc+abc＝（a+b+c）（ab+ac+bc）．222）+l（ab+ac+bc），又∵（b+c）（c+a）（a+b）+abc有因式m（a+b+cm＝0，l＝a+b+c．故答案为0，a+b+c．【谈论】本题主要察看了多项式的因式分解及整式乘法的知识，有必然难度．三、解答题（共3小题，满分48分）17．（16分）设a1，a2，an，是n个随意给定的．求证：必然能够找到紧连在一同的若干个数，使得它们的和能被n整除．【分析】第一结构n个抽屉，被n除后余数能够为0、1、2、3、（n﹣1），余数为0的符合题意，假如余数都不为0，则此中有两个余数同样，进一步作差问题得证．【解答】证明：依照题意结构抽屉{a1}，{a1+a2}，{a1+a2++an}；第9页（共11页）若此中某个被n整除，则问题得解；不然它们被n除得的余数是1，2，n﹣1共n﹣1个抽屉，而{a1}，{a1+a2}，{a1+a2++an}共n个数放入n﹣1个抽屉，因此必有2个数在同一抽屉，则设其为a1+a2++ai与a1+a2++aj，∴（a1+a2++ai）﹣（a1+a2++aj）＝aj+1+ai能被n整除，∴即可找到紧连在一同的若干个数，其和被n整除．【谈论】本题重点是结构出抽屉，利用有余数的除法进行商讨数的整除