晶格动力学讲稿课件

第四部分晶格动力学前一章我们假定离子实处于平衡位置静止不动,然后讨论电子的运动。实际上,晶体中原子并非静止不动的,离子实围绕其平衡位置作微振动,其平衡位置就是其晶格格点。这种晶格振动是电子所受散射的主要来源。在这部分将主要介绍晶格动力学的基本理论和方法。在晶体的薛定谔方程里,得到离子实满足的薛定谔方程HxU21求解离子实的薛定谔方程的困难和在能带理论中碰到的相同来源于离子是间的相互作用,成为多体问题。第四部分晶格动力学1利用离子实对平衡位置偏离微小这一事实,将离子实间的相互作用能对这种偏离作级数展开首先,只保留第一个非零项(2次项),这种做法叫简谐近似。我们先从简谐近似讨论晶体的经典运动。建立离子实满足的方程,得到晶格振动“简谐模”的能量和频率然后讨论简谐晶体的量子力学处理。引进简正坐标将多体问题简化为单体问题,因此引入声子概念简谐晶体的经典运动晶体中原子的周期排列,其结构用布拉菲格子来描述,在这里采用以下物理图象1)假定晶体中离子实仍用布拉菲格矢标记,但将理解为离子实平均的平衡位置。因为尽管离子实不再静止,但对晶体结构的实验观察表明,布拉菲格子依然存在。(2)离子实围绕其平衡位置作小的振动,其瞬时位置对平衡位置的偏离远小于间距利用离子实对平衡位置偏离微小这一事实,将离子实2简谐近似假定晶体中离子实或原子任意时刻的位置为Rn=Rn+un、()(1)其中ln()是偏离平衡位置的位移矢量,对N的原子位移矢量有3N个分量,N个原子体系的势能函数在平衡位置附近展成泰勒级数a-VV+∑lll:2+……(ouou如果只保留第一个非零项,即位移的2次项L(3)V2=Ouu这种近似称为简谐近似。简谐近似32一维单原子晶格的振动运动方程及其解每个原子的质量为m晶格间距an-2n-1n+1原胞原子数N总长L=Na格矢R.=na偏离格点的位移用u_InatMmal'u假设:原子限制在沿链的方向运动,只有近邻的原子存在作用设在平衡位置时,两个原子的相互作用势能为a),令=n+1-=n(相对位移)2一维单原子晶格的振动4产生相对位移后,相对作用势变为v(a+6)v(a+δ)=(a)+B682+(4)在简谐近似下,相邻原子间的作用力为Fd6=05)为弹性系数)考察第N个原子的运动情况。左方第(n1)原子与它的相对位移=/n-n1,作用力为Bl右方第(n1)个原子对它的相对位移δ=4n1-n作用力为根据牛顿定理,得到第n个原子的运动方程为mu,=B(um4-u)-B(u-u,)=B(um4+4r-1-2u,)(6)产生相对位移后,相对作用势变为v(a+6)5每个原子对应一个(6)样的方程,若原子链有N个原子则有N个方程。(6)式实际上代表N个联立的线性方程。该方程的解为振幅为A,频率为ω的简谐振动A式中qna表示第n个原子振动的位相因子每一个原子都绕共同的平衡位置作简谐振动,振动振幅和振动频率相同。但从整体上看,每个原子的振动位相各不相同相邻的原子为相差为qa,因此(7)式代表了一种全部原子都以同一频率,同一振幅。相邻原子的振动位相差均为qa的集体振动模式——格波。因为是简谐近似,所以也称维简谐格波格波是晶体中全体原子都参与的一种简单的集体振动模式格波—晶格振动的简正模。每个原子对应一个(6)样的方程,若原子链有N个原子6(2)q的取值范围当位相因子之差改变2z的整数倍时,当na-m=2s时(s为整数)n=Anol=Aemo=pn所有原子的振动都完全相同,即当第n个原子和第n个原子的距离为(na-ma)为2的整数倍时,原子因振动产生的位移相等。因此,将q限制在一z<q≤兀范围内,或(3)色散关系把(7)式代入(6)式可得,对给定的q相应的频率为2B(1-cosqa)(2)q的取值范围7o(q)B(1-cosqa=g(9)把O-q的关系称为格波的色散关系。也称晶格振动频谱当q=±时4B)2最大值高于该频率的格波不能在晶体中传播因此an称为截止频率。由(9)是也可看出,因为(9)式中未出现标志原子的变量n这说明格波满足的运动方程的所有原子都的参与一种集体振动模式o(q)8(4)O的周期性由(9)式可知:O是q的周期函数,周期为2ag+77(m是整数)(10)即q与q+G实际上表示的同一格波的格矢,o()有倒格子的周期性。这也是将q限制在≤q≤范围的原因,保证a(单值性Aellqna-ari(2mmn由(9)式还可看出o()具有反演对称性,O是q的偶函数(11)(4)O的周期性9若q为正,表示沿某方向前进的格波。若q为负,表示沿反方向传播的格波格波的相速度:SIn(12)格波的群速度:V=docOS(13)都是q的函数,表明格波具有色散性质,而弹性波的波速只与介质的性质有关而与波矢是无关5)长波近似—极限情况下的波动性质当a<<时,即→>∞的情况下,则4x>0即当q很小时,sina≈。若q为正,表示沿某方向前进的格波。10晶格动力学讲稿课件11晶格动力学讲稿课件12晶格动力学讲稿课件13晶格动力学讲稿课件14晶格动力学讲稿课件15晶格动力学讲稿课件16晶格动力学讲稿课件17晶格动力学讲稿课件18晶格动力学讲稿课件19晶格动力学讲稿课件20晶格动力学讲稿课件21晶格动力学讲稿课件22晶格动力学讲稿课件23晶格动力学讲稿课件24晶格动力学讲稿课件25晶格动力学讲稿课件26晶格动力学讲稿课件27晶格动力学讲稿课件28晶格动力学讲稿课件29晶格动力学讲稿课件30晶格动力学讲稿课件31晶格动力学讲稿课件32晶格动力学讲稿课件33晶格动力学讲稿课件34晶格动力学讲稿课件35晶格动力学讲稿课件36晶格动力学讲稿课件37晶格动力学讲稿课件38晶格动力学讲稿课件39晶格动力学讲稿课件40晶格动力学讲稿课件41晶格动力学讲稿课件42晶格动力学讲稿课件43晶格动力学讲稿课件44晶格动力学讲稿课件45晶格动力学讲稿课件46晶格动力学讲稿课件47晶格动力学讲稿课件48晶格动力学讲稿课件49晶格动力学讲稿课件50晶格动力学讲稿课件51晶格动力学讲稿课件52晶格动力学讲稿课件53晶格动力学讲稿课件54晶格动力学讲稿课件55晶格动力学讲稿课件56晶格动力学讲稿课件57晶格动力学讲稿课件58晶格动力学讲稿课件59晶格动力学讲稿课件60晶格动力学讲稿课件61晶格动力学讲稿课件62晶格动力学讲稿课件63晶格动力学讲稿课件64晶格动力学讲稿课件65晶格动力学讲稿课件66晶格动力学讲稿课件67晶格动力学讲稿课件68晶格动力学讲稿课件69第四部分晶格动力学前一章我们假定离子实处于平衡位置静止不动,然后讨论电子的运动。实际上,晶体中原子并非静止不动的,离子实围绕其平衡位置作微振动,其平衡位置就是其晶格格点。这种晶格振动是电子所受散射的主要来源。在这部分将主要介绍晶格动力学的基本理论和方法。在晶体的薛定谔方程里,得到离子实满足的薛定谔方程HxU21求解离子实的薛定谔方程的困难和在能带理论中碰到的相同来源于离子是间的相互作用,成为多体问题。第四部分晶格动力学70利用离子实对平衡位置偏离微小这一事实,将离子实间的相互作用能对这种偏离作级数展开首先,只保留第一个非零项(2次项),这种做法叫简谐近似。我们先从简谐近似讨论晶体的经典运动。建立离子实满足的方程,得到晶格振动“简谐模”的能量和频率然后讨论简谐晶体的量子力学处理。引进简正坐标将多体问题简化为单体问题,因此引入声子概念简谐晶体的经典运动晶体中原子的周期排列,其结构用布拉菲格子来描述,在这里采用以下物理图象1)假定晶体中离子实仍用布拉菲格矢标记,但将理解为离子实平均的平衡位置。因为尽管离子实不再静止,但对晶体结构的实验观察表明,布拉菲格子依然存在。(2)离子实围绕其平衡位置作小的振动,其瞬时位置对平衡位置的偏离远小于间距利用离子实对平衡位置偏离微小这一事实,将离子实71简谐近似假定晶体中离子实或原子任意时刻的位置为Rn=Rn+un、()(1)其中ln()是偏离平衡位置的位移矢量,对N的原子位移矢量有3N个分量,N个原子体系的势能函数在平衡位置附近展成泰勒级数a-VV+∑lll:2+……(ouou如果只保留第一个非零项,即位移的2次项L(3)V2=Ouu这种近似称为简谐近似。简谐近似722一维单原子晶格的振动运动方程及其解每个原子的质量为m晶格间距an-2n-1n+1原胞原子数N总长L=Na格矢R.=na偏离格点的位移用u_InatMmal'u假设:原子限制在沿链的方向运动,只有近邻的原子存在作用设在平衡位置时,两个原子的相互作用势能为a),令=n+1-=n(相对位移)2一维单原子晶格的振动73产生相对位移后,相对作用势变为v(a+6)v(a+δ)=(a)+B682+(4)在简谐近似下,相邻原子间的作用力为Fd6=05)为弹性系数)考察第N个原子的运动情况。左方第(n1)原子与它的相对位移=/n-n1,作用力为Bl右方第(n1)个原子对它的相对位移δ=4n1-n作用力为根据牛顿定理,得到第n个原子的运动方程为mu,=B(um4-u)-B(u-u,)=B(um4+4r-1-2u,)(6)产生相对位移后,相对作用势变为v(a+6)74每个原子对应一个(6)样的方程,若原子链有N个原子则有N个方程。(6)式实际上代表N个联立的线性方程。该方程的解为振幅为A,频率为ω的简谐振动A式中qna表示第n个原子振动的位相因子每一个原子都绕共同的平衡位置作简谐振动,振动振幅和振动频率相同。但从整体上看,每个原子的振动位相各不相同相邻的原子为相差为qa,因此(7)式代表了一种全部原子都以同一频率,同一振幅。相邻原子的振动位相差均为qa的集体振动模式——格波。因为是简谐近似,所以也称维简谐格波格波是晶体中全体原子都参与的一种简单的集体振动模式格波—晶格振动的简正模。每个原子对应一个(6)样的方程,若原子链有N个原子75(2)q的取值范围当位相因子之差改变2z的整数倍时,当na-m=2s时(s为整数)n=Anol=Aemo=pn所有原子的振动都完全相同,即当第n个原子和第n个原子的距离为(na-ma)为2的整数倍时,原子因振动产生的位移相等。因此,将q限制在一z<q≤兀范围内,或(3)色散关系把(7)式代入(6)式可得,对给定的q相应的频率为2B(1-cosqa)(2)q的取值范围76o(q)B(1-cosqa=g(9)把O-q的关系称为格波的色散关系。也称晶格振动频谱当q=±时4B)2最大值高于该频率的格波不能在晶体中传播因此an称为截止频率。由(9)是也可看出,因为(9)式中未出现标志原子的变量n这说明格波满足的运动方程的所有原子都的参与一种集体振动模式o(q)77(4)O的周期性由(9)式可知:O是q的周期函数,周期为2ag+77(m是整数)(10)即q与q+G实际上表示的同一格波的格矢,o()有倒格子的周期性。这也是将q限制在≤q≤范围的原因,保证a(单值性Aellqna-ari(2mmn由(9)式还可看出o()具有反演对称性,O是q的偶函数(11)(4)O的周期性78若q为正,表示沿某方向前进的格波。若q为负,表示沿反方向传播的格波格波的相速度:SIn(12)格波的群速度:V=docOS(13)都是q的函数,表明格波具有色散性质,而弹性波的波速只与介质的性质有关而与波矢是无关5)长波近似—极限情况下的波动性质当a<<时,即→>∞的情况下,则4x>0即当q很小时,sina≈。若q为正,表示沿某方向前进的格波。79晶格动力学讲稿课件80晶格动力学讲稿课件81晶格动力学讲稿课件82晶格动力学讲稿课件83晶格动力学讲稿课件84晶格动力学讲稿课件85晶格动力学讲稿课件86晶格动力学讲稿课件87晶格动力学讲稿课件88晶格动力学讲稿课件89晶格动力学讲稿课件90晶格动力学讲稿课件91晶格动力学讲稿课件92晶格动力学讲稿课件93晶格动力学讲稿课件94晶格动力学讲稿课件95晶格动力学讲稿课件96晶格动力学讲稿课件97晶格动力学讲稿课件98晶格动力学讲稿课件99晶格动力学讲稿课件100晶格动力学讲稿课件101晶格动力学讲稿课件102晶格动力学讲稿课件103晶格动力学讲稿课件104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