机械工程控制基础课件第4章：频率特性分析

第四章

频率特性分析第四章

频率特性分析机械工程控制基础课件第4章：频率特性分析机械工程控制基础课件第4章：频率特性分析4.1频率特性概述4.2频率特性的图示方法4.3闭环频率特性（自学）4.4频率特性的特征量4.5最小相位系统与非最小相位系统4.6利用MATLAB对系统进行频率特性分析4.1频率特性概述

时域分析的缺陷高阶系统的分析难以进行；难以研究系统参数和结构变化对系统性能的影响；当系统某些元件的传递函数难以列写时，整个系统的分析工作将无法进行。时域分析的缺陷高阶系统的分析难以进行；频域分析：频率特性分析法是经典控制理论中常用的分析与研究系统特性的方法。频域分析的目的：以输入信号的频率为变量，在频率域，研究系统的结构参数与性能的关系。频率特性包括幅频特性和相频特性，它在频率域里全面地描述了系统输入和输出之间的关系即系统的特性。频率特性在有些书中又称为频率响应。本书中频率响应是指系统对正弦输入的稳态输出。通过本章的学习将会看到，频率特性和频率响应是两个联系密切但又有区别的概念。频域分析：频率特性分析方法具有如下特点：这种方法可以通过分析系统对不同频率的稳态响应来获得系统的动态特性。频率特性有明确的物理意义，可以用实验的方法获得。这对那些不能或难于用分析方法建立数学模型的系统或环节，具有非常重要的意义。不需要解闭环特征方程。由开环频率特性即可研究闭环系统的瞬态响应、稳态误差和稳定性。频率特性分析方法具有如下特点：优点：无需求解微分方程，图解(频率特性图)法间接揭示系统性能并指明改进性能的方向易于实验分析可推广应用于某些非线性系统（如含有延迟环节的系统）；可方便设计出能有效抑制噪声的系统。优点：无需求解微分方程，图解(频率特性图)法间接揭示系统性能4.1频率特性概述解：例：求系统的传递函数为当输入信号为xi(t)=Asint时，系统的稳态响应。4.1频率特性概述解：例：求系统的传递函数为当输入由Laplace反变换得：系统的稳态输出为由Laplace反变换得：系统的稳态输出为幅值是频率的函数相位是频率的函数输出频率不变系统xi(t)x0(t)Asint稳态输出信号幅值是频率的函数系统xi(t)x0(t)Asint稳态输出2、频率特性

线性系统在谐波信号输入时，其稳态输出随频率变化的特性，称为该系统的频率特性.注意：频率特性是系统在频域的数学模型幅频特性A()相频特性φ()包括=输出相位-输入相位=φ()2、频率特性线性系统在谐波信号输入二、频率特性的求法1、利用系统的频率响应来求xo(t)(稳态响应)频率响应Xo(s)=Xi(s)G(s)Laplace变换xo(t)=limxo(t)t→∞二、频率特性的求法1、利用系统的频率响应来求xo(t)(稳态2、用传函G(s)的s换为j来求复数表示法：（1）代数表示法：a+jb（2）指数表示法：|A|ej（3）极坐标表示法：|A|∠φImReabA--------幅值-------相位2、用传函G(s)的s换为j来求复数表示法：（2）指数表复数的运算法则：已知复数：

A=a+jb=A1∠

1

B=c+jd=B1∠

21）两复数相加：实部相加，虚部相加

A+B=(a+c)+j(b+d)2）两复数相减：实部相减，虚部相减

A-B=(a-b)+j(b-d)复数的运算法则：已知复数：3）两复数相乘：幅值相乘，相位相加

A×B=(A1×B1)∠1+

24）两复数相除：幅值相除，相位相减3）两复数相乘：幅值相乘，相位相加A×B=(A相频特性：()=-arctanT例求惯性环节的频率特性相频特性：()=-arctanT例求惯性环节例求闭环传函为的频率特性例求闭环传函为机械工程控制基础课件第4章：频率特性分析机械工程控制基础课件第4章：频率特性分析3、实验方法求频率特性进而求G(s)

(当传函未知时采用)正弦发生器被测系统改变频率图形显示器3、实验方法求频率特性进而求G(s)

(当传函未知系统s传递函数j频率特性ddtsddtjsj微分方程系统s传递函数j频率特性ddtsddtjsj微分方程几点说明

频率特性是传递函数的特例，是定义在复平面虚轴上的传递函数，因此频率特性与系统的微分方程、传递函数一样反映了系统的固有特性。尽管频率特性是一种稳态响应，但系统的频率特性与传递函数一样包含了系统或元部件的全部动态结构参数，因此，系统动态过程的规律性也全寓于其中。几点说明频率特性是传递函数的特例，是定义在复平面应用频率特性分析系统性能的基本思路：

实际施加于控制系统的周期或非周期信号都可表示成由许多谐波分量组成的傅立叶级数或用傅立叶积分表示的连续频谱函数，因此根据控制系统对于正弦谐波函数这类典型信号的响应可以推算出它在任意周期信号或非周期信号作用下的运动情况。应用频率特性分析系统性能的基本思路：实际施加于控三、频率特性的特点和作用1、对频率特性的分析就是对单位脉冲响应函数的频谱分析三、频率特性的特点和作用1、对频率特性的分析就是对单位脉冲响2、通过分析不同的谐波输入，以获得系统

的动态特性3、可方便的分析系统的结构及参数的变化对系统性能的影响4、可方便分析高阶系统的性能5、可设计出合适的通频带，以控制系统噪音的影响2、通过分析不同的谐波输入，以获得系统

的动态特性3、4.2频率特性的图示方法

一、频率特性的极坐标图1、定义其中，P()、Q()分别称为系统的实频特性和虚频特性。显然：4.2频率特性的图示方法一、频率特性的极坐标图其

以频率特性|G(j)|G

(j)作为一矢量，当由0变化到时，矢量的端点在复平面上形成的轨迹称为Nyquist图。ReImA()()相角()的符号规定逆时针方向旋转为正。以频率特性|G(j)|G(j)作为一2、典型环节的Nyquist图（1）比例环节传递函数： G(s)=K频率特性： G(j)=K=Kej0=K∠0幅频特性： A()=K相频特性： ()=0实频特性： P()=K虚频特性： Q()=02、典型环节的Nyquist图（1）比例环节比例环节Nyquist图（K,j0）ImRe比例环节Nyquist图（K,j0）ImRe（2）积分环节传递函数：

频率特性： 幅频特性： 相频特性：()=-90°虚频特性： 实频特性： （2）积分环节传递函数： 频率特性： 幅频特性： 相积分环节Nyquist图ImRe积分环节具有恒定的相位滞后。积分环节Nyquist图ImRe积分环节具有恒定的相位（3）微分环节传递函数：

频率特性： 实频特性： 虚频特性： 幅频特性： 相频特性：()=90°（3）微分环节传递函数： 频率特性： 实频特性： 虚微分环节Nyquist图9000ImRe微分环节具有恒定的相位超前。微分环节Nyquist图9000ImRe微分环节具有恒（4）惯性环节传递函数：

频率特性： 相频特性：()=-arctgT幅频特性： 实频特性： 虚频特性： （4）惯性环节传递函数： 频率特性： 相频特性：(注意到：即惯性环节的奈氏图为圆心在(1/2,0)处，半径为1/2的一个圆。0ReIm注意到：即惯性环节的奈氏图为圆心在(1/2,0)处，半径为（5）一阶微分环节传递函数：

频率特性： 幅频特性： 相频特性：()=arctan（5）一阶微分环节传递函数： 频率特性： 幅频特性： 无论为何值实频特性：Re()=1相频特性：()=arctan0ReIm=0=arctan1无论为何值实频特性：Re()=10ReIm=0=（6）振荡环节传递函数：

（6）振荡环节传递函数： 幅频特性： 相频特性： 幅频特性： 相频特性： 实频特性： 虚频特性： 实频特性： 虚频特性： 振荡环节的Nyquist图

=0时

=n时

=时振荡环节的Nyquist图=0时=n时二阶系统的Nyquist图=0==0.1=0.2=0.5=1=0.7ReIm-3-2-10123-6-5-4-3-2-10=0.3=n二阶系统的Nyquist图=0==0.1=0.谐振现象00.20.40.60.811.21.41.61.8201234

=0.05

=0.15

=0.20

=0.25

=0.30

=0.40

=0.50

=0.707

=1.00/nA()谐振现象00.20.40.60.811.21.41.61.8由振荡环节的幅频特性曲线可见，当

较小时，在

=n附近，A()出现峰值，即发生谐振。谐振峰值Mr对应的频率r称为谐振频率。由于：由振荡环节的幅频特性曲线可见，当较小时，在=n附由此可求出：显然r应大于0，由此可得振荡环节出现谐振的条件为：由此可求出：显然r应大于0，由此可得振荡环节出现谐振的条谐振峰值：00.10.20.30.40.50.60.70.80.910123456789100102030405060708090100MrMp(％)MrMp谐振峰值：00.10.20.30.40.50.60.70.8（7）二阶微分环节的Nyquist图当

=0时当

=1/时

当

=时（7）二阶微分环节的Nyquist图当=0时当=二阶微分环节Nyquist图G(j)=010=ReIm

=1/2，二阶微分环节Nyquist图G(j)=010=（8）延时环节传递函数：

频率特性： 幅频特性： 相频特性： （8）延时环节传递函数： 频率特性： 幅频特性： 相延时环节Nyquist图01=0ReIm延时环节Nyquist图01=0ReIm3、Nyquist图的一般形状（1）

Nyquist图的绘制步骤1）求出系统对应的频率特性3、Nyquist图的一般形状（1）Nyquist图的绘制2）分别求=0和=时的幅值和相位|G(j0)|=0.5∠G(j0)=0|G(j)|=0∠G(j)=-180o2）分别求=0和=时的幅值和相位|G(j0)|=03）当曲线跨象限时，求曲线和实轴或虚轴的交点；当曲线不跨象限时，求起始点的渐进线0(0.5,j0)ImRe3）当曲线跨象限时，求曲线和实轴或虚轴的交点；当曲线不跨象限机械工程控制基础课件第4章：频率特性分析4）勾画大致曲线0(0,-j0.288)(0.5,j0)ImRe4）勾画大致曲线0(0,-j0.288)(0.5,例：解：系统的频率特性为：则有：|G(j0)|=∞∠G(j0)=-900|G(j)|=0∠G(j)=-180o例：解：系统的频率特性为：则有：|G(j0)|=∞确定渐近线：当=0时：实频特性：u()=-KT虚频特性：v()=-ReIm0(-KT,j0)确定渐近线：当=0时：ReIm0(-KT,j0)（2）Nyquist图的一般形状1）一般形状0型系统：G(j0)=K∠0I型系统：G(j0)=∞∠-90oII型系统：G(j0)=∞∠-180o（2）Nyquist图的一般形状1）一般形状0型系统：G(jb.当=∞时由于系统的分母的阶次n>分子的阶次m

G(j∞)=0∠(n-m)×(-90o)b.当=∞时由于系统的分母的阶次n>分子的阶次m系统类型起点（=0)终点(=∞)0正实轴上一个有限值按顺时针方向越过若干象限与坐标轴相切而趋于原点I曲线渐进于与负虚轴平行的直线II第二象限的无穷大0型I型ImReII型系统类型起点（=0)终点(=∞)0正实轴上一个有限值按顺2）当系统含有一阶微分环节（导前环节）时，

Nyquist曲线将发生“弯曲”G(j0)=∞∠-90oG(j∞)=0∠-90oReIm=0=∞2）当系统含有一阶微分环节（导前环节）时，

Ny二、频率特性的对数坐标图(Bode图）1、组成1）由幅频对数坐标图和相频对数坐标图组成φ()L()二、频率特性的对数坐标图(Bode图）1、组成φ()L(1234lgL()2）坐标分度横坐标：按lg进行分度，但标注真值1010010001000010倍频dec123纵坐标幅频：按20lg|G(j)|dB分度相频：按真实角度线性分度10100100010000101001000100002040L()dB904500φ()纵坐标幅频：按20lg|G(j)|dB分度10采用Bode图表示频率特性的优点：可以将串联环节幅值的乘、除，化为幅值的加、减，简化了计算与作图过程；可以用近似方法作图，方便了作图；可分别作出各个环节的Bode图，然后用叠加方法得出系统的Bode图，并由此看出各环节对系统总特性的影响；对于横坐标采用对数分度，所以能把较宽频率范围的图形紧凑地表示出来。采用Bode图表示频率特性的优点：可以将串联环节幅值的乘、除2、典型环节的Bode图（1）比例环节

G(jω)=K∠0L(ω)=20lgA(ω)=20lgKL()(20lgK2、典型环节的Bode图（1）比例环节L()(2=01=-20dB10=-40dB100(-90110100L()20-20-20dB/decL()=-20lg（2）积分环节=01=-20dL()204011023.5-20dB/dec当=1时，L()=20lgK(-90L()2040110（3）微分环节G(s)=s与积分环节互为镜像90o+20dB/decL()(20110100-20-90o-20dB/dec（3）微分环节G(s)=s与积分环节互为镜像90o+20d（4）惯性环节低频段(

<<1/T)即低频段可近似为0dB的水平线，称为低频渐近线。对数相频特性：()=-arctgT对数幅频特性：（4）惯性环节低频段(<<1/T)即低频段可近似为0高频段(

>>1/T)

即高频段可近似为斜率为-20dB/dec的直线，称为高频渐近线。高频段(>>1/T)即高频段可一阶惯性环节Bode图-30-20-10010-90°-45°0°1/TL()/(dB)()(rad/sec)实际幅频特性渐近线-20dB/dec一阶惯性环节Bode图-30-20-10010-90°-45转折频率（＝

1/T)

低频渐近线和高频渐近线的相交处的频率点＝

1/T，称为转折频率（截止频率）。在转折频率处，L()-3dB，()＝-45。惯性环节具有低通滤波特性。渐近线误差转折频率（＝1/T)低频渐近-4-3-2-100.1110T转折频率惯性环节对数幅频特性渐近线误差曲线-4-3-2-100.1110T转折频率惯性环节对数幅频特L()-20dB/dec1T00-45o-90o(T0.1T10L()-20dB/dec1T00-45o-90o(（5）一阶微分环节G(s)=Ts+1与惯性环节互为镜像010203090°45°0°1/TL()/(dB)()(rad/sec)0.1/T10/T转折频率实际幅频特性渐近线20dB/dec（5）一阶微分环节G(s)=Ts+1与惯性环节互为镜像0一阶微分环节相当于高通滤波器因此，一阶微分环节对高频信号有较大的放大作用，这意味着系统抑制噪声能力的下降。一阶微分环节相当于高通滤波器（6）振荡环节

对数幅频特性

低频段(

<<n)即低频渐近线为0dB的水平线。（6）振荡环节对数幅频特性 低频段(<<n)即低高频段(

>>n)即高频渐近线为斜率为-40dB/dec的直线。两条渐近线的交点为n。即振荡环节的转折频率等于其无阻尼固有频率。高频段(>>n)即高频渐近线为斜率为-40dB/de对数相频特性易知：对数相频特性易知：振荡环节Bode图-180-135-90-4500.1110/n()/(deg)

=0.5

=0.7

=1.0

=0.1

=0.2

=0.3-40-30-20-1001020L()/(dB)-40dB/dec

=0.3

=0.5

=0.7

=1.0

=0.1

=0.2渐近线振荡环节Bode图-180-135-90-4500.1110渐近线误差分析渐近线误差分析由图可见，当

较小时，由于在

=n附近存在谐振，幅频特性渐近线与实际特性存在较大的误差，

越小，误差越大。-8-40481216200.1110

=0.05

=0.10

=0.15

=0.20

=0.25

=0.30

=0.35

=0.40

=0.80

=0.90

=1.00

=0.50

=0.60

=0.707/nError(dB)由图可见，当较小时，由于在=n附近存在谐振，幅

当0.38<<0.7时，误差不超过3dB。因此，在此

范围内，可直接使用渐近对数幅频特性，而在此范围之外，应使用准确的对数幅频曲线。-8-40481216200.1110

=0.05

=0.10

=0.15

=0.20

=0.25

=0.30

=0.35

=0.40

=0.80

=0.90

=1.00

=0.50

=0.60

=0.707/nError(dB)当0.38<<0.7时，误差不超过3dB。

准确的对数幅频曲线可在渐近线的基础上，通过误差曲线修正而获得或直接计算。准确的对数幅频曲线可在渐近线的基础上（7）二阶微分环节

注意到二阶微分环节与振荡环节的频率特性互为倒数(

＝1/n)，根据对数频率特性图的特点，二阶微分环节与振荡环节的对数幅频特性曲线关于0dB线对称，相频特性曲线关于零度线对称。（7）二阶微分环节注意到二阶微分环-40dB/dec90180-90-180+40dB/decφ(λ)λL(λ)λ11-40dB/dec90180-90-180+40dB/dec（8）延时环节（G(jω)=1∠-Tω）L(ω)=0φ(ω)=-Tω-600-500-400-300-200-10000.1110

(rad/s)()/(deg)10L()/(dB)0-20-10（8）延时环节（G(jω)=1∠-Tω）L(ω)=03、绘制系统Bode图的步骤1）由G(s)确定系统的典型环节形式2）确定积分环节的个数和比例系数K一个积分环节起始直线斜率为-20dB/decK=5在=1处直线的值为20lgK=14dB3、绘制系统Bode图的步骤1）由G(s)确定系统的典型环节3）确定各环节的转折频率（ω=1/T）ω1=1ω2=204）确定坐标的起始频率(ωo≈0.1ωmin)ωo=0.15）将传函按转折频率的大小依次由小到大排列-20-20-203）确定各环节的转折频率（ω=1/T）ω16）画出系统的Bode图的渐进线（依据：当直线和直线相加，则两直线的斜率相加）0.111010020-20L(ω)2014-20dB/dec-60dB/dec-40dB/dec6）画出系统的Bode图的渐进线（依据：当直线和直线相加，则-90-180-2700.1110100-90-180-2700.14.3闭环频率特性（自学）4.3闭环频率特性（自学）4.4频率特性的特征量

一、零频幅值A(0)：反映系统的稳态精度A(0)A()A(0)→1→系统的误差↓4.4频率特性的特征量一、零频幅值A(0)：反映系统的二、谐振频率r和相对谐振峰值反映系统的相对平稳性A(0)A()Amaxr↑→Mr↓→系统的平稳性↑二、谐振频率r和相对谐振峰值反映系统的相对平稳性A(0)A三、截止频率b和截止带宽0~bb-----A()衰减到0.707A(0)处的频率A(0)A()b0.707A(0)反映了系统的静态噪音滤波特性b↑b↓→系统的tr↓→系统的滤波效果↓→系统的tr↑→系统输出信号失真较大三、截止频率b和截止带宽0~bb-----A()衰§4.5最小相位系统与非最小相位系统一、定义在复平面的右半平面上没有极点和零点的传函为最小相位传函，对应的系统为最小相位系统延迟环节通常视为非最小相位环节。§4.5最小相位系统与非最小相位系统一、定义最小相位系统ImReReIm非最小相位系统最小相位系统ImReReIm非最小相位系统二、最小相位系统的特点1、最小相位系统的相位变化范围最小相位差：=(n-m)×(-90o)二、最小相位系统的特点1、最小相位系统的相位变化范围最小相位例设：T1>T2L(ω)ωωL(ω)T111T2T111T2180相位差：0相位差：180o例设：T1>T2L(ω)ωωL(ω)T111T2T111T22、最小相位系统的对数幅频特性和相频特

性之间有对应关系对数幅频曲线斜率是：±20(n-m)dB/dec相位角变化为：±90o(n-m)即当幅频图的斜率变化一个±20dB/dec时，相应的相频图的相位角变化±90o因此，对于最小相位系统，只要知道其幅频图的形式，则可直接确定其传递函数。2、最小相位系统的对数幅频特性和相频特

性之间有20lgK=20dBK=10起始斜率为-20dB/dec一个积分环节L()-20dB/dec-40dB/dec-20dB/dec151230201.5例最小相位系统的对数幅频特性图如图所

示，试确定系统的传递函数。20lgK=20dBK=10起始斜率为-20dB/dec一个振荡环节：ωr=12得：ωn=14=1.5得：ξ=0.358一阶微分环节：振荡环节：ωr=12得：ωn=14=1.5得：ξ=0.35系统的传递函数为：G(s)=G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)系统的传递函数为：G(s)=G1(s)G2(s)G3(s)G4.6利用MATLAB进行频率特性分析1、求取系统对数频率特性:bode()[mag,phase,w]=bode(a,b,c,d)[mag,phase,w]=bode(a,b,c,d,iu)[mag,phase,w]=bode(a,b,c,d,iu,w)[mag,phase,w]=bode(num,den)[mag,phase,w]=bode(num,den,w)

格式：4.6利用MATLAB进行频率特性分析1、求取系统对数频率特1、求取系统对数频率特性:bode()bode(a,b,c,d)：自动绘制出系统的一组Bode图，它们是针对连续状态空间系统[a,b,c,d]的每个输入的Bode图。其中频率范围由函数自动选取，而且在响应快速变化的位置会自动采用更多取样点。bode(a,b,c,d,iu)：可得到从系统第iu个输入到所有输出的波特图。

bode(num,den)：可绘制出以连续时间多项式传递函数表示的系统的波特图。

1、求取系统对数频率特性:bode()bo1、求取系统对数频率特性:bode()bode(a,b,c,d,iu,w)或bode(num,den,w)：可利用指定的角频率矢量绘制出系统的波特图。当带输出变量[mag,pha,w]或[mag,pha]引用函数时，可得到系统波特图相应的幅值mag、相角pha及角频率点w矢量或只是返回幅值与相角。相角以度为单位，幅值可转换为分贝单位：magdb=20×log10(mag)1、求取系统对数频率特性:bode()bod2、求取系统奈奎斯特图：nyquist()nyquist(a,b,c,d)nyquist(a,b,c,d,iu)nyquist(num,den)nyquist(a,b,c,d,iu,w)nyquist(num,den,w)

2、求取系统奈奎斯特图：nyquist()nyquist(2、求取系统奈奎斯特图：nyquist()

nyquist(a,b,c,d)：绘制出系统的一组Nyquist曲线，每条曲线相应于连续状态空间系统[a,b,c,d]的输入/输出组合对。其中频率范围由函数自动选取，而且在响应快速变化的位置会自动采用更多取样点。

nyquist(a,b,c,d,iu)：可得到从系统第iu个输入到所有输出的极坐标图。2、求取系统奈奎斯特图：nyquist()2、求取系统奈奎斯特图：nyquist()

nyquist(num,den)：可绘制出以连续时间多项式传递函数表示的系统的极坐标图。

nyquist(a,b,c,d,iu,w)/nyquist(num,den,w)：可利用指定的角频率矢量绘制出系统的极坐标图。当不带返回参数时，直接在屏幕上绘制出系统的极坐标图（图上用箭头表示w的变化方向，负无穷到正无穷）。当带输出变量[re,im,w]引用函数时，可得到系统频率特性函数的实部re和虚部im及角频率点w矢量（为正的部分）。可以用plot(re,im)绘制出对应w从负无穷到零变化的部分。2、求取系统奈奎斯特图：nyquist()3.求幅值裕度和相角裕度及对应的转折频率：margin

margin函数可以从频率响应数据中计算出幅值裕度、相角裕度以及对应的频率。幅值裕度和相角裕度是针对开环SISO系统而言，它指示出系统闭环时的相对稳定性。当不带输出变量引用时，margin可在当前图形窗口中绘制出带有裕量及相应频率显示的Bode图，其中幅值裕度以分贝为单位。3.求幅值裕度和相角裕度及对应的转折频率：margin3.求幅值裕度和相角裕度及对应的转折频率：marginmargin(mag,phase,w)：由bode指令得到的幅值mag（不是以dB为单位）、相角phase及角频率w矢量绘制出带有裕量及相应频率显示的bode图。

margin(num,den)：可计算出连续系统传递函数表示的幅值裕度和相角裕度并绘制相应波特图。类似，margin(a,b,c,d)可以计算出连续状态空间系统表示的幅值裕度和相角裕度并绘制相应波特图。

[gm,pm,wcg,wcp]=margin(mag,phase,w)：由幅值mag（不是以dB为单位）、相角phase及角频率w矢量计算出系统幅值裕度和相角裕度及相应的相角交界频率wcg、截止频率wcp，而不直接绘出Bode图曲线。3.求幅值裕度和相角裕度及对应的转折频率：margin第四章

频率特性分析第四章

频率特性分析机械工程控制基础课件第4章：频率特性分析机械工程控制基础课件第4章：频率特性分析4.1频率特性概述4.2频率特性的图示方法4.3闭环频率特性（自学）4.4频率特性的特征量4.5最小相位系统与非最小相位系统4.6利用MATLAB对系统进行频率特性分析4.1频率特性概述

时域分析的缺陷高阶系统的分析难以进行；难以研究系统参数和结构变化对系统性能的影响；当系统某些元件的传递函数难以列写时，整个系统的分析工作将无法进行。时域分析的缺陷高阶系统的分析难以进行；频域分析：频率特性分析法是经典控制理论中常用的分析与研究系统特性的方法。频域分析的目的：以输入信号的频率为变量，在频率域，研究系统的结构参数与性能的关系。频率特性包括幅频特性和相频特性，它在频率域里全面地描述了系统输入和输出之间的关系即系统的特性。频率特性在有些书中又称为频率响应。本书中频率响应是指系统对正弦输入的稳态输出。通过本章的学习将会看到，频率特性和频率响应是两个联系密切但又有区别的概念。频域分析：频率特性分析方法具有如下特点：这种方法可以通过分析系统对不同频率的稳态响应来获得系统的动态特性。频率特性有明确的物理意义，可以用实验的方法获得。这对那些不能或难于用分析方法建立数学模型的系统或环节，具有非常重要的意义。不需要解闭环特征方程。由开环频率特性即可研究闭环系统的瞬态响应、稳态误差和稳定性。频率特性分析方法具有如下特点：优点：无需求解微分方程，图解(频率特性图)法间接揭示系统性能并指明改进性能的方向易于实验分析可推广应用于某些非线性系统（如含有延迟环节的系统）；可方便设计出能有效抑制噪声的系统。优点：无需求解微分方程，图解(频率特性图)法间接揭示系统性能4.1频率特性概述解：例：求系统的传递函数为当输入信号为xi(t)=Asint时，系统的稳态响应。4.1频率特性概述解：例：求系统的传递函数为当输入由Laplace反变换得：系统的稳态输出为由Laplace反变换得：系统的稳态输出为幅值是频率的函数相位是频率的函数输出频率不变系统xi(t)x0(t)Asint稳态输出信号幅值是频率的函数系统xi(t)x0(t)Asint稳态输出2、频率特性

线性系统在谐波信号输入时，其稳态输出随频率变化的特性，称为该系统的频率特性.注意：频率特性是系统在频域的数学模型幅频特性A()相频特性φ()包括=输出相位-输入相位=φ()2、频率特性线性系统在谐波信号输入二、频率特性的求法1、利用系统的频率响应来求xo(t)(稳态响应)频率响应Xo(s)=Xi(s)G(s)Laplace变换xo(t)=limxo(t)t→∞二、频率特性的求法1、利用系统的频率响应来求xo(t)(稳态2、用传函G(s)的s换为j来求复数表示法：（1）代数表示法：a+jb（2）指数表示法：|A|ej（3）极坐标表示法：|A|∠φImReabA--------幅值-------相位2、用传函G(s)的s换为j来求复数表示法：（2）指数表复数的运算法则：已知复数：

A=a+jb=A1∠

1

B=c+jd=B1∠

21）两复数相加：实部相加，虚部相加

A+B=(a+c)+j(b+d)2）两复数相减：实部相减，虚部相减

A-B=(a-b)+j(b-d)复数的运算法则：已知复数：3）两复数相乘：幅值相乘，相位相加

A×B=(A1×B1)∠1+

24）两复数相除：幅值相除，相位相减3）两复数相乘：幅值相乘，相位相加A×B=(A相频特性：()=-arctanT例求惯性环节的频率特性相频特性：()=-arctanT例求惯性环节例求闭环传函为的频率特性例求闭环传函为机械工程控制基础课件第4章：频率特性分析机械工程控制基础课件第4章：频率特性分析3、实验方法求频率特性进而求G(s)

(当传函未知时采用)正弦发生器被测系统改变频率图形显示器3、实验方法求频率特性进而求G(s)

(当传函未知系统s传递函数j频率特性ddtsddtjsj微分方程系统s传递函数j频率特性ddtsddtjsj微分方程几点说明

频率特性是传递函数的特例，是定义在复平面虚轴上的传递函数，因此频率特性与系统的微分方程、传递函数一样反映了系统的固有特性。尽管频率特性是一种稳态响应，但系统的频率特性与传递函数一样包含了系统或元部件的全部动态结构参数，因此，系统动态过程的规律性也全寓于其中。几点说明频率特性是传递函数的特例，是定义在复平面应用频率特性分析系统性能的基本思路：

实际施加于控制系统的周期或非周期信号都可表示成由许多谐波分量组成的傅立叶级数或用傅立叶积分表示的连续频谱函数，因此根据控制系统对于正弦谐波函数这类典型信号的响应可以推算出它在任意周期信号或非周期信号作用下的运动情况。应用频率特性分析系统性能的基本思路：实际施加于控三、频率特性的特点和作用1、对频率特性的分析就是对单位脉冲响应函数的频谱分析三、频率特性的特点和作用1、对频率特性的分析就是对单位脉冲响2、通过分析不同的谐波输入，以获得系统

的动态特性3、可方便的分析系统的结构及参数的变化对系统性能的影响4、可方便分析高阶系统的性能5、可设计出合适的通频带，以控制系统噪音的影响2、通过分析不同的谐波输入，以获得系统

的动态特性3、4.2频率特性的图示方法

一、频率特性的极坐标图1、定义其中，P()、Q()分别称为系统的实频特性和虚频特性。显然：4.2频率特性的图示方法一、频率特性的极坐标图其

以频率特性|G(j)|G

(j)作为一矢量，当由0变化到时，矢量的端点在复平面上形成的轨迹称为Nyquist图。ReImA()()相角()的符号规定逆时针方向旋转为正。以频率特性|G(j)|G(j)作为一2、典型环节的Nyquist图（1）比例环节传递函数： G(s)=K频率特性： G(j)=K=Kej0=K∠0幅频特性： A()=K相频特性： ()=0实频特性： P()=K虚频特性： Q()=02、典型环节的Nyquist图（1）比例环节比例环节Nyquist图（K,j0）ImRe比例环节Nyquist图（K,j0）ImRe（2）积分环节传递函数：

频率特性： 幅频特性： 相频特性：()=-90°虚频特性： 实频特性： （2）积分环节传递函数： 频率特性： 幅频特性： 相积分环节Nyquist图ImRe积分环节具有恒定的相位滞后。积分环节Nyquist图ImRe积分环节具有恒定的相位（3）微分环节传递函数：

频率特性： 实频特性： 虚频特性： 幅频特性： 相频特性：()=90°（3）微分环节传递函数： 频率特性： 实频特性： 虚微分环节Nyquist图9000ImRe微分环节具有恒定的相位超前。微分环节Nyquist图9000ImRe微分环节具有恒（4）惯性环节传递函数：

频率特性： 相频特性：()=-arctgT幅频特性： 实频特性： 虚频特性： （4）惯性环节传递函数： 频率特性： 相频特性：(注意到：即惯性环节的奈氏图为圆心在(1/2,0)处，半径为1/2的一个圆。0ReIm注意到：即惯性环节的奈氏图为圆心在(1/2,0)处，半径为（5）一阶微分环节传递函数：

频率特性： 幅频特性： 相频特性：()=arctan（5）一阶微分环节传递函数： 频率特性： 幅频特性： 无论为何值实频特性：Re()=1相频特性：()=arctan0ReIm=0=arctan1无论为何值实频特性：Re()=10ReIm=0=（6）振荡环节传递函数：

（6）振荡环节传递函数： 幅频特性： 相频特性： 幅频特性： 相频特性： 实频特性： 虚频特性： 实频特性： 虚频特性： 振荡环节的Nyquist图

=0时

=n时

=时振荡环节的Nyquist图=0时=n时二阶系统的Nyquist图=0==0.1=0.2=0.5=1=0.7ReIm-3-2-10123-6-5-4-3-2-10=0.3=n二阶系统的Nyquist图=0==0.1=0.谐振现象00.20.40.60.811.21.41.61.8201234

=0.05

=0.15

=0.20

=0.25

=0.30

=0.40

=0.50

=0.707

=1.00/nA()谐振现象00.20.40.60.811.21.41.61.8由振荡环节的幅频特性曲线可见，当

较小时，在

=n附近，A()出现峰值，即发生谐振。谐振峰值Mr对应的频率r称为谐振频率。由于：由振荡环节的幅频特性曲线可见，当较小时，在=n附由此可求出：显然r应大于0，由此可得振荡环节出现谐振的条件为：由此可求出：显然r应大于0，由此可得振荡环节出现谐振的条谐振峰值：00.10.20.30.40.50.60.70.80.910123456789100102030405060708090100MrMp(％)MrMp谐振峰值：00.10.20.30.40.50.60.70.8（7）二阶微分环节的Nyquist图当

=0时当

=1/时

当

=时（7）二阶微分环节的Nyquist图当=0时当=二阶微分环节Nyquist图G(j)=010=ReIm

=1/2，二阶微分环节Nyquist图G(j)=010=（8）延时环节传递函数：

频率特性： 幅频特性： 相频特性： （8）延时环节传递函数： 频率特性： 幅频特性： 相延时环节Nyquist图01=0ReIm延时环节Nyquist图01=0ReIm3、Nyquist图的一般形状（1）

Nyquist图的绘制步骤1）求出系统对应的频率特性3、Nyquist图的一般形状（1）Nyquist图的绘制2）分别求=0和=时的幅值和相位|G(j0)|=0.5∠G(j0)=0|G(j)|=0∠G(j)=-180o2）分别求=0和=时的幅值和相位|G(j0)|=03）当曲线跨象限时，求曲线和实轴或虚轴的交点；当曲线不跨象限时，求起始点的渐进线0(0.5,j0)ImRe3）当曲线跨象限时，求曲线和实轴或虚轴的交点；当曲线不跨象限机械工程控制基础课件第4章：频率特性分析4）勾画大致曲线0(0,-j0.288)(0.5,j0)ImRe4）勾画大致曲线0(0,-j0.288)(0.5,例：解：系统的频率特性为：则有：|G(j0)|=∞∠G(j0)=-900|G(j)|=0∠G(j)=-180o例：解：系统的频率特性为：则有：|G(j0)|=∞确定渐近线：当=0时：实频特性：u()=-KT虚频特性：v()=-ReIm0(-KT,j0)确定渐近线：当=0时：ReIm0(-KT,j0)（2）Nyquist图的一般形状1）一般形状0型系统：G(j0)=K∠0I型系统：G(j0)=∞∠-90oII型系统：G(j0)=∞∠-180o（2）Nyquist图的一般形状1）一般形状0型系统：G(jb.当=∞时由于系统的分母的阶次n>分子的阶次m

G(j∞)=0∠(n-m)×(-90o)b.当=∞时由于系统的分母的阶次n>分子的阶次m系统类型起点（=0)终点(=∞)0正实轴上一个有限值按顺时针方向越过若干象限与坐标轴相切而趋于原点I曲线渐进于与负虚轴平行的直线II第二象限的无穷大0型I型ImReII型系统类型起点（=0)终点(=∞)0正实轴上一个有限值按顺2）当系统含有一阶微分环节（导前环节）时，

Nyquist曲线将发生“弯曲”G(j0)=∞∠-90oG(j∞)=0∠-90oReIm=0=∞2）当系统含有一阶微分环节（导前环节）时，

Ny二、频率特性的对数坐标图(Bode图）1、组成1）由幅频对数坐标图和相频对数坐标图组成φ()L()二、频率特性的对数坐标图(Bode图）1、组成φ()L(1234lgL()2）坐标分度横坐标：按lg进行分度，但标注真值1010010001000010倍频dec123纵坐标幅频：按20lg|G(j)|dB分度相频：按真实角度线性分度10100100010000101001000100002040L()dB904500φ()纵坐标幅频：按20lg|G(j)|dB分度10采用Bode图表示频率特性的优点：可以将串联环节幅值的乘、除，化为幅值的加、减，简化了计算与作图过程；可以用近似方法作图，方便了作图；可分别作出各个环节的Bode图，然后用叠加方法得出系统的Bode图，并由此看出各环节对系统总特性的影响；对于横坐标采用对数分度，所以能把较宽频率范围的图形紧凑地表示出来。采用Bode图表示频率特性的优点：可以将串联环节幅值的乘、除2、典型环节的Bode图（1）比例环节

G(jω)=K∠0L(ω)=20lgA(ω)=20lgKL()(20lgK2、典型环节的Bode图（1）比例环节L()(2=01=-20dB10=-40dB100(-90110100L()20-20-20dB/decL()=-20lg（2）积分环节=01=-20dL()204011023.5-20dB/dec当=1时，L()=20lgK(-90L()2040110（3）微分环节G(s)=s与积分环节互为镜像90o+20dB/decL()(20110100-20-90o-20dB/dec（3）微分环节G(s)=s与积分环节互为镜像90o+20d（4）惯性环节低频段(

<<1/T)即低频段可近似为0dB的水平线，称为低频渐近线。对数相频特性：()=-arctgT对数幅频特性：（4）惯性环节低频段(<<1/T)即低频段可近似为0高频段(

>>1/T)

即高频段可近似为斜率为-20dB/dec的直线，称为高频渐近线。高频段(>>1/T)即高频段可一阶惯性环节Bode图-30-20-10010-90°-45°0°1/TL()/(dB)()(rad/sec)实际幅频特性渐近线-20dB/dec一阶惯性环节Bode图-30-20-10010-90°-45转折频率（＝

1/T)

低频渐近线和高频渐近线的相交处的频率点＝

1/T，称为转折频率（截止频率）。在转折频率处，L()-3dB，()＝-45。惯性环节具有低通滤波特性。渐近线误差转折频率（＝1/T)低频渐近-4-3-2-100.1110T转折频率惯性环节对数幅频特性渐近线误差曲线-4-3-2-100.1110T转折频率惯性环节对数幅频特L()-20dB/dec1T00-45o-90o(T0.1T10L()-20dB/dec1T00-45o-90o(（5）一阶微分环节G(s)=Ts+1与惯性环节互为镜像010203090°45°0°1/TL()/(dB)()(rad/sec)0.1/T10/T转折频率实际幅频特性渐近线20dB/dec（5）一阶微分环节G(s)=Ts+1与惯性环节互为镜像0一阶微分环节相当于高通滤波器因此，一阶微分环节对高频信号有较大的放大作用，这意味着系统抑制噪声能力的下降。一阶微分环节相当于高通滤波器（6）振荡环节

对数幅频特性

低频段(

<<n)即低频渐近线为0dB的水平线。（6）振荡环节对数幅频特性 低频段(<<n)即低高频段(

>>n)即高频渐近线为斜率为-40dB/dec的直线。两条渐近线的交点为n。即振荡环节的转折频率等于其无阻尼固有频率。高频段(>>n)即高频渐近线为斜率为-40dB/de对数相频特性易知：对数相频特性易知：振荡环节Bode图-180-135-90-4500.1110/n()/(deg)

=0.5

=0.7

=1.0

=0.1

=0.2

=0.3-40-30-20-1001020L()/(dB)-40dB/dec

=0.3

=0.5

=0.7

=1.0

=0.1

=0.2渐近线振荡环节Bode图-180-135-90-4500.1110渐近线误差分析渐近线误差分析由图可见，当

较小时，由于在

=n附近存在谐振，幅频特性渐近线与实际特性存在较大的误差，

越小，误差越大。-8-40481216200.1110

=0.05

=0.10

=0.15

=0.20

=0.25

=0.30

=0.35

=0.40

=0.80

=0.90

=1.00

=0.50

=0.60

=0.707/nError(dB)由图可见，当较小时，由于在=n附近存在谐振，幅

当0.38<<0.7时，误差不超过3dB。因此，在此

范围内，可直接使用渐近对数幅频特性，而在此范围之外，应使用准确的对数幅频曲线。-8-40481216200.1110

=0.05

=0.10

=0.15

=0.20

=0.25

=0.30

=0.35

=0.40

=0.80

=0.90

=1.00

=0.50

=0.60

=0.707/nError(dB)当0.38<<0.7时，误差不超过3dB。

准确的对数幅频曲线可在渐近线的基础上，通过误差曲线修正而获得或直接计算。准确的对数幅频曲线可在渐近线的基础上（7）二阶微分环节

注意到二阶微分环节与振荡环节的频率特性互为倒数(

＝1/n)，根据对数频率特性图的特点，二阶微分环节与振荡环节的对数幅频特性曲线关于0dB线对称，相频特性曲线关于零度线对称。（7）二阶微分环节注意到二阶微分环-40dB/dec90180-90-180+40dB/decφ(λ)λL(λ)λ11-40dB/dec90180-90-180+40dB/dec（8）延时环节（G(jω)=1∠-Tω）L(ω)=0φ(ω)=-Tω-600-500-400-300-200-10000.1110

(rad/s)()/(deg)10L()/(dB)0-20-10（8）延时环节（G(jω)=1∠-Tω）L(ω)=03、绘制系统Bode图的步骤1）由G(s)确定系统的典型环节形式2）确定积分环节的个数和比例系数K一个积分环节起始直线斜率为-20dB/decK=5在=1处直线的值为20lgK=14dB3、绘制系统Bode图的步骤1）由G(s)确定系统的典型环节3）确定各环节的转折频率（ω=1/T）ω1=1ω2=204）确定坐标的起始频率(ωo≈0.1ωmin)ωo=0.15）将传函按转折频率的大小依次由小到大排列-20-20-203）确定各环节的转折频率（ω=1/T）ω16）画出系统的Bode图的渐进线（依据：当直线和直线相加，则两直线的斜率相加）0.111010020-20L(ω)2014-20dB/dec-60dB/dec-40dB/dec6）画出系统的Bode图的渐进线（依据：当直线和直线相加，则-90-180-2700.1110100-90-180-2700.14.3闭环频率特性（自学）4.3闭环频率特性（自学）4.4频率特性的特征量

一、零频幅值A(0)：反映系统的稳态精度A(0)A()A(0)→1→系统的误差↓4.4频率特性的特征量一、零频幅值A(0)：反映系统的二、谐振频率r和相对谐振峰值反映系统的相对平稳性A(0)A()Amaxr↑→Mr↓→系统的平稳性↑二、谐振频率r和相对谐振峰值反映系统的相对平稳性A(0)A三、截止频率b和截止带宽0~bb-----A()衰减到0.707A(0)处的频率A(0)A()b0.707A(0)反映了系统的静态噪音滤波特性b↑b↓→系统的tr↓→系统的滤波效果↓→系统的tr↑→系统输出信号失真较大三、截止频率b和截止带宽0~bb-----A()衰§4.5最小相位系统与非最小相位系统一、定义在复平面的右半平面上没有极点和零点的传函为最小相位传函，对应的系统为最小相位系统延迟环节通常视为非最小相位环节。§4.5最小相位系统与非最小相位系统一、定义最小相位系统ImReReIm非最小相位系统最小相位系统ImReReIm非最小相位系统二、最小相位系统的特点