文本讲义讲稿908u space

§9.8UnitarySpaces--OrthonormalBases酉空间–标准正交基9.11设V是复数域上线性空间若V上定义着正定Hermite(半双线性)型g(内积),§9.8UnitarySpaces--OrthonormalBases酉空间–标准正交基9.11设V是复数域上线性空间若V上定义着正定Hermite(半双线性)型g(内积),,orUnitarySpace.((Vg为酉空间).(有的作者要求维数有限)·以后讨论中,故记g常是固定的(称为酉空间Vg(α,β)α,βxTHy的固有内积),后者是在V中取基α1,,αm后,H(αi,αj)g的方阵x,y分别为αβ的坐标列.9.2.设V为酉空间,g(α,β)α,β为其内积.(1)向量αV的长度(或)定义为;αβV的距离定义为(2) αβV的夹角定义为(α,β)|α,β|||α||||β||cosθ．即定义的合理性如下：(|||α||||β||(α,βV)证明. 设α,βreiθ,即r|α,β|,θ为实数(从而e-iθα,βr, β,αre-iθ)t为实数变量,则||teiθαβ||2teiθαβ,teiθαβ0,即teiθα,teiθαteiθα,ββ,teiθαβ,βt2||α||2te-iθα,βteiθβ,α||β||2t2||α||22tr||β||20即即这是t的二次三项式,故其判别式β|2||α||2||β||20即得定理.1θcos1|α,β| αβ,αβα|| α,αUnitarySpace) (n)中,定内积:.长度:类似定义行向量空间n为酉空间(Space)记V[0,1区间上有限连续数集,为UnitarySpace) (n)中,定内积:.长度:类似定义行向量空间n为酉空间(Space)记V[0,1区间上有限连续数集,为上线性空间,对如下内积是酉空间:函内积:.长度:酉空间V中向量αβ还满足:||αβ||||α||||β||;||αβ||2|αβ||22||α||22||β||2.αβ||2αβ,αβ||α||2α,βα,β||β||2α,βα,βα,βα,βProof.(1)2Reα,β2||α||2||β||2(因:αβuviu,v),则 u2u2v2|α,β|2||α||2||β||2cos2θ).||||β||2|α||β2.故||αβ||2||α||2α,ββ,α||β||2(2)Addingthetwoformulae,weobtainwhatwewanted.·(αβ)π2(夹角90度),即α,β0(内积为0)时,称αβ正交或垂直(orthogonal),记为αβ.·αW(向量集)是指:α正交于W中所有向量.:.· (unit)向量即长为1的向量.21 2 1 1 f(x)g(x)dx |f(x)|2dx|g(x)|2dx0 0 0 1||f|| f,f1|f(x)|2dx2 0 1 f,gf(x)g(x)dx0|xyxy|2(|x|2|x|2)(|y|2|y|2)11 nn 1 n 1 n |x|2|x|21 n||1nx,yxTyxyxy11 nn定义.酉空间V中,由两两正交的 向量 的基,称为标准正交基(或笛卡尔基)(OrthonormalBasis,Cartesianbasis)设ε1,,εn是酉空间V的标准正交基,αx1ε1定义.酉空间V中,由两两正交的 向量 的基,称为标准正交基(或笛卡尔基)(OrthonormalBasis,Cartesianbasis)设ε1,,εn是酉空间V的标准正交基,αx1ε1xnεn以εi“从”:εi,αεi,x1ε1εi,xnεnixi=εi,αα到基投影).即:(α的坐标)Vg在标准正交基下的方阵为HI,g(α,β)α,βxTy后者是在V中取基α1,,αm后,x,y分别为αβ的坐标列引理9.17(Gram-SchmidtOrthonormalization(process))酉空间V中,α1,.αm,ε1,.εm”(两两正交 向量),且“正交化为α1αsε1εs (任意1sm).(α1,.αsε1,.εs的子空间相同)特别:V的任一基α1,.αn“正交化”为标准正交基ε1,.εn,使过渡方阵Ttij为上三角方阵,且对角线元素为正实数:,tii0.α1||α1||欲求εr,尝试令r:假设已取得ε1,.εr1.要求: 与εi(1ir1)皆正交; 用εi(从左面)作内积:0εi,riεi,αr,kiεi,αr(1ir1)故即可.得如此续行,即得正交化.T定义9.4若复方阵U满足UUI,则称U为(UnitaryMatrix),“标准正交方阵”. UTUI UUTIU为酉U1UTU的列“两两正交向量”(经典酉空间(n)的标准正交基3注意:rrε1krεr1αr* *,.α) *1 n 1 n tnn U的“两两正交向量”.是酉空间,基{α1,,αn}和{β1,βn的过渡矩阵(β1,,βnU的“两两正交向量”.是酉空间,基{α1,,αn}和{β1,βn的过渡矩阵(β1,,βn)(α1,,αn)Q设V为Q,即{α1,,αn},{β1,βn,和Q三者中,若有两者为标准正交的,则第3者也是标准正交的.对酉空间V的任一基α1,.αn,存在标准正交基ε1,.εn,使过渡方阵Ttij为上三角方阵,且对角线元素为正实数:,tii0.系2.对每个正定HermiteH,必有实上三角方阵Ttij(且对角线元素为正实数),使TTHTI.系3.A,存在唯一的上三角实方阵T(且对角线元素为正)使得UAT为酉方阵,A可唯一分解为AUT1(UT分解)空间W存在正交补(子空间)W(与W正系4.酉空间V的交的向量集),且VW┻W,即:VWWWW定义9.5.((等距)同构),),.ϕ:1