热点专题系列2　求解共点力平衡问题的八种方法

热点专题系列（二）求解共点力平衡问题的八种方法热点概述：共点力作用下的平衡条件是解决共点力平衡问题的基本依据，广泛应用于力、电、磁等各局部内容的题目中，求解共点力平衡问题的八种常见方法总结如下。［热点透析］•力的合成、分解法三个力的平衡问题，一般将任意两个力合成，那么该合力与第三个力等大反向,或将其中某个力沿另外两个力的反方向分解，从而得到两对平衡力。9例1（2021・八省联考湖南卷）如图，一根质量为小的匀质绳子，两端分别固定在同一高度的两个钉子上，中点悬挂一质量为M的物体。系统平衡时，绳子中点两侧的切线与竖直方向的夹角为钉子处绳子的切线方向与竖直方向的夹角为夕，贝IJ（）tanam+MB.丽二tanam+MB.丽二M—cos。mD=,cosy?m+MA.tanQ.m-cosaMC=•cos破m+M［答案］B［解析］设绳子中点处的拉力大小为T,绳子两端点处的拉力大小均为V,对绳子中点受力分析，由平衡条件可知2Tcosa=Mg,对绳子和物体整体受力分析,由平衡条件可知2rcos。=mg+Mg,用微元法，对绳子任意一端到中点间的每一点受力分析，由平衡条件及牛顿第三定律可得，水平方向上有〃sin/?=Tsin<z5tanam+M三式联立解得丽=f一,故B正确。⑥正交分解法

A.A.b一直增大A.b一直增大C.产先减小后增大A.b一直增大C.产先减小后增大八墙:壁CDB.尸一直减小D.产先不变后增大答案D解析设轻绳左右两侧间的夹角为2仇以滑轮为研究对象，分析受力情况如图所示，根据平衡条件有2Fcos3=mg,可解得轻绳的拉力r=震^。轻绳的一端在间移动时/isin9+/2sine=/sind=d,其中/1、b为滑轮左、右两侧的绳长,/为绳总长，d为两墙壁间距，那么。不变；那么轻绳另一端从3点沿墙壁缓慢移到。点的过程中，由几何知识可知，。先不变后增大，cos。先不变后减小，轻绳的拉力产先不变后增大，D正确，A、B、C错误。4.（2021•辽宁省锦州市高三一模）如图，天花板下细线0C悬挂着一个光滑轻质定滑轮，小物块A置于斜面上，通过细线跨过滑轮与沙漏B连接，滑轮右侧细线与斜面平行；开始时A、B都处于静止状态，0C与竖直方向的夹角为仇在B中的沙子缓慢流出的过程中（）A受到的摩擦力一定缓慢增大A受到的细线拉力可能缓慢增加C.细线0C与竖直方向的夹角为。可能增加

D.细线OC的张力一定缓慢减小答案D解析在B中的沙子缓慢流出的过程中，系统保持静止，以B为研究对象，细线拉力T与B的重力mBg大小相等，那么A受到的细线拉力缓慢减小，以A为研究对象，假设最初B的重力大于A的重力沿斜面方向的分力，那么A受摩擦力方向沿斜面向下，在B中的沙子缓慢流出的过程中，A受的摩擦力先减小后反向增大，故A、B错误；以滑轮为研究对象，因为C4、C8为同一根细线，拉力大小相等，由对称性和平衡条件可得，。。一定沿N3CA的角平分线的方向，因为CA、的方向不发生变化，所以细线0C的方向也不会发生变化，故C错误；在B中的沙子缓慢流出的过程中，细线CB、CA中拉力T缓慢减小，而夹角。不变，所以C4、两细线拉力的合力缓慢减小，而细线。。的张力与细线CA、CB拉力的合力等大反向，所以也缓慢减小，故D正确。5.（2021•山东省青岛市高三下二模）（多项选择）水平传感器可以测量器械摆放处所在平面的倾角。该装置可以简化为：内壁光滑竖直放置的正三角形，内部有一球体，其半径略小于三角形内接圆半径，三角形各边都有压力传感器，分别测量小球对三条边压力大小，根据压力大小，信息处理单元将各边与水平面间的夹角通过显示屏显示出来，如下图。图中此时边恰好处于水平状态，将其以C为轴在竖直面内顺时针缓慢转动，直到AC边水平，在转动过程中，以下说法正确的是（）A.A.A.B.C.D.球对AC边压力不可能大于球的重力球对AC边压力一直增大A.B.C.D.球对AC边压力不可能大于球的重力球对AC边压力一直增大球对BC边压力先增大后减小2\/3球对BC边压力最大值为答案CD解析对正三角形内部的小球受力分析，如下图，由几何关系可知，随着角度。从。。到120。增大过程中，角。与角。之和保持不变，且。+。=120。，所以角夕也保持不变，夕二60。，由平衡条件和正弦定理得福=簿=sin（凿-[所以球对AC边的压力Me'=Nac=^sin。=焉裨诂。=^Gsin。，可知球对AC边的压力可能大于球的重力，A错误;球对边的压力Nsc'=Mc=磊sin（120。一。）二舟,也（12。。-。）=乎Gsin（120。-。）,角度0从0°到120。增大过程中，一。）二舟,也（12。。-。）=和sin（120。-。）都是先增大后减小，所以球对AC边的压力和球对BC边的压力都是先增大后减小，B错误，C正确；当8=30。时，球对边压力最大，且最大2\[3值为U-G,D正确。GG将各力分解到X轴上和y轴上，在两坐标轴上运用平衡条件吊=。、6=。进行分析，多用于三个以上共点力作用下的物体的平衡。值得注意的是，对％、y方向选择时，尽可能使较多的力落在X、y轴上，被分解的力尽可能是力，不宜分解待求力。2.5ND.25-15小~~22N9例2某同学用拇指和食指掐住质量为500g的玻璃瓶上同高度的A、B位置处于静止状态，且瓶相对于手指恰好不下滑。该位置侧壁与竖直方向夹角为30°,其截面如下图。假设玻璃瓶与手指之间的动摩擦因数为〃=0.2,手指可视为形状不变的圆柱体，重力加速度g=10m/s2,2.5ND.25-15小~~22NA.1.25N25-573C.-5?N［答案］C［解析］对玻璃瓶受力分析，并正交分解，如下图，根据平衡条件有求。s。25-5V§+2Nsme=mg,又/二〃N,联立并代入数据得了=22犯故C正确，A、B、D错误。⑥图解法在共点力的平衡中，有些题目中常有“缓慢”一词，那么物体处于动态平衡状态。解决动态平衡类问题常用图解法，图解法就是在对物体进行受力分析（一般受三个力）的基础上，假设满足有一个力大小、方向均不变，另有一个力方向不变，可画出这三个力的封闭矢量三角形来分析力的变化情况的方法，图解法也常用于求极值问题。9例3如下图，用竖直木板挡住放在光滑斜面上的小球A,A受到的重力为G。整个装置静止在水平面上。设斜面和木板对小球A的弹力大小分别为Fi和母。保持木板竖直，在斜面的倾角。缓慢减小的过程中，A受力的变化情况是R增大,G不变，B减小B减小，G不变，尸2增大B减小，G不变，F2减小B不变，G增大，B增大［答案］C［解析］小球A受到重力、斜面对小球A的弹力Fi和木板对小球的弹力F2,在斜面的倾角。缓慢减小的过程中，A的重力G不变，F2方向不变，由图解法知,Fi.B均减小，故C正确，A、B、D错误。独三力汇交原理物体受三个共面非平行外力作用而平衡时，这三个力的作用线（或反向延长线）必交于一点。立例4—根长2m、重为G的不均匀直棒A3,用两根细绳水平悬挂在天花板上，当棒水平平衡时细绳与水平面的夹角如下图，那么关于直棒重心。的位置，以下说法正确的选项是（）

30°60°yo2AB30°A.距离8端0.5m处B.距离8端0.75m处C.距离B端当m处D.距离B端坐m处［答案］A［解析］当一个物体受三个力作用而处于平衡状态时，如果其中两个力的作用线相交于一点，那么第三个力的作用线必通过前两个力作用线的相交点。把和023延长相交于。点，那么重心C一定在过。点的竖直线上，如下图。由几何知识可知：BO=^AB=\m,BC=^BO=0.5m,故重心应在距8端0.5m处。A正确。⑥整体法和隔离法当分析相互作用的两个或两个以上物体整体的受力情况及分析外力对系统的作用时，宜用整体法；而在分析系统内各物体（或一个物体各局部）间的相互作用时常用隔离法。整体法和隔离法不是独立的，对一些较复杂问题，通常需要屡次选取研究对象，交替使用整体法和隔离法。立例5如图，水平桌面上有三个相同的物体a、b、c叠放在一起，a的左端通过一根轻绳与质量为加=3小kg的小球相连，绳与水平方向的夹角为60。，小球静止在光滑的半圆形器皿中。水平向右的力b=20N作用在b上，三个物体保持静止状态。g取lOmH。以下说法正确的选项是（）A.物体a对桌面的静摩擦力大小为10N,方向水平向右B.物体b受到物体a给的一个大小为20N的摩擦力，方向水平向左C.物体C受到向右的静摩擦力，大小为20ND.在剪断轻绳的瞬间，三个物体一定会获得向右的加速度［答案］B［解析］对小球受力分析，如下图，由几何关系可知，N=T,根据平衡条3,3］0件，在竖直方向有2Tsin6（r=mg,那么绳子拉力为了二云黑心二7巧N=30No2X学对a、b、c整体受力分析，水平方向7>R根据平衡条件知桌面对a的静摩擦力方向水平向右，大小为/=T-b=30N-20N=10N,根据牛顿第三定律可知，a对桌面的静摩擦力大小为10N,方向水平向左，A错误；对b、c整体受力分析,水平方向根据平衡条件有F=f=20N,可知物体b受到物体a给的一个大小为20N的摩擦力，方向水平向左，B正确；对c受力分析可知，物体c仅受重力和支持力，不受摩擦力，C错误；桌面对a、b、c整体的最大静摩擦力大小未知，那么在剪断轻绳的瞬间，三个物体的运动状态未知，D错误。⑥假设法假设某条件存在或不存在，进而判断由此带来的现象是否与题设条件相符，或者假设处于题设中的临界状态，以此为依据，寻找问题的切入点，进而解决该问题。之例6（多项选择）如下图，竖直平面内质量为根的小球与三条相同的轻质弹簧相连接。静止时相邻两弹簧间的夹角均为120°,弹簧a、b对小球的作用力均为尸，那么弹簧c对此小球的作用力的大小可能为（）A.FC.F-mgD・mg-F［答案］ABCD［解析］假设三个弹簧中有a、b两弹簧伸长而c弹簧缩短，那么此时小球的受力情况是：a和b两弹簧的拉力尸、c弹簧的支持力久、小球自身的重力帆g,如图甲所示。由共点力的平衡条件可得：2Fcos60°+Fc-mg=0,贝lj冗=根且-尸，故D正确。因为题中并未给定mg与尸的大小关系，故可能有mg=2R贝=-F=2F-F=F,故A正确。假设a、b、c三个弹簧均是压缩的，此时小球的受力情况如图乙所示。小球的受力情况是：自身重力mg、a和b两弹簧斜向下方的弹力F、c弹簧竖直向上的弹力K,对小球由共点力的平衡条件可得：2Fcos60°+mg-Fc=0,贝ljFC=F+mg,故B正确。假设a、b、c三个弹簧均是伸长的，此时小球的受力情况如图丙所示。小球的受力情况是：自身的重力mg、a和b两弹簧斜向上方的拉力Ac弹簧向下的拉力Fc,对小球由共点力的平衡条件可得：2Fcos60°-mg-Fc=0,所以FC=F-fng,故C正确。⑥相似三角形法在三力平衡问题中，如果有一个力是恒力，另外两个力方向都变化，且题目给出了空间几何关系，多数情况下力的矢量三角形与空间几何三角形相似，可利用相似三角形对应边成比例进行计算。注意：构建三角形时可能需要画辅助线。立例7（多项选择）如下图是一个简易起吊设施的示意图，AC是质量不计的撑杆，A端与竖直墙用较链连接，一滑轮固定在A点正上方，。端吊一重物P,BC绳连接在滑轮与。端之间。现施加一拉力尸缓慢将重物P向上拉，在AC杆到达竖直前（）B3c绳中的拉力Ft越来越大BC绳中的拉力Fr越来越小AC杆中的支撑力八越来越大AC杆中的支撑力网大小不变［答案］BD［解析］作出。点的受力示意图，如下图，由图可知力的矢量三角形与几FtFnG何三角形ABC相似。根据相似三角形的性质得前二荷=砺，解得5c绳中的拉力为Ft=G第，AC杆中的支撑力为FN=C^fo由于重物P向上运动时，AB.AC不变，变小，故Ft减小，尺大小不变。故B、D正确，A、C错误。@正弦定理法如下图，物体受三个共点力作用而处于平衡状态，那么三个力中任何一个力的大小分别与另外两个力的夹角的正弦成正比，即磊;=S二点。u）jlilcaJiJiiijLzJiny5例8（多项选择）如下图，两根轻绳一端系于结点a另一端分别系于固定圆环上的A、3两点，。为圆心。。点下面悬挂一物体M,绳04水平，拉力大小为Fi,绳与绳04的夹角a=120。，拉力大小为母。将两绳同时缓慢顺时针转过75。，并保持两绳之间的夹角a始终不变，物体始终保持静止状态。那么在旋转过程中，以下说法正确的选项是（）BA.Fi逐渐增大B.Fi先增大后减小c.B逐渐减小D.B先减小后增大［答案］BC［解析］如下图，以结点。为研究对象进行受力分析。由正弦定理得亮二olliCX焉=^^,其中a=120。不变，那么比值不变，＞由钝角变为锐角，siny先变大后变小，那么尸1先增大后减小，夕由90。变为钝角，那么sin或变小，B逐渐减小，故B、C正确，A、D错误。卜’3二（；［热点集训］.（2021•河北省沧州市高三三模）如下图，三角形斜面体置于粗糙的水平地面上，在斜面底端固定一轻质挡板，轻质弹簧连接一质量为根的小球，另一端固定在挡板上，弹簧的劲度系数为ko现给斜面体施加一水平向左的推力作用，斜面体和小球均处于静止状态，斜面光滑，斜面体质量为斜面体与粗糙的地面之间的动摩擦因数为〃，取重力加速度大小为g,那么以下说法正确的选项是（）A.斜面体对小球的支持力为就B.弹簧的压缩量为驾边C.地面对斜面体的摩擦