推理与证明教案

第三章§1.1 归纳推理

归纳推理及方法的总结 中心发

言人

一、原理初探

教

“①引入：

“学 ②提问：大家认为可能吗？他为何敢夸下如此海口？理由何过程教

在？正是基于这两个发现，阿基米德大胆地猜想，然后小心求证，学 ④思考：整个过程对你有什么启发？过 ⑤启发：在教师的引导下归纳出：“科学离不开生活，离不开程 观察，也离不开猜想和证明”。观察 猜想 证明归纳推理的发展过

6

的偶数都是两个素数（只能被和它本身整除的数）之和。如

6＝3＋3，12＝5＋7等等。公元

1742

年

6

月

7

日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时的大数学家欧拉(Euler)，提出了以下的猜想:

(a)

任何一个≥6

(b)

任何一个≥9

这就是着名的哥德巴赫猜想

200

年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。到了20

世纪

20

年代，才有人开始向它靠近。1920

年、挪威数学家布爵用一种古老的筛选法证明，得得出了一个结论：每一个比大的偶数都可以表示为（很管用，科学家们于是从（9

十

9）开始，逐步减少每个数里所含质数因子的个数，直到最后使每个数里都是一个质数为止，这样就证明了“哥德巴赫”。2、数学建构●把从个别事实中推演出一般性结论的推理

,称为归纳推理(简称归纳).注:归纳推理的特点;简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。3、师生活动例1 前提：蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的,海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物.结论：所有的爬行动物都是用肺呼吸的。例

2

：

18003600，凸五边形的内角和是

5400，……结论：凸

?边形的内角和是（n—2）×1800。

,

,

,

,

吗？强调：归纳推理的结果不一定成立！ “

三、课堂练习四、课堂小结

归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理。通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。(2)归纳推理的一般步骤：通过观察个别情况发现某些相同的性质 从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想） 证明教后反思审核人签字： 第三章§1.1 类比推理

1、通过对已学知识的回顾，认识类比推理这一种合情推理的基本方法，并把它用于对问题的发现中去。2、类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质，类

比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类

比得出的结论就越可靠。3、正确认识合情推理在数学中的重要作用，养成从小开始认真观察事物、分析问题、发现事物之间的质的联系的良好个性品质，善于发现问题，探求新知识。

了解合情推理的含义，能利用类比进行简单的推理 中心发

王晓 言人课时

君1

课

安

时排

个人主页教

一．问题情境从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破学 了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子.过程

他的思路是这样的：茅草是齿形的；茅草能割破手

.我需要一种能割断木头的工具；它也可以是齿形的。这个推理过程是归教 纳推理吗？学 二．新课学习过 我们再看几个类似的推理实例。程 例

1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。等式的性质： 猜想不等式的性质：(1)

a=ba+c=b+c; (1) a＞ba+c＞b+c;(2)

a=b

ac=bc; (2)

ac＞bc;(3)

a=b

a2=b2;

等等。 (3)

a

＞ba2＞b2;等等。问：这样猜想出的结论是否一定正确？例

2、试将平面上的圆与空间的球进行类比.圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合.圆 球 圆 球 圆 球 圆球弦←→截面圆 直径←→大圆 周长←→表面积 面积←→体积 圆心与弦(不是直径)的中点的连线垂直于弦与圆心距离相等的离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长圆的切线垂直于过心且垂直于切线的直线必经过切点经过切点且垂直于

球心

与截

面圆

(不是大

圆)的圆

点的连线垂直于截面圆与球心距离相等的两截面圆相等；与球心距离不等的两截面圆不等，距球心较近的截面圆较大球的切面垂直于过切点的半径；经过球心且垂直于切面的直线必经过切点经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

切面的直线必经过球心☆上述两个例子均是这种由两个（两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出他们在其他方面也相似或相同；或其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．类比推理的一般步骤：⑴

找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；⑵

一个猜想；⑶

检验猜想。即观察、比较 联想、类 猜想新结例

3.类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想．直角三角形∠C＝90°3

个边的长度

a，b，c

?3

个面两两垂直的四面体?∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°4

个面的面积

S1，S2，S3

和

SS S2

条直角边

a，b

和

1

条斜边

c 3

个“直角面”

S1，

2，

3

和

1S S面”

S三、课堂小结相似性质。2.类比推理的一般步骤：四、作业布置审核人签字： 第三章§2.1

直接证明--综合法

1

、结合已学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法之一综

合法；2、能够运用综合法证明数学问题3

、通过本节课的学习，感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理，论证有据的习惯。了解综合法的思考过程、特

中点

心发用综合法证明时的解题过 言程人

一、新课引入

教

1

、比较

b

生：

b

。2

、

,

b

:

b

b

学过程教学过

生：讨论、交流完成，对比解答二、新课学习

。（

”）例

、若实数

，求证：

)

)

.程 证明：采用差值比较法：

)

)

=

(

∴

)

)

.例

、已知,

b,求证

bb

b

b.本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。证明：

差值比较法：注意到要证的不等式关于,

b对称，不妨设

b

从而原不等式得证）商值比较法：设

b

bb b

b

b b

b b

故原不等式得证。注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比号。三、课堂练习四、课堂小结综合法的一般思路：五、作业布置审核人签字： 第三章§2.1

中心发言 分析法的思考过程、特点

人

1课

教 一．新课引入证明数学命题时，还经常从要证的结论

Q

出发，反推回学 去，寻求保证

Q

成立的条件，明确

M

成立，再去寻求

M

成立过程教

；的充分条件(利用定理、定义、公理等）

…

…

直到找到一个；明显成立的事实。二．新课学习1、分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出学 发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判定过 这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，程 那么就可以断定原不等式成立，这种方法叫做分析法2、用分析法证明不等式的逻辑关系是：3、分析法的思维特点是：执果索因4、分析法的书写格式： 要证明命题

B

为真，只需要证明命题

为真，从而有……这只需要证明命题

为真，从而又有……这只需要证明命题

A

为真 而已知

A

B

必为真三、例题分析例

1、求证

证明：因为

和

都是正数，所以为了证明

只需证明

展开得

即

因为

成立，所以

成立 即证明了

充分条件，它与综合法是对立统一的两种方法例

4

已知

例

4

已知

,

，且

命题

B为真，这只需要证明命题

B1为真，从而有……这只需要证明命题

B2为真，从而又有……这只需要证明命题

A

为真而已知

A为真，故

B

必真在本例中，如果我们从“21<25

”出发，逐步倒推回去，就可以用综合法证出结论。但由于我们很难想到从“

21<25”入手，所以用综合法比较困难。事实上，在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合Q‘；

P‘．若由P‘可以推出

Q‘成立，就可以证明结论成立．下面来看一个例子．①

②求证：

。另一方面，要证

即证

，即证

另一方面，要证

即证

，即证

，即证

，代入，可得

. ③

)

即证

。由于上式与③相同，于是问题得证。三、课堂练习四、课堂小结综合法的一般思路：五、作业布置审核人签字： 第三章§3

中心发言

人

1课

教 一．新课引入学过程教学过

////////

/

//

m,

m,

m

1、已知直线,b

,

b

b

，则P

I

b，即点

b

,

b

,//b

//

2、求证：

mnm

m

3、已知

b

n

n

b

N

b

n

n

b

n