高三数学复习资料-第五章 平面向量

第五章平面向量第一节平面向量的概念及线性运算最新考纲：1.了解向量的实际背景；2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；3.理解向量的几何表示；4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；5.掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共线的含义；6.了解向量线性运算的性质及其几何意义．1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫作向量，向量的大小叫作向量的长度(或模)．(2)零向量：长度为0的向量叫作零向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量，任一组平行向量都可以移到同一条直线上．规定：0与任一向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算问题探究1：你能给出|a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2＋|b|2)(a，b不共线)的几何解释吗？提示：几何意义是“平行四边形两条对角线的平方和等于它的四条边的平方和”．3．两个向量共线定理向量b与a(a≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.问题探究2：如何用向量法证明三点A，B，C共线？提示：可先求出eq\o(AB,\s\up12(→))，eq\o(AC,\s\up12(→))，然后证明eq\o(AB,\s\up12(→))＝λeq\o(AC,\s\up12(→))即可．问题探究3：你能写出a的单位向量吗？提示：±eq\f(a,|a|).1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)若向量a，b共线，则向量a，b的方向相同．()(2)若a∥b，b∥c，则a∥c.()(3)△ABC中，D是BC中点，则eq\o(AD,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up12(→))＋eq\o(AB,\s\up12(→)))．()(4)向量eq\o(AB,\s\up12(→))与向量eq\o(CD,\s\up12(→))是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．()(5)若a∥b，则∃λ∈R使b＝λa.()[答案](1)×(2)×(3)√(4)×(5)×2．若A、B、C、D是平面内任意四点，给出下列式子：①eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(CD,\s\up12(→))＝eq\o(BC,\s\up12(→))＋eq\o(DA,\s\up12(→))；②eq\o(AC,\s\up12(→))＋eq\o(BD,\s\up12(→))＝eq\o(BC,\s\up12(→))＋eq\o(AD,\s\up12(→))；③eq\o(AC,\s\up12(→))－eq\o(BD,\s\up12(→))＝eq\o(DC,\s\up12(→))＋eq\o(AB,\s\up12(→)).其中正确的有()A．0个 B．1个C．2个 D．3个[解析]①式的等价式是eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\o(BC,\s\up12(→))＝eq\o(DA,\s\up12(→))－eq\o(CD,\s\up12(→))，左边＝eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(CB,\s\up12(→))，右边＝eq\o(DA,\s\up12(→))＋eq\o(DC,\s\up12(→))，不一定相等；②式的等价式是eq\o(AC,\s\up12(→))－eq\o(BC,\s\up12(→))＝eq\o(AD,\s\up12(→))－eq\o(BD,\s\up12(→))，eq\o(AC,\s\up12(→))＋eq\o(CB,\s\up12(→))＝eq\o(AD,\s\up12(→))＋eq\o(DB,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))成立；③式的等价式是eq\o(AC,\s\up12(→))－eq\o(DC,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BD,\s\up12(→))，eq\o(AD,\s\up12(→))＝eq\o(AD,\s\up12(→))成立．故选C.[答案]C3．在△ABC中，eq\o(AB,\s\up12(→))＝c，eq\o(AC,\s\up12(→))＝b.若点D满足eq\o(BD,\s\up12(→))＝2eq\o(DC,\s\up12(→))，则eq\o(AD,\s\up12(→))＝()A.eq\f(2,3)b＋eq\f(1,3)c B．eq\f(5,3)c－eq\f(2,3)bC.eq\f(2,3)b－eq\f(1,3)c D．eq\f(1,3)b＋eq\f(2,3)c[解析]如图所示，可知eq\o(AD,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(AC,\s\up12(→))－eq\o(AB,\s\up12(→)))＝c＋eq\f(2,3)(b－c)＝eq\f(2,3)b＋eq\f(1,3)c.故选A.[答案]A4．四边形ABCD中，eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))，且|eq\o(AD,\s\up12(→))|＝|eq\o(BC,\s\up12(→))|，则这个四边形的形状是()A．矩形 B．平行四边形C．等腰梯形 D．以上都不对[解析]由eq\o(AB,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up12(→))得，AB∥DC，且|eq\o(AB,\s\up12(→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(DC,\s\up12(→))|，∴四边形ABCD为梯形．又|eq\o(AD,\s\up12(→))|＝|eq\o(BC,\s\up12(→))|，∴四边形ABCD为等腰梯形．故选C.[答案]C5．若a，b是两个不共线的非零向量，a与b的起点相同，已知a，tb，eq\f(1,3)(a＋b)三个向量的终点在同一条直线上，则t＝________.[解析]设eq\o(OA,\s\up12(→))＝a，eq\o(OB,\s\up12(→))＝tb，eq\o(OC,\s\up12(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)，则eq\o(AC,\s\up12(→))＝eq\o(OC,\s\up12(→))－eq\o(OA,\s\up12(→))＝－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b，eq\o(AB,\s\up12(→))＝eq\o(OB,\s\up12(→))－eq\o(OA,\s\up12(→))＝tb－a.要使A，B，C三点共线，只需eq\o(AC,\s\up12(→))＝λeq\o(AB,\s\up12(→))，即－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b＝λtb－λa即可，又a，b是两个不共线的非零向量，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)＝－λ，,\f(1,3)＝λt，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(2,3)，,t＝\f(1,2)，))∴当三个向量的终点在同一条直线上时，t＝eq\f(1,2).[答案]eq\f(1,2)考点一平面向量的有关概念向量具有大小和方向两个要素．用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系．同向且等长的有向线段都表示同一向量，或者说长度相等、方向相同的向量是相等的．向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．与向量的概念有关的命题应重视零向量的影响，另外单位向量也是不可忽视的特殊向量．给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A、B、C、D是不共线的四点，则eq\o(AB,\s\up12(→))＝eq\o(DC,\s\up12(→))是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.其中正确命题的序号是________(写出所有正确命题的序号)．[解题指导]切入点：平面向量的基本概念；关键点：特殊向量对命题的影响．[解析]①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．②正确．∵eq\o(AB,\s\up12(→))＝eq\o(DC,\s\up12(→))，∴|eq\o(AB,\s\up12(→))|＝|eq\o(DC,\s\up12(→))|且eq\o(AB,\s\up12(→))∥eq\o(DC,\s\up12(→))，又∵A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则eq\o(AB,\s\up12(→))∥eq\o(DC,\s\up12(→))且|eq\o(AB,\s\up12(→))|＝|eq\o(DC,\s\up12(→))|，因此，eq\o(AB,\s\up12(→))＝eq\o(DC,\s\up12(→)).③正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同；又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.④不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．综上所述，正确命题的序号是②③.[答案]②③解决这类与平面向量的概念有关的命题真假的判定问题，其关键在于透彻理解平面向量的概念，还应注意零向量的特殊性，以及两个向量相等必须满足：(1)模相等；(2)方向相同．对点训练1．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是()A．a与λa的方向相反 B．a与λ2a的方向相同C．|－λa|≥|a| D．|－λa|≥|λ|·a[解析]对于A，当λ>0时，a与λa的方向相同，当λ<0时，a与λa的方向相反，B正确；对于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定；对于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小．故选B.[答案]B2．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；③若λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；④已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中正确命题的序数为________(写出所有正确命题的序号)．[解析]①错误．两向量共线要看其方向而不是起点与终点．②正确．因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．③错误．当a＝0时，不论λ为何值，λa＝0.④错误．当λ＝μ＝0时，λa＝μb，此时，a与b可以是任意向量．[答案]②考点二平面向量的线性运算进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解．充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．在平面向量的线性运算中，充分利用平面几何中的一些性质，如三角形中位线、相似三角形、梯形中位线性质等．(1)(2015·新课标全国卷Ⅰ)设D为△ABC所在平面内一点，eq\o(BC,\s\up12(→))＝3eq\o(CD,\s\up12(→))，则()A.eq\o(AD,\s\up12(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up12(→))B.eq\o(AD,\s\up12(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up12(→))C.eq\o(AD,\s\up12(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up12(→))D.eq\o(AD,\s\up12(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up12(→))(2)(2015·北京卷)在△ABC中，点M，N满足eq\o(AM,\s\up12(→))＝2eq\o(MC,\s\up12(→))，eq\o(BN,\s\up12(→))＝eq\o(NC,\s\up12(→)).若eq\o(MN,\s\up12(→))＝xeq\o(AB,\s\up12(→))＋yeq\o(AC,\s\up12(→))，则x＝________；y＝________.[解题指导]切入点：三角形法则和平行四边形法则；关键点：数形结合、用基底表示向量．[解析](1)由题意得eq\o(AD,\s\up12(→))＝eq\o(AC,\s\up12(→))＋eq\o(CD,\s\up12(→))＝eq\o(AC,\s\up12(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up12(→))＝eq\o(AC,\s\up12(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up12(→))－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up12(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up12(→))，故选A.(2)由题中条件得eq\o(MN,\s\up12(→))＝eq\o(MC,\s\up12(→))＋eq\o(CN,\s\up12(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up12(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up12(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up12(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\o(AC,\s\up12(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\f(1,6)eq\o(AC,\s\up12(→))＝xeq\o(AB,\s\up12(→))＋yeq\o(AC,\s\up12(→))，所以x＝eq\f(1,2)，y＝－eq\f(1,6).[答案](1)A(2)eq\f(1,2)－eq\f(1,6)(1)解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化；(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．对点训练1．在▱ABCD中，eq\o(AB,\s\up12(→))＝a，eq\o(AD,\s\up12(→))＝b，eq\o(AN,\s\up12(→))＝3eq\o(NC,\s\up12(→))，M为BC的中点，则eq\o(MN,\s\up12(→))＝()A．－eq\f(1,4)a＋eq\f(1,4)b B．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)bC．a＋eq\f(1,2)b D．－eq\f(3,4)a＋eq\f(3,4)b[解析]由eq\o(AN,\s\up12(→))＝3eq\o(NC,\s\up12(→))得4eq\o(AN,\s\up12(→))＝3eq\o(AC,\s\up12(→))＝3(a＋b)，又eq\o(AM,\s\up12(→))＝a＋eq\f(1,2)b，所以eq\o(MN,\s\up12(→))＝eq\o(AN,\s\up12(→))－eq\o(AM,\s\up12(→))＝eq\f(3,4)(a＋b)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)b))＝－eq\f(1,4)a＋eq\f(1,4)b.故选A.[答案]A2．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若eq\o(AD,\s\up12(→))＝2eq\o(DB,\s\up12(→))，eq\o(CD,\s\up12(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up12(→))＋λeq\o(CB,\s\up12(→))，则λ＝()A．－eq\f(1,3) B．－eq\f(2,3)C.eq\f(1,3) D．eq\f(2,3)[解析]据向量运算的几何意义，画图如右图所示．其中D、E分别是AB和AC的三等分点，以EC和ED为邻边作平行四边形，得eq\o(CF,\s\up12(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up12(→)).故λ＝eq\f(2,3)，故选D.[答案]D3．已知点D为△ABC所在平面上一点，且满足eq\o(AD,\s\up12(→))＝eq\f(1,5)eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\f(4,5)eq\o(CA,\s\up12(→))，△ACD的面积为1，则△ABD的面积为________．[解析]由eq\o(AD,\s\up12(→))＝eq\f(1,5)eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\f(4,5)eq\o(CA,\s\up12(→))得，5eq\o(AD,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))＋4eq\o(AC,\s\up12(→))，即eq\o(AD,\s\up12(→))－eq\o(AB,\s\up12(→))＝4(eq\o(AC,\s\up12(→))－eq\o(AD,\s\up12(→)))，即eq\o(BD,\s\up12(→))＝4eq\o(DC,\s\up12(→))，∴点D在边BC上，且|eq\o(BD,\s\up12(→))|＝4|eq\o(DC,\s\up12(→))|，故△ABD的面积是△ACD的面积的4倍，故△ABD的面积为4.[答案]4

考点三共线向量1．向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想．2．证明三点共线问题，可用向量共线来解决．应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．设两个非零向量a与b不共线．(1)若eq\o(AB,\s\up12(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up12(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up12(→))＝3(a－b)．求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．[解题指导]切入点：共线向量定理；关键点：两向量具有公共点且共线；由共线向量得方程求解．[解](1)证明：∵eq\o(AB,\s\up12(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up12(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up12(→))＝3(a－b)．∴eq\o(BD,\s\up12(→))＝eq\o(BC,\s\up12(→))＋eq\o(CD,\s\up12(→))＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5eq\o(AB,\s\up12(→)).∴eq\o(AB,\s\up12(→))，eq\o(BD,\s\up12(→))共线，又它们有公共点，∴A，B，D三点共线．(2)∵ka＋b与a＋kb共线，∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即(k－λ)a＝(λk－1)b.又a，b是两不共线的非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0.∴k2－1＝0，∴k＝±1.平行向量定理的条件和结论是充要条件关系，既可以证明向量共线，也可以由向量共线求参数．利用两向量共线证明三点共线要强调有一个公共点．[拓展探究](1)在本例条件下，若eq\o(AB,\s\up12(→))＝2a＋kb，eq\o(CB,\s\up12(→))＝a＋b，eq\o(CD,\s\up12(→))＝2a－b，且A，B，D三点共线，则实数k＝________.(2)若本例改为“在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM的中点，eq\o(AN,\s\up12(→))＝λeq\o(AB,\s\up12(→))＋μeq\o(AC,\s\up12(→))”，则λ＋μ的值为________．”[解析](1)由于A，B，D三点共线，所以eq\o(AB,\s\up12(→))∥eq\o(BD,\s\up12(→))，又eq\o(AB,\s\up12(→))＝2a＋kb，eq\o(BD,\s\up12(→))＝eq\o(CD,\s\up12(→))－eq\o(CB,\s\up12(→))＝a－2b，因此有2a＋kb＝λ(a－2b)，解得k＝－4.(2)∵M为BC上任意一点，∴可设eq\o(AM,\s\up12(→))＝xeq\o(AB,\s\up12(→))＋yeq\o(AC,\s\up12(→))(x＋y＝1)．∵N为AM的中点，∴eq\o(AN,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AM,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)xeq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\f(1,2)yeq\o(AC,\s\up12(→))＝λeq\o(AB,\s\up12(→))＋μeq\o(AC,\s\up12(→))，∴λ＋μ＝eq\f(1,2)(x＋y)＝eq\f(1,2).[答案](1)－4(2)eq\f(1,2)————————方法规律总结————————[方法技巧]1．向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素．向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”．2．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．3．对于三点共线有以下结论：对于平面上的任一点O，eq\o(OA,\s\up12(→))，eq\o(OB,\s\up12(→))不共线，满足eq\o(OP,\s\up12(→))＝xeq\o(OA,\s\up12(→))＋yeq\o(OB,\s\up12(→))(x，y∈R)，则P，A，B共线⇔x＋y＝1.[易错点睛]1．解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性．2．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误．课时跟踪训练(二十五)一、选择题1．如图所示，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是()A.eq\o(AB,\s\up12(→))＝eq\o(DC,\s\up12(→))B.eq\o(AD,\s\up12(→))＋eq\o(AB,\s\up12(→))＝eq\o(AC,\s\up12(→))C.eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\o(AD,\s\up12(→))＝eq\o(BD,\s\up12(→))D.eq\o(AD,\s\up12(→))＋eq\o(CB,\s\up12(→))＝0[解析]A显然正确，由平行四边形法则知B正确．C中eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\o(AD,\s\up12(→))＝eq\o(DB,\s\up12(→))，所以错误．D中eq\o(AD,\s\up12(→))＋eq\o(CB,\s\up12(→))＝eq\o(AD,\s\up12(→))＋eq\o(DA,\s\up12(→))＝0.故选C.[答案]C2．(2015·日照期末)如图所示，已知eq\o(AB,\s\up12(→))＝2eq\o(BC,\s\up12(→))，eq\o(OA,\s\up12(→))＝a，eq\o(OB,\s\up12(→))＝b，eq\o(OC,\s\up12(→))＝c，则下面等式中成立的是()A．c＝eq\f(3,2)b－eq\f(1,2)aB．c＝2b－aC．c＝2a－bD．c＝eq\f(3,2)a－eq\f(1,2)b[解析]由eq\o(AB,\s\up12(→))＝2eq\o(BC,\s\up12(→))得eq\o(AO,\s\up12(→))＋eq\o(OB,\s\up12(→))＝2(eq\o(BO,\s\up12(→))＋eq\o(OC,\s\up12(→)))，即2eq\o(OC,\s\up12(→))＝－eq\o(OA,\s\up12(→))＋3eq\o(OB,\s\up12(→))，即c＝eq\f(3,2)b－eq\f(1,2)a.故选A.[答案]A3．(2015·宁德质检)若a，b是向量，则“a＝b”是“|a|＝|b|”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]两个向量相等指的是大小相等方向相同，所以a＝b是|a|＝|b|的充分不必要条件，故选A.[答案]A4．已知向量a，b，且eq\o(AB,\s\up12(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up12(→))＝－5a＋6b，eq\o(CD,\s\up12(→))＝7a－2b，则一定共线的三点是()A．A、B、D B．A、B、CC．B、C、D D．A、C、D[解析]eq\o(BD,\s\up12(→))＝eq\o(BC,\s\up12(→))＋eq\o(CD,\s\up12(→))＝(－5a＋6b)＋(7a－2b)＝2a＋4b＝2(a＋2b)＝2eq\o(AB,\s\up12(→))，∴eq\o(BD,\s\up12(→))与eq\o(AB,\s\up12(→))共线．又∵有公共点B，∴A、B、D三点共线．故选A.[答案]A5．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)成立的充分条件是()A．a＝－b B．a∥bC．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b|[解析]eq\f(a,|a|)表示与a同向的单位向量，eq\f(b,|b|)表示与b同向的单位向量，只要a与b同向，就有eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)，观察选项易知C满足题意．故选C.[答案]C6．(2015·嘉兴模拟)在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且eq\o(BC,\s\up12(→))＝2eq\o(CD,\s\up12(→))，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若eq\o(AO,\s\up12(→))＝xeq\o(AB,\s\up12(→))＋(1－x)eq\o(AC,\s\up12(→))，则x的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0)) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0))[解析]由eq\o(AO,\s\up12(→))＝xeq\o(AB,\s\up12(→))＋(1－x)eq\o(AC,\s\up12(→))，得eq\o(AO,\s\up12(→))－eq\o(AC,\s\up12(→))＝x(eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\o(AC,\s\up12(→)))，∴eq\o(CO,\s\up12(→))＝xeq\o(CB,\s\up12(→))＝－2xeq\o(CD,\s\up12(→))，又点O在线段CD上(与点C，D不重合)，∴0<－2x<1，∴－eq\f(1,2)<x<0.故选C.[答案]C7．(2015·银川二检)已知向量a，b，c都不平行，且λ1a＋λ2b＋λ3c＝0(λ1，λ2，λ3∈R)，则()A．λ1，λ2，λ3一定全为0B．λ1，λ2，λ3中至少有一个为0C．λ1，λ2，λ3全不为0D．λ1，λ2，λ3的值只有一组[解析]在△ABC中，设eq\o(AB,\s\up12(→))＝a，eq\o(BC,\s\up12(→))＝b，eq\o(CA,\s\up12(→))＝c，则a，b，c都不平行，且a＋b＋c＝0，排除A，B；又2a＋2b＋2c＝0，排除D.故选C.[答案]C8．已知△ABC和点M满足eq\o(MA,\s\up12(→))＋eq\o(MB,\s\up12(→))＋eq\o(MC,\s\up12(→))＝0，若存在实数m使得eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(AC,\s\up12(→))＝meq\o(AM,\s\up12(→))成立，则m＝()A．2 B．3C．4 D．5[解析]由已知条件得eq\o(MB,\s\up12(→))＋eq\o(MC,\s\up12(→))＝－eq\o(MA,\s\up12(→)).如图，延长AM交BC于点D，则D为BC的中点．延长BM交AC于点E，延长CM交AB于点F，同理可证E、F分别为AC、AB的中点，所以M为△ABC的重心，所以eq\o(AM,\s\up12(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up12(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(AC,\s\up12(→)))，即eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(AC,\s\up12(→))＝3eq\o(AM,\s\up12(→))，故m＝3.故选B.[答案]B9．(2016·济南一模)已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，动点P满足eq\o(OP,\s\up12(→))＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(OA,\s\up12(→))＋\f(1,2)\o(OB,\s\up12(→))＋2\o(OC,\s\up12(→))))，则点P一定为三角形ABC的()A．AB边中线的中点B．AB边中线的三等分点(非重心)C．重心D．AB边的中点[解析]设AB的中点为M，则eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up12(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up12(→))＝eq\o(OM,\s\up12(→))，∴eq\o(OP,\s\up12(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(OM,\s\up12(→))＋2eq\o(OC,\s\up12(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(OM,\s\up12(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OC,\s\up12(→))，即3eq\o(OP,\s\up12(→))＝eq\o(OM,\s\up12(→))＋2eq\o(OC,\s\up12(→))，也就是eq\o(MP,\s\up12(→))＝2eq\o(PC,\s\up12(→))，∴P，M，C三点共线，且P是CM上靠近C点的一个三等分点．故选B.[答案]B10．(2016·郑州检测)如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于点D，若AB＝4，且eq\o(AD,\s\up12(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up12(→))＋λeq\o(AB,\s\up12(→))(λ∈R)，则AD的长为()A．2eq\r(3) B．3eq\r(3)C．4eq\r(3) D．5eq\r(3)[解析]因为B，D，C三点共线，所以有eq\f(1,4)＋λ＝1，解得λ＝eq\f(3,4)，如图，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点M，N，则eq\o(AN,\s\up12(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up12(→))，eq\o(AM,\s\up12(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up12(→))，经计算得AN＝AM＝3，AD＝3eq\r(3).故选B.[答案]B二、填空题11．(2015·新课标全国卷Ⅱ)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________.[解析]由于λa＋b与a＋2b平行，所以存在μ∈R，使得λa＋b＝μ(a＋2b)，即(λ－μ)a＋(1－2μ)b＝0，因为向量a，b不平行，所以λ－μ＝0,1－2μ＝0，解得λ＝μ＝eq\f(1,2).[答案]eq\f(1,2)12．在△ABC中，eq\o(CA,\s\up12(→))＝a，eq\o(CB,\s\up12(→))＝b，M是CB的中点，N是AB的中点，且CN、AM交于点P，则eq\o(AP,\s\up12(→))＝________(用a，b表示)．[解析]如图所示，eq\o(AP,\s\up12(→))＝eq\o(AC,\s\up12(→))＋eq\o(CP,\s\up12(→))＝－eq\o(CA,\s\up12(→))＋eq\f(2,3)eq\o(CN,\s\up12(→))＝－eq\o(CA,\s\up12(→))＋eq\f(2,3)×eq\f(1,2)(eq\o(CA,\s\up12(→))＋eq\o(CB,\s\up12(→)))＝－eq\o(CA,\s\up12(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up12(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CB,\s\up12(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(CA,\s\up12(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CB,\s\up12(→))＝－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b.[答案]－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b13．(2016·合肥质检)已知△ABC的面积为12，P是△ABC所在平面上的一点，满足eq\o(PA,\s\up12(→))＋eq\o(PB,\s\up12(→))＋2eq\o(PC,\s\up12(→))＝3eq\o(AB,\s\up12(→))，则△ABP的面积为________．[解析]由eq\o(PA,\s\up12(→))＋eq\o(PB,\s\up12(→))＋2eq\o(PC,\s\up12(→))＝3eq\o(AB,\s\up12(→))，得eq\o(PA,\s\up12(→))＋eq\o(PB,\s\up12(→))＋2eq\o(PC,\s\up12(→))＝3eq\o(PB,\s\up12(→))－3eq\o(PA,\s\up12(→))，∴4eq\o(PA,\s\up12(→))＋2(eq\o(PC,\s\up12(→))－eq\o(PB,\s\up12(→)))＝0，∴2eq\o(PA,\s\up12(→))＝eq\o(CB,\s\up12(→))，由此可得PA与CB平行且|CB|＝2|PA|，故△ABP的面积为△ABC的面积的一半．又△ABC的面积为12，故△ABP的面积为6.[答案]6三、解答题14．设两个非零向量e1和e2不共线，如果eq\o(AB,\s\up12(→))＝e1－e2，eq\o(BC,\s\up12(→))＝3e1＋2e2，eq\o(CD,\s\up12(→))＝－8e1－2e2，求证：A、C、D三点共线．[证明]eq\o(AB,\s\up12(→))＝e1－e2，eq\o(BC,\s\up12(→))＝3e1＋2e2，eq\o(CD,\s\up12(→))＝－8e1－2e2，eq\o(AC,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→))＝4e1＋e2＝－eq\f(1,2)(－8e1－2e2)＝－eq\f(1,2)eq\o(CD,\s\up12(→)).∴eq\o(AC,\s\up12(→))与eq\o(CD,\s\up12(→))共线．又∵eq\o(AC,\s\up12(→))与eq\o(CD,\s\up12(→))有公共点C，∴A、C、D三点共线．15．在△ABC中，E，F分别为AC，AB的中点，BE与CF相交于G点，设eq\o(AB,\s\up12(→))＝a，eq\o(AC,\s\up12(→))＝b，试用a，b表示eq\o(AG,\s\up12(→)).[解]解法一：eq\o(AG,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BG,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))＋λeq\o(BE,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\f(λ,2)(eq\o(BA,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(λ,2)))eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\f(λ,2)(eq\o(AC,\s\up12(→))－eq\o(AB,\s\up12(→)))＝(1－λ)eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\f(λ,2)eq\o(AC,\s\up12(→))＝(1－λ)a＋eq\f(λ,2)b.又eq\o(AG,\s\up12(→))＝eq\o(AC,\s\up12(→))＋eq\o(CG,\s\up12(→))＝eq\o(AC,\s\up12(→))＋meq\o(CF,\s\up12(→))＝eq\o(AC,\s\up12(→))＋eq\f(m,2)(eq\o(CA,\s\up12(→))＋eq\o(CB,\s\up12(→)))＝(1－m)eq\o(AC,\s\up12(→))＋eq\f(m,2)eq\o(AB,\s\up12(→))＝eq\f(m,2)a＋(1－m)b，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－λ＝\f(m,2)，,1－m＝\f(λ,2)，))解得λ＝m＝eq\f(2,3)，∴eq\o(AG,\s\up12(→))＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b.解法二：连AG并延长交BC于M，由G为△ABC的重心，得eq\o(AG,\s\up12(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AM,\s\up12(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(AC,\s\up12(→)))＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b.16．已知点G是△ABO的重心，M是AB边的中点．(1)求eq\o(GA,\s\up12(→))＋eq\o(GB,\s\up12(→))＋eq\o(GO,\s\up12(→))；(2)若PQ过△ABO的重心G，且eq\o(OA,\s\up12(→))＝a，eq\o(OB,\s\up12(→))＝b，eq\o(OP,\s\up12(→))＝ma，eq\o(OQ,\s\up12(→))＝nb，求证：eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝3.[解](1)∵eq\o(GA,\s\up12(→))＋eq\o(GB,\s\up12(→))＝2eq\o(GM,\s\up12(→))，又2eq\o(GM,\s\up12(→))＝－eq\o(GO,\s\up12(→))，∴eq\o(GA,\s\up12(→))＋eq\o(GB,\s\up12(→))＋eq\o(GO,\s\up12(→))＝－eq\o(GO,\s\up12(→))＋eq\o(GO,\s\up12(→))＝0.(2)证明：显然eq\o(OM,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)．因为G是△ABO的重心，所以eq\o(OG,\s\up12(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OM,\s\up12(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)．由P，G，Q三点共线，得eq\o(PG,\s\up12(→))∥eq\o(GQ,\s\up12(→))，所以，有且只有一个实数λ，使eq\o(PG,\s\up12(→))＝λeq\o(GQ,\s\up12(→)).而eq\o(PG,\s\up12(→))＝eq\o(OG,\s\up12(→))－eq\o(OP,\s\up12(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)－ma＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－m))＋a＋eq\f(1,3)b，eq\o(GQ,\s\up12(→))＝eq\o(OQ,\s\up12(→))－eq\o(OG,\s\up12(→))＝nb－eq\f(1,3)(a＋b)＝－eq\f(1,3)a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(1,3)))b，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－m))a＋eq\f(1,3)b＝λeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)a＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(1,3)))b)).又因为a，b不共线，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－m＝－\f(1,3)λ，,\f(1,3)＝λ\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(1,3)))，))消去λ，整理得3mn＝m＋n，故eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝3.第二节平面向量的基本定理及坐标表示最新考纲：1.了解平面向量的基本定理及其意义；2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．1．平面向量基本定理及坐标表示(1)平面向量基本定理定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2其中，不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．(2)平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量正交分解．(3)平面向量的坐标表示①在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底．对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y使a＝xi＋yj，把有序数对(x，y)叫作向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫作a在x轴上的坐标，y叫作a在y轴上的坐标．②设eq\o(OA,\s\up12(→))＝xi＋yj，则向量eq\o(OA,\s\up12(→))的坐标(x，y)就是终点A的坐标，即若eq\o(OA,\s\up12(→))＝(x，y)，则A点坐标为(x，y)，反之亦成立(O是坐标原点)．问题探究1：平面内任一向量用两已知不共线向量e1、e2表示时，结果唯一吗？平面内任何两个向量a、b都能作一组基底吗？提示：表示结果唯一．平面内只有不共线的两个向量才能作基底．问题探究2：向量的坐标与点的坐标有何不同？提示：向量的坐标与点的坐标有所不同，相等向量的坐标是相同的，但起点、终点的坐标却可以不同，以原点O为起点的向量eq\o(OA,\s\up12(→))的坐标与点A的坐标相同．2．平面向量的坐标运算(1)加法、减法、数乘运算设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2)，a－b＝(a1－b1，a2－b2)，λa＝(λa1，λa2)．(2)向量坐标的求法已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\o(AB,\s\up12(→))＝(x2－x1，y2－y1)，即一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去始点的坐标．(3)平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a与b共线⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0.问题探究3：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件能表示成eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)吗？提示：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2－x2y1＝0.同时，a∥b的充要条件也不能错记为：x1x2－y1y2＝0，x1y1－x2y2＝0等．1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．()(2)同一向量在不同基底下的表示是相同的．()(3)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.()(4)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．()(5)已知点A(2,1)，B(－1,3)，则eq\o(AB,\s\up12(→))＝(－3,2)．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)×(5)√2．(2015·新课标全国卷Ⅰ)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量eq\o(AC,\s\up12(→))＝(－4，－3)，则向量eq\o(BC,\s\up12(→))＝()A．(－7，－4) B．(7,4)C．(－1,4) D．(1,4)[解析]设C(x，y)，∵A(0,1)，eq\o(AC,\s\up12(→))＝(－4，－3)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－4，,y－1＝－3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－4，,y＝－2，))∴C(－4，－2)，又B(3,2)，∴eq\o(BC,\s\up12(→))＝(－7，－4)，故选A.[答案]A3．已知a＝(4,5)，b＝(8，y)且a∥b，则y等于()A．5 B．10C.eq\f(32,5) D．15[解析]∵a∥b，∴4y－40＝0得y＝10.故选B.[答案]B4．(2016·贵州调研)在下列向量组中，可以把向量a＝(3,2)表示出来的是()A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2) B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10) D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3)[解析]解法一：若e1＝(0,0)，e2＝(1,2)，则e1∥e2，而a不能由e1，e2表示，排除A；若e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)，因为eq\f(－1,5)≠eq\f(2,－2)，所以e1，e2不共线，根据平面向量基本定理，可以把向量a＝(3,2)表示出来，故选B.解法二：因为a＝(3,2)，若e1＝(0,0)，e2＝(1,2)，不存在实数λ，μ，使得a＝λe1＋μe2，排除A；若e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)，设存在实数λ，μ，使得a＝λe1＋μe2，则(3,2)＝(－λ＋5μ，2λ－2μ)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＝－λ＋5μ，,2＝2λ－2μ，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝2，,μ＝1，))所以a＝2e1＋e2，故选B.[答案]B5．(2016·青岛期末)设i，j是平面直角坐标系(坐标原点为O)内分别与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量，且eq\o(OA,\s\up12(→))＝－2i＋j，eq\o(OB,\s\up12(→))＝4i＋3j，则△OAB的面积等于________．[解析]解法一：由题意得点A的坐标为(－2,1)，点B的坐标为(4,3)，|eq\o(OA,\s\up12(→))|＝eq\r(5)，|eq\o(OB,\s\up12(→))|＝5.又tan∠AOB＝tan(∠AOy＋∠BOy)＝eq\f(tan∠AOy＋tan∠BOy,1－tan∠AOy·tan∠BOy)＝eq\f(2＋\f(4,3),1－2×\f(4,3))＝－2，所以sin∠AOB＝eq\f(2,\r(5)).所以S△AOB＝eq\f(1,2)|eq\o(OA,\s\up12(→))||eq\o(OB,\s\up12(→))|sin∠AOB＝eq\f(1,2)×5eq\r(5)×eq\f(2,\r(5))＝5.解法二：由题意得A(－2,1)，B(4,3)，如图，S△AOB＝S梯形AA1B1B－S△AA1O－S△BB1O＝eq\f(1,2)×(1＋3)×6－eq\f(1,2)×2×1－eq\f(1,2)×4×3＝5.[答案]5

考点一平面向量基本定理及其应用1．以平面内任意两个不共线的向量为一组基底，该平面内的任意一个向量都可表示成这组基底的线性组合，基底不同，表示也不同．2．对于两个向量a，b，将它们用同一组基底表示，我们可通过分析这两个表示式的关系，来反映a，b.3．利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或进行数乘运算．O为直线AB外一点，P为直线AB上任一点，则eq\o(OP,\s\up12(→))＝λeq\o(OA,\s\up12(→))＋μeq\o(OB,\s\up12(→))，其中λ＋μ＝1.(1)如图所示，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，eq\o(AB,\s\up12(→))＝a，eq\o(AC,\s\up12(→))＝b，则eq\o(AD,\s\up12(→))＝()A．a－eq\f(1,2)b B．eq\f(1,2)a－bC．a＋eq\f(1,2)b D．eq\f(1,2)a＋b(2)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝eq\f(1,2)AB，BE＝eq\f(2,3)BC.若eq\o(DE,\s\up12(→))＝λ1eq\o(AB,\s\up12(→))＋λ2eq\o(AC,\s\up12(→))(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．[解题指导]切入点：平面向量基本定理；关键点：把其他向量用eq\o(AB,\s\up12(→))、eq\o(AC,\s\up12(→))表示．[解析](1)连接CD，由点C，D是半圆弧的三等分点，得CD∥AB且eq\o(CD,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)a，所以eq\o(AD,\s\up12(→))＝eq\o(AC,\s\up12(→))＋eq\o(CD,\s\up12(→))＝b＋eq\f(1,2)a.故选D.(2)eq\o(DE,\s\up12(→))＝eq\o(DB,\s\up12(→))＋eq\o(BE,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(BA,\s\up12(→))＋eq\o(AC,\s\up12(→)))＝－eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up12(→))，所以λ1＝－eq\f(1,6)，λ2＝eq\f(2,3)，即λ1＋λ2＝eq\f(1,2).[答案](1)D(2)eq\f(1,2)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用．当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的．[拓展探究]若本例(2)改为“在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且eq\o(BC,\s\up12(→))＝3eq\o(CD,\s\up12(→))，点O在线段CD上(与点C、D不重合)，若eq\o(AO,\s\up12(→))＝xeq\o(AB,\s\up12(→))＋(1－x)eq\o(AC,\s\up12(→))”，则x的取值范围是________．[解析]解法一：依题意，设eq\o(BO,\s\up12(→))＝λeq\o(BC,\s\up12(→))，其中1<λ<eq\f(4,3)，则有eq\o(AO,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BO,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))＋λeq\o(BC,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))＋λ(eq\o(AC,\s\up12(→))－eq\o(AB,\s\up12(→)))＝(1－λ)eq\o(AB,\s\up12(→))＋λeq\o(AC,\s\up12(→)).又eq\o(AO,\s\up12(→))＝xeq\o(AB,\s\up12(→))＋(1－x)eq\o(AC,\s\up12(→))，且eq\o(AB,\s\up12(→))、eq\o(AC,\s\up12(→))不共线，于是有x＝1－λ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0))，即x的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0)).解法二：∵eq\o(AO,\s\up12(→))＝xeq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(AC,\s\up12(→))－xeq\o(AC,\s\up12(→))，∴eq\o(AO,\s\up12(→))－eq\o(AC,\s\up12(→))＝x(eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\o(AC,\s\up12(→)))，即eq\o(CO,\s\up12(→))＝xeq\o(CB,\s\up12(→))＝－3xeq\o(CD,\s\up12(→))，∵O在线段CD(不含C、D两点)上，∴0<－3x<1，∴－eq\f(1,3)<x<0.[答案]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0))考点二平面向量的坐标运算1．平面向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，就可以使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算．2．平面向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标．解题过程中要注意方程思想的运用．3．利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出线性系数．(1)已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量eq\o(AB,\s\up12(→))同方向的单位向量为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－\f(4,5))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，－\f(3,5)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，\f(4,5))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，\f(3,5)))(2)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示．若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则eq\f(λ,μ)＝__________.[解题指导]切入点：平面向量用坐标表示；关键点：运算顺序及适当的建立坐标系．[解析](1)由已知，得eq\o(AB,\s\up12(→))＝(3，－4)，所以|eq\o(AB,\s\up12(→))|＝5，因此与eq\o(AB,\s\up12(→))同方向的单位向量是eq\f(1,5)eq\o(AB,\s\up12(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－\f(4,5))).故选A.(2)以向量a和b的交点为坐标原点建立如图所示的坐标系，令每个小正方形的边长为1个单位，则A(1，－1)，B(6,2)，C(5，－1)，所以a＝eq\o(AO,\s\up12(→))＝(－1,1)，b＝eq\o(OB,\s\up12(→))＝(6,2)，c＝eq\o(BC,\s\up12(→))＝(－1，－3)．由c＝λa＋μb可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1＝－λ＋6μ，,－3＝λ＋2μ，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－2，,μ＝－\f(1,2)，))所以eq\f(λ,μ)＝4.[答案](1)A(2)4(1)平面向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标；(2)用平面向量解决相关问题时，在便于建立平面直角坐标系的情况下建立平面直角坐标系，可以使向量的坐标运算更简便．对点训练1．(2016·沈阳质量监测)已知在▱ABCD中，eq\o(AD,\s\up12(→))＝(2,8)，eq\o(AB,\s\up12(→))＝(－3,4)，对角线AC与BD相交于点M，则eq\o(AM,\s\up12(→))＝()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－6)) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，6))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－6)) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，6))[解析]因为在▱ABCD中，有eq\o(AC,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(AD,\s\up12(→))，eq\o(AM,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up12(→))，所以eq\o(AM,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(AD,\s\up12(→)))＝eq\f(1,2)×(－1,12)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，6))，故选B.[答案]B2．设点A(2,0)，B(4,2)，若点P在线段AB上，且|eq\o(AB,\s\up12(→))|＝2|eq\o(AP,\s\up12(→))|，则P的坐标为()A．(3,1) B．(1，－1)C．(3,1)或(1，－1)D无数多个[解析]设P(x，y)，由题得eq\o(AB,\s\up12(→))＝2eq\o(AP,\s\up12(→))，而eq\o(AB,\s\up12(→))＝(2,2)，eq\o(AP,\s\up12(→))＝(x－2，y)，故(2,2)＝2(x－2，y)，解得x＝3，y＝1，所以P的坐标为(3,1)．故选A.[答案]A3．(2016·福建质检)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝eq\r(3)，P为矩形内一点，且AP＝eq\f(\r(3),2).若eq\o(AP,\s\up12(→))＝λeq\o(AB,\s\up12(→))＋μeq\o(AD,\s\up12(→))(λ，μ∈R)，则λ＋eq\r(3)μ的最大值为()A.eq\f(3,2) B．eq\f(\r(6),2)C.eq\f(3＋\r(3),4) D．eq\f(\r(6)＋3\r(2),4)[解析]以点A为原点、AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则B(1,0)，D(0，eq\r(3))，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)cosθ，\f(\r(3),2)sinθ))，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，由eq\o(AP,\s\up12(→))＝λeq\o(AB,\s\up12(→))＋μeq\o(AD,\s\up12(→))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)cosθ＝λ，,\f(\r(3),2)sinθ＝\r(3)μ，))∴λ＋eq\r(3)μ＝eq\f(\r(3),2)(sinθ＋cosθ)＝eq\f(\r(6),2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))≤eq\f(\r(6),2)，仅当θ＋eq\f(π,4)＝eq\f(π,2)，即θ＝eq\f(π,4)时取等号．故选B.[答案]B考点三向量共线的坐标表示1．两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；(2)若a∥b(a≠0)，则b＝λa.2．向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解．平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)，请解答下列问题：(1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；(3)若d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝eq\r(5)，求d.[解题指导]切入点：共线向量的坐标表示；关键点：方程思想的运用．[解](1)由题意得(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－m＋4n＝3，,2m＋n＝2，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(5,9)，,n＝\f(8,9).))(2)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，∵(a＋kc)∥(2b－a)，∴2×(3＋4k)－(－5)(2＋k)＝0，∴k＝－eq\f(16,13).(3)设d＝(x，y)，d－c＝(x－4，y－1)，a＋b＝(2,4)，由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x－4－2y－1＝0，,x－42＋y－12＝5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝－1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝3，))∴d＝(3，－1)或d＝(5,3)．(1)运用向量的坐标表示，使向量的运算完全代数化，将数与形有机的结合；(2)根据平行的条件建立方程求参数，是解决这类题目的常用方法，充分体现了方程思想在向量中的应用．对点训练1．已知a、b是不共线的向量，若eq\o(AB,\s\up12(→))＝λ1a＋b，eq\o(AC,\s\up12(→))＝a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，则A、B、C三点共线的充要条件为()A．λ1＝λ2＝－1 B．λ1＝λ2＝1C．λ1λ2＋1＝0 D．λ1λ2－1＝0[解析]由于向量eq\o(AC,\s\up12(→))，eq\o(AB,\s\up12(→))有公共起点，因此A、B、C三点共线只要eq\o(AC,\s\up12(→))，eq\o(AB,\s\up12(→))共线即可，根据向量共线的条件知存在实数λ使得eq\o(AC,\s\up12(→))＝λeq\o(AB,\s\up12(→))(λ∈R)，即a＋λ2b＝λ(λ1a＋b)，由于a、b不共线，根据平面向量基本定理得1＝λλ1且λ2＝λ，消掉λ得λ1λ2＝1.故选D.[答案]D2．已知向量a＝(eq\r(3)，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，eq\r(3))．若a－2b与c共线，则k＝________.[解析]∵a＝(eq\r(3)，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，eq\r(3))∴a－2b＝(eq\r(3)，1)－(0，－2)＝(eq\r(3)，3)又∵a－2b与c共线，∴3k－3＝0，∴k＝1.[答案]13．已知向量eq\o(OA,\s\up12(→))＝(3，－4)，eq