函数的单调性与凹凸性

关于函数的单调性与凹凸性第一页，共五十五页，2022年，8月28日特点:一、泰勒公式的建立以直代曲在微分应用中已知近似公式:需要解决的问题如何提高精度?如何估计误差?x的一次多项式第二页，共五十五页，2022年，8月28日1.求

n

次多项式要求:故令则近似等于第三页，共五十五页，2022年，8月28日2.余项估计令(称为余项),则有第四页，共五十五页，2022年，8月28日第五页，共五十五页，2022年，8月28日公式①称为的n

阶泰勒公式.公式②称为n

阶泰勒公式的拉格朗日余项.泰勒中值定理:阶的导数,时,有①其中②则当第六页，共五十五页，2022年，8月28日公式③称为n阶泰勒公式的佩亚诺(Peano)余项.在不需要余项的精确表达式时,泰勒公式可写为注意到③④*可以证明:④式成立第七页，共五十五页，2022年，8月28日特例:(1)当n=0

时,泰勒公式变为(2)当n=1时,泰勒公式变为给出拉格朗日中值定理可见误差第八页，共五十五页，2022年，8月28日称为麦克劳林（Maclaurin）公式.则有在泰勒公式中若取则有误差估计式若在公式成立的区间上由此得近似公式第九页，共五十五页，2022年，8月28日二、几个初等函数的麦克劳林公式其中第十页，共五十五页，2022年，8月28日其中第十一页，共五十五页，2022年，8月28日42246420246泰勒多项式逼近第十二页，共五十五页，2022年，8月28日42246420246泰勒多项式逼近第十三页，共五十五页，2022年，8月28日类似可得其中第十四页，共五十五页，2022年，8月28日其中第十五页，共五十五页，2022年，8月28日已知其中类似可得第十六页，共五十五页，2022年，8月28日三、泰勒公式的应用1.在近似计算中的应用

误差M

为在包含0,x的某区间上的上界.需解问题的类型:1)已知x和误差限,要求确定项数

n;2)已知项数

n和x,计算近似值并估计误差;3)已知项数n和误差限,确定公式中x的适用范围.第十七页，共五十五页，2022年，8月28日已知例1.计算无理数e的近似值,使误差不超过解:令x=1,得由于欲使由计算可知当

n=9

时上式成立,因此的麦克劳林公式为第十八页，共五十五页，2022年，8月28日说明:注意舍入误差对计算结果的影响.本例若每项四舍五入到小数点后6位,则

各项舍入误差之和不超过总误差为这时得到的近似值不能保证误差不超过因此计算时中间结果应比精度要求多取一位.第十九页，共五十五页，2022年，8月28日2.利用泰勒公式求极限例3.求解:由于用洛必塔法则不方便

!用泰勒公式将分子展到项,第二十页，共五十五页，2022年，8月28日3.利用泰勒公式证明不等式例4.证明证:第二十一页，共五十五页，2022年，8月28日内容小结1.泰勒公式其中余项当时为麦克劳林公式.第二十二页，共五十五页，2022年，8月28日2.常用函数的麦克劳林公式

(P140~P142)3.泰勒公式的应用(1)近似计算(3)其他应用求极限,证明不等式等.(2)利用多项式逼近函数,第二十三页，共五十五页，2022年，8月28日思考与练习

计算解:原式第二十四页，共五十五页，2022年，8月28日由题设对证:例.有且第二十五页，共五十五页，2022年，8月28日下式减上式,得令第二十六页，共五十五页，2022年，8月28日两边同乘

n!=整数+假设

e

为有理数(p,q

为正整数),则当

时,等式左边为整数;矛盾!2.证明e为无理数.

证:时,当故e为无理数.等式右边不可能为整数.第二十七页，共五十五页，2022年，8月28日泰勒

(1685–1731)英国数学家,他早期是牛顿学派最优秀的代表人物之一,重要著作有:《正的和反的增量方法》(1715)《线性透视论》(1719)他在1712年就得到了现代形式的泰勒公式.他是有限差分理论的奠基人.第二十八页，共五十五页，2022年，8月28日麦克劳林(1698–1746)英国数学家,著作有:《流数论》(1742)《有机几何学》(1720)《代数论》(1742)在第一本著作中给出了后人以他的名字命名的麦克劳林级数.第二十九页，共五十五页，2022年，8月28日一、函数单调性的判定法二、曲线的凹凸与拐点第四节函数的单调性与

曲线的凹凸性第三十页，共五十五页，2022年，8月28日一、函数单调性的判定法第三十一页，共五十五页，2022年，8月28日那么函数在[a,b]上单调增加；(2)如果在(a,b)内那么函数在[a,b]上单调减少.1.判定定理：定理1.设函数在[a,b]上连续,在(a,b)内可导.(1)如果在(a,b)内(1)证明：设：则由中值定理：第三十二页，共五十五页，2022年，8月28日1)若函数在驻点两边导数同号,则不改变函数的单调性.说明:2)函数单调区间的分界点也可能是不可导点.

一般地,如果在某区间内的有限个点处为零，在其余各点处均为正(或负)时,在该区间上仍旧是单调增加(或单调减少)的.那么第三十三页，共五十五页，2022年，8月28日求函数导数求函数的驻点以驻点为端点将定义域划分成若干个子区间；在各子区间内分别判别导数的符号,写出各单调区间.2.函数单调区间的求解步骤:导数为0或导数不存在的点称为驻点从而确定其单调性；第三十四页，共五十五页，2022年，8月28日例2.讨论函数的单调性.在区间上的单调性.例1.判断函数解：令：单调增在得：解：令：得：函数为单调减函数为单调增当当时时第三十五页，共五十五页，2022年，8月28日例3.确定函数的单调区间.解：令：得：所以函数为单调减区间为函数为单调增区间为第三十六页，共五十五页，2022年，8月28日例4.确定函数的单调区间.解：令：得：所以函数为单调减区间为函数为单调增区间为第三十七页，共五十五页，2022年，8月28日例5.

当时成立.3.应用:利用函数的单调性可以证明不等式证明：当时,试证：时有即：函数为单调增函数第三十八页，共五十五页，2022年，8月28日例6.当时证明：当时,试证：时有即：为单调增函数无法判断正负号为单调增函数时所以有：第三十九页，共五十五页，2022年，8月28日例7.

证明方程只有一个实根.证明方程根的唯一性:证明:在连续至少存在一点使得为原方程的根又所以函数在为单调增函数与x轴最多有一个交点证毕第四十页，共五十五页，2022年，8月28日上则或的大小顺序是()B1.设在思考与练习2.证明：当时，第四十一页，共五十五页，2022年，8月28日二、曲线的凹凸性与拐点对于单调增函数图形可以形如ACB也可以形如ADB第四十二页，共五十五页，2022年，8月28日定义.设函数在区间I上连续,(1)若恒有则称的图形是凹的;(2)若恒有则称的图形是凸的.1.曲线凹凸性的定义：第四十三页，共五十五页，2022年，8月28日例.利用定义判断曲线的凹凸性.解：所以凹的.第四十四页，共五十五页，2022年，8月28日第四十五页，共五十五页，2022年，8月28日(1)在I内则在I内图形是凹的;(2)在

I内则在I

内图形是凸的.设函数在区间I

上有二阶导数2.曲线凹凸性的判定：定理2.(凹凸判定法)第四十六页，共五十五页，2022年，8月28日证明:设:则所以：其中凹的第四十七页，共五十五页，2022年，8月28日曲线的凹凸区间的求解步骤:从而判断曲线弧的凹凸性；求函数一阶二阶导数及二阶导数不存在的点；

令：以驻点为端点将定义域划分成若干个子区间；在各子区间内分别判别二阶导数的符号,第四十八页，共五十五页，2022年，8月28日例８.判断曲线的凹凸性.解：令：得：时当当时函数图形为凸.函数图形为凹.第四十九页，共五十五页，2022年，8月28日1)定义:

连续曲线上凹弧和凸弧的分界点称为拐点.3.曲线的拐点及其判定：2)拐点的必要条件:

定理3.如果内具有二阶连续导数,在是拐点,则注:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.

且点第五十页，共五十五页，2022年，8月28日说明:1)若在某点二阶导数为0,则曲线的凹凸性不变.在其两侧二阶导数不变号,2)函数二阶导数不存在的点也可能是曲线的拐点.第五十一页，共五十五页，2022年，8月28日例９.求曲线的凹凸区间及拐点.