信号与线性系统题解 阎鸿森 第三章

信号与线性系统题解阎鸿森第三章习题答案y(t)xth(t)：x(t)etu(t) h(t)etu(t) （对和两种情况都做。(b) x(t)u(t)2u(t2)u(t5)(c) x(t)e3tu(t) h(t)ut1

h(t)e2t(d)

etx(t)e5t

t0et,t0

h(t)u(t)u(t1)(e) x(t)sint(t)u(t2)x(t)h(t)P3.1(a)所示。x(t)h(t)P3.1(b)

h(t)u(2t)解：(a) y(t)x(t)h(t)

图P3.1tee(t)dette()d (t0)当y(t)

0e()t

0etu(t)当y(t)teu(t)PS3.1(a)知，当t1y(t0

e2(t)d5e2(t)d2

12 e2t2e2(t2)e2(t5)2当1t3y(t

2t

e2(t)d5e2(t)d2

12e22e2(t2)e2(t5)2当3t6y(t5t1

e2(t)d1e2(t5)e22当t6y(t)02由图PS3.1(b)知，当t1y(t)0当t1y(t1

t0

e3d

13 e3(t1)3y(t)3

t

u1)PS3.1(d)知：当t0y(ttt1

edet0

et1t 1 4当0t1y(t

t

ed

(e0

2e)d2et

e5te(t1)5 5当t1y(t如下图所示：

tt

(e

2e)d

1e55

1e5(t1)5

2et2e(t1)(f)令h(t)ht 1(t2)，则y(t)x(t)h(t)

x(t2)1 3 1 3由图PS3.1(h)y(t)x(th1

(t)

t 4(ab)dt13

2a(2t1)4b3 3 y(t)2

4 1( 1b

1a

batb 3 3 3 3(g) x(ty(txth(t2。因y(t)PS3.1(j)可知：1 1 1 t 1当 t 时，y(t)2(1t)d(1t)d

tt22 2 t1

1 421 3 1 t 7当 t 时，y(t)2(1t)d(1t)dt23t 2 2 t1 1 42 y(t)的一个周期为1 1 1tt2, t )y(t)

4 2 2t23t7,(1t3) 4 2 2图PS3.1yn)xnhnx(n)nu(n)x(n)2nu(n

h(n)nu(nh(n)u(n)

(c) x(n)(1)nu(n)u(n8) h(n)u(n)u(n8)xn)hn)P3.2(a)所示。xn)hn)P3.2(b)所示。xn)hn)P3.2(c)所示。xx(n)2132 1012nh(h(n)11023451xx(n)10123nh(n)21 012n图P3.2

(c)解：(a) y(n)x(n)*h(n)k

x(k)h(nk)nk0

knku(n)n (

( )

n1n1( )nk0

ku

unn 1m(b)当n0时，yn)2

2

21nk mn0 1m当n0时，y(n)2k 22k m0 y(n)2u(n 1nun )(c)由图PS3.2(a)知，当n8n8yn)0当8n0时，y(n)n (1) 1 1 1 k 7 n1

1(1)n12k7

2 当0n8时，y(n) 0 (1) 1 1 1 k n6

11(1)n2kn7

2 (d)PS3.2(b)知，当n1n21yn)0当1

n6yn

n1k1

n1当6n

1yn

71kn1

12n当n11yn)2当12n

15

y(n

n1k111

n10当16n

20

y(n

161kn1

(n4)

1

21n(e)3.2-1可得：y(2) 1, ( ) 2 1y1, 0) 1

1,(1y(2 1 y, () 1

3, (4

1y2

3 (5)

1 2,y(61, n2或n6时，y(n)0(f)3.2-2可得,当n3n5yn)0y(3( ) 1y3,(1) 3 y2502y(1 1y(4

1 y6,()1, 5) 1

2 6,(3

2 3 5,各信号波形如图P3.3所示，求下列卷积:x1

(t)x2

(t) (b) x1

(t)x3

(t)(c) x1

(t)x4

(t) (d) x1

(t)x2

(t)x3

(t)图P3.3解：图PS3.3LTI系统的单位冲激响应为htx(t)y(tP3.4所示。0 0 0h(tx(ty(t)x(t*h(t（y0

(t)表示即可，并画出y(t)的波形图。x(t)2x0

(t)

h(t)h0

(t)x(t)x0

(t)x0

(t2)

h(t)h0

(t)x(t)x0

(t2)

h(t)h0

(t1)x(t)x0

(t)

h(t)h0

(t)x(t)x'(t)0

h(t)h'(t)0图P3.4解：(a) x(t)2x(t), h(t)h(t)0 0y(t)2x(t)00(b) x(t)x(t)x(t2)0 0

PS3.4(a)所示。0h(t)h(t)0 y(t)y0

(t)y0

(t2) 如图PS3.4(b)所示。(c)

x(t)h(t1)y(t1), x(t2)h(t1)y(t1)0 0 0 0 0 0 y(t)

x(t2)0

h (t 10 0

1)如图PS3.4(c)所示。(d) y(t)x(t)*h(t)如图PS3.4(d)所示。

x()h0

(t)d

x()h0

(t)dy0

(t)(e) y(t)x'(t)*h'(t)y''(t) 如图PS3.4(e)所示。0 0 0对图P3.5所示的两个LTI系统的级联，已知：h(n) sin1h(n) 2

1xn)n)an1)求输出y(n)。yn)xn*h1

(n)*h2

图P3.5(n)(x(n)*h2

(n))*h1

(n)x(n)*h2

(n)anu(n)an1u(n1)an(n)(n) y(nh1

(n)*(n)h1

(n)sin8n对图P3.6-1LTI系统的互联：用h1

(n),h2

(n),h3

(n),h4

(n),h5

nhn)；(b)

1n

2当hn21

4

u(n

u(n 3)h(n)h2

(n)(n1)u(n)h(n)(n1)4h(n)(n)4(n3)5时，求hn)。(c) xn)P3.6-2(b)中所给系统的响应，并画出响应的波形图。图P3.6-1图图P3.6-2解：(a) h(n)h5

(n)h1

(n)*h2

(n)h3

(n)*h4

(n)＝h5

(n)h1

(n)*h2

(n)h1

(n)*h3

(n)*h4

(n)(b) h3

(n)*h4

(n)(n1)u(n)*(n1)nu(n1)h(n)nu(n1)(n1)u(n)nu(n1)u(n)2h(n)*h(n)h(n)*h(n)h(n)*u(n)1n

2 1k

4n

11k

42u(n) 42u(n 3) 4 (n

6 (n 1) 7u(n 2) k0 k3 h(n)5(n)6(n1)4(n3)7u(n2)(c) y(n)x(n)*h(n)5x(n)6x(n1)4x(n3)7 x(k)u(nk2)kxn*7un2)PS3.6(a)ynPS3.6(b)所示。某线性时不变系统的输入输出关系由下式表示：y(t)t

e(t)x2)dh(t是什么？x(tP3.7y(t)。解：(a) y(t)

图P3.7t e(t)x2)dt2x()e(t2)dx(t)*e(t2)u(t2) h(t) (t2)(t 2)(b)PS3.7知，当t1y(t)x(t*h(t)0当1t4y(t

t1e(2)d1e(t1)2当t4y(t

t1e(2)de(t4)t2

e(t1)图PS3.7LTI互联系统如图P3.8所示，已知：h(t) (t0

2)2)求互联系统总的单位冲激响应；(c)x(tP3.7所示时，求系统的输出响应。解：(a) h0

图P3.8(t)h(t)h(t1)e(t2)u(t2)e(t3)u(t3)PS3.8知，当t1y0

(t)x(t)*h0

(t)0当1t2y0

)

t1e(2)d1e(t1)2当2t4

(t)

3e(2)dt1e(2)e(3)d0 2 3(e1e1 e(

e(21

et

(2et 当4t5

(t)0e(

t1e(2)e(3)d33 t4)et(2)et(1)

e(2)d当t5时，y0

(t)

t1e(2t2

e(3)de(t4)

e(t2

e(t5

e(t1)(b) y0

(t)x(t)*h0

图PS3.8(t)x(t)*h(t)x(t)*h(t1)yb

(t)yb

(t1)其中yb

(t)即为3.7(b)中所求得的响应。当t1时，y0

(t)0当1t2y0

(t)1e(t1)0当2t4y(t)1et1)et2)0

e(t2)e(t1)当4t5时，y0

(t)e(t4

e(t2

e(t1)1当t5时，y0

(t)e(t4

e(t1)

e(t5

e(t2)子。(a) x(n)*h(n)g(n)x(n)*h(n)g(n)(b) anx(n)*anh(n)anx(n)*h(n)(c)y(t)x(t*h(ty(2t)2x(2t*h(2t)(d)yn)xn*hny(2n)2x(2n*h(2n)如果x(th(ty(t)x(t*h(t)是偶函数。解：(a) 错误。例如，当x(n)u(n), h(n)a(n), (0a1), g(n)(n)时，有h(n)g(n (n

x(n*hngnxn*n)xn)而xn*hngn)正确。n证明：n

nk

akunn)n)xn)。n ax(n)*ahn(n 正确。

kkk

axk

)hnk a)n nkn n

xkh(n)k(a

n h( )* ( )2x(2t*h(2t)

2x(2)h2(t)d令2

x()h(

y(2t错误。例如，当xn)n),hn)un)时，有x(2n n),h ( )u(从而可得2x(n)h ( 2n( )n()n但y(n)x(n)*h(n)u(n)， y(2n)u(n)；2x(2n)*h(2n)y(2n)正确。证明： y(t)

x)h(t)dx(t)与h(t)均为奇函数y(t)

x)h )

)h，令x( )(t )

x(h( ) yt即y(t)是偶函数。判断下列说法是否正确，并说明理由： 如果h(t)LTI系统的单位冲激响应，且h(t)统是不稳定的。LTI系统的逆系统也是因果的。 如果对任何nhn)KKhn)为单位脉冲响应LTI系统是稳定的。如果一个离散时间LTIhn)，则该系统是稳定的。如果一个LTI系统是因果的，则该系统是稳定的。一个非因果系统和一个因果系统的级联必定是非因果的。LTI系统来说，当且仅当它的阶跃响应S(t)绝对可积，也就是：

S(t)dtLTIn0Sn)统是因果的。解：(a)h(t)

h(t)dt。错误。若系统的冲激响应为(tt0显然是非因果的。

),t0

0，则其逆系统的冲激响应为(tt)，0错误。若h(n)u(n)，显然hn1；但n

h(n)，因此系统不稳定。h(n)为有限长时，必然有n

h(n)。错误。若h(tu(t，显然系统是因果的，但由于0

h(t)，因此系统不稳定。错误。若系统A的冲激响应hA

(t)(t3)，系统B的冲激响应hB

(t)(t5)；ABh(thA是因果的。

)*hB

t(t2)h(t)etu(t)S(t)

ted(1et)u(t)并不绝对可积。0u(n)k0

(nk

S(n)k0

hnk)，如果n0Sn)0，则n0hn)0n0时，h(n)0，从而必有n0，s(n)nk判断下列每一个系统的稳定性和因果性。

h(k)0。1(a) h(n)()nu(n)2(c) h(n)(0.99)nu(n)(e) h(t)e3tu(t1)h(t)e4t

(b) h(n)(0.99)nu(n3)(d) h(n)(4)nu(2n)(f) h(t)e3tu(1t)h(t)tetu(t)解：(a) n0时，h(n)0， 系统是因果的。 1n又n

h(n)

n

( )2

2 系统是稳定的。 n0时，h(n)0， 系统是非因果的。

1 2 3又n

h(n)

n

(0.9) 100 (.99

0.99)

0.99) 系统是稳定的。(c) n0时，h(n)0，n0时，h(n)0， 系统反因果。又 n

h(n)

0 n(0.9， 系统不稳定。n n0时，h(n)0, 系统非因果。又n

h(n)

(4) 2 2 n

， 系统稳定。 t0时，h(t)0， 系统是因果的。又

h(t)dte3tdt， 系统稳定。1 t0时，h(t)0， 系统非因果。又

h(t)dt1

e3tdt， 系统不稳定。 t0时，h(t)0， 系统非因果。又

h(t)dt0

e4tdt

e4tdt0

114 4

1， 系统稳定。2 t0时，h(t)0， 系统是因果的。又

h(t)dttetdt， 系统稳定。0对图P3.12所示的级联系统，已知系统ALTI系统，系统BA的逆系统。设y(t)表示系统A对x(t)的响应，y(t)是系统A对x t的响应。1 1 2 2系统Bay1

(t)

(t)的响应是什么？这里a和b是常数。2By1

(t)的响应是什么？图P3.12解：(a) 系统B是系统A的逆系统图P3.12所示的整个系统是恒等系统。系统A对ax(t)bx1

(tay2

(t)

(tBay2

(t)

(t)的响2应为ax1

(t)bx

(t)。2(b) A对x(t)y(t)，1 1 By1

(t)的响应是x1

(t)。已知图P3.13(a)所示的连续时间LTI系统的单位阶跃响应为：S(t) u(t1

2ut ) ut。2)现对图P3.13(b)所示的系统，如果x(t)u(t)u(t2)，求y(t)y(t)的波形图。h1

图P3.13(t)S'(t)(t)2(t1)(t2)1已知某连续时间LTI系统当输入为图P3.14(a)的所示