全国自考概率论与数理统计(经管类)公式

PAGEPAGE6概率论与数理统计(经管类)公式一、随机事件和概率1、随机事件及其概率运算律名称交换律结合律分配律德摩根律公式名称公式表达式公式名称公式表达式求逆公式P(A)1P(A)加法公式P(AB)P(P(B)P(AB)条件概率公式P(BA)P(AB)P(A)乘法公式P(AB)P(A)P(BA)P(AB)P(B)P(AB)全概率公式P(B)nP(A)P(BA)iii1贝叶斯公式P(AB)P(A)P(BA)jjj（逆概率公式）P(A)P(BA)jii1伯努力概型公式P(k)Ckpk(1p)nk,k0,1,nnn两件事件相互独立P(AB)P(A)P(B)；P(BA)P(B)；P(BP(B；P(BP(B1；相应公式P(BP(B1

表达式ABBA ABBA(AB)CA(BC)ABC (AB)CA(BC)A(BC)ABAC A(BC)(AB)(AC)ABAB ABAB二、随机变量及其分布1、分布函数性质P(Xb)F(b) P(aXb)F(b)F(a)2、离散型随机变量分布名称分布名称分布律0–1p)B(n,p)P(Xk)pkp)1k, kP(Xk)Ckpkp)nk,nk,nP()P(Xk)ek, kk!几何分布G(p)P(Xk)p)kp, k超几何分布H(N,M,n)P(X k) C CM NMk nk,kl,l1,,min(n,M)CnN3、连续型随机变量分布名称分布名称密度函数分布函数 1均匀分布U(ab)f(x)ba,axb0,xaF(x)xa,axb0,其他baxb指数分布E()f(x)ex,0,x0其他F(x)0,e ,xx0x0正态分布N(,2)f(x)1e(x)222xF(x)12xe(t)222 dt标准正态分布N2()x12xe2xF(x)12(t)2xe22 dt三、多维随机变量及其分布1、离散型二维随机变量边缘分布p P(Xx)P(Xx,Yy)p p P(Yy)P(Xx,Yy)pi i i j ij j j i j ijj j i i2、离散型二维随机变量条件分布p P(X

Yy

P(Xx)

,Yy)j

pij,i1,2ij i j

P(Yy)j

Pjp P(Y

Xx)

P(Xx,Yy)i j

pij,j1,2ji j i

P(Xx) Pi i3、连续型二维随机变(X,Y )的分布函数F(x,y)x

f(u,v)dvdu 4、连续型二维随机变量边缘分布函数与边缘密度函数F

(x)x f(u,v)dvdu 密度函数：f (x)

f(x,v)dvX X F (y)yY

f(u,v)dudv

f (y)Y

f(u,y)du5、二维随机变量的条件分布f(x,y) f(x,y)f (yx) ,y f (xy) ,xYX fX

(x)

XY fY

(y)四、随机变量的数字特征1、数学期望离散型随机变量：E(X)x pk kk1

EX)xfxdx2、数学期望的性质E(C)C,C为常数 E[E(X)]E(X) E(CX)CE(X)E(XY)E(X)E(Y) E(aXb)aE(X)b E(CX1 1

Cn

X)Cn 1

E(X1

)Cn

E(X)n若XYEXYEX)E(Y)(4)[E(XY)]2E2(X)E2)3、方差：D(X)E(X2)E2(X)4、方差的性质(1)D(C)0 D[D(X)]0 D(aXb)a2D(X) D(X)E(XC)2(2)DXYDXD(Y2CovX,Y) 若XYDXYDXD(Y)5、协方差：Cov(X,Y)E(XY)E(X)E(Y) 若XY相互独立则：Cov(X,Y)06、相关系数：XY

(X,Y) Cov(X,Y)

若XYXY

0即XYD(D(X) D(Y)Cov(X,X)D(X) Cov(X,Y)Cov(Y,X)Cov(XX,Y)Cov(X,Y)Cov(X,Y) Cov(aXc,bYd)abCov(X,Y)1 2 1 28、常见数学分布的期望和方差分布分布数学期望方差0-1p)二行分布B(n,p)泊松分布P()pp(1p)npnp(1p)几何分布G(p)1p1pp2超几何分布H(NMn)nMNnM(1M)NmNN N1均匀分布U(a,b)a2(ba)212正态分布N(,指数分布E()2112五、大数定律和中心极限定理1、切比雪夫不等式若EXDX2对于任意0有XEX)DX)或XEX)1DX)2、大数定律：若XX1 n

相互独立且n

2时，1n Xn i1

D1nni1

2E(X)iXX

E

)

,D(

)2且2

M则：1

XP1

E(X),(n)1 n i i i i i

n i1

n ii1

XX1

相互独立同分布，且

E(X)i

i

1 nn ni1

XPi3、中心极限定理独立同分布的中心极限定理：均值为，方差为20充分大时有：Xkkknn

~N()拉普拉斯定理：随机变量(n~B(n,p则对任意xnlim

n

x

t22e 2dt(x)2x np(1p)

n

n近似计算：

n a

k bn

bn

annP(an

Xkk1

b)P(

)n

)( )nknknn1、总体和样本X的分布函数F(x样本XX1 22、统计量

X的联合分布为F(xxn 1

x)nn k

F(x)k样本平均值：X1n Xn ii1

S

1n1

n(Xii1

X)2

1n1

n(X2nX2)ii11n11n1i1(XX)2i

样本kAk

1ni1

Xk,k1,2i样本

Bk

M kn(Xn i1

X)k,k2,3次序统计量：设样本XX1 2

X的观察值(xxn 1

xxxxn 1 2

按照由小到大的次序重新排列，得到x x x ，记取值为x 的样本分量为X ，则称(2) (n) (i) (i)X X X 为样本(X,XX)的次序统计量X min(X,XX)为最小次序统(2) (n) 1 2 n 1 2 n计量；X max(X,XX)为最大次序统计量。(n) 1 2 n3、三大抽样分布2分布：设随机变量X,XX 相互独立，且都服从标准正态分布N，则随1 2 n机变量2X2X2X2所服从的分布称为自由度为n的2分布，记为2~2(n)1 2 nE[2(nnD[2(n2nX~2(m),Y~2(n且相互独立，则XY~2(mn)Ynt分布设随机变量X~N~2(n)且X与Y独立，则随机变量 X 所Yn服从的分布称为自由度的n的t分布，记为T~t(n)性质：①

E[t(n)]D[t(n)]

nn

,(n

②limt(n)Nn

1 (x)22e 22

U~

(n1

),V~

2(n)2

U与

F(n,n)Un1Un1Vn2所服从的分布称为自由度(n,n1 2

的F分布，记为F~F(nn)1 2X~F(mn)1~F(nm)X

七、参数估计1、参数估计定义：用(X,X,X)估计总体参数，称(X,X,X)为的估计量，相应的1 2 n 1 2 n(X,X,X)为总体的估计值。1 2 n2（）离散型样本均值：XE(X)1n Xn ii1

连续型样本均值：XE(X)xf(x,)dx离散型参数：E(X2)1n X2n ii13、点估计中的最大似然估计最大似然估计法：X,X,X 取自X的样本，设X1 2 n

f(x,)[或PXX)则可得到if(xx1 2

,xn

,