2014同济七版上册复习-专题辅导导数应用

专题辅导5导数的应（一）曲线切线方程的例5.1若抛物线yax2与曲线ylnx相切，则a 立求解此二方程，可解出常数a. ax2ln 即(ax2lnx)，解此方程组，可得axa(tsin 5.2求摆线ya(1cost对应于t2dydydy

asin

sin 1tt

x1)ayat

a(1cos 1cos时，摆线的切线方程为 yax1)ayax 5.3a(1cos在对应于2x()cosa(1cos)解将极坐标方程化为参数方程，得y(sina(1cossindy

coscos2，

1，又当x0,ya

sinsin

dx 上对应于参数yax25.4x3y3x1)cos(y90x1的点x1y2x3y3x1)cos(y90x3x23y2ycos(y(x1)sin(yy0x1,y2y(1)13[小结]求平面曲线的切（法）线方程，关键是求切（法）线的斜率及切点，求切（法）线（二）函数的单调性、极值5.5设在[abf(x0F(x

f(x)fx

在(abF(x的构造形式可知，F(x在(abF(x在(ab单调增，只要证明F(x)0在(ab]上处处成立即可.证F(x)f(x)(xa)[f(x)f(a)],x(a,b]，应 (xf(xf(af()(xaaxF(xf(xf(f(x0xf(x在(abxf(xf(0F(x0x(ab，因此F(x)在(ab]单调增例5.6设f(x)xa的某个邻域内连续，且f(a)为其极大值，则0，当xU(a,)时，必有 （A）(xa)[f(x)f(a)]0;(B)(xa)[f(x)f(a)]0f(t)f f(t)f(C) 0(xa);(D) 0(xt (t t (t解由于xaf(x的极大值点，由定义知，0xU(a,f(xf(a,xaf(xf(ax(aa时(xaf(xf(a0x(aa)(xaf(xf(a0f(tta连续，则对任意xU(a,)xa，有f(af(x0，且f(tf(t

在talimf(tf(x)f(af(x)0(xa，故选t (t (a3(x5.7f(x3(x

4(2x1)(x f(x)2(x5)3(x1)2(x

(x1)3 (x1)3333x令f(x)0，求得驻点x1,x5，又函数在x1处不可导，用x 1,, 在

(,1)内，f(x)0；在 内，f(x)0；在(5,)内，f(x)0(, 由函数单调性的判定法知，函数在(1],[5]上单调减，在[1,],[5, 又由函数取得极值的第一充分条件知，函数在x1x5处取得极小值，分别为f(1)0f(5)0x1f181318 5.8设可导函数yf(xx33xy22y332f(x

d2 dxdx2dx0与原二解方程两边对x求导一次，得3x23y26xyy6y2y3(xy)[xy2yy0，由xyyf(xxy0,xy2yy0dyxydy0xy0x2,y2 2 d2 (1y)y(xy) yyf(x)有唯一的极值可疑点x2

dx2

2

，故2y

[小结]求函数极值的步骤为：3(x2例5.9求函数f(x) 在[0,3]3(x22233x233x2

4(x f(x)在[0,3]上连续，又当x0,2时，f(x)3

2x3(2x2 3f(3)3en22ne例5.10求数列an 的最大项（已知2337解f(xe2(x22x12),1xf(x

1e212

6x8)由f(x)0，得唯一驻点x3 .当x(1,317)时f(x)0当x(317,)时f(x)0，所以当x3 时，函数f(x)取得极大值，也是 f

23 大值.由于73 8，又f(7) ，f(8) ， f(7)f(8)，因此当n7时，得数列的最大项

f 23ef23e例5.11求内接于椭圆

S(x2x2y4bxa2x20xaS(0)S(a0aa2 4ba2a2 a22a2S(x) x ] ，由S(x)a22a2 a22

极大值，也是最大值.此时矩形的长为2x 2a，宽为2y 2b（三）曲线的凹凸性与例5.12若函数f(x)满足f(xf(xx()(0内f(x0，且f(x0，则在(0,内有（(A)f(x)0,f(x)0;(B)f(x)0,f(x)0(C)f(x)0,f(x)0 (D)f(x)0,f(x)解由f(x)f(xx()知f(x)为偶函数.依题知(0内f(x)0，且f(x0,故在(0,f(x的符号相反（单调性f(x的符号不变（凹凸性，即在(0,内有f(x)0,f(x)0，故应选（C）.5.13f(x

(x(x

解函数的定义域为( ,f(x)(x1)2(x 24(x,1)(

,f (x (x在(1内，f(x)0,因此(1)是曲线的凸区间；在(1,f(x0[1,是曲线的凹区间；点（1，0）是曲线