相似三角形专题

相似三角形知识点一（相似三角形的性质）【知识梳理】知识点1：相似三角形：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形如^ABC与4DEF相似,记作△ABCs^DEF（其中对应顶点要写在对应位置,如A与D,B与E,C与F相对应.AB:DE等于相似比.）知识点2：相似三角形的性质：对应角相等，对应边成比例，对应线段（对应高，对应中线，对应角平分线等）的比等于相似比。知识点3：位似图形的定义：如果两个图形不仅相似，而且每组对应点所在的直线都经过同一点并且对应边平行（或在同一直线上）那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心.知识点4：位似图形是相似图形的特殊情形，其相似比又叫做它们的位似比知识点5：位似图形的性质：位似图形上任意一组对应点到位似中心的距离之比等于位似比【例题精讲】例1•如图，已知：在A例1•如图，已知：在AABC与ACAD中,DA//BC,CD交AB于E，且AE:EB=1:2,EF//BC交AC于fS11。求SABCE和S&AEF例2例2.如图,在ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD,且AE、BD交于点F,S^DEF：S^ABF=4：3：53：53：23•如图，坐标原点O为矩形ABCD的对称中心，顶点A的坐标为（1,力，AB//x轴，矩形A/B'CD/与矩形ABCD是位似图形，点O为位似中心，点A',B'分别是点A,B的对应点，R=k.已知关于AB\mnx+y=3n+1x,y的二元一次方程<, < （m,n是实数）无解，在以m,n为坐标（记为（m,n）的所有的[3x+y=4TOC\o"1-5"\h\z点中，若有且只有一个点落在矩形A'B'C'D'的边上，则k”的值等于（ ）【课堂练习】1•如图，在平行四边形_ABCD中，AB=6,AD=9,NBAD的平分线交BC于E,交DC的延长线于F,BG±AE于G,86=4;”，则^EFC的周长为（ ）\o"CurrentDocument"A11 B10 C9 D82•如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1,S2，则S]+S2的值为( )\o"CurrentDocument"A.16B.17 C.18 D.19.如图，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b6>6).在^ABC内依次作NCBD=NA，NDCE=NCBD，

NEDF=NDCE.贝UEF等于（ ）.如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O,E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点知识点二：相似三角形的判定【知识梳理】相似三角形的判定定理:（1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似;（2）如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似（简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似.）;⑶如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似（简叙为:三边对应成比例，两个三角形相似.）；（4）如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），则有两个三角形相似（简叙为两角对应相等，两个三角形相似.）.【例题精讲】例1.如图，在△ABC中NA=60°,BM±AC于点M,CN±AB于点N,P为BC边的中点，连接PM,PN,则下列结论：①PM=PN；②照理©△PMN为等边三角形；④当NABC=45°时，BN=-2PC.其Al：'A1.--中正确的个数是（中正确的个数是（例12.如图，在Rt△ABC中，NC=90°，翻折NC，使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF（点E、F分别在边AC、BC上）（1）若4CEF与八ABC相似.①当AC=BC=2时，AD的长为；②当AC=3,BC=4时，AD的长为；（2）当点D是AB的中点时，△CEF与^ABC相似吗？请说明理由.CA.A.【课堂练习】1.1.已知在^ABC中，NABC=90°,AB=3,BC=4.点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB(如图1)或线段AB的延长线(如图2)于点P.(1)当点P在线段AB上时，求证：△APQs△ABC；(2)当^PQB为等腰三角形时，求AP的长.必+S”必+S”，，＞”、，，="、“〈”填空);则S1.2.如图，矩形ABCD中，以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF,使得另一边EF过原矩形的顶点C.⑴设RtACBD的面积为S1,RtABFC的面积为S2,RtADCE的面积为S3,(2)写出图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明.知识点三：相似类比探究

【例题精讲】例11•类比转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整。如图1，在□ABCD中，点E是BC边的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G。若CD求行的值。CG(1)尝试探究系是在图1中，过点(1)尝试探究系是在图1中，过点E作EH//AB交BG于点H，则AB和EH的数量关系是CD，CG和EH的数量关—的值是CG（2）类比延伸如图2,在原题的条件下，（2）类比延伸如图2,在原题的条件下，^AF ,八、。…口右_=mm>°），则花的值是（用含m的代数式表示），试写出解答过程。（3）拓展迁移如图3,梯形ABCD中DC〃AB，点E如图3,梯形ABCD中DC〃AB，点E是BC的延长线上一点BCBEAF=b(a>°,b>°)，则面的值是，，（用含a，AE和BD相交于点F。若AB=a例2•【提出问题】（1）如图1,在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C）,连结AM,以AM为边作等边^AMN，连结CN.求证：NABC=NACN.【类比探究】（2）如图2,在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C）,其它条件不变，（1）中结论NABC=NACN还成立吗？请说明理由.【拓展延伸】.Y图1 至2 至3（3）如图3,在等腰△ABC中，BA=BC,^M是BC上的任意一点（不含端点B、C）,连结AM,以AM为边作等腰△AMN,使顶角NAMN=NABC.连结CN.试探究/ABC.Y图1 至2 至3【课堂练习】1•如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点0,点E是BC上的一个动点，连接DE,交AC于点F.(1)如图①，当事义时，求生变的值；以3SACDF _(2)如图②当DE平分NCDB时，求证：AF=.10A；(3)如图③，当点E是BC的中点时，过点F作FG±BC于点G,求证：CG==BG.一、知识收获相似三角形的定义；相似三角形的性质及位似；相似三角形的判定二、方法总结常见相似三角形的模型，类比探究题型的思路作业1：如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点(不与A,B重合)，对角线AC,BD相交于点

O,过点P分别作AC,BD的垂线，分别交AC,BD于点E,F,交AD,BC于点M,N.下列结论：@AAPEM△AME；②PM+PN=AC；③PE2+PF2=PO2；@APOF-△BNF；⑤当△PMN-△AMP时，点P是AB的中点.其中正确的结论有（ ）APSA:5个 B4个 C3个 D2个PS作业2：如图，R3ABC中，NACB=90°,NABC=60°,BC=2cm,D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着AfB-A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0Wt<6）,连接口£,当4BDE是直角三角形时，t的值为（ ）A2 B2.5或3.5 C3.5或4.5 D2或3.5或4.5作业3：如图，在ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F,若AE：BE=4：3,且BF=2,则DF二A D作业4：如图，D是^ABC的边BC上一点，已知AB=4,AD=2.NDAC=N8,若4ABD的面积为a,则△ACD的面积为（ ）D.D.作业5：如图，点A,B,C,D的坐标分别是(1,7),(1,1),(4,1),(6,1),以C,D,E为顶点的三角形与AABC相似，则点E的坐标不可能是( )A(6,0) B (6,3) C(6,5) D(4,2)作业6：劳技课上小敏拿出了一个腰长为8厘米，底边为6厘米的等腰三角形，她想用这个等腰三角形加工成一个边长比是1：2的平行四边形，平行四边形的一个内角恰好是这个等腰三角形的底角，平行四边形的其它顶点均在三角形的边上，则这个平行四边形的较短的边长为10作业7：已知在4ABC中，NABC=90°,AB=3,BC=4.点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB（如图1）或线段AB的延长线（如图2）于点P.（1）当点P在线段AB上时，求证：△APQs△ABC；（2）当^PQB为等腰三角形时，求AP的长.图1图1图211

作业8：如图1,在Rt△AB