月25日精讲34课件一元函数微分学

⾼等数学（⼆）⼀元函数微分学主讲老⼀、导数与微分f'(x)limylimf(x0x)f x0 f'(x)

y

f(x0x)f(x0 x0 f'(x)

y

f(x0x)f(x0 x0 ⼀、导数与微分（通常为分段函数的分段点

f(x)3x1,x11x,x则limf(x)f(0) A.- B. C. D.

f(x)x(1x)x,x

0 x左导数 ⼀、导数与微分（通常为分段函数的分段点3x1,x

limf(x)f

f(x)1x,xf

1x(1则（则（

f(0) x

xA.- B. C. D.

f(x)x(1x)x,x

0 x

1f(x)f(0)limx(1x)x 1ln(1x) lim(1x)xlim e ⼀、导数与微分x2sin2sin

x(3

f(x)

x用导数定义计算f ⼀、导数与微分x2sin2sin

x(3

f(x)

x用导数定义计算f f'(0)limf(x)f(0)

x2sin2sin lim(xsin2sin2x)0limsin

2limsin2x

⼀、导数与微分limf(x02x)f(x0)

⼀、导数与微分limf(x02x)f(x0)

limf(x02x)f(x0)2limf(x02x)f(x0)2f'(x)

limf(x02x)f(x0)limf'(x02x)(2)02f'(x) ⼀、导数与微分导数的⼏何意义：yy0f(x0)(xyy0

f(x0

(xx0可导⼀定⑵连续不⼀定不连续⼀定⑷不可导不⼀定⼀、导数与微分 法线⽅→整理⽅(1)曲线y=xlnx在点（1，0）处的 法线⽅程 ⼀、导数与微分 法线⽅→整理⽅(1)曲线y=xlnx在点（1，0）处的 yx1 法线⽅程 yx y'lnxxlnxx⼀、导数与微分(1)下列函数中，在点x=0但不可导的是 y yyln

y

x1⼀、导数与微分(1)下列函数中，在点x=0但不可导的是 y yyln

y

x1⼀、导数与微分[u(x)v(x)]'u'(x)v'[u(x)v(x)]'u'(x)v(x)u(x)v'[u(x)]'u'(x)v(x)u(x)v' v2[f1(x)]'

f'⼀、导数与微分yf udydydu y'[g(x)]f'(u)g⼀、导数与微分常见的导数公式对数函数g三角函数：y=sinx等反三角函数：y=arcsinx⼀、导数与微分x2x2(1)已知y

x21

ln

，求o⼀、导数与微分x2x2(1)已知y

x21

ln

，求'y' x21ln 'x2x2 1x2x21x2

ln x2 1x2 x2

x2 x2 x2 x2

x2

xln ln x2 ln x2⼀、导数与微分x(2)设函数ysin212x，求x⼀、导数与微分x(2)设函数ysin212x，求x11111)12)xxxx2x (2x)'2xln 1 sin2 ) sin2 (2x)' 2xln

x

⼀、导数与微分(1)设函数yy(x)由⽅程arcsinxlnye2xy3

x⼀、导数与微分(1)设函数yy(x)由⽅程arcsinxlnye2xy3

x(yx0)31 1 lnyarcsinxdy2e2x3y2dy1 23

0

x0232⼀、导数与微分(2)求由⽅程xylnyy

x⼀、导数与微分(2)求由⽅程xylnyy

xye2*0yxy'lnyxy'y'00

2 ⼀、导数与微分dydty

x⼀、导数与微分参数⽅

1)yxsinx(xlnysinxlny'cosxlnxsinx (x1)(x(x3)(xdy(x1)(x(x3)(x

x

lny1ln(x1)(x (x3)(x(x4xx1y'1

2x x x x(x4xx⼀、导数与微分分别将x，y对t求导→y对t的导数除以xx(1)曲线ytan

o⼀、导数与微分分别将x，y对t求导→y对t的导数除以xx(1)曲线ytan

y (x dx cos2o⼀、导数与微分

xln3t2t3t(2)设函数y=f(x)由参数3t⼀、导数与微分

xln3t2t3t3tdx 333333dy 3dyt

t ⼀、导数与微分求导–练习xy2eysin(3x2y)xtsinty2ty(sin⼀、导数与微分求导–练习1)xy2eysin(3x2y)y2x2yyeyycos(3x2y)(32y)xtsint dycostty2t

sintt3)y(siny(sinx)x(lnsinxxcot⼀、导数与微分⾼阶导数（⼆、三阶导数dyf'(x)dxd(uv)dud(uv)duvuvdu )⼀、导数与微分(1)已知函数f(x)的导数f(xxln(1x2求fo⼀、导数与微分(1)已知函数f(x)的导数f(xxln(1x2求ff(x)ln(1x2)

1f

4x(1x2) 1 (1x2f(1)

1 (1o⼆、中值定理与导数的应用f(b)f(a)0fbf(b)f(a)fbf(b)f(a)fF(b)F F⼆、中值定理与导数的应用 定理端点值相等 2 yx34 yx3

By5Dyo⼆、中值定理与导数的应用 定理端点值相等 是 2 yx34 yx3

By5Dyo⼆、中值定理与导数的应用 定理端点值相等(2)函数 o⼆、中值定理与导数的应用 定理端点值相等(2)函数 f # f(1)f(0)f()(1 322

1

⼆、中值定理与导数的应用limf(x)limf'(x)xx0 xx0g邻域内可导，且邻域内分母的导数不为0/0∞/∞ 转换后使 法则

10*∞lim

ex

∞-∞limx1

x1x1

lim( 1

(4)

limxx(5)

lim(1x2)x⼆、中值定理与导数的应用1ex

2e

lim 1 x

x2

1lnxx

x1

lim

x1(x1)lnx

x1lnxx1

x111

x22lim

ln(2arctanx

xln(2arctanxlim lim

ln(arctanx)x 2arctanx1

ln(arctanx)lim

2)

x1 lim

arctanx1 2x01 2limexln e 2x1x2lim 2

2ln(1x)

1 lim lime x

ex2x⼆、中值定理与导数的应用limxsin x0tanxsin2lim(1 x0 ex1lim(1xlnx)cscx⼆、中值定理与导数的应用

1cos

1lim 1x0tanxsin2

lim(1 x0

ex1ex1

ex1

ex

x

x(ex

x0 lim(1xln limxlnx

ln

limxlim(x)

x0 1xlnxcscx

limlim(1xlnx)xlnx

x0 ⼆、中值定理与导数的应用函数的单调性：导数>0→导数<0→导数=0→邻域内的值>该点值→邻域内的值<该点值→极⼤⼆、中值定理与导数的应用的⼤定极值的判断：

f(x) x x⼆、中值定理与导数的应用→判定极值点与极值（分析单调性f(xxsinxcos

o⼆、中值定理与导数的应用→判定极值点与极值（分析单调性f(xxsinxcos

f'(x)sinxxcosxsinf''(x)cosxcosxxsinxcoscosxxsino⼆、中值定理与导数的应用则x=2是函数F(x)x22f(x)的 极小值 B.最小值C.极⼤值 D.最⼤值o⼆、中值定理与导数的应用则x=2是函数F(x)x22f(x)的 B.最小值C.极⼤值 D.最⼤值F'(x)2x2f(x)x22fF''(x)2f(x)2x2f'(x)2x2f'(x)x22fo⼆、中值定理与导数的应用arctan确定函数f(x)x1e 的单调区间与极o⼆、中值定理与导数的应用arctan(3)确定函数f(x)x1e 的单调区间与极arctan arctan f'(x)e

1arctane

x(11o极大值f(12极小值f(0e⼆、中值定理与导数的应用(4)求函数f(x)3x

(x

在区间[-1,2]上的最⼤o⼆、中值定理与导数的应用(4)求函数f(x)3x

(x

在区间[-1,2]上的最⼤2)Uf(x)1

(x令f'(x0解得of(1)0,f(0)2,f(2)o4最大值f(02最小值f(-1⼆、中值定理与导数的应用

f(x1+x2)f(x1)f(x22⼆阶导数判断（凹

f''(x)拐点：两侧的⼆⼆阶导数⼆、中值定理与导数的应用(1)

yx x(k

o⼆、中值定理与导数的应用(1)

yx x(k

y'

22

2k3x 21k

令y0,,0),凸区间是(0),拐点是⼆、中值定理与导数的应用x2(2)求曲线yln x2o⼆、中值定理与导数的应用x2求曲线yln x2y'

x24x2x24x2x23x2o令y0,,0),凸区间是(0⼆、中值定理与导数的应用limf(x)xlimf(x)⼆、中值定理与导数的应用⽔平渐近线：两侧求⽆穷⼤曲线yln(1x

的⽔平渐近线⽅o⼆、中值定理与导数的应用⽔平渐近线：两侧求⽆穷⼤曲线