三角函数的最值优秀课件

三角函数的最值三角函数的最值1一、高考要求

1.能利用三角函数的定义域、值域、单调性和它们的图象等,求三角函数的最大值和最小值.

2.能利用换元法求某些三角函数在给定区间上的最大值和最小值.

3.会把实际问题化归成三角函数的最大值和最小值问题来解决.最值问题是三角中考试频率最高的重点内容之一,需要综合运用三角函数概念、图象、性质以及诱导公式、同角三角函数基本关系式、三角变换等,也是函数内容的交汇点,常见方法有:1.涉及正、余弦函数以及

asin+bcos,可考虑利用三角函数的有界性.二、重点解析一、高考要求1.能利用三角函数的定义域、值域2三、知识要点2.形如

y=asin2x+bsinx+c

或

y=acos2x+bsinx+c

的函数可通过适当变换、配方求解.3.形如

sinx+cosx,sinxcosx

在关系式中时,可考虑换元法处理.常见的三角换元

1.若

x2+y2=1,可设

x=cos,y=sin;

2.若

a≤x2+y2≤b,可设

x=rcos,y=rsin,a≤r2≤b;

3.对于

1-x2,由于

|x|≤1,可设

x=cos(0≤≤)

或

x=sin

(-

≤≤);2

2

4.对于

1+x2,可设

x=tan(-

<<

)

或

x=cot(0<<);

2

2

5.对于

x2-1

,可设

x=sec(0≤<

或<<)

或

x=csc

(-

≤<0

或

0<≤

);2

2

2

2

三、知识要点2.形如y=asin2x+bs36.对于

x+y+z=xyz,由在

△ABC

中,有

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,可设

x=tanA,y=tanB,z=tanC(A+B+C=);

7.令

t=sinx+cosx,则

2sinxcosx=t2-1,t[-

2,2

].

典型例题1.求函数

y=2sec2x+cot4x

的最值.解:y=2(1+tan2x)+cot4x=2+tan2x+tan2x+cot4x

≥2+3tan2xtan2xcot4x

3=2+3=5.仅当

tan2x=cot4x,即

tanx=1

时取等号.∴当

x=k(kZ)

时,y

取最小值

5;4

y

无最大值.6.对于x+y+z=xyz,由在△ABC中,4解:

由已知

y>0,只需考察

y2的最值.=.2716∵y2=4cos2cos2sin22x

2x

2x

≤2()32sin2+cos2+cos2

32x

2x

2x

仅当

2sin2=cos2,即

tan=(∵0<x<)

时取等号.2x

2x

2x

22y

无最小值.∴当

x=2arctan

时,y2

取最大值

.222716439∴当

x=2arctan

时,y

取最大值

;222x

2.求函数

y=(1+cosx)sin

(0<x<)

的最值.解:由已知y>0,只需考察y2的最值.=53.已知函数

f(x)=cos4x-2cosxsinx-sin4x.(1)求

f(x)

的最小正周期;(2)若

x[0,

],求

f(x)

的最大值、最小值.2

解:

(1)∵f(x)=cos4x-2cosxsinx-sin4x=(cos2x-sin2x)(cos2x+sin2x)-sin2x=cos2x-sin2x=

2

cos(2x+

).4

∴f(x)

的最小正周期为

.(2)∵x[0,

],2

∴2x+

[,].4

4

45

∴当

2x+

=,即

x=0

时,f(x)

取得最大值

1;4

4

∴当

2x+

=,即

x=

时,f(x)

取得最小值

-2

.4

83

3.已知函数f(x)=cos4x-2cosxsin6解:

y=2sinxcosx-8(sinx+cosx)+19.

4.设

0≤x≤,求函数

y=sin2x-8(sinx+cosx)+19

的最大值和最小值.令

t=sinx+cosx,则

t=

2

sin(x+

),y=t2-1-8t+19=(t-4)2+2.4

∵0≤x≤,∴

≤x+

≤

.4

4

45

∴-1≤t≤2

.∴-

≤sin(x+

)≤1.4

22∴当

t=-1,即

x=

时,y

取最大值27.当

t=

2

,即

x=时,

y

取最小值20-8

2

.4

解:y=2sinxcosx-8(sinx+cosx)+17

5.已知函数

f(x)=2asin2x-2

3

asinxcosx+a+b(a0)

的定义域为[0,

],值域为

[-5,1],求常数

a,b

的值.2

解:

f(x)=a(1-cos2x)-

3

asin2x+a+b

=-a(cos2x+

3

sin2x)+2a+b=-2asin(2x+

)+2a+b.6

由已知

x[0,],

2

∴2x+[,

],

6

6

67

∴-≤sin(2x+

)≤1.

6

12因此由

f(x)

的值域为

[-5,1]

可得:a>0,-2a×(-

)+2a+b=1,12-2a×1+2a+b=-5,a<0,-2a×(-

)+2a+b=-5,12-2a×1+2a+b=1.或解得:a=2,b=-5或a=-2,b=1.5.已知函数f(x)=2asin2x-2386.求

y=的最值及对应的

x

的集合.(1+sinx)(3+sinx)2+sinx解:

y=2+sinxsin2x+4sinx+32+sinx(2+sinx)2-1==2+sinx-.

2+sinx1令

2+sinx=t,则

y=f(t)=t-(1≤t≤3).t1对于任意的

t1,

t2[1,3],且

t1<t2有f(t1)-f(t2)=(t1-

)-(t2-)t11t21t1t21+t1t2

=(t1-t2)()<0.即

f(t1)-f(t2)<0

f(t1)<f(t2).∴f(t)

在

[1,3]

上是增函数.∴当

t=1

时,ymin=f(t)min=0,此时,sinx=-1,x

的集合为:{x

|

x=2k-

,kZ};2

{x

|

x=2k+

,kZ}.2

当

t=3

时,ymax=f(t)max=

,此时,sinx=1,x

的集合为:836.求y=9

7.函数

y=sin2x+acosx+

a-

(0≤x≤)的最大值为

1,求

a的值.2

5832解:

由已知

y=-cos2x+acosx+

a-5812=-(cosx-

)2++

a-.4a2

a25812

令

t=cosx,则

y=-(t-

)2++

a-(0≤t≤1).4a2a25812讨论如下:②若

0≤

≤1,则

t=时,由题设

ymax=+

a-=1.a2a24a25812解得a=-4(舍去)或

a=.32解得a=(舍去).512①若

<0,则

t=0

时,由题设

ymax=

a-=1.5812a2③若

>1,则

t=1

时,由题设

ymax=

a-=1.32a2813解得a=(舍去).1320综上所述

a=.327.函数y=sin2x+acosx+a-108.若方程

4sin2x-cos4x-a=0

恒有实数解,求

a

的取值范围.解法1

从方程有解的角度考虑.原方程即为:2cos22x+2cos2x-3+a=0.令

t=cos2x,则

|t|≤1,且

2t2+2t-3+a=0

恒有解.解得:-1≤a≤

.72解法2

从二次函数图象及性质考虑.问题转化为:“a

为何值时,f(t)=2t2+2t+a-3

的图象与横轴至少有一个交点的横坐标在

[-1,1]

内.”∵f(t)

图象的对称轴为直线

t=-

,12△=4(7-2a)≥0,-2+4(7-2a)4||≤1,

∴△=4(7-2a)≥0,-2-4(7-2a)4||≤1,

或解得:-1≤a≤

.72△≥0,∴f(-1)≥0,f(-1)<0.f(1)≥0,或8.若方程4sin2x-cos4x-a=0恒有实数解,118.若方程

4sin2x-cos4x-a=0

恒有实数解,求

a

的取值范围.解法3

正难则反,从反面考虑.∵f(t)

图象的对称轴为直线

t=-

,12若方程

f(t)=2t2+2t+a-3=0

的两根均在

[-1,1]

之外,则72当

△=4(7-2a)≥0,即

a≤

时,∴

f(1)<0.解得:a<-1.故满足条件的

a

的取值范围是

[-1,].72解法4

从分离参数的角度考虑.原方程即为:a=-2cos22x-2cos2x+372=-2(cos2x+

)2+.12∵|cos2x|≤1,

∴

-1≤a≤

.728.若方程4sin2x-cos4x-a=0恒有实数解,12课后练习1.求函数

f(x)=的最小正周期、最大值和最小值.sin4x+cos4x+sin2xcos2x

2-sin2x

(sin2x+cos2x)2-sin2xcos2x

2-2sinxcosx

解:

由已知

f(x)=1-sin2xcos2x

2(1-sinxcosx)==

(1+sinxcosx)1212=

sin2x+.14∴f(x)

的最小正周期为

.∴当

2x=2k+即

x=k+(kZ)

时,

f(x)

取最大值

;4

2

34∴当

2x=2k-

即

x=k-(kZ)

时,

f(x)

取最小值

.4

2

14课后练习1.求函数f(x)=13解:

由已知当

a>0

时,

bsinx+acosx=-3sinx+4cosx=5sin(x+)

2.函数

y=acosx+b(a,b为常数),若

-7≤y≤1,求

bsinx+acosx

的最大值.解得

a=4,b=-3,此时,a+b=1,-a+b=-7,(tan=-).43当

a<0

时,

bsinx+acosx=-3sinx-4cosx=5sin(x+)

解得

a=-4,b=-3,此时,a+b=-7,-a+b=1,(tan=

).43当

a=0

时,

不合题意.综上所述,bsinx+acosx

的最大值为

5.

解:由已知当a>0时,bsinx+acosx=-314解:

y=1-sin2x-2asinx-a=-(sinx+a)2+a2-a+1.令

sinx=t,则

y=-(t+a)2+a2-a+1(-1≤t≤1).若

-a<-1,即

a>1,则当

t=-1

时,y

有最大值3.求函数

y=cos2x-2asinx-a(a

为定值)的最大值

M.M=-(-1+a)2+a2-a+1=a;若

-1≤-a≤1,即

-1≤a≤1,则当

t=-a

时,y

有最大值M=-(-a+a)2+a2-a+1=a2-a+1;若

-a>1,即

a<-1,则当

t=1

时,y

有最大值M=-(1+a)2+a2-a+1=-3a.综上所述,M=a2-a+1,-1≤a≤1,-3a,a<-1,a,a>1.解:y=1-sin2x-2asinx-a=-(sinx+a15

4.当

a≥0

时,求函数

f(x)=(sinx+a)(cosx+a)

的最大值、最小值以及相应的

x

的取值.解:

f(x)=sinxcosx+a(sinx+cosx)+a2

f(x)=g(t)=

(t2-1)+at+a212=

[(t+a)2+a2-1].12∵a

为常数,∴只需求

y=(t+a)2

的最值.∵

t[-2

,2

],且

a≥0,∴当

t=

2

,即

x=2k+(kZ)

时,

f(x)

取最大值a2+

2

a+.4

12若

0≤a≤

2

,则

-

2

≤-a≤0,当

t=-a

即

x=2karccos(-

a)+

(kZ)

时,f(x)

取最小值

(a2-1);224

12若

a>

2

,则当

t=-

2

,

即

x=2k+(kZ)

时,45

12

f(x)

取最小值a2-

2

a+.令

t=sinx+cosx,则

t=

2

cos(x-)

且

t[-2

,2

],4

4.当a≥0时,求函数f(x)=(sinx16

5.设

[0,],且

cos2+2msin-2m-2<0

恒成立,求

m

的取值范围.2

解法1

由已知

0≤sin≤1

且

1-sin2+2msin-2m-2<0

恒成立.令

t=sin,则

0≤t≤1

且

1-t2+2mt-2m-2<0

恒成立.即

f(t)=t2-2mt+2m+1=(t-m)2-m2+2m+1>0

对

t[0,1]

恒成立.故可讨论如下:(1)若

m<0,则

f(0)>0.即

2m+1>0.解得

m>-

,12(2)若

0≤m≤1,则

f(m)>0.即

-m2+2m+1>0.亦即

m2-2m-1<0.解得:1-2<m<1+

2

,∴0≤m≤1;∴-

<m<0;12(3)若

m>1,则

f(1)>0.即

0m+2>0.∴mR,∴m>1.综上所述

m>-

.12

即

m

的取值范围是

(-

,+∞).125.设[0,],且cos217解法2

题中不等式即为

2(1-sin)m>-1-sin2.∵[0,],2

∴0≤sin≤1.当

sin=1

时,不等式显然恒成立,此时

mR;当

0≤sin<1

时,m>-恒成立.1+sin2

2(1-sin)令

t=1-sin,则

t(0,1],且

2t

1+(1-t)21t2t

m>-

=1-(

+)

恒成立.易证

g(t)=1-(

+)

在

(0,1]

上单调递增,有最大值

-

,1t2t

12∴m>-

.12即

m

的取值范围是

(-

,+∞).12

5.设

[0,],且

cos2+2msin-2m-2<0

恒成立,求

m

的取值范围.2

解法2题中不等式即为2(1-sin)m>-1-sin18

6.设

0≤≤,P=sin2+sin-cos.(1)若

t=sin-cos,用含

t的式子表示

P;(2)确定

P

的取值范围,并求出

P

的最大值和最小值.解:

(1)∵t=sin-cos,∴t2=1-2sincos=1-sin2.∴sin2=1-t2.∴P=1-t2+t.(2)t=sin-cos=

2

sin(-).4

∵0≤≤,∴-

≤-≤

,4

4

43

即

P=-t2+t+1.∴-

≤sin(-)≤1.

224

∴-1≤t≤

2

.

∵P=-t2+t+1

的图象是开口向下的抛物线,其对称轴为

12直线

t=,12∴当

t=时,P

取最大值;54当

t=-1

时,P

取最小值

-1.54从而

P

的取值范围是[-1,

].6.设0≤≤,P=sin2+sin-c19

7.已知

f(x)=2cos2x+3

sin2x+a(aR),(1)若

xR,求

f(x)

的单调增区间;(2)若

x[0,

]

时,f(x)

的最大值为

4,求

a

的值;(3)在

(2)

的条件下,求满足

f(x)=1

且

x[-,]

的

x

的集合.2

解:

(1)f(x)=1+cos2x+

3

sin2x+a

=2sin(2x+

)+a+1.6

由

2k-≤2x+≤2k+得:6

2

2

k-≤x≤k+.3

6

∴

f(x)

的单调递增区间为

[k-,k+](kZ);6

3

6

(2)由

2x+=得

x=2

6

[0,],2

故当

x=时,f(x)

取最大值

3+a.6

由题设

3+a=4,∴a=1.(3)在

(2)

的条件下,f(x)=2sin(2x+

)+2.6

2

1∵f(x)=1,∴sin(2x+

)=-.6

又由题设

2x+

[-

,],6

611613∴2x+

=-或

-

或

或

.6

6

65

67

611∴x=-,-,

,

.2

6

2

65

6

2

65

故所求集合为

{

-,-,

,

}.2

7.已知f(x)=2cos2x+3sin208.设

f(x)=cos2x+asinx--(0≤x≤

).(1)用

a

表示

f(x)

的最大值

M(a);(2)当

M(a)=2时,求

a

的值.4a122

解:

(1)f(x)=-sin2x+asinx-+.4a12令

t=sinx,则

0≤t≤1,故有:

f(x)=g(t)=-t2+at-+

=-(t-)2+

-+

(0≤t≤1).4a122a4a24a12要求

f(x)

的最大值

M(a),可分情况讨论如下:g(t)

在

[0,1]

上先增后减.g(t)

在

[0,1]

上为减函数.①当

<0,即

a<0

时,2a∴M(a)=g(0)=-

;124a②当

0≤

≤1,即

0≤a≤2

时,2a③若

>1,即

a>2

时,2a∴M(a)=g()=

-+

;2a4a24a12g(t)

在

[0,1]

上为增函数.∴M(a)=g(1)=

a-.12348.设f(x)=cos2x+asinx--21-

,a<0,124a∴M(a)=

-+

,0≤a≤2,

4a24a12a-,a>2.1234若

-+

=2,

即

a2-a-6=0,4a24a12(2)由(1)知,若-

=2,则

a=-6;4a12解得

a=3

或

-2.均不合题意,舍去;1234若

a-

=2,则

a=.310综上所述,

a

的值为

-6

或

.310-,a<0,124a∴M(a)=22

85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布]86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯]88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森]90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。――[兰斯顿·休斯]92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。――[玛科斯·奥雷利阿斯]93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。[约翰·纳森·爱德瓦兹]94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。――[约翰·拉斯金]95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。――[威廉·班]96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。――[萧伯纳]97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格]98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根]99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔·普劳斯特]100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹]101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰]102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华]103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗]104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉·彭]105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔·卡内基]106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰·罗伯克]107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳·厄尔曼]108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝·C·科尔顿]109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔·卡内基]110.每天安静地坐十五分钟·倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克·佛洛姆]111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯]112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯]113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根·皮沙尔·史密斯]114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。――[阿萨·赫尔帕斯爵士]115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。――[威廉·海兹利特]116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。――[凯·里昂]117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。――[B·C·福比斯]118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。――[迈可·汉默]119.进步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。――[奥古斯汀]120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。――[史迈尔斯]121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。――[C·H·K·寇蒂斯]122.对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。――[乔治桑]123.未来不是固定在那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。――[约翰·夏尔]124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。――[道格拉斯·米尔多]125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度――。[老子]126.在寒冷中颤抖过的人倍觉太阳的温暖，经历过各种人生烦恼的人，才懂得生命的珍贵。――[怀特曼]127.一般的伟人总是让身边的人感到渺小；但真正的伟人却能让身边的人认为自己很伟大。――[G.K.Chesteron]128.医生知道的事如此的少，他们的收费却是如此的高。――[马克吐温]129.问题不在于：一个人能够轻蔑、藐视或批评什么，而是在于：他能够喜爱、看重以及欣赏什么。――[约翰·鲁斯金]三角函数的最值优秀课件23三角函数的最值三角函数的最值24一、高考要求

1.能利用三角函数的定义域、值域、单调性和它们的图象等,求三角函数的最大值和最小值.

2.能利用换元法求某些三角函数在给定区间上的最大值和最小值.

3.会把实际问题化归成三角函数的最大值和最小值问题来解决.最值问题是三角中考试频率最高的重点内容之一,需要综合运用三角函数概念、图象、性质以及诱导公式、同角三角函数基本关系式、三角变换等,也是函数内容的交汇点,常见方法有:1.涉及正、余弦函数以及

asin+bcos,可考虑利用三角函数的有界性.二、重点解析一、高考要求1.能利用三角函数的定义域、值域25三、知识要点2.形如

y=asin2x+bsinx+c

或

y=acos2x+bsinx+c

的函数可通过适当变换、配方求解.3.形如

sinx+cosx,sinxcosx

在关系式中时,可考虑换元法处理.常见的三角换元

1.若

x2+y2=1,可设

x=cos,y=sin;

2.若

a≤x2+y2≤b,可设

x=rcos,y=rsin,a≤r2≤b;

3.对于

1-x2,由于

|x|≤1,可设

x=cos(0≤≤)

或

x=sin

(-

≤≤);2

2

4.对于

1+x2,可设

x=tan(-

<<

)

或

x=cot(0<<);

2

2

5.对于

x2-1

,可设

x=sec(0≤<

或<<)

或

x=csc

(-

≤<0

或

0<≤

);2

2

2

2

三、知识要点2.形如y=asin2x+bs266.对于

x+y+z=xyz,由在

△ABC

中,有

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,可设

x=tanA,y=tanB,z=tanC(A+B+C=);

7.令

t=sinx+cosx,则

2sinxcosx=t2-1,t[-

2,2

].

典型例题1.求函数

y=2sec2x+cot4x

的最值.解:y=2(1+tan2x)+cot4x=2+tan2x+tan2x+cot4x

≥2+3tan2xtan2xcot4x

3=2+3=5.仅当

tan2x=cot4x,即

tanx=1

时取等号.∴当

x=k(kZ)

时,y

取最小值

5;4

y

无最大值.6.对于x+y+z=xyz,由在△ABC中,27解:

由已知

y>0,只需考察

y2的最值.=.2716∵y2=4cos2cos2sin22x

2x

2x

≤2()32sin2+cos2+cos2

32x

2x

2x

仅当

2sin2=cos2,即

tan=(∵0<x<)

时取等号.2x

2x

2x

22y

无最小值.∴当

x=2arctan

时,y2

取最大值

.222716439∴当

x=2arctan

时,y

取最大值

;222x

2.求函数

y=(1+cosx)sin

(0<x<)

的最值.解:由已知y>0,只需考察y2的最值.=283.已知函数

f(x)=cos4x-2cosxsinx-sin4x.(1)求

f(x)

的最小正周期;(2)若

x[0,

],求

f(x)

的最大值、最小值.2

解:

(1)∵f(x)=cos4x-2cosxsinx-sin4x=(cos2x-sin2x)(cos2x+sin2x)-sin2x=cos2x-sin2x=

2

cos(2x+

).4

∴f(x)

的最小正周期为

.(2)∵x[0,

],2

∴2x+

[,].4

4

45

∴当

2x+

=,即

x=0

时,f(x)

取得最大值

1;4

4

∴当

2x+

=,即

x=

时,f(x)

取得最小值

-2

.4

83

3.已知函数f(x)=cos4x-2cosxsin29解:

y=2sinxcosx-8(sinx+cosx)+19.

4.设

0≤x≤,求函数

y=sin2x-8(sinx+cosx)+19

的最大值和最小值.令

t=sinx+cosx,则

t=

2

sin(x+

),y=t2-1-8t+19=(t-4)2+2.4

∵0≤x≤,∴

≤x+

≤

.4

4

45

∴-1≤t≤2

.∴-

≤sin(x+

)≤1.4

22∴当

t=-1,即

x=

时,y

取最大值27.当

t=

2

,即

x=时,

y

取最小值20-8

2

.4

解:y=2sinxcosx-8(sinx+cosx)+130

5.已知函数

f(x)=2asin2x-2

3

asinxcosx+a+b(a0)

的定义域为[0,

],值域为

[-5,1],求常数

a,b

的值.2

解:

f(x)=a(1-cos2x)-

3

asin2x+a+b

=-a(cos2x+

3

sin2x)+2a+b=-2asin(2x+

)+2a+b.6

由已知

x[0,],

2

∴2x+[,

],

6

6

67

∴-≤sin(2x+

)≤1.

6

12因此由

f(x)

的值域为

[-5,1]

可得:a>0,-2a×(-

)+2a+b=1,12-2a×1+2a+b=-5,a<0,-2a×(-

)+2a+b=-5,12-2a×1+2a+b=1.或解得:a=2,b=-5或a=-2,b=1.5.已知函数f(x)=2asin2x-23316.求

y=的最值及对应的

x

的集合.(1+sinx)(3+sinx)2+sinx解:

y=2+sinxsin2x+4sinx+32+sinx(2+sinx)2-1==2+sinx-.

2+sinx1令

2+sinx=t,则

y=f(t)=t-(1≤t≤3).t1对于任意的

t1,

t2[1,3],且

t1<t2有f(t1)-f(t2)=(t1-

)-(t2-)t11t21t1t21+t1t2

=(t1-t2)()<0.即

f(t1)-f(t2)<0

f(t1)<f(t2).∴f(t)

在

[1,3]

上是增函数.∴当

t=1

时,ymin=f(t)min=0,此时,sinx=-1,x

的集合为:{x

|

x=2k-

,kZ};2

{x

|

x=2k+

,kZ}.2

当

t=3

时,ymax=f(t)max=

,此时,sinx=1,x

的集合为:836.求y=32

7.函数

y=sin2x+acosx+

a-

(0≤x≤)的最大值为

1,求

a的值.2

5832解:

由已知

y=-cos2x+acosx+

a-5812=-(cosx-

)2++

a-.4a2

a25812

令

t=cosx,则

y=-(t-

)2++

a-(0≤t≤1).4a2a25812讨论如下:②若

0≤

≤1,则

t=时,由题设

ymax=+

a-=1.a2a24a25812解得a=-4(舍去)或

a=.32解得a=(舍去).512①若

<0,则

t=0

时,由题设

ymax=

a-=1.5812a2③若

>1,则

t=1

时,由题设

ymax=

a-=1.32a2813解得a=(舍去).1320综上所述

a=.327.函数y=sin2x+acosx+a-338.若方程

4sin2x-cos4x-a=0

恒有实数解,求

a

的取值范围.解法1

从方程有解的角度考虑.原方程即为:2cos22x+2cos2x-3+a=0.令

t=cos2x,则

|t|≤1,且

2t2+2t-3+a=0

恒有解.解得:-1≤a≤

.72解法2

从二次函数图象及性质考虑.问题转化为:“a

为何值时,f(t)=2t2+2t+a-3

的图象与横轴至少有一个交点的横坐标在

[-1,1]

内.”∵f(t)

图象的对称轴为直线

t=-

,12△=4(7-2a)≥0,-2+4(7-2a)4||≤1,

∴△=4(7-2a)≥0,-2-4(7-2a)4||≤1,

或解得:-1≤a≤

.72△≥0,∴f(-1)≥0,f(-1)<0.f(1)≥0,或8.若方程4sin2x-cos4x-a=0恒有实数解,348.若方程

4sin2x-cos4x-a=0

恒有实数解,求

a

的取值范围.解法3

正难则反,从反面考虑.∵f(t)

图象的对称轴为直线

t=-

,12若方程

f(t)=2t2+2t+a-3=0

的两根均在

[-1,1]

之外,则72当

△=4(7-2a)≥0,即

a≤

时,∴

f(1)<0.解得:a<-1.故满足条件的

a

的取值范围是

[-1,].72解法4

从分离参数的角度考虑.原方程即为:a=-2cos22x-2cos2x+372=-2(cos2x+

)2+.12∵|cos2x|≤1,

∴

-1≤a≤

.728.若方程4sin2x-cos4x-a=0恒有实数解,35课后练习1.求函数

f(x)=的最小正周期、最大值和最小值.sin4x+cos4x+sin2xcos2x

2-sin2x

(sin2x+cos2x)2-sin2xcos2x

2-2sinxcosx

解:

由已知

f(x)=1-sin2xcos2x

2(1-sinxcosx)==

(1+sinxcosx)1212=

sin2x+.14∴f(x)

的最小正周期为

.∴当

2x=2k+即

x=k+(kZ)

时,

f(x)

取最大值

;4

2

34∴当

2x=2k-

即

x=k-(kZ)

时,

f(x)

取最小值

.4

2

14课后练习1.求函数f(x)=36解:

由已知当

a>0

时,

bsinx+acosx=-3sinx+4cosx=5sin(x+)

2.函数

y=acosx+b(a,b为常数),若

-7≤y≤1,求

bsinx+acosx

的最大值.解得

a=4,b=-3,此时,a+b=1,-a+b=-7,(tan=-).43当

a<0

时,

bsinx+acosx=-3sinx-4cosx=5sin(x+)

解得

a=-4,b=-3,此时,a+b=-7,-a+b=1,(tan=

).43当

a=0

时,

不合题意.综上所述,bsinx+acosx

的最大值为

5.

解:由已知当a>0时,bsinx+acosx=-337解:

y=1-sin2x-2asinx-a=-(sinx+a)2+a2-a+1.令

sinx=t,则

y=-(t+a)2+a2-a+1(-1≤t≤1).若

-a<-1,即

a>1,则当

t=-1

时,y

有最大值3.求函数

y=cos2x-2asinx-a(a

为定值)的最大值

M.M=-(-1+a)2+a2-a+1=a;若

-1≤-a≤1,即

-1≤a≤1,则当

t=-a

时,y

有最大值M=-(-a+a)2+a2-a+1=a2-a+1;若

-a>1,即

a<-1,则当

t=1

时,y

有最大值M=-(1+a)2+a2-a+1=-3a.综上所述,M=a2-a+1,-1≤a≤1,-3a,a<-1,a,a>1.解:y=1-sin2x-2asinx-a=-(sinx+a38

4.当

a≥0

时,求函数

f(x)=(sinx+a)(cosx+a)

的最大值、最小值以及相应的

x

的取值.解:

f(x)=sinxcosx+a(sinx+cosx)+a2

f(x)=g(t)=

(t2-1)+at+a212=

[(t+a)2+a2-1].12∵a

为常数,∴只需求

y=(t+a)2

的最值.∵

t[-2

,2

],且

a≥0,∴当

t=

2

,即

x=2k+(kZ)

时,

f(x)

取最大值a2+

2

a+.4

12若

0≤a≤

2

,则

-

2

≤-a≤0,当

t=-a

即

x=2karccos(-

a)+

(kZ)

时,f(x)

取最小值

(a2-1);224

12若

a>

2

,则当

t=-

2

,

即

x=2k+(kZ)

时,45

12

f(x)

取最小值a2-

2

a+.令

t=sinx+cosx,则

t=

2

cos(x-)

且

t[-2

,2

],4

4.当a≥0时,求函数f(x)=(sinx39

5.设

[0,],且

cos2+2msin-2m-2<0

恒成立,求

m

的取值范围.2

解法1

由已知

0≤sin≤1

且

1-sin2+2msin-2m-2<0

恒成立.令

t=sin,则

0≤t≤1

且

1-t2+2mt-2m-2<0

恒成立.即

f(t)=t2-2mt+2m+1=(t-m)2-m2+2m+1>0

对

t[0,1]

恒成立.故可讨论如下:(1)若

m<0,则

f(0)>0.即

2m+1>0.解得

m>-

,12(2)若

0≤m≤1,则

f(m)>0.即

-m2+2m+1>0.亦即

m2-2m-1<0.解得:1-2<m<1+

2

,∴0≤m≤1;∴-

<m<0;12(3)若

m>1,则

f(1)>0.即

0m+2>0.∴mR,∴m>1.综上所述

m>-

.12

即

m

的