函数与方程思想优秀课件1

第2讲函数与方程思想1.函数的思想，是用运动和变化的观点、集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得方程的思想，就是从问题的数量关系入手分析数学问题中的等量关系,从而建立方程或方程组或者构造方程,通过解方程或方程组,或者运用方程的性质去分析、转化问题，从而使问题获得解决.第2讲函数与方程思想1方程的思想与函数的思想密切相关，对于函数

y=f(x)，当y=0时，就转化为方程f(x)=0，也可以把函数式y=f(x)看做二元方程y-f(x)=0,函数与方程这种相互转化的关系十分重要.函数与不等式也可以相互转化,对于函数y=f(x)，当y>0时，就化为不等式f(x)>0，借助于函数的图象与性质可以解决不等式的有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式.2.函数与方程思想一直是数学最本质的思想之一，是高中数学的一条重要主线，新课标内容中不仅没有淡化这一传统，而且还有加强的趋势，这从考试说明中很容易看出来.方程的思想与函数的思想密切相关，对于函数23.备考中要熟练掌握一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体性质与图象特征，解题时要注意挖掘题目中的隐含条件，迅速构造出有关的函数解析式，并能恰当使用其性质或图象，顺利解决问题.4.函数与方程思想的应用涉及的知识点较多，应用起来具有一定的创造性，更能体现考生的能力水平，是考查创新实践能力的良好载体和首选载体，另外它对考生的理解能力，应用数学知识的能力，以及数学思维能力等都有较高层次要求，备考过程中要加强训练.3.备考中要熟练掌握一次函数、二次函数、反比例3【例1】（2009·江苏调研）已知命题“在等差数列{an}中，若3a3+a9+a()=30，则S13=78”为真命题，由于印刷问题，括号内的数模糊不清，可以推得其中的数为

.分析由S13=78，可得关于a1与d的方程,设括号内数为x,可得关于a1，d的方程，联立可解得x=17.解析设等差数列{an}公差为d,首项为a1,括号内为x,依题意有：17174探究拓展用方程的思想建立关于基本量的等式，通过解方程（组），使问题得以解决，是处理数列问题的基本方法与思路.数列中基本量一般指首项a1、公差d、公比q、项数n、第n项an、前n项和Sn,关联式为an=a1+(n-1)d,an=a1qn-1,方程思想的应用，使各基本量之间关系表现的形象生动，备考者要细细体会，牢固掌握.探究拓展用方程的思想建立关于基本量的等5变式训练1若复数z满足条件（1+i）z=1-i，则z=

.解析设z=a+bi(a,b∈R),则(1+i)(a+bi)=1-i，整理有(a-b)+(a+b)i=1-i,

a-b=1

a+b=-1，-ia=0b=-1,得∴z=-i变式训练1若复数z满足条件（1+i）z=1-i，则z6【例2】（2009·南京调研）如图所示，

半圆的直径AB=2，O为圆心，C是半

圆上不同于A，B的任意一点.若P为半径OC上的动点，则（PA+PB）·PC的最小值是

.解析设PC长为x(0≤x≤1)，则PO长为1-x,依题意，O为AB中点，所以问题转化为求函数t=2x2-2x,x∈［0，1］的最小值问题.【例2】（2009·南京调研）如图所示，

半圆的直径AB7

探究拓展将题设条件恰当转化，有时可转化为函数问题，借助函数相关知识，使问题顺利解决.其中要特别注意函数所依赖的未知数的设立及其取值范围的确定，不同的量作未知数，所得的函数解析式不同，自变量的取值范围不同，解决问题的过程繁简程度也不同，这就要求备考者在备考中要有优化解题过程的意识.答案答案8

变式训练2解

变式训练29【例3】（2008·南京调研）已知数列{an}是公差为d的等差数列，它的前n项和为Sn，（1）求公差d的值；（2）若求数列{bn}中的最大项和最小项的值；（3）若对任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，求a1的取值范围.解

（1）∵S4=2S2+4，

【例3】（2008·南京调研）已知数列{an}是公差为d10函数与方程思想优秀课件111∵对任意的n∈N*，都有bn≤b8,∴7<1-a1<8.∴-7<a1<-6.∴a1的取值范围是（-7，-6）.探究拓展解决数列问题，似乎永远离不了函数与方程思想，因为数列实质是特殊的函数，回归函数后，便于使用函数的性质与图象等工具解决数列问题，从本例中可见一斑.函数的单调性结合定义在正自然数集上的数列，便确定了最大项与最小项，若作出函数图象，则使结论更加明显.因此，可以说“学数列离不了函数”.数列基本量间的关系是靠方程维系的，基本量间的互求当然离不了方程(组)的建立，如本例第(1)问.∵对任意的n∈N*，都有bn≤b8,12

变式训练3(n∈N*)，则数列{an}的最大项是第

项.解析12和13变式训练3(n∈N*)13【例4】（2009·通州第四次调研）某厂家拟在2009年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m

(m≥0)万元满足(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量是1万件.已知2009年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）.（1）将2009年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；【例4】（2009·通州第四次调研）某厂家拟在200914（2）该厂家2009年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？解（1）由题意可知，当m=0时，x=1,

（2）该厂家2009年的促销费用投入多少万元时，15

即m=3时，ymax=21.答该厂家2009年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元.探究拓展(1)解决实际应用问题的关键是对问题实质的把握，通过对问题本质的分析研究，建立相应恰当的函数模型（或方程），把实际问题转化为数学问题处理.(2)解决实际问题不论建立怎样的数学模型，不要忘记将问题回归到原问题上去，应保证答案结果符合实际意义.

16

变式训练4（2009·扬州市五月模拟）诺贝尔奖发放方式为：每年一次，把奖金总金额平均分成6份，奖励在6项（物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平）为人类作出了最有益贡献的人.每年发放奖金的总金额是在该年度所获利息的一半，另一半利息用于增加基金总额，以便保证奖金数逐年递增.假设基金平均年利率为r=6.24%.资料显示：1999年诺贝尔奖发奖后基金总额约为19800万美元.设f(x)表示为第x(x∈N*)年诺贝尔奖发奖后的基金总额（1999年记为f（1））.（1）用f(1)表示f(2)与f(3),并根据所求结果归纳出函数f(x)的表达式；变式训练4（2009·扬州市五月模拟）诺贝尔奖17（2）试根据f(x)的表达式判断网上一则新闻“2009年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真，并说明理由.（参考数据：1.062410=1.83，1.031210=1.36）解（1）由题意知：

f(2)=f(1)·（1+6.24%）-·f（1）·6.24%=

f（1）·（1+3.12%），一般地：f（3）=f（2）·（1+6.24%）-·

f（2）·6.24%=f（1）·(1+3.12%)2,∴f（x）=19800·（1+3.12%）x-1（x∈N*）.（2）试根据f(x)的表达式判断网上一则新闻18（2）2008年诺贝尔奖发奖后基金总额为：

f(10)=19800·(1+3.12%)9=26107，2009年度诺贝尔奖各项奖金额为与150万美元相比少了14万美元.答新闻“2009年度诺贝尔奖各项资金高达150万美元”不真，是假新闻.函数与方程思想优秀课件119规律方法总结

1.函数与方程两种思想是密切相关的，函数问题可转化为方程问题来解决；方程问题也可以用函数思想来处理.如求函数y=f(x)的零点，就是解方程

f(x)=0；解不等式f(x)>0（或f(x)<0），就是求函数y=f(x)值为正(负)时,所对应的自变量x的区间.2.函数与方程思想的应用概括地讲，一是构建函数与方程，二是应用函数与方程的性质思考问题.含有一个变量的等式，就是方程，含有多个变量的等式可理解为方程，也可转化为函数.理解为方程就是要考虑有解的条件，及解方程过程的合理性；理解为函数，就在于确定解析式与定义域.规律方法总结

1.函数与方程两种思想是密切相关的，函数问题可203.构造函数解决数学问题，是函数思想应用的较高境界，因为这种“构造”带有一定的“创造”性，事后看起来合理自然，其背后是构造者精心构思、综合多种知识的能力和匠心独运的结果.备考过程中，要不断总结归纳用函数的观点和方法分析与解决常见数学问题的方法技巧，自觉地充分合理地运用函数与方程的思想，提高数学意识和数学思维的能力.只有平时多加强训练并注意总结积累，才能不断提高能力，解题时才能得心应手、运用自如.3.构造函数解决数学问题，是函数思想应用的较高214.可以从以下几个方面思考使用函数与方程思想(1)实际应用题中，建立适当的数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式知识解答，或依据题中的等量关系列方程（组），通过解方程（组）使问题得以解决.(2)将函数解析式转化为方程（注意转化后未知数的范围仍服从于原自变量与函数值的取值范围），利用方程有解的条件解决有关问题.(3)将方程中（也可能是含有多个变量的数学问题中）某个合适的未知可变量作为主变量，构造出恰当的函数解析式，揭示出其中的函数关系式，依据函数性质解决问题.4.可以从以下几个方面思考使用函数与方程思想22(4)数列是特殊的函数，是定义在正自然数集（或其子集）上的函数，数列的通项公式，前n项和公式都可以看成是关于n的函数.数列问题完全可以用函数方法解决.(5)对不等式解集的研究，可以构造出函数，转化为函数值域限定问题处理.(6)直接研究具体函数，求解函数性质问题，如极值、最值、单调区间、周期性等.(4)数列是特殊的函数，是定义在正自然数集（或23一、填空题1.（2009·金陵中学三模）已知等差数列{an}满足：

a1=-8,a2=-6.若将a1,a4,a5都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为

.

解析公差d=a2-a1=2,a4=a1+3d=-2,

a5=a1+4d=0.设同加上x合乎题意，则(a4+x)2=(a1+x)(a5+x),即(-2+x)2=(-8+x)·（0+x），解得x=-1.-1-1242.(2009·南京调研)已知变量x、y满足则z=2x+y的最大值为

.解析依据约束条件画出可行域，由目标函数

z=2x+y得平移直线斜率为-2，在可行域内平移直线

y=-2x+z,且最大截距对应z取最大值，可得最优解是（3，3），zmax=9.92.(2009·南京调研)已知变量x、y满足9253.（2008·湖北）方程2-x+x2=3的实数解的个数为

.解析方程可变形为构造函数并分别作出它们的图象，易知有2个交点，所以方程有2个实数解.23.（2008·湖北）方程2-x+x2=3的实数解的个数为2264.（2008·扬州模拟改编）对任意函数

f(x),x∈D,可按图构造一个数列发生器，其工作原理如下：①输入数据x0∈D,经数列发生器输出

②若x1D,则数列发生器结束工作；若x1∈D,则将x1反馈回输入端，再输出

x2=f(x1),并依此规律继续下去.现定义若要数列发生器产生一个无穷的常数数列，试求输入的初始数据x0的值为

.x1=f(x0);4.（2008·扬州模拟改编）对任意函数x1=f(x0);27解析

∴x=1或x=2.故当x0=1时，xn=1；当x0=2时，xn=2(n∈N*).答案1或2解析285.若=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值为

.

解析由题设令x=1,15.若=a0+a1x+a2x2+a3x3+a296.（2009·通州五月查漏补缺卷）已知两个不共线向量的夹角为，且若点M在直线OB上，且的最小值为则的值为

.

解析

①当点M在射线OB上时，

依二次函数知识可知：6.（2009·通州五月查漏补缺卷）已知两个不30答案

注意：计论点M与射线OB的位置关系是正确解题的关键.答案注意：计论点M与射线OB的位置关系是正确解题31二、解答题7.已知关于n的不等式对于一切大于1的正整数n都成立，试求实数a的取值范围.解

∴f(n)是关于n的递增函数，二、解答题32函数与方程思想优秀课件1338.已知椭圆方程为在椭圆上是否存在点

P（x,y）到定点A（a,0）(其中0<a<3)的距离的最小值为1，若存在，求出a的值及P点坐标，若不存在，请给予证明.

解设存在P（x,y）满足题设条件，∴|AP|2=(x-a)2+y2，

8.已知椭圆方程为在椭圆上是否存在点34依题意(3-a)2=1,∴a=2.此时P点的坐标是（3，0），故当a=2时，存在这样的点P满足条件，P点坐标为（3，0）.函数与方程思想优秀课件1359.（2009·扬州中学调研）某建筑的金属支架如图所示，根据要求AB至少长2.8m,C为AB的中点，B到D的距离比CD的长小0.5m，∠BCD=60°，已知建造支架的材料每米的价格一定，问怎样设计

AB，CD的长，可使建造这个支架的成本最低？解设BC=am（a≥14）,CD=bm.连结BD.9.（2009·扬州中学调研）某建筑的金36答当AB=3m，CD=4m时，建造这个支架的成本最低.答当AB=3m，CD=4m时，建造这个支架的成本最低3710.（2009·淮安市五月调研）已知函数f(x)=lnx-

x+1,x∈(0,+∞).（1）求f(x）的单调区间和极值；（2）设a≥1,函数g(x)=x2-3ax+2a2-5,若对于任意

x0∈(0,1),总存在x1∈(0,1)，使得f(x1)=g(x0)成立，求a的取值范围；（3）对任意x∈(0,+∞)，求证：（1）解

∴当x>1时，f′(x)<0；当0<x<1时，f′(x)>0.∴f（x）的单调递增区间为（0，1），10.（2009·淮安市五月调研）已知函数f(x)=lnx38单调递减区间为（1，+∞），极大值为f(1)=0，无极小值.（2）解∵g′(x)=2x-3a(a≥1),∴当x∈(0,1)时,g′(x)=2x-3a<0,g(x)单调递减，此时g(x)值域为（2a2-3a-4,2a2-5）.由（1）得，当x∈(0,1)时，f(x)值域为（-∞，0），由题意可得（3）证明∵x>0,∴t>1,原不等式等价于单调递减区间为（1，+∞），极大值为f(1)=0，39由（1）知f(t)=lnt-t+1在（1,+∞）上单调递减，∴f(t)<f(1)=0,即lnt<t-1,

返回由（1）知f(t)=lnt-t+1在（1,+∞）上单调40

85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布]86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯]88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森]90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。――[兰斯顿·休斯]92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。――[玛科斯·奥雷利阿斯]93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。[约翰·纳森·爱德瓦兹]94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。――[约翰·拉斯金]95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。――[威廉·班]96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。――[萧伯纳]97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格]98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根]99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔·普劳斯特]100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹]101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰]102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华]103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗]104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉·彭]105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔·卡内基]106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰·罗伯克]107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳·厄尔曼]108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝·C·科尔顿]109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔·卡内基]110.每天安静地坐十五分钟·倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克·佛洛姆]111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯]112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯]113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根·皮沙尔·史密斯]114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。――[阿萨·赫尔帕斯爵士]115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。――[威廉·海兹利特]116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。――[凯·里昂]117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。――[B·C·福比斯]118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。――[迈可·汉默]119.进步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。――[奥古斯汀]120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。――[史迈尔斯]121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。――[C·H·K·寇蒂斯]122.对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。――[乔治桑]123.未来不是固定在那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。――[约翰·夏尔]124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。――[道格拉斯·米尔多]125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度――。[老子]126.在寒冷中颤抖过的人倍觉太阳的温暖，经历过各种人生烦恼的人，才懂得生命的珍贵。――[怀特曼]127.一般的伟人总是让身边的人感到渺小；但真正的伟人却能让身边的人认为自己很伟大。――[G.K.Chesteron]128.医生知道的事如此的少，他们的收费却是如此的高。――[马克吐温]129.问题不在于：一个人能够轻蔑、藐视或批评什么，而是在于：他能够喜爱、看重以及欣赏什么。――[约翰·鲁斯金]函数与方程思想优秀课件141第2讲函数与方程思想1.函数的思想，是用运动和变化的观点、集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得方程的思想，就是从问题的数量关系入手分析数学问题中的等量关系,从而建立方程或方程组或者构造方程,通过解方程或方程组,或者运用方程的性质去分析、转化问题，从而使问题获得解决.第2讲函数与方程思想42方程的思想与函数的思想密切相关，对于函数

y=f(x)，当y=0时，就转化为方程f(x)=0，也可以把函数式y=f(x)看做二元方程y-f(x)=0,函数与方程这种相互转化的关系十分重要.函数与不等式也可以相互转化,对于函数y=f(x)，当y>0时，就化为不等式f(x)>0，借助于函数的图象与性质可以解决不等式的有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式.2.函数与方程思想一直是数学最本质的思想之一，是高中数学的一条重要主线，新课标内容中不仅没有淡化这一传统，而且还有加强的趋势，这从考试说明中很容易看出来.方程的思想与函数的思想密切相关，对于函数433.备考中要熟练掌握一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体性质与图象特征，解题时要注意挖掘题目中的隐含条件，迅速构造出有关的函数解析式，并能恰当使用其性质或图象，顺利解决问题.4.函数与方程思想的应用涉及的知识点较多，应用起来具有一定的创造性，更能体现考生的能力水平，是考查创新实践能力的良好载体和首选载体，另外它对考生的理解能力，应用数学知识的能力，以及数学思维能力等都有较高层次要求，备考过程中要加强训练.3.备考中要熟练掌握一次函数、二次函数、反比例44【例1】（2009·江苏调研）已知命题“在等差数列{an}中，若3a3+a9+a()=30，则S13=78”为真命题，由于印刷问题，括号内的数模糊不清，可以推得其中的数为

.分析由S13=78，可得关于a1与d的方程,设括号内数为x,可得关于a1，d的方程，联立可解得x=17.解析设等差数列{an}公差为d,首项为a1,括号内为x,依题意有：171745探究拓展用方程的思想建立关于基本量的等式，通过解方程（组），使问题得以解决，是处理数列问题的基本方法与思路.数列中基本量一般指首项a1、公差d、公比q、项数n、第n项an、前n项和Sn,关联式为an=a1+(n-1)d,an=a1qn-1,方程思想的应用，使各基本量之间关系表现的形象生动，备考者要细细体会，牢固掌握.探究拓展用方程的思想建立关于基本量的等46变式训练1若复数z满足条件（1+i）z=1-i，则z=

.解析设z=a+bi(a,b∈R),则(1+i)(a+bi)=1-i，整理有(a-b)+(a+b)i=1-i,

a-b=1

a+b=-1，-ia=0b=-1,得∴z=-i变式训练1若复数z满足条件（1+i）z=1-i，则z47【例2】（2009·南京调研）如图所示，

半圆的直径AB=2，O为圆心，C是半

圆上不同于A，B的任意一点.若P为半径OC上的动点，则（PA+PB）·PC的最小值是

.解析设PC长为x(0≤x≤1)，则PO长为1-x,依题意，O为AB中点，所以问题转化为求函数t=2x2-2x,x∈［0，1］的最小值问题.【例2】（2009·南京调研）如图所示，

半圆的直径AB48

探究拓展将题设条件恰当转化，有时可转化为函数问题，借助函数相关知识，使问题顺利解决.其中要特别注意函数所依赖的未知数的设立及其取值范围的确定，不同的量作未知数，所得的函数解析式不同，自变量的取值范围不同，解决问题的过程繁简程度也不同，这就要求备考者在备考中要有优化解题过程的意识.答案答案49

变式训练2解

变式训练250【例3】（2008·南京调研）已知数列{an}是公差为d的等差数列，它的前n项和为Sn，（1）求公差d的值；（2）若求数列{bn}中的最大项和最小项的值；（3）若对任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，求a1的取值范围.解

（1）∵S4=2S2+4，

【例3】（2008·南京调研）已知数列{an}是公差为d51函数与方程思想优秀课件152∵对任意的n∈N*，都有bn≤b8,∴7<1-a1<8.∴-7<a1<-6.∴a1的取值范围是（-7，-6）.探究拓展解决数列问题，似乎永远离不了函数与方程思想，因为数列实质是特殊的函数，回归函数后，便于使用函数的性质与图象等工具解决数列问题，从本例中可见一斑.函数的单调性结合定义在正自然数集上的数列，便确定了最大项与最小项，若作出函数图象，则使结论更加明显.因此，可以说“学数列离不了函数”.数列基本量间的关系是靠方程维系的，基本量间的互求当然离不了方程(组)的建立，如本例第(1)问.∵对任意的n∈N*，都有bn≤b8,53

变式训练3(n∈N*)，则数列{an}的最大项是第

项.解析12和13变式训练3(n∈N*)54【例4】（2009·通州第四次调研）某厂家拟在2009年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m

(m≥0)万元满足(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量是1万件.已知2009年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）.（1）将2009年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；【例4】（2009·通州第四次调研）某厂家拟在200955（2）该厂家2009年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？解（1）由题意可知，当m=0时，x=1,

（2）该厂家2009年的促销费用投入多少万元时，56

即m=3时，ymax=21.答该厂家2009年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元.探究拓展(1)解决实际应用问题的关键是对问题实质的把握，通过对问题本质的分析研究，建立相应恰当的函数模型（或方程），把实际问题转化为数学问题处理.(2)解决实际问题不论建立怎样的数学模型，不要忘记将问题回归到原问题上去，应保证答案结果符合实际意义.

57

变式训练4（2009·扬州市五月模拟）诺贝尔奖发放方式为：每年一次，把奖金总金额平均分成6份，奖励在6项（物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平）为人类作出了最有益贡献的人.每年发放奖金的总金额是在该年度所获利息的一半，另一半利息用于增加基金总额，以便保证奖金数逐年递增.假设基金平均年利率为r=6.24%.资料显示：1999年诺贝尔奖发奖后基金总额约为19800万美元.设f(x)表示为第x(x∈N*)年诺贝尔奖发奖后的基金总额（1999年记为f（1））.（1）用f(1)表示f(2)与f(3),并根据所求结果归纳出函数f(x)的表达式；变式训练4（2009·扬州市五月模拟）诺贝尔奖58（2）试根据f(x)的表达式判断网上一则新闻“2009年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真，并说明理由.（参考数据：1.062410=1.83，1.031210=1.36）解（1）由题意知：

f(2)=f(1)·（1+6.24%）-·f（1）·6.24%=

f（1）·（1+3.12%），一般地：f（3）=f（2）·（1+6.24%）-·

f（2）·6.24%=f（1）·(1+3.12%)2,∴f（x）=19800·（1+3.12%）x-1（x∈N*）.（2）试根据f(x)的表达式判断网上一则新闻59（2）2008年诺贝尔奖发奖后基金总额为：

f(10)=19800·(1+3.12%)9=26107，2009年度诺贝尔奖各项奖金额为与150万美元相比少了14万美元.答新闻“2009年度诺贝尔奖各项资金高达150万美元”不真，是假新闻.函数与方程思想优秀课件160规律方法总结

1.函数与方程两种思想是密切相关的，函数问题可转化为方程问题来解决；方程问题也可以用函数思想来处理.如求函数y=f(x)的零点，就是解方程

f(x)=0；解不等式f(x)>0（或f(x)<0），就是求函数y=f(x)值为正(负)时,所对应的自变量x的区间.2.函数与方程思想的应用概括地讲，一是构建函数与方程，二是应用函数与方程的性质思考问题.含有一个变量的等式，就是方程，含有多个变量的等式可理解为方程，也可转化为函数.理解为方程就是要考虑有解的条件，及解方程过程的合理性；理解为函数，就在于确定解析式与定义域.规律方法总结

1.函数与方程两种思想是密切相关的，函数问题可613.构造函数解决数学问题，是函数思想应用的较高境界，因为这种“构造”带有一定的“创造”性，事后看起来合理自然，其背后是构造者精心构思、综合多种知识的能力和匠心独运的结果.备考过程中，要不断总结归纳用函数的观点和方法分析与解决常见数学问题的方法技巧，自觉地充分合理地运用函数与方程的思想，提高数学意识和数学思维的能力.只有平时多加强训练并注意总结积累，才能不断提高能力，解题时才能得心应手、运用自如.3.构造函数解决数学问题，是函数思想应用的较高624.可以从以下几个方面思考使用函数与方程思想(1)实际应用题中，建立适当的数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式知识解答，或依据题中的等量关系列方程（组），通过解方程（组）使问题得以解决.(2)将函数解析式转化为方程（注意转化后未知数的范围仍服从于原自变量与函数值的取值范围），利用方程有解的条件解决有关问题.(3)将方程中（也可能是含有多个变量的数学问题中）某个合适的未知可变量作为主变量，构造出恰当的函数解析式，揭示出其中的函数关系式，依据函数性质解决问题.4.可以从以下几个方面思考使用函数与方程思想63(4)数列是特殊的函数，是定义在正自然数集（或其子集）上的函数，数列的通项公式，前n项和公式都可以看成是关于n的函数.数列问题完全可以用函数方法解决.(5)对不等式解集的研究，可以构造出函数，转化为函数值域限定问题处理.(6)直接研究具体函数，求解函数性质问题，如极值、最值、单调区间、周期性等.(4)数列是特殊的函数，是定义在正自然数集（或64一、填空题1.（2009·金陵中学三模）已知等差数列{an}满足：

a1=-8,a2=-6.若将a1,a4,a5都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为

.

解析公差d=a2-a1=2,a4=a1+3d=-2,

a5=a1+4d=0.设同加上x合乎题意，则(a4+x)2=(a1+x)(a5+x),即(-2+x)2=(-8+x)·（0+x），解得x=-1.-1-1652.(2009·南京调研)已知变量x、y满足则z=2x+y的最大值为

.解析依据约束条件画出可行域，由目标函数

z=2x+y得平移直线斜率为-2，在可行域内平移直线

y=-2x+z,且最大截距对应z取最大值，可得最优解是（3，3），zmax=9.92.(2009·南京调研)已知变量x、y满足9663.（2008·湖北）方程2-x+x2=3的实数解的个数为

.解析方程可变形为构造函数并分别作出它们的图象，易知有2个交点，所以方程有2个实数解.23.（2008·湖北）方程2-x+x2=3的实数解的个数为2674.（2008·扬州模拟改编）对任意函数

f(x),x∈D,可按图构造一个数列发生器，其工作原理如下：①输入数据x0∈D,经数列发生器输出

②若x1D,则数列发生器结束工作；若x1∈D,则将x1反馈回输入端，再输出

x2=f(x1),并依此规律继续下去.现定义若要数列发生器产生一个无穷的常数数列，试求输入的初始数据x0的值为

.x1=f(x0);4.（2008·扬州模拟改编）对任意函数x1=f(x0);68解析

∴x=1或x=2.故当x0=1时，xn=1；当x0=2时，xn=2(n∈N*).答案1或2解析695.若=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值为

.

解析由题设令x=1,15.若=a0+a1x+a2x2+a3x3+a706.（2009·通州五月查漏补缺卷）已知两个不共线向量的夹角为，且若点M在直线OB上，且的最小值为则的值为

.

解析

①当点M在射线OB上时，

依二次函数知识可知：6.（2009·通州五月查漏补缺卷）已知两个不71答案

注意：计论点M与射线OB的位置关系是正确解题的关键.答案注意：计论点M与射线OB的位置关系是正确解题72二、解答题7.已知关于n的不等式对于一切大于1的正整数n都成立，试求实数a的取值范围.解

∴f(n)是关于n的递增函数，二、解答题73函数与方程思想优秀课件1748.已知椭圆方程为在椭圆上是否存在点

P（x,y）到定点A（a,0）(其中0<a<3)的距离的最小值为1，若存在，求出a的值及P点坐标，若不存在，请给予证明.

解设存在P（x,y）满足题设条件，∴|AP|2=(x-a)2+y2，

8.已知椭圆方程为在椭圆上是否存在点75依题意(3-a)2=1,∴a=2.此时P点的坐标是（3，0），故当a=2时，存在这样的点P满足条件，P点坐标为（3，0）.函数与方程思想优秀课件1769.（2009·扬州中学调研）某建筑的金属支架如图所示，根据要求AB至少长2.8m,C为AB的中点，B到D的距离比CD的长小0.5m，∠BCD=60°，已知建造支架的材料每米的价格一定，问怎样设计

AB，CD的长，可使建造这个支架的成本最低？解设BC=am（a≥14）,CD=bm.连结BD.9.（2009·扬州中学调研）某建筑的金77答当AB=3m，CD=4m时，建造这个支架的成本最低.答当AB=3m，CD=4m时，建造这个支架的成本最低7810.（2009·淮安市五月调研）已知函数f(x)=lnx-

x+1,x∈(0,+∞).（1）求f(x）的单调区间和极值；（2）设a≥1,函数g(x)=x2-3ax+2a2-5,若对于任意

x0∈(0,1),总存在x1∈(0,1)，使得f(x1)=g(x0)成立，求a的取值范围；（3）对任意x∈(0,+∞)，求证：（1）解

∴当x>1时，f′(x)<0；当0<x<1时，f′(x)>0.∴f（x）的单调递增区间为（0，1），10.（2009·淮安市五月调研）已知函数f(x)=lnx79单调递减区间为（1，+∞），极大值为f(1)=0，无极小值.（2）解∵g′(x)=2x-3a(a≥1),∴当x∈(0,1)时,g′(x)=2x-3a<0,g(x)单调递减，此时g(x)值域为（2a2-3a-4,2a2-5）.由（1）得，当x∈(0,1)时，f(x)值域为（-∞，0），由题意可得（3）证明∵x>0,∴t>1,原不等式等价于单调递减区间为（1，+∞），极大值为f(1)=0，80由（1）知f(t)=lnt-t+1在（1,+∞）上单调递减，∴f(t)<f(1)=0,即lnt<t-1,

返回由（1）知f(t)=lnt-t+1在（1,+∞）上单调81

85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布]86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯]88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森]90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。――[兰斯顿·休斯]92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。――[玛科斯·奥雷利阿斯]93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。[约翰·纳森·爱德瓦兹]94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。――[约翰·拉斯金]95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。――[威廉·班]96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。――[萧伯纳]97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁