全等三角形第一课时

2.5全等三角形-----第一课时

如图是两组形状、大小完全相同的图形.

用透明纸描出每组中的一个图形，并剪下来与另一个图形放在一起，它们完全重合吗？（1）（2）新知探究（1）（2）它们可以完全重合

我们把能够完全重合的两个图形叫作全等图形.新知归纳

如图，△ABC分别通过平移、旋转、轴反射后得到△

，问△ABC与△能完全重合吗？新知探究

根据平移、旋转和轴反射的性质，可知分别通过上述三个变换后得到的△与△ABC都可以完全重合，因此它们是全等图形.能完全重合的两个三角形叫作全等三角形.新知归纳

全等三角形中，互相重合的顶点叫作对应顶点，

互相重合的边叫作对应边，

互相重合的角叫作对应角.A′B′C′ABCA(A′)B(B′)C(C′)新知归纳例如，图（1）中的△ABC和△全等，其中A与A′，B与B′，C与C′是对应顶点；记作：△ABC≌△.AB与，BC与，CA与是对应边；（1）全等用符号“≌”表示，读作“全等于”.

在表示两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上.

全等用符号“≌”表示，读作“全等于”.

在表示两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上.

全等三角形的对应边相等；

全等三角形的对应角相等.

我们知道，能够完全重合的两条线段是相等的，能够完全重合的两个角是相等的，由此得到：

例如，新知归纳例1如图，已知△ABC≌△DCB，AB=3，

DB=4，∠A=60°.（1）写出△ABC和△DCB的对应边和对应角；（2）求AC，DC的长及∠D的度数.中考试题解（1）AB与DC，AC与DB，BC与CB是对应边；∠A与∠D，∠ABC与∠DCB，∠ACB与∠DBC是对应角.∴AC=DB=4，

DC=AB=3.（2）∵

AC与DB，

AB与DC是全等三角形的对应边，∵∠A与∠D是全等三角形的对应角，∴∠D=∠A=60°.

如图，已知△ADF≌△CBE，AD=4，BE=3，AF=6，∠A=20°，∠B=120°.（1）找出它们的所有对应边和对应角；（2）求△ADF的周长及∠BEC的度数.解（1）AF与CE，AD与CB，DF与BE是对应边；∠A与∠C，∠AFD与∠CEB，∠D与∠B是对应角.

（2）△ADF的周长是13，∠BEC=40°.随堂练习

两个三角形满足什么条件就能全等呢？下面我们就来探讨这个问题.疑问升级

每位同学在纸上的两个不同位置分别画一个三角形，它的一个角为50°，夹这个角的两边分别为2cm，2.5cm.

将这两个三角形叠在一起，它们完全重合吗？由此你能得到什么结论？50°2cm2.5cm50°2cm2.5cm新知探究50°2cm2.5cm我发现它们完全重合，我猜测：有两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等.

下面，我们从以下这几种情形来探讨这个猜测是否为真.

设在△ABC和中，，（1）△ABC和的位置关系如图.

将△ABC作平移，使BC的像与重合，△ABC在平移下的像为.

由于平移不改变图形的形状和大小，因此△ABC≌因为，所以线段A″B″与重合，因此点与点重合，那么与重合，所以与重合，因此，从而（2）△ABC和的位置关系如图（顶点B

与顶点重合）.因为，将△ABC作绕点B的旋转，旋转角等于，所以线段BC的像与线段重合.因为，所以(A)B(C)由于旋转不改变图形的形状和大小，又因为，所以在上述旋转下，BA的像与重合，从而AC的像就与重合，于是△ABC的像就是因此△ABC≌(A)B(C)（3）△ABC和的位置关系如图.根据情形（1），（2）的结论得将△ABC作平移，使顶点B的像和顶点重合，因此（4）△ABC和的位置关系如图.将△ABC作关于直线BC的轴反射，△ABC在轴反射下的像为由于轴反射不改变图形的形状和大小，因此△ABC≌根据情形（3）的结论得，因此由此得到判定两个三角形全等的基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.通常可简写成“边角边”或“SAS”.新知归纳例2

已知：如图，AB和CD相交于O，且AO=BO，

CO=DO.求证：△ACO≌△BDO.证明：在△ACO和△BDO中，∴△ACO≌△BDO.（SAS）AO=BO，∠AOC=∠BOD，（对顶角相等）CO=DO，例题讲解1.如图，将两根钢条AA′和BB′的中点O连在一起，

使钢条可以绕点O自由转动，就可做成测量工件内

槽宽度的工具（卡钳）.只要量出

的长，就得

出工件内槽的宽AB.这是根据什么道理呢？解

△ABO≌△A′B′O，∴AB=A′B′.随堂练习2.

如图，AD∥BC，AD=BC.

问：△ADC和△CBA

是全等三角形吗？为什么？解

∵AD∥BC∴

△ADC≌△CBA.

∴∠DAC=∠BCA，

又AD=BC，AC公共随堂练习随堂练习3.

已知：如图，AB=AC，点E，F分别是AC，

AB的中点.

求证：BE=CF.解

∵AB=AC,且

E，F分别是

AC，AB中点，∴

△ABE≌△ACF，

∴AF=AE，

又∠A公共，∴

BE=CF.在△ABC和中，如果BC=，∠B=∠B′，∠C=∠C′，你能通过平移、旋转和轴反射等变换使△ABC的像与重合吗？那么△ABC与全等吗？

类似于基本事实“SAS”的探究，同样地，我们可以通过平移、旋转和轴反射等变换使△ABC的像与重合，因此△ABC≌新知探究由此得到判定两个三角形全等的基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.

通常可简写成“角边角”或“ASA”.新知归纳例3已知：如图，点A，F，E，C在同一条直线上，

AB∥DC，AB=CD，∠B=∠D.

求证：△ABE≌△CDF.证明∵

AB∥DC，∴∠A=∠C.在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF

（ASA）.∠A=∠C，AB=CD，∠B=∠D，例题讲解ABECD例4

如图，为测量河宽AB，小军从河岸的A点沿着和

AB垂直的方向走到C点，并在AC的中点E处立一根标杆，然后从C点沿着与AC垂直的方向走到D

点，使D，E，B恰好在一条直线上.于是小军说：“CD的长就是河的宽.”你能说出这个道理吗？例题讲解解：在△AEB和△CED中，∠A=∠C=90°，AE=CE，∠AEB=∠CED(对顶角相等)∴△AEB

≌△CED.（ASA）∴

AB=CD.(全等三角形的对应边相等)因此，CD的长就是河的宽度.1.

如图，工人师傅不小心把一块三角形玻璃打碎成三块，现要到玻璃店重新配一块与原来一样的三角形玻璃，只允许带其中的一块玻璃碎片去.请问应带哪块玻璃碎片去？为什么？答：应带玻璃碎片③去;只有这块玻璃具备决定全等三角形的几个条件:在直角三角形中已知一个锐角和一条直角边，由AAS判定定理即可确定两个三角形全等，故应带这块玻璃去.随堂练习2.已知：如图，△ABC≌

，CF，分别是∠