第2章-线性动态系统的运动分析-现代控制理论课件

第二章

线性动态系统的运动分析第二章1已知系统状态空间描述,研究由输入激励和初始状态影响所引起的系统状态运动或输出响应，实质上就是求解系统的状态方程并分析解的性质，以解析形式或数值形式得出系统状态的变化规律，属于定量分析。§1、线性定常系统的运动分析一、线性定常系统齐次状态方程的解齐次状态方程是指系统输入量为零时的状态方程：设解为向量幂级数：代入状态方程得：已知系统状态空间描述,研究由输入激励和初始状态影响所引起的§2等式两边同幂次项的系数应相等，即：将初始条件代入，有：状态方程的解可写为：仿照标量指数函数

矩阵指数函数

所以状态方程的解为：等式两边同幂次项的系数应相等，即：将初始条件代入，有：状3线性定常系统自由运动的状态可视为是由它的初始状态通过矩阵指数的转移作用而得到的，因此又将矩阵指数称为线性定常系统的状态转移矩阵，记作。

状态方程的解又可写为：当初始时刻时，初始条件成为自由运动的解为：矩阵指数函数为：线性定常系统自由运动的状态可视为是由它的初4二、状态转移矩阵的性质证：将代入即可证。

结合性质1还可得出

二、状态转移矩阵的性质证：将代入5第2章-线性动态系统的运动分析--现代控制理论课件69．对应于对角阵的状态转移矩阵也是对角矩阵，为证：给出了状态方程的频域解法证：

9．对应于对角阵的状态转移矩7证：10．对应于（约当阵）的状态转移矩阵是一个右上三角阵：证：10．对应于（8对于具有n个互不相同的特征值的系统矩阵A，由它们所对应的线性无关的n个特征向量构成的变换矩阵得：三、状态运动模态状态转移矩阵包含了系统自由运动的全部信息。系统的动态特性是由系统矩阵A的特征值决定的，称之为运动模态。

其中：由状态转移矩阵的性质9有进一步得到新的状态空间中的状态解：又对于具有n个互不相同的特征值9把一个由决定的运动称为一个运动模态，它们决定了系统状态的运动特性，（包括稳定性、运动速度、运动方向等）。线性定常系统的状态解是由系统的n个特征值决定的指数函数的线性组合。所以：可以证明，对于共轭复数对特征值，采用实数化处理方法，得出的状态转移矩阵与先化为复数对角矩阵，然后再得出状态转移矩阵具有相同的结果。

对于上一章所讨论的例子：已求得特征值为：对应的特征向量为：把一个由决定的运动称为一个运动模态，它们决定了系10得特征值规范型变换矩阵及其逆阵分别为：欧拉公式得特征值规范型变换矩阵及其逆阵分别为：欧拉公式11采用实数化处理方法：对于共轭复数对特征值取变换矩阵为其中和分别是共轭复数对特征值对应的特征向量的实部和虚部列向量变换后的系统矩阵为：将表示为：有：（因为满足状态转移矩阵性质6的乘法交换率）对于有：（性质9）对于有：采用实数化处理方法：对于共轭复数对特征值取变换矩阵为其中12台劳级数公式所以得：台劳级数公式所以得：13对于对应的特征向量为：变换矩阵P及其逆阵分别为：实数化处理得到的：的状态转移矩阵为：A的状态转移矩阵为：与直接用复数特征值求得的结果一致。对于对应的特征向量为：变换矩阵P及其逆阵分别为：实数化处理14四、矩阵指数的计算方法1．按定义求解一般不能写出闭合形式，只能得到数值结果，适合用计算机计算，以实际精度确定项数。2．频域法求解能得到闭合形式，不适合较高阶次系统。例2－3已知

，求出状态转移矩阵。解：求逆得预解矩阵：

所以有四、矩阵指数的计算方法1．按定义求解一般不能写出153．利用特征值规范型求解上例有，求得它的二个特征值为

A矩阵具有能控规范型形式，有范德蒙德矩阵

3．利用特征值规范型求解上例有，求得它的二个特征值为A矩阵16依此类推，都可表示为的线性组合。可表示为的线性组合：4．应用凯莱－哈密顿（Cayley-Hamilton）定理求解（1）凯莱－哈密顿定理指出，矩阵A满足其自身的特征方程：为A的特征多项式、…、A、I同理，对于有：、…、A、I依此类推，都可表示为17（3）当矩阵A具有n个相同的特征值，且其几何重数时，上式的各项系数由下式决定：所以，在中，可以用性组合替代所有的无穷项级数和成为的有限项和的表达式，即

、…、A、I的线，使、…、A、I（2）当矩阵A的n个特征值两两相异时，上式的各项系数由下式决定：（证明见教材p87）（3）当矩阵A具有n个相同的特征值，且其几何重数时18的状态转移矩阵。

当A既具有重特征值又具有单特征值时，可由上面两种情况的组合求得。例2－6应用凯莱－哈密顿定理求解矩阵A的特征多项式为

解得特征值：

的状态转移矩阵。当A既具有重特征值又具有单特征19有：得：有：得：20方程二边左乘非齐次状态方程描述控制作用u(t)下系统的强迫运动。

五、线性定常系统非齐次状态方程的解方程二边左乘非齐次状态方程描述控制作用u(t)下系统的强21一般形式：一般形式：22当输入量为几种特定信号时，状态运动的表示式可以简单化。

（1）时的脉冲响应：（2）时的阶跃响应：要求A矩阵的逆阵存在

（3）时的斜坡响应：也要求A矩阵的逆阵存在当输入量为几种特定信号时，状态运动的表示式可以简单化。（123第2章-线性动态系统的运动分析--现代控制理论课件24第2章-线性动态系统的运动分析--现代控制理论课件25也可以应用阶跃响应的式子。这时，先求出矩阵A的逆为：有：也可以应用阶跃响应的式子。这时，先求出矩阵A的逆为：有：26§2.线性时变系统的运动分析设解为解上述方程得即得,解变为解一．线性时变齐次状态方程的解代入原方程：有：§2.线性时变系统的运动分析设解为解上述方程得27解分两种情况：解分两种情况：28有：又：所以：有：又：所以：29以此类推，即可证明这时由Peano-Baker级数求得。即有：或：以此类推，即可证明这时由Peano-30两式不等，用Peano-Baker级数求：例2－9求解下面线性时变系统齐次状态方程，其初始条件为。

两式不等，用Peano-Baker级数求31……求得状态解为：

……求得状态解为：32二、时变系统状态转移矩阵的性质：定常系统状态转移矩阵的性质（10个）并不都适用时变系统，但有4个是共同的：二、时变系统状态转移矩阵的性质：定常系统状态转移矩阵33三、时变非齐次状态方程的解有：三、时变非齐次状态方程的解有：34零输入分量零初值分量一般需用计算机来求解。得：零输入分量零初值分量一般需用计算机来求解。得：35第一种情况例2－10设系统的初始状态为

求系统在单位阶跃信号作用下的状态解和系统输出响应。第一种情况例2－10设系统的初始状态为求系统在单位阶跃信号36代入，有：代入，有：37系统的状态解为：

系统的输出响应为：

系统的状态解为：系统的输出响应为：38§3、线性离散系统的运动分析一、离散系统状态方程的解（一）递推法求解1．定常系统状态方程的求解§3、线性离散系统的运动分析一、离散系统状态方程的解（一）递39几点说明：（1）如果初始时刻设为，则状态解应为：离散系统的状态转移矩阵具有与线性定常连续系统状态转移矩阵类似的性质。状态解可表示为：或（5）离散系统状态解的递推形式适合计算机计算，缺点是会导致累积误差。几点说明：（1）如果初始时刻设为，则状态解应为：402．时变系统状态方程的求解……定义线性时变离散系统的状态转移矩阵：则状态解可表示为：具有与线性时变连续系统状态转移矩阵相类似的性质。2．时变系统状态方程的求解……定义线性时变离散系统的状态转移41Z变换:Z反变换：（二）z变换法求解（线性定常离散系统）求线性离散系统状态解的关键也在于求得其状态转移矩阵。与连续系统类似，线性定常离散系统的状态转移矩阵也有4种求取方法，它们分别是：按定义直接求；z变换法求；利用线性变换的特征值规范型求；化为有限项多项式求。Z变换:Z反变换：（二）z变换法求解（线性定常离散系统）42例2－11分别用（1）z变换法，（2）利用线性变换的特征值规范型求状态转移矩阵的方法，求下面线性定常离散系统状态方程的解。其中初始状态为：

输入信号为单位阶跃序列。

解（1）用z变换法求。先求出

又：单位阶跃序列的z变换

例2－11分别用（1）z变换法，（2）利用线性变换的特征值43第2章-线性动态系统的运动分析--现代控制理论课件44容易求得系统矩阵G的两个互不相同的特征值：取z反变换，得：

（2）利用线性变换的特征值规范型法求。

系统矩阵具有能控规范形式，变换矩阵为：

容易求得系统矩阵G的两个互不相同的特征值：取z反变换，得：45得到状态解为：

两种求法的结果是一致的

得到状态解为：两种求法的结果是一致的46二、线性连续系统的离散化按一定时间间隔的采样和一定形式的保持（零阶保持）（一）近似离散化采样周期T较小的情况下有：代入状态方程得：系统矩阵和输入矩阵分别为：输出方程离散化结果只是用采样时刻KT代替连续时间t：二、线性连续系统的离散化按一定时间间隔的采样和一定形式的保持47例2－12将下面连续系统用近似法离散化，其中采样周期为

解这是一个线性定常系统，由上面的讨论可分别求得离散系统的系统矩阵及输入矩阵为：所以离散化后的系统动态方程为：

例2－12将下面连续系统用近似法离散化，其中采样周期为481、时变系统的情况：状态方程的解为：（二）由连续系统状态解离散化1、时变系统的情况：状态方程的解为：（二）由连续系统状态解离49对照，显然有：对照502．定常系统情况线性定常连续系统状态方程的解为：(另阶保持）对照，显然有：2．定常系统情况线性定常连续系统状态方程的解为：(另阶保持51作变量代换：作变量代换：52解已得出系统的状态转移矩阵为：解已得出系统的状态转移矩阵为：53所以离散化后系统为：用递推法可得到各采样点的状态值为：已知：………各采样点的输出值为：所以离散化后系统为：用递推法可得到各采样点的状态值为：已知54第二章

线性动态系统的运动分析第二章55已知系统状态空间描述,研究由输入激励和初始状态影响所引起的系统状态运动或输出响应，实质上就是求解系统的状态方程并分析解的性质，以解析形式或数值形式得出系统状态的变化规律，属于定量分析。§1、线性定常系统的运动分析一、线性定常系统齐次状态方程的解齐次状态方程是指系统输入量为零时的状态方程：设解为向量幂级数：代入状态方程得：已知系统状态空间描述,研究由输入激励和初始状态影响所引起的§56等式两边同幂次项的系数应相等，即：将初始条件代入，有：状态方程的解可写为：仿照标量指数函数

矩阵指数函数

所以状态方程的解为：等式两边同幂次项的系数应相等，即：将初始条件代入，有：状57线性定常系统自由运动的状态可视为是由它的初始状态通过矩阵指数的转移作用而得到的，因此又将矩阵指数称为线性定常系统的状态转移矩阵，记作。

状态方程的解又可写为：当初始时刻时，初始条件成为自由运动的解为：矩阵指数函数为：线性定常系统自由运动的状态可视为是由它的初58二、状态转移矩阵的性质证：将代入即可证。

结合性质1还可得出

二、状态转移矩阵的性质证：将代入59第2章-线性动态系统的运动分析--现代控制理论课件609．对应于对角阵的状态转移矩阵也是对角矩阵，为证：给出了状态方程的频域解法证：

9．对应于对角阵的状态转移矩61证：10．对应于（约当阵）的状态转移矩阵是一个右上三角阵：证：10．对应于（62对于具有n个互不相同的特征值的系统矩阵A，由它们所对应的线性无关的n个特征向量构成的变换矩阵得：三、状态运动模态状态转移矩阵包含了系统自由运动的全部信息。系统的动态特性是由系统矩阵A的特征值决定的，称之为运动模态。

其中：由状态转移矩阵的性质9有进一步得到新的状态空间中的状态解：又对于具有n个互不相同的特征值63把一个由决定的运动称为一个运动模态，它们决定了系统状态的运动特性，（包括稳定性、运动速度、运动方向等）。线性定常系统的状态解是由系统的n个特征值决定的指数函数的线性组合。所以：可以证明，对于共轭复数对特征值，采用实数化处理方法，得出的状态转移矩阵与先化为复数对角矩阵，然后再得出状态转移矩阵具有相同的结果。

对于上一章所讨论的例子：已求得特征值为：对应的特征向量为：把一个由决定的运动称为一个运动模态，它们决定了系64得特征值规范型变换矩阵及其逆阵分别为：欧拉公式得特征值规范型变换矩阵及其逆阵分别为：欧拉公式65采用实数化处理方法：对于共轭复数对特征值取变换矩阵为其中和分别是共轭复数对特征值对应的特征向量的实部和虚部列向量变换后的系统矩阵为：将表示为：有：（因为满足状态转移矩阵性质6的乘法交换率）对于有：（性质9）对于有：采用实数化处理方法：对于共轭复数对特征值取变换矩阵为其中66台劳级数公式所以得：台劳级数公式所以得：67对于对应的特征向量为：变换矩阵P及其逆阵分别为：实数化处理得到的：的状态转移矩阵为：A的状态转移矩阵为：与直接用复数特征值求得的结果一致。对于对应的特征向量为：变换矩阵P及其逆阵分别为：实数化处理68四、矩阵指数的计算方法1．按定义求解一般不能写出闭合形式，只能得到数值结果，适合用计算机计算，以实际精度确定项数。2．频域法求解能得到闭合形式，不适合较高阶次系统。例2－3已知

，求出状态转移矩阵。解：求逆得预解矩阵：

所以有四、矩阵指数的计算方法1．按定义求解一般不能写出693．利用特征值规范型求解上例有，求得它的二个特征值为

A矩阵具有能控规范型形式，有范德蒙德矩阵

3．利用特征值规范型求解上例有，求得它的二个特征值为A矩阵70依此类推，都可表示为的线性组合。可表示为的线性组合：4．应用凯莱－哈密顿（Cayley-Hamilton）定理求解（1）凯莱－哈密顿定理指出，矩阵A满足其自身的特征方程：为A的特征多项式、…、A、I同理，对于有：、…、A、I依此类推，都可表示为71（3）当矩阵A具有n个相同的特征值，且其几何重数时，上式的各项系数由下式决定：所以，在中，可以用性组合替代所有的无穷项级数和成为的有限项和的表达式，即

、…、A、I的线，使、…、A、I（2）当矩阵A的n个特征值两两相异时，上式的各项系数由下式决定：（证明见教材p87）（3）当矩阵A具有n个相同的特征值，且其几何重数时72的状态转移矩阵。

当A既具有重特征值又具有单特征值时，可由上面两种情况的组合求得。例2－6应用凯莱－哈密顿定理求解矩阵A的特征多项式为

解得特征值：

的状态转移矩阵。当A既具有重特征值又具有单特征73有：得：有：得：74方程二边左乘非齐次状态方程描述控制作用u(t)下系统的强迫运动。

五、线性定常系统非齐次状态方程的解方程二边左乘非齐次状态方程描述控制作用u(t)下系统的强75一般形式：一般形式：76当输入量为几种特定信号时，状态运动的表示式可以简单化。

（1）时的脉冲响应：（2）时的阶跃响应：要求A矩阵的逆阵存在

（3）时的斜坡响应：也要求A矩阵的逆阵存在当输入量为几种特定信号时，状态运动的表示式可以简单化。（177第2章-线性动态系统的运动分析--现代控制理论课件78第2章-线性动态系统的运动分析--现代控制理论课件79也可以应用阶跃响应的式子。这时，先求出矩阵A的逆为：有：也可以应用阶跃响应的式子。这时，先求出矩阵A的逆为：有：80§2.线性时变系统的运动分析设解为解上述方程得即得,解变为解一．线性时变齐次状态方程的解代入原方程：有：§2.线性时变系统的运动分析设解为解上述方程得81解分两种情况：解分两种情况：82有：又：所以：有：又：所以：83以此类推，即可证明这时由Peano-Baker级数求得。即有：或：以此类推，即可证明这时由Peano-84两式不等，用Peano-Baker级数求：例2－9求解下面线性时变系统齐次状态方程，其初始条件为。

两式不等，用Peano-Baker级数求85……求得状态解为：

……求得状态解为：86二、时变系统状态转移矩阵的性质：定常系统状态转移矩阵的性质（10个）并不都适用时变系统，但有4个是共同的：二、时变系统状态转移矩阵的性质：定常系统状态转移矩阵87三、时变非齐次状态方程的解有：三、时变非齐次状态方程的解有：88零输入分量零初值分量一般需用计算机来求解。得：零输入分量零初值分量一般需用计算机来求解。得：89第一种情况例2－10设系统的初始状态为

求系统在单位阶跃信号作用下的状态解和系统输出响应。第一种情况例2－10设系统的初始状态为求系统在单位阶跃信号90代入，有：代入，有：91系统的状态解为：

系统的输出响应为：

系统的状态解为：系统的输出响应为：92§3、线性离散系统的运动分析一、离散系统状态方程的解（一）递推法求解1．定常系统状态方程的求解§3、线性离散系统的运动分析一、离散系统状态方程的解（一）递93几点说明：（1）如果初始时刻设为，则状态解应为：离散系统的状态转移矩阵具有与线性定常连续系统状态转移矩阵类似的性质。状态解可表示为：或（5）离散系统状态解的递推形式适合计算机计算，缺点是会导致累积误差。几点说明：（1）如果初始时刻设为，则状态解应为：942．时变系统状态方程的求解……定义线性时变离散系统的状态转移矩阵：则状态解可表示为：具有与线性时变连续系统状态转移矩阵相类似的性质。2．时变系统状态方程的求解……定义线性时变离散系统的状态转移95Z变换:Z反变换：（二）z变换法求解（线性定常离散系统）求线性离散系统状态解的关键也在于求得其状态转移矩阵。与连续系统类似，线性定常离散系统的状态转移矩阵也有4种求取方法，它们分别是：按定义直接求；z变换法求；利用线性变换的特征值规范型求；化为有限项多项式求。Z变换:Z反变换：（二）z变换法求解（线性定常离散系统）96例2－11分别用（1）z变换法，（2）利用