不等式的证明(一)课件

二、形法三、比较法一、不等式常用的证明方法1.作差比较法2.作商比较法1.函数图象2.线性规划3.其他图象……§159不等式的证明(一)1.形法2.数法二、形法三、比较法一、不等式常用的证明方法1.作差比较法2.不等式概述概念性质应用解不等式证不等式求最值不等式的性质(一)作用：变形化简不等式2.运算性质1.基本性质(二)性质：3.重要的不等式多多益善十四条文字背诵是关键不等式概述概念性质应用解不等式证不等式求最值不等式的性质1.基本性质①大小的定义②对称性③传递性⑴对一个不等式的运算(变形)④加(减):如果a>b，那么a+c>b+c⑤乘(除)：如果a>b,且c>0,那么ac>bc如果a>b,且c<0,那么ac<bc⑥方：2.运算性质正值可方奇无限⑵对多个不等式的运算(变形)⑨同号可倒：⑧乘：注1.若2个不等式需进行减(除)运算，一般是转换成加(乘)注2.若变量间具有约束关系时，等号没有可加(乘)性⑦加：同向可正值同向可1.基本性质①大小的定义②对称性③传递性⑴对一个不等式的运算3.重要的(经典)不等式⑩11均值不等式：当且仅当a=b=c时，“=”成立当且仅当○=□时等号成立□2+○2≥±2□○当且仅当□=○时等号成立若□,○∈R+,则21□○1+□○2□○+≤□2+○23.重要的(经典)不等式⑩11均值不等式：当且仅当a=b=c13柯西不等式i：一般式ii：向量式12三角形(绝对值)不等式|□|-|○|≤|□±○|≤|□|+|○|13柯西不等式i：一般式ii：向量式12三角形(绝对值)14排序不等式反序和≤乱序和≤顺序和14排序不等式反序和≤乱序和≤顺序和解不等式概述1.题型：二元不等式一元不等式抽象不等式含参不等式整式不等式分式不等式不等式组绝对值不等式根式不等式连不等式指数不等式对数不等式三角不等式线性规划四成立……解不等式概述1.题型：二元不等式一元不等式抽象不等式含参不等解不等式概述1.题型：3.一般的，不等式解集的端点值是方程的根2.解法：形法数法函数图像线性规划“纯”不等式法函数(单调性)法解不等式概述1.题型：3.一般的，不等式解集的端点值是方程的标根法解一元n次不等式一正二方三穿线奇穿偶切右上方上大下小中为等函数简图是本质解分式不等式1.“左右”去分母法2.“上下”去分母法1.图象(标根)法：2.公式(口诀)法：口诀1：大于号要两头小于号要中间解一元二次不等式口诀2：一正二方三大头无根大全小为空标根法解一元n次不等式一正二方三穿线奇穿偶切右上方解分式不数形结合“或”字型书写格式整体观解不等式组通法:“截”成不等式组解连不等式特法:左右是常数时，可变形成高次不等式解绝对值不等式1.单绝对值号+右端常数型：2.单绝对值号+右端变量型：3.双绝对值号型：1.数法：解根式不等式2.形法：①零点分段法②函数图象法③绝对值几何意义法大于号要中间,小于号要两头数法形法要灵活陷阱有三：①正值可方②Domain③“=”的取舍数形结合“或”字型书写格式整体观解不等式组通法:“截”形法数法巧构函数是关键上大下小中方程同底法取对数法其他法单调性法注：对数不等式要注意Domain解指对不等式形法数法巧构函数是关键同底法单调性法注：对数不等式要注意Do解三角不等式（一）基础型——背诵法1.若02.若03.若0,则4.若5.若,则,则,则,则数形结合周期性上大下小中方程（二）其他型——图象法解三角不等式（一）基础型——背诵法1.若02.若03.若0,（一）基础型——背诵法1.若02.若03.若0,则4.若5.若,则,则,则,则若x为锐角，则（一）基础型——背诵法1.若02.若03.若0,则4.若5.线性规划简述点坐标线方程面不等式形数1.含义：简言之，图象法解二元不等式2.步骤：一面二线三找点来先去后为最值解析几何的基础线性规划简述点坐标线方程面不等式形数1.含义：简言之，图象法1.直线对坐标平面的划分和2.类似直线,圆锥曲线也将坐标平面划分成两个区域,将坐标平面划分成两个半平面直线其坐标必适合同一个不等式,位于同一半平面内的点（同侧同号，异侧异号）二元不等式与平面域注：直线划分坐标面先画直线定边线有等为实反为虚特点验证确定面左小右大A要正上大下小B要正(二元一次不等式表示平面域)1.直线对坐标平面的划分和2.类似直线,圆锥曲线也将坐标平面1.直线型：常见的几类目标函数2.曲线型：3.其他型：①直线平移型：②直线旋转型：③直线旋移型：④点线距离型：(a,b为常数,截距……)(x0,y0为常数,斜率……)(λ,μ为参量,截距……)(a,b,c为常数,距离…)⑤圆伸缩型：(x0,y0为常数,半径…)⑥向量型：……1.直线型：常见的几类目标函数2.曲线型：3.其他型：①已知两正数□,○，若四个式子中有一个为常数，且□与○能够相等，则其他三个式子有最值注1：此法非通法多元有优势小作抓“等”字大作“正常等”注2：书写格式三因一果注3：常见题型明考暗考配凑连用嵌积重点1□○1+□○□○+□2+○2，，，已知两正数□,○，若四个式子中有一个为常数，且□与○能够相等二、形法三、比较法一、不等式常用的证明方法1.作差比较法2.作商比较法1.函数图象2.线性规划3.其他图象……§159不等式的证明(一)1.形法2.数法二、形法三、比较法一、不等式常用的证明方法1.作差比较法2.2.综合法一、不等式常用的证明方法1.比较法3.分析法6.放缩法4.数学归纳法7.辅助函数法……作差比较法作商比较法5.反证法形法数法1.函数图象2.线性规划3.其他图象……2.综合法一、不等式常用的证明方法1.比较法3.分析法6.放形法是构造法的特例1.函数图象2.线性规划3.其他图象……二、形法证明不等式形法是构造法的特例1.函数图象2.线性规划3.其他图象……二(1)用几何图形解释均值不等式练习1.形法证明不等式均值不等式的几何解释方法甚多现只顺延课本的方法(1)用几何图形解释均值不等式练习1.形法证明不等式均值不等ADCBHFGE法1：课本P：97探究ab1.正方形ABCD的面积S=__________２.四个直角三角形的面积和Sl=______３.S与S1的大小关系是…？S≥Sl即ADCBHFGE法1：课本P：97探究ab1.正方形ABCABOCDGEOF=OD在RT⊿OFC中,CF＞OFF则易得在RT⊿OCD中,OD＞CD在RT⊿CDG中,CD＞DGCF＞＞CD＞DG下证：故如图，AB为圆O的直径，法2：课本P：98探究CG⊥OD弦DE⊥AB，OF⊥AB，令AC=a，CB=b(不妨设a＞b)，CF=CD=OF=OD=DG=ABOCDGEOF=OD在RT⊿OFC中,CF＞OFF则易得ABOCDF故半径如图，因AB为圆O的直径，且AC=aOF=OD=即直径AB=AC+CB=a+b，ab，CB=b，ABOCDF故半径如图，因AB为圆O的直径，且AC=aOF=ABOCF由勾股定理得CF=OF=如图，在RT⊿OFC中,所以OC=OB-BC=ABOCF由勾股定理得CF=OF=如图，在RT⊿OFC中,所ABOCD如图，因AB为圆O的直径，且AC=aab，CB=b，故⊿ABD为直角三角形，CD=由射影定理得ABOCD如图，因AB为圆O的直径，且AC=aab，CB=bABOCDG，CD=OD==如图，在RT⊿CDG中,由射影定理得即ABOCDG，CD=OD==如图，在RT⊿CDG中,由射影定ABOCDGEOF=OD在RT⊿OFC中,CF＞OFF则易得在RT⊿OCD中,OD＞CD在RT⊿CDG中,CD＞DGCF＞＞CD＞DG又因故如图，AB为圆O的直径，CG⊥OD弦DE⊥AB，OF⊥AB，令AC=a，CB=b(不妨设a＞b)，CF=CD=OF=OD=DG=故（当且仅当a=b时，取“=”号）ABOCDGEOF=OD在RT⊿OFC中,CF＞OFF则易得(2)三角混合不等式:sinx＜x＜tanx法1：如图，易得0＜x＜若,则

y=tanx

y=x

y=sinx(2)三角混合不等式:sinx＜x＜tanx法1：如图，易(2)三角混合不等式:sinx＜x＜tanxMOATP法2：如图单位圆O中，角x的终边为OT，易得S⊿APO＜S扇形APO＜S⊿ATO而S⊿ATO=S⊿APO=S扇形APO=即sinx＜x＜tanx(0＜x＜)0＜x＜若,则(2)三角混合不等式:sinx＜x＜tanxMOATP法2(3)排序不等式:OA1A2B2B1已知0＜a1≤a2≤a3…，0＜b1≤b2≤b3…则反序和≤乱序和≤顺序和令OA1=a1,OA2=a2,OB1=b1,OB2=b2证明：如图，则易得而即3个以上的,逐步调整法证之……(3)排序不等式:OA1A2B2B1已知0＜a1≤a2≤a3A-B=…=x1

·x2·x3···xnx21+x22+···

+x2nO作差变形三判断不是化简是变形

变到显然与O比因式分解及配方三、比较法：1.作差比较法简介：若a,b∈R+，则2.作商比较法简介：A-B=…=x1·x2·x3···xnO作差变形练习2.比较法证明不等式(4)课本P：75B组Ex1④(5)课本P：75B组Ex1③补充1：类似于x2+y2≥2xy补充2：，有x³+y³+z³≥3xyz(x±y)³=x³±3x²y+3xy²±y³a³±b³=(2)(a±b)(a²ab+b²)(3)x²+y²+z²-xy-yz-xz=(x－y)2+(y－z)2+(z－x)22(1)(6)已知x＞0,y＞0,z＞0,证明：x³+y³+z³≥3xyz练习2.比较法证明不等式(4)课本P：75B组Ex1=(x³+3x²y+3xy²+y³)+z³－3x²y－3xy²－3xyz(x－y)2+(y－z)2+(z－x)22(6)已知x＞0,y＞0,z＞0,证明：x³+y³+z³≥3xyz证明：x³+y³+z³－3xyz而=[(x+y)³+z³]－3xy(x+y+z)=(x+y+z)(x²+y²+z²-xy-yz-xz)=(x+y+z)[(x+y)²－(x+y)z+z²]－3xy(x+y+z)≥0所以x³+y³+z³≥3xyz=(x+y+z)×已知x＞0,y＞0,z＞0=(x³+3x²y+3xy²+y³)+z³－3x²y－3xy证明：因所以，原不等式成立证明：因所以，原不等式成立作业：1.课本P：75B组Ex1①②2.(2010年湖北)设,称以AB为直径作半圆，连结线段

的长度为a，b的调和平均数如图，C为线段AB上的点，且AC=a，CB=b，O为AB中点线段

的长度是a，b的几何平均数；OD，AD，BD．过点C作OD的垂线,垂足为E.则图中线段OD的长度是a，b的算术平均数是a，b的调和平均数．预习：不等式的证明作业：1.课本P：75B组Ex1①②2.(2010年湖二、形法三、比较法一、不等式常用的证明方法1.作差比较法2.作商比较法1.函数图象2.线性规划3.其他图象……§159不等式的证明(一)1.形法2.数法二、形法三、比较法一、不等式常用的证明方法1.作差比较法2.不等式概述概念性质应用解不等式证不等式求最值不等式的性质(一)作用：变形化简不等式2.运算性质1.基本性质(二)性质：3.重要的不等式多多益善十四条文字背诵是关键不等式概述概念性质应用解不等式证不等式求最值不等式的性质1.基本性质①大小的定义②对称性③传递性⑴对一个不等式的运算(变形)④加(减):如果a>b，那么a+c>b+c⑤乘(除)：如果a>b,且c>0,那么ac>bc如果a>b,且c<0,那么ac<bc⑥方：2.运算性质正值可方奇无限⑵对多个不等式的运算(变形)⑨同号可倒：⑧乘：注1.若2个不等式需进行减(除)运算，一般是转换成加(乘)注2.若变量间具有约束关系时，等号没有可加(乘)性⑦加：同向可正值同向可1.基本性质①大小的定义②对称性③传递性⑴对一个不等式的运算3.重要的(经典)不等式⑩11均值不等式：当且仅当a=b=c时，“=”成立当且仅当○=□时等号成立□2+○2≥±2□○当且仅当□=○时等号成立若□,○∈R+,则21□○1+□○2□○+≤□2+○23.重要的(经典)不等式⑩11均值不等式：当且仅当a=b=c13柯西不等式i：一般式ii：向量式12三角形(绝对值)不等式|□|-|○|≤|□±○|≤|□|+|○|13柯西不等式i：一般式ii：向量式12三角形(绝对值)14排序不等式反序和≤乱序和≤顺序和14排序不等式反序和≤乱序和≤顺序和解不等式概述1.题型：二元不等式一元不等式抽象不等式含参不等式整式不等式分式不等式不等式组绝对值不等式根式不等式连不等式指数不等式对数不等式三角不等式线性规划四成立……解不等式概述1.题型：二元不等式一元不等式抽象不等式含参不等解不等式概述1.题型：3.一般的，不等式解集的端点值是方程的根2.解法：形法数法函数图像线性规划“纯”不等式法函数(单调性)法解不等式概述1.题型：3.一般的，不等式解集的端点值是方程的标根法解一元n次不等式一正二方三穿线奇穿偶切右上方上大下小中为等函数简图是本质解分式不等式1.“左右”去分母法2.“上下”去分母法1.图象(标根)法：2.公式(口诀)法：口诀1：大于号要两头小于号要中间解一元二次不等式口诀2：一正二方三大头无根大全小为空标根法解一元n次不等式一正二方三穿线奇穿偶切右上方解分式不数形结合“或”字型书写格式整体观解不等式组通法:“截”成不等式组解连不等式特法:左右是常数时，可变形成高次不等式解绝对值不等式1.单绝对值号+右端常数型：2.单绝对值号+右端变量型：3.双绝对值号型：1.数法：解根式不等式2.形法：①零点分段法②函数图象法③绝对值几何意义法大于号要中间,小于号要两头数法形法要灵活陷阱有三：①正值可方②Domain③“=”的取舍数形结合“或”字型书写格式整体观解不等式组通法:“截”形法数法巧构函数是关键上大下小中方程同底法取对数法其他法单调性法注：对数不等式要注意Domain解指对不等式形法数法巧构函数是关键同底法单调性法注：对数不等式要注意Do解三角不等式（一）基础型——背诵法1.若02.若03.若0,则4.若5.若,则,则,则,则数形结合周期性上大下小中方程（二）其他型——图象法解三角不等式（一）基础型——背诵法1.若02.若03.若0,（一）基础型——背诵法1.若02.若03.若0,则4.若5.若,则,则,则,则若x为锐角，则（一）基础型——背诵法1.若02.若03.若0,则4.若5.线性规划简述点坐标线方程面不等式形数1.含义：简言之，图象法解二元不等式2.步骤：一面二线三找点来先去后为最值解析几何的基础线性规划简述点坐标线方程面不等式形数1.含义：简言之，图象法1.直线对坐标平面的划分和2.类似直线,圆锥曲线也将坐标平面划分成两个区域,将坐标平面划分成两个半平面直线其坐标必适合同一个不等式,位于同一半平面内的点（同侧同号，异侧异号）二元不等式与平面域注：直线划分坐标面先画直线定边线有等为实反为虚特点验证确定面左小右大A要正上大下小B要正(二元一次不等式表示平面域)1.直线对坐标平面的划分和2.类似直线,圆锥曲线也将坐标平面1.直线型：常见的几类目标函数2.曲线型：3.其他型：①直线平移型：②直线旋转型：③直线旋移型：④点线距离型：(a,b为常数,截距……)(x0,y0为常数,斜率……)(λ,μ为参量,截距……)(a,b,c为常数,距离…)⑤圆伸缩型：(x0,y0为常数,半径…)⑥向量型：……1.直线型：常见的几类目标函数2.曲线型：3.其他型：①已知两正数□,○，若四个式子中有一个为常数，且□与○能够相等，则其他三个式子有最值注1：此法非通法多元有优势小作抓“等”字大作“正常等”注2：书写格式三因一果注3：常见题型明考暗考配凑连用嵌积重点1□○1+□○□○+□2+○2，，，已知两正数□,○，若四个式子中有一个为常数，且□与○能够相等二、形法三、比较法一、不等式常用的证明方法1.作差比较法2.作商比较法1.函数图象2.线性规划3.其他图象……§159不等式的证明(一)1.形法2.数法二、形法三、比较法一、不等式常用的证明方法1.作差比较法2.2.综合法一、不等式常用的证明方法1.比较法3.分析法6.放缩法4.数学归纳法7.辅助函数法……作差比较法作商比较法5.反证法形法数法1.函数图象2.线性规划3.其他图象……2.综合法一、不等式常用的证明方法1.比较法3.分析法6.放形法是构造法的特例1.函数图象2.线性规划3.其他图象……二、形法证明不等式形法是构造法的特例1.函数图象2.线性规划3.其他图象……二(1)用几何图形解释均值不等式练习1.形法证明不等式均值不等式的几何解释方法甚多现只顺延课本的方法(1)用几何图形解释均值不等式练习1.形法证明不等式均值不等ADCBHFGE法1：课本P：97探究ab1.正方形ABCD的面积S=__________２.四个直角三角形的面积和Sl=______３.S与S1的大小关系是…？S≥Sl即ADCBHFGE法1：课本P：97探究ab1.正方形ABCABOCDGEOF=OD在RT⊿OFC中,CF＞OFF则易得在RT⊿OCD中,OD＞CD在RT⊿CDG中,CD＞DGCF＞＞CD＞DG下证：故如图，AB为圆O的直径，法2：课本P：98探究CG⊥OD弦DE⊥AB，OF⊥AB，令AC=a，CB=b(不妨设a＞b)，CF=CD=OF=OD=DG=ABOCDGEOF=OD在RT⊿OFC中,CF＞OFF则易得ABOCDF故半径如图，因AB为圆O的直径，且AC=aOF=OD=即直径AB=AC+CB=a+b，ab，CB=b，ABOCDF故半径如图，因AB为圆O的直径，且AC=aOF=ABOCF由勾股定理得CF=OF=如图，在RT⊿OFC中,所以OC=OB-BC=ABOCF由勾股定理得CF=OF=如图，在RT⊿OFC中,所ABOCD如图，因AB为圆O的直径，且AC=aab，CB=b，故⊿ABD为直角三角形，CD=由射影定理得ABOCD如图，因AB为圆O的直径，且AC=aab，CB=bABOCDG，CD=OD==如图，在RT⊿CDG中,由射影定理得即ABOCDG，CD=OD==如图，在RT⊿CDG中,由射影定ABOCDGEOF=OD在RT⊿OFC中,CF＞OFF则易得在RT⊿OCD中,OD＞CD在RT⊿CDG中,CD＞DGCF＞＞CD＞DG又因故如图，AB为圆O的直径，CG⊥OD弦DE⊥AB，OF⊥AB，令AC=a，CB=b(不妨设a＞b)，CF=CD=OF=OD=DG=故（当且仅当a=b时，取“=”号）ABOCDGEOF=OD在RT⊿OFC中,CF＞OFF则易得(2)三角混合不等式:sinx＜x＜tanx法1：如图，易得0＜x＜若,则

y=tanx

y=x

y=sinx(2)三角混合不等式:sinx＜x＜tanx法1：如图，易(2)三角混合不等式:sinx＜x＜tanxMOATP法2：如图单位圆O中，角x的终边为OT，易得S⊿APO＜S扇形APO＜S⊿ATO而S⊿ATO=S⊿APO=S扇形APO=即sinx＜x＜tanx(0＜x＜)0＜x＜若,则(2)三角混合不等式:sinx＜x＜tanxMOATP法2(3)排序不等式:OA1A2B2B1已知0＜a1≤a2≤a3…，0＜b1≤b2≤b3…则反序和≤乱序和≤顺序和令OA1=a1,OA2=a2,OB1=b1,OB2=b2证明：如图，则易得而即3个以上的,逐步调整法证之……(3)排序不等式:OA1A2B2B1已知0＜a1≤a2≤a3A-B=…=x1

·x2·x3···xnx21+x22+···

+x